2023-2024学年福建省漳州市高三（上）第一次质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省漳州市高三（上）第一次质检数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设全集{/=/?,若集合4=卜|142》<4},B={x\y=则如图

所示的阴影部分表示的集合为（）

A.(一%0)B.[1,2]

C.(2,4-00)D.(-00,0)U(2,4-00)

2.已知复数z满足2+(2-1)1=3。为虚数单位)，则|z|二()

A.1B.门C.2D.yT5

3.已知函数/(%)=2*+x,g(x)=/0比%+%论(%)=/+x的零点分别a,b,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

4.已知向量日=(-1,1),b=(2,x)>若IJ.a则I五一B|=()

A.2B.2yTlC.<^0D.

5.已知双曲线W一、=l(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(％—2>+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线的

离心率为()

A.y/~3B.2C.7~5D.V~10

6.若sin(a-^)=则s讥2a=()

2178

---C--

A.9999

7.如图，在五面体ABCDEF中，底面4BCD是矩形，EF<48,EF//AB,

若48=25,AD=10,且底面2BCD与其余各面所成角的正切值均为|,

则该五面体的体积是（）

A.225B.250C.325D.375

8.已知直线y=kx+b是曲线y=%2-（a+1）的切线，也是曲线y=alnx-1的切线，则k的最大值是（）

24

A.-B.-C.2eD.4e

ee

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.将100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（）

A.a=0.100

B.该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值

C.该组数据的第90百分位数约为109.2

D.在该组数据中随机选取一个数据记为n,已知nG[100,104),则nG[100,102)的概率为:

10.函数f=Asin(a)x+(p\A>0,3>0,|如<》的部分图象如图所示，则下

列结论正确的是()

A.3=2

B.y=f(x)的图象关于直线x=—瑞对称

C.将y=/(x)的图象向右平移/个单位长度后，得到的图象关于原点对称

D.若y=f(2x)(，>0)在[0词上有且仅有一个零点，则4e[1,1)

11.已知正项等比数列｛斯｝的前n项积为图，且为>1,则下列结论正确的是()

A.若几=T8,贝仃41=1B,若76=T8,则q<T7

C.若76<77，则77<78D.若”>77，则77>78

12.已知定义在R上的函数f(x),其导函数尸(x)的定义域也为R.若f(x+2)=—f(x),且/(x—1)为奇函数,

则()

A./(I)=0B./(2024)=0

C.f'(x)=-f(-x)D.f'(x)=1(2022-x)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在C+》2）6的展开式中常数项是.（用数字作答）

14.有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占40%,乙工厂生产的占60%.已知甲、乙两工厂生产的该型

号产品的次品率分别为3%,2%,则从这批产品中任取一件是次品的概率是.

15.已知抛物线y2=2%的焦点为F,过点尸的直线与抛物线交于B两点，则4|4F|+|BF|的最小值是

16.一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为1,下底面半径为6,母线与底面所成的角为

60。.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的棱长的最大值是.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

如图，正方体的棱长为2,E为棱的中点.

（1）证明：BDJ/平面力CE；

（2）若F是棱上一点，且二面角F—AC-E的余弦值为一?，求

18.（本小题12.0分）

已知AABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=bsin竽.

⑴求A;

（2）若。为边BC上一点，且BD=：8C,4。=浮0，证明：△力BC为直角三角形.

19.（本小题12.0分）

已知数列｛即｝，｛%｝满足%=瓦=1，匕+1=善7匕,记却为｛%｝的前n项和.

（1）若｛%｝为等比数列,其公比q=2,求加

（2）若5｝为等差数列，其公差d=2,证明：Tn<|.

20.（本小题12.0分）

甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用2n-l（nCN*）局n胜制（当一选手先赢下n局比赛时，该选手获

胜，比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率为p,乙获胜的概率为l-p.

(1)若n=2,p=；，比赛结束时的局数为X,求X的分布列与数学期望；

(2)若n=3比n=2对甲更有利，求p的取值范围.

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：胃+，=l(a>b>0)的左焦点为a(一一3,0)，且过点4(/3]).

(1)求C的方程；

(2)不过原点。的直线/与C交于P,Q两点，且直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列.

⑷求，的斜率；

(a)求4OPQ的面积的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=aex+x+1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当*>1时，/(x)>ln^-4-x,求实数a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：根据题意解指数不等式1W2x^4,得2。<2,<22,即0WXM2,所以4={x|0W%W2},

由函数定义域可得8={x\x>1},所以4UB={x\x>0}；

阴影部分表示的集合为CR(4UB)=[x\x<0}.

故选：A.

由指数函数单调性以及函数定义域可求出集合4,B,易知阴影部分表示CR(AUB),利用集合基本运算可得

结果.

此题考查指数不等式的解法，集合的运算等知识，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：将z+(z-l)i=3整理可得z=含，

所以=(3+。(17)=3-2124-2i

尸"以Z(1+0(1_0-2L>

可得|z|=J22+(-1)2=V-5.

故选：D.

将等式整理可得z=^=2—i,即可计算出|z|=，石.

本题主要考查复数的四则运算、复数的模的求法，属于基础题.

3.【答案】B

X3

【解析】解：由f(%)=24-%=0得2"=—%,g(%)=log2x+%=0得log2%=-ft(x)=%+%=0得久3=

—x,

由图象知a<c<b,

故选：B.

利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可.

本题主要考查函数零点的求解和判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数

形结合是解决本题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：因为,=(―1,1),b=(2,x)>且江_L3，

所以由数量积的坐标公式可知：a.b=-lx2+lxx=x-2=0-解得x=2,

因此加=(2,2)，由向量减法坐标公式可得五一3=(—3,-1)，

结合向量模的坐标公式可得：|丘-引=，(-3)2+(-1)2=Q6

故选：C.

将向量垂直转换为数量积为零，再结合向量坐标运算公式即可求解.

本题考查了向量数量积和向量的模，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：双曲线渐近线被圆所截得的弦长为2,圆的半径为2,设圆心到渐近线的距离为d,

由垂径定理可得d-V4—1-3,

不妨设渐近线方程为依一y=0(其中％2='),

又圆(％-2)2+y2=4的圆心坐标为圆(2,0),

由点到直线的距离公式有d一^^.

J/+1

|2川_/-Q,2

则77寸一V3,解得人2=3,又卜2=[,

Jk+1a2

.1.双曲线的离心率为e=£=J]+g_71+H_41+3-2,

故选：B.

算出圆心到双曲线的一条渐近线的距离，设出渐近线方程y=kx+b,再结合点到直线的距离公式列方程解

出鼠进一步可求双曲线的离心率.

本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.

6.【答案】C

【解析】解：若sin(a—今=^=-sin^—a),sing—a)=-$

则si?12a=cos(^-2a)=1-2sin2(^-a)=1-2•(-1)2=

故选：c.

由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值.

本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：在五面体4BCDEF中，底面力BCD是矩形，EF<AB,EF//AB,

AB=25,AD=10,且底面4BCD与其余各面所成角的正切值均为I，

过E作E。_L面ABCD于。，过。作GH〃BC分别交48,CD于G,H,

记BC的中点为M,连接EM,0M,同理作出FJ,FI,I],如图,

•底面/BCD是矩形，AAB1BC,

又GH//BC,：.GHLAB,

■■■EO1面4BC0,ABu面4BC0,:.EO1AB,

•••GHCEO=0,GH,EOu面EGH,:，AB1面EG”,

,**EGu面EGH,ABJ.EG,

3

->O

•••NEGH是面力BEF与面力BCD的所成角，则由题意知tan/EGH5

同理"HG是面CDEF与面4BCD的所成角，则tan/EHG=|>0,

0<乙EGH<p0<乙EHG<p4EGH=乙EHG,则EG=EH,

又由题意得EOJ.GH,。是GH的中点，

由上述分析易知四边形BCHG是矩形，则HG=BC=AD=10,

•••OG=tGH=5,则tan/EGH=照=故EO=3,

LUG5

由题意得Rt△BEG三Rt△CEH,则BE=CE,

•••M为8c的中点，BC,

又由题意得OM1BC,1•.NEMO为面EBC与面力BCD的所成角，

则tanMM。=I，即黑=则OM=5,即GB=5,

5OM5

由对称性可知4=5,从而/G=4B-4/-BG=15,

"EGLAB,同理/7_LAB,；.EG〃EJ,

又EF〃4B,.•.四边形EF/G是矩形，

同理可得四边形EF/H与四边形GH〃是矩形，则几何体尸〃-EHG是直棱柱,

由对称性可知力=VE-BCHG—gSgcHG•E。=gX5X10X3=50,

VFIJ-EHG~S^EGH7G=-xl0x3xl5=225>

该五面体的体积为V=Vp-ADIJ+^E-BCHG+^FIJ-EHG=50+50+225=325.

故选：c,

利用面面角的定义，结合图形与线面垂直的判定与性质定理求得E。，BG,JG,从而利用切割法，结合锥体

与柱体的体积公式即可得解.

本题考查面面角定义、线面垂直的判定与性质定理、锥体与柱体的体积公式等基础知识，考查运算求解能

力，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：因为y=kx+b是f(X)=x2-(a+1)和g(x)=alnx-1的公切线，

设切点分别为QL*一(Q+1))和(%2，。2—1)，则/(%i)=。'(%2)=k,

由f(x)=x2-(a4-1),可得f'(x)=2x,则々==2%

又由g(%)=—1,可得g'(%)=g且%>0,则、=。'(%2)=.,

所以2/=-=加2-盘+。=储可得2%="呷一"=k,

x

2X2-X1与f

即a仇言•+以=0,显然a,右同号，不妨设a>0,%>0,

设h(a)=abi*+资，(其中。>。，工1>0),

可得"(a)=1+Ina—系(2%力,令//(a)=0,可得a=等,

当xG(0,筌)时,"(a)<0,/i(a)单调递减；

当xe(2包,+8)时，h'(a)>0,九(a)单调递增，

2%

要使得九(Q)=0有解，则需要以9譬)W0,即h(在1)=也■也妥1+*W().

即一等+后W0,解得右］,所以k=即k的最大值为《

故选：B.

设切点分别为01，*—(a+1))和。2,。依》2-1)，则/''(*1)=。'(必)=k，根据题意转化为a仇a+好-。有

解，设h(a)=aln^+好，求得说a)=1+Ina-ln(2xj,得出函数的单调性和极小值八(等)，结合力(华)<

0,即可求解.

本题主要考查导数知识的综合应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：对于4选项：由矩形部分面积之和为1可知(0.025+a+0.175+0.125+0.125)x2=1,

解得a=0.050,故4选项不符题意，

对于B选项：不妨设众数和平均数分别为也，由图可知显然有匕=竺竽^=105,1=101x0.025x2+

103x0.050x2+105x0.175x2+107x0.125x2+109x0.125x2=105.6,

因此即平均数的估计值大于众数的估计值，故8选项符合题意，

对于C选项：设第90百分位数为c,且注意到这100个数据落在区间［108,110］的概率为0.125x2=0.25,

所以c一定落在区间［108,110］内，所以(110-c)x0.125=1-0.9,

解得c=109.2,

故C选项符合题意，

对于。选项：记n6［100,104)、ne［100,102)分别为事件4、B,

则由图可知P(A)=(0.025+0.050)x2=0.150,P(B)=P(AB)=0.025x2=0.050,

则由条件概率公式得P(B|A)=需=鬻=1故。选项不符题意.

r(/i)U.J.DU3

故选：BC.

对于4选项：由矩形部分面积之和为1即可验证；对于B选项：计算出平均数和众数估计值即可验证；对于C

选项：根据第90百分位数的定义去计算即可验证；对于。选项：由条件概率计算公式即可验证.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的计算，以及条件概率的概率公式，属于中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：由题意可得，A=2,)=3=［,故7=n,3=2,/(x)=2sin(2x+9),A正确；

又因为/给)=2sin(^+s)=2,故"9=2而+%eZ,

所以9=与+2/OT,/CeZ,101<p所以/(X)=2sin(2x+，.

对于B,当t=一言寸，2x+^=-py=/(x)的图象关于直线》=—居对称，8正确；

对于C,将y=/(x)的图象向右平移得个单位长度后，

y=2sin(2Q*)+今=2s讥(2x-今得到的图象不关于原点对称，C错误；

对于0,/(&)=25讥(2&+何在[0,扪上有且仅有一个零点,xe[0,n],2Ax+le^,2An+^,

n<22?r+^<2n,<A<f,£>正确.

故选：ABD.

由最值求a,由周期求3,再由/)=2,可求⑦进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各

选项即可判断.

本题主要考查由y=4s讥(3X+9)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：不妨设正项等比数列也"的公比为q，q>0,所以an=a「qnT，ne/V*;

对于力，若介=介，则a7a8=1，由等比数列性质可得aid*=a2al3=…=a7a8=l,

所以可得714=x…a7a8x...xa13a14=1，即A止确:

对于8,若心=,，可得a7a8=%-q6.%•q，=a：♦q"=1,又的>1,所以0<q<l；

所以ag<a7,又a7a8=1,可得>1,ag<1,

因此可得的>1,a2>1,a7>1,a8<1,即%<6，所以B正确；

对于C,若〃〈心，可得a7=a「q6>l,又的>1,因此q的大小无法判断，所以C错误；

对于0,若丁6>17,可得a7=a「q6<l,又%>1,所以可得0<q<l,即数列｛即｝为递减数列；

可得患=。8<(17<1，即77>78，所以。正确.

故选：ABD.

根据题意结合等比数列的通项公式及其性质，逐项分析得出数列也工的单调性，即可得出结论.

本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对于4选项：因为/(1)=/(-1+2)=-/(-1),又是由—向左平移1个单位得到的，

f(x—1)为奇函数，因此/(%)的对称中心为(—1,0),

即/(一1)=0,因此/(1)=一/(一1)=0,故4正确；

对于B选项：令/'(x)=cos竽，此时f(x)满足题意，但/(2024)=COS(1012TT)=1#0,故B错误；

对于C选项：因为/(%)的对称中心为(一1,0),所以/(为+/(-2-x)=0,

又已知f(%4-2)=所以f(%+2)=f(-2-%),

所以/(%)关于直线久=0对称，即/(%)=/(-x),

由复合函数求导法则且同时两边对%求导得r(x)=-7''(-x),故c正确；

对于。选项：由f(x)的对称中心为(—1,0),

即/(—1+x)=-/(-I-x),两边对x求导得1+x)=f(-l-x),

结合C选项分析结论f'Q)=-f(-x),可知((-1+x)=f(-l-%)=-f'(l+x),

所以尸(-1+X)=-1(1+%)=((3+X),

所以(。)的周期为4,

因此/'(2022-％)=f'(2-x)=-f(4-x)=—八―x),

又因为f'(x)=-/'(-X)，

所以尸(x)=1(2022-x),故以正确.

故选：ACD.

由题意可以推出f(x)的周期以及对称中心，根据/(x)=-f(x+2)=-[-/(x+4)]=/(x+4),可得/(无)的

周期是4,又/(x)是由/0一1)向左平移1个单位得到的，又因为/。-1)为奇函数，因此/(x)的对称中心为

(-1,0)；然后对每一选项逐一验证判断即可.

本题考查了抽象函数的对称性、周期性、奇偶性及复合函数的求导法则，属于中档题.

13.【答案】15

3r6

【解析】解：二项式@+/)6的展开式的通项公式为7；+1=吗(》6-rQ2)r=C^X~,

令3r-6=0,即r=2,.•.常数项为*=15.

故答案为：15.

由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项

本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

14.【答案】0.024

【解析】解：设义,4分别表示甲、乙厂生产的产品，8表示取到次品，

则P(4)=0.4,P(4)=0.6,

P(B|4i)=0.03,P(B|4)=0.02,

・•・从中任取一件产品取到次品的概率为：

P(B)=P(4)P(B|4)+。(—出)

=0.4x0.03+0.6x0.02=0.024.

故答案为：0.024.

利用全概率公式直接求解即可.

本题考查了全概率公式的应用，考查条件概率，是基础题.

15.【答案琦

【解析】解：如下图示所示:

易知焦点设4（%,为），B（x2,y2）,且x2>0,

当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知|AF|=\BF\=1,此时4|AF|+\BF\=5；

当直线斜率存在时，可设直线方程为y=k（x-；），显然kRO,

联立卜=可得卜2/_（1+2及+-2=0,

\y2=2x

所以％1七=%

又|4F|=Xj+-,\BF\=%2+2>

所以4|4尸|+\BF\=4（xi+；）+型+；=4*1+&+|22y/4xr-x2+|=

当且仅当4%i=%即％1=1,%2=［时，等号成立；

综上可得，4|4F|+|BF|的最小值是，

故答案为：

根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨论，由焦半径公式写出4|4用+|BF|的表达式，并利用基本不等式

求出其最小值.

本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题.

16.【答案】4

【解析】解：如图所示:

根据题意可知。14=1,02B=6.

又圆台的母线与底面所成的角为60。，即乙48。2=60°,得。1。2=5/己；

设圆台内能放置的最大球的球心为。，且与底面和母线分别切于"，C两点，

可知球的半径R=002=2，有，此时球的直径为2R=47_3<OrO2=5口,

即此时球与圆台上底面不相切，因此圆台内能放置的最大球的直径为4，？.

若放置一个可以任意转动的正方体，要求正方体棱长最大，

需要正方体的中心与球心重合，且该球是正方体的外接球，

设正方体的最大棱长为a,满足Ca=2R,解得a=4.

故答案为：4.

根据题意可求出圆台内能放置的最大球的半径，使正方体外接于球即可求出正方体的最大棱长.

本题考查圆台、球与正方体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】（1）证明：连接BD交"于点G,连接EG,

则G为DB中点，又E为。5中点，・•.GE〃BD「

又BD1U平面ACE,GEu平面4CE,二皿〃平面4CE.

解：如图，以4为原点，分别以而，AD，丽'的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),E(0,2,1),Bj(2,0,2),

5(022),AC=(2,2,0)，AE=(0,2,1).

设平面ACE的法向量为元=(x,y,z),

n•AC=2%+2y=

取％=1,得元=(1,-1,2)；

n•AE=2y+z=

设F(2,0,/c)(0Wk<2),则而=(2,0,/c).

设平面ACF的法向量为沆=（a,瓦c）,

由(沆-AC=2a4-2h=0

取a=k,得沆=(k,—k,-2).

-~A?=2a+ck=0

•••二面角F-AC-E的余弦值为-?,

.♦.|cos(记，力|=黯=|2k-4|£3

口xj2k2+4~，

解得k=g,即B尸=4

【解析】（1）连接BD交4c于点G,连接EG,可得GE〃BD「根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）以4为原点，分别以而，AD，丽的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，写出相关点

的坐标，求出平面ACE的法向量为元，设?（2,0,k）（0〈kW2）,求出平面4CF的法向量记，根据|cos〈记，元）|=

胃胃=?即可求解.

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中

档题.

18.【答案】解：(1)因为asiziB=bsin与£

所以sinAsinB=sinBsin(^-今=sinBcos^,

因为sinB>0,

BD

所以sinA=cos?,8P2sin^cos^=cosp

又cos5A0,

所以sing=I，

又。＜丝,

所以9=a即4=枭

ZO3

21

布+

（2）证明：因为而=通+而=南+：配=万+力（前=3-3-

所以|同|2=(|荏+；Z)2=：而2+!近2+?近前="2+/2+/c=/2,

33999yyyD

即〃+2bc—8c2=0,

所以(b+4c)(b—2c)=0,

所以b=2c,

因此M=h2+c2-2bccosz.BAC=b2+c2-be=3c2,

又b=2c,

所以=小+。2,

所以3=90°,

所以△48C为直角三角形，得证.

【解析】(1)结合正弦定理、诱导公式及二倍角公式化简求解即可;

(2)根据向量运算可得而=|四+：近，进而结合向量模的计算公式可得b=2c,进而结合余弦定理即可

求证.

本题考查了正弦定理，余弦定理，诱导公式，二倍角公式，向量运算以及向量模的计算公式在解三角形中

的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.【答案】解：(1)因为｛时｝为等比数列,%=1,q=2,

所以占=)，所以号1=普=1

a

n+24bnan+24

又瓦=1,所以｛b“｝是以瓦=1为首项，;为公比的等比数歹IJ,

所以〃=寻=41一6尸］.

14

(2)证法一：

因为｛四｝为等差数列,%=1，d=2,

所以即=271—1,所以C1rl+2=271+3.

因为31=^%=需跖即肝=磊，

所以念=需(心2)，

所以当nN2时，

X九

2,TI—3271—52,TL—731.3

XXXXXX1

2^i2^I2^3-75(2n-l)(2n+l),

又瓦=1符合上式,

所以%=(2n-l)(2n+l)=5(罚一罚)•

所以"=br+b2+b3+…+bn_i+bn

=—(1--------------------1-----------1-…H-----------------------)

2、335572n-l2n+l，

_3n__<3

-2(12^1)<2-

证法二：

因为｛斯｝为等差数列，%=1，d=2,

所以即=2?1-1,所以&t+2=2n+3.

因为“+i=^^瓦=怒^瓦,即bn+i(2n+3)=(2n-r)bn,

所以%+i(2n+l)(2n+3)=bn(2n-l)(2n+1),

所以数列｛bn(2n-l)(2n+1)｝为常数列.

因此bn(2n-l)(2n+1)=34=3,

所以g=——:&1；—,,L).

几(2n—l)(2n+l)2k2n—12n+ly

所以7^=瓦+厉+岳+•••+%_]+bn

3-1,11,111,11、

2k335572n-l2n+l7

313

=2(1一罚)(了

【解析】(1)由｛a"为等比数列，其公比q=2,可得出力是以瓦=1为首项，J为公比的等比数列，利用公式

求前n项和.

(2)求出｛6｝的通项，可得%+1=磊力，通过累乘法或构造常数列，求出｛%｝的通项，利用公式求前n项

和，可证得结论.

本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和

运算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)依题意得，随机变量X所有可能取值为2,3,

可得P(X=2)=(1)2+(1-1)2=i,P(X=3)=*0)2(1-；)+废(须1一j)2=j.

所以随机变量X的分布列为：

X23

p11

22

所以X的数学期望E(X)=2xg+3x»|；

(2)若采用3局2胜制，甲最终获胜的概率为pi=p2+©p2(i_p)=「2(3-2p),

若采用5局3胜制，甲最终获胜的概率为：

3

p2=p+0p3(l-p)+废p3(l_p)2=p3(6p2-15P+10),

若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，则p2-P1>0,

即p3(6p2-15P+10)—p2(3—2p)=p2(6p3_15P2_|_10P—3+2p)

=3P2(2p3-5P2+4p_i)=3P2g_i)(2p2-3p+1)=3p2(p-l)2(2p-1)>0,

解得：<p<l,

即p的取值范围为G，l).

【解析】(1)根据题意，得到X所有可能取值为2,3,求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即

可求解；

(2)分别求得采用3局2胜制和5局3胜制,甲最终获胜的的概率Pi=p2(3-2p),和p?=p3(6p2-15P+10),

结合P2-Pi>0,即可求解.

本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由题知，椭圆C的右焦点为尸2([5,0),且过点4(二,今,

所以2a=J，3+q)2+<+J^=4，所以a=2.

又c=所以b=Va2—c2=1，

2

所以C的方程为t+y2=L

(2)(团)由题知，直线I的斜率存在，且不为0.

设，：y=kx+m(m*0),PQ】,月),Q(,x2,y2V

则&+4y2_4=0，所以(1+4/c2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

所以尤+x--8—„„_4(二一1)

所以与+“2-1+席，32-]+小,

且/=64k2m2—16(1+4fc2)(m2—1)>0,BP4/c2—m24-1>0.

因为直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列.

所以右.a=k2,即在立出外垃生咳X1X20,

X1x2血》2

所以逆染+巾2=0,且7n2于1.

1+4々/

因为山大0,所以仁2=；,所以上=±；.