2024年高考数学模拟卷（七省新高考）含解析

备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.全集U=R,集合A={2,3,5,7,9},B={4,5,6,8）,则阴影部分表示的集合是（）

A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,45,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}

2.己知复数z=[t%（aeR）,若z为纯虚数，贝心的值为

1-1

A.—1B.—C.~D.1

22

3.若非零向量°涉满足（a-4b），a,（b-“）_Lb,则“与匕的夹角是

A.生B.巳C.&D.笆

6326

4.儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用.如图，在某节手工课上，小明

将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于

圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型.已知彩球的表面积为签位!!？，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面

上点的最远距离）为（）

A.2A/§CHIB.（2+25/^011C.6cmD.4A/5cm

5.“0Vx<l”是“2，+=<2”的（）

2,2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.数列｛4｝的前”项和为S,，若该数列满足%+2S£T=0（〃22）,则下列命题中错误的是（）

A.是等差数列B.S"=：

[S.JIn

C.%=-丽曷D.但“｝是等比数列

7.椭圆C:1+g=：l（a>6>0）上有两点A、B,匕、后分别为椭圆C的左、右焦点，A8耳是以工为中

ab

心的正三角形，则椭圆离心率为（）

A.B.72-1C.D.73-1

8.定义在R上的函数〃x）满足：①〃x）+/（2-x）=0,②〃2x-l）是奇函数，则下列结论可能不正确的

是（）

A.“X）是偶函数B./(x)=/(x+4)

C."3)=0D.(x-l)/(x)关于x=l对称

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆G：（x-l）2+y2=l和圆C2：Y+y2-4x-4y+4=。，则（）

A.圆C2的半径为4

B.y轴为圆G与G的公切线

C.圆与G公共弦所在的直线方程为x+2y-1=0

D.圆与C?上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1

10.已知由样本数据（4y）（i=L2,3,、10）组成的一个样本，得到经验回归方程为y=2x-0.4,且元=2,去

除两个样本点（-2,1）和（2,-1）后，得到新的经验回归方程为夕=3X+A.在余下的8个样本数据和新的经验

回归方程中（）.

A.相关变量尤，y具有正相关关系

B.新的经验回归方程为夕=3x-3

C.随着自变量尤值增加，因变量y值增加速度变小

D.样本（4,8.9）的残差为-0.1

11.设抛物线cV=8x的焦点为凡准线为/,点M为C上一动点，E(3,D为定点，则下列结论正确的是

()

A.准线/的方程是x=-2B.|"£|-|河5|的最大值为2

C.|旌|+|八"|的最小值为7D.以线段吹为直径的圆与y轴相切

12.定义在R上的函数f(x)满足：/(x)+/(x)>l,"0)=4,则关于不等式e"(x)>e*+3的表述正确的

为()

A.解集为(0,+8)B.解集为(YO,0)U(3,+CO)

C.在［-2,2］上有解D.在［-2,2］上恒成立

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.「-1］(2彳+35的展开式中，常数项为___.

VX)x

14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1TB=1O24GB)级别跃升到

PB0PB=1O24TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，

2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到1.125ZB.若从2008年起，全球产生的数据量产与年份

，的关系为其中耳,a均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.

15.己知函数/(x)=lnx,g(x)=—,写出斜率大于:且与函数y=/(x),y=g(x)的图象均相切的直线/

的方程：.

16.已知空间四边形ABCD的各边长及对角线3D的长度均为6,平面AB£>_L平面CBD,点M在AC上，

且A〃=2MC,过点M作四边形ABC。外接球的截面，则截面面积的最小值为.

四'解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程及验算步骤。

17.在.ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知M为BC边的中点，AM=.

2

(1)求角C的大小；

⑵若一ABC的面积为46，求ABC周长的最小值.

18.已知等差数列｛%｝满足/+%=4,且％,%，%成等比数歹!J.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)记(为数列｛%｝前九项的乘积，若％<。，求(的最大值.

19.目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分

笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资

格考试的笔试，笔试成绩t~N(60,l()2),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.

(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人，求这6人中至少有一人进入面试的概率；

(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为设这3名学生中通过面试的人

数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:若X~4),则p(〃一VXV〃+b)=0.6827,—2crVXV〃+2cr)=0.9545,

P(〃一3cr<X<〃+3cr)=0.9973,0.841356«0.3547,0.977256»0.8710.

20.如图，在四棱锥P—ABGD中，丛_1_平面438,40〃3(7,4。_1。,且&£)=。£)=2点,水：=4夜，B4=4.

⑴求证；AB±PC,

⑵在线段尸。上是否存在一点M,使得二面角M-AC-O的大小为45。，如果存在，求2M与平面MAC所

成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.

21.已知双曲线C与双曲线5-[=1有相同的渐近线，且过点4（20,-1）.

（1）求双曲线C的标准方程；

⑵己知点D（2,0）,E,尸是双曲线C上异于。的两个不同点，S.\DE+DF\=\DE-DF\,证明：直线所过定

点，并求出定点坐标.

22.已知〃>0且awl,函数/(%)=loga%+；ax2.

（1）若。=«,求函数/（X）在％=1处的切线方程;

(2)若函数/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

【赢在高考・黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考专用）

黄金卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.全集U=R,集合AM{2,3,5,7,9},B={4,5,6,8},则阴影部分表示的集合是（）

A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}

【答案】C

【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.

【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为B,而全集U=R,集合A={2,3,5,7,9},3={4,5,6,8},

所以（6A）cB={4,6,8}.

故选：C

2.已知复数z=¥二竺（aeR）,若z为纯虚数，则。的值为

1-1

1

A.-1B.——CD.1

2-I

【答案】D

【分析】由复数除法运算化简复数这代数形式，然后根据复数的定义求解.

工十1+ai1—a1+Q.

【详解】由于z=-------=------+------1,

1-i22

•••z为纯虚数,多工0,解得a=L

故选：D.

3.若非零向量°涉满足（a-4b），。，则°与匕的夹角是

n

A.—

6-7

【答案】B

【分析】根据向量垂直关系的表示及向量的夹角公式即可求解.

【详解】解:(。—46)_La,

—4b),Q=0,即得〃=4a•b，

(b-a)±b,

(b—a)-b=0,即

a-ba-b111

cos<a,b>=rr-1―//-3，又<。，人>£[°，乃],

I。IbI•bja•b2

兀

「.<a,b7>=一,

3

故选：B.

4.儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用.如图，在某节手工课上，小明

将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于圆

锥底部，制作成一个冰淇淋模型.已知彩球的表面积为骁疝!!？，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上

点的最远距离）为（）

A.26cmB.^2+2^)cmC.6cmD.4\/3cm

【答案】B

【分析】先求圆锥的高和球的半径，再用勾股定理求彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离，最后根据题

意得到答案.

【详解】设圆锥的地面半径为"，贝！］2〃=2兀，解得/•=1，所以圆锥的高力=WF=V§.

设彩球的半径为R,则4成°=16兀，解得R=2.

由勾股定理可得彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离为后丁F=也,

所以该冰淇淋模型的高为2+6+6=2+26.

故选:B.

5.“04尤<1"是“2'+±<*”的（）

2,2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】构造f。），求出单调性，求出2，+（<|中X范围，再判断即可.

【详解】设"2。贝！J

/（r）=r+y,re[l,2）,

广⑺=i-

当re[l,+s）时为增函数，r«o,l）时为减函数，

当问1,2）,时，所以"%n=〃l）=2"⑺2<〃2）三

所以0Wx<l时，

2,2

又因为/⑵=，5=3,故g<r<2,解得

所以“0W尤<1"是“2'+《<9”的充分不必要条件，

故选：A

6.数列｛见｝的前"项和为S,，q=g,若该数列满足%+2S“S,T=0（〃N2）,则下列命题中错误的是（）

A.是等差数列B.

2n

C-%=一况曷D.｛%｝是等比数列

【答案】C

【分析】利用a„=S“-S,i可化简已知等式证得A正确；利用等差数列通项公式可整理得到B正确；由。“与

S“关系可求得C错误；由与,=击，结合等比数列定义可知D正确.

【详解】对于A,当此2时，由%+2S£­=0得:Sn-5„_1+2SnS„-1=0,

八

---1-------1---1-C2=0即-1-----1-=2又一1=1—=c2

^n-1dn-l‘1a\

数列是以2为首项，2为公差的等差数列，A正确;

对于B,由A知：?=2+2(几-1)=2九，「.SLI，B正确;

3〃2〃

11_(n-l)-n]

对于C,当〃22时，an=Sn~Sn-l

2n2(n—1)2〃(〃-1)2〃(〃一1)

112

经检验：q=,不满足。〃=-2〃(〃-1)',，"〃=<]9C错误;

对于D,由B得：S2„=-―^,S2„+1=—S2„,又邑="

，｛邑』是以;为首项，g为公比的等比数列，D正确.

故选：C.

22

7.椭圆C：A+2=l(“>b>0)上有两点A、B,4、尸?分别为椭圆C的左、右焦点，43月是以F2为中

ab

心的正三角形，则椭圆离心率为()

A.B.V2-1C.D.73-1

22

【答案】C

【分析】根据题意，由条件表示出|时|的长，结合椭圆的定义，再由离心率的计算公式，即可得到结果.

【详解】

设A3边与x轴交于点。，且A8£是以F?为中心的正三角形,

则AB_LG。，且B为A期的重心，

由重心定理可得，|转|=寓司=2°,则寓£>|=3c,

在Rt中，ZAFlD=30°,则cos3()o=*^,

lAF>l

所以|A周=2gc,由椭圆的定义可得，

1“片|+|"国=2〃，BP2A/3C+2c=2af

化简可得(若+l)c=0,贝醍=5=£~7=牛^

故选：C

8.定义在R上的函数〃x)满足：①〃x)+/(2-x)=0,②/(2x-l)是奇函数，则下列结论可能不正确的

是()

A./(x)是偶函数B.〃x)=〃x+4)

C."3)=0D.(x-l)〃x)关于x=l对称

【答案】A

【分析】利用已知条件分析函数的对称性和周期性，再验证各个选项的结论.

【详解】定义在R上的函数〃x),满足〃尤)+〃2r)=0,</(2-x)=-/(%),函数图像上的点(x,〃x))

关于点(1,0)的对称点为即(2-%〃2-力)，所以函数图像上的点关于点(1,0)的对称点也在

函数图像上，即函数图像关于点。,0)对称；

〃2x—1)是奇函数，</(-2X-1)=-/(2X-1),函数图像上的点(2x-l,/(2x—l))关于点(-1,0)的对称点为

(-2万1,-/(2%-1)),即(-2尤-1)(-2工-1)),所以函数图像上的点关于点(-1,0)的对称点也在函数图像上，

即函数图像关于点(一1,0)对称，点(x"(x))关于点(TO)的对称点(一2-%-/(尤))，所以/(一2-力=一/(尤)；

：.f[-2-x)=f(2-x),令-2-x=t,则2-x=t+4,所以/(。=/。+4),得函数周期为4,B选项正确；

由f(x)+/(2-力=0,当x=3时,有〃3)+〃-1)=0,又函数周期为4,有〃3)=〃-1),所以

/(3)=f(-l)=0,C选项正确；

令g(x)=(x—1)/(尤),g(2-x)=(2-x-l)/(2-x)=(l-x)[-f(x)]=(x-l)f(x)=gW,所以g(x)的图像关

于x=l对称，D选项正确

函数/(x)=sin7tr,满足题目中的条件，但/(x)=sin也不是偶函数，A选项错误.

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆G:(x—1)一+尸=1和圆G：Y+V-4x-4y+4=。，贝!]()

A.圆半径为4

B.y轴为圆G与c2的公切线

C.圆G与C2公共弦所在的直线方程为x+2y_l=。

D.圆G与Cz上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1

【答案】BD

【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径

即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合

图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.

对于A项，由圆C2：f+y2-4x-4y+4=0配方得：(x-2)2+(y-2)2=4,

知圆C2的半径为2,故选项A错误;

对于B项，因圆心GQ，。)到y轴的距离为1，等于圆G的半径，故圆G与y轴相切,

同理圆心c?(2,2)到y轴的距离等于圆c2的半径，圆C?与y轴相切，故y轴为圆

与G的公切线，故选项B正确；

对于C项，只需要将+/=1^X2+/-4.X-4J+4=0左右分别相减，

即得圆G与C2的公共弦所在的直线方程为：x+2y-2=0,故选项C错误；

对于D项，如图，因直线2x-y-2=0同时经过两圆的圆心，依题意可作两条

与该直线平行且距离为1的直线4与4,其中4与4和圆G都相切，各有一个公共点，

乙与4和圆C?都相交，各有两个交点，故圆C1与C?上共有6个点到直线2x-y-2=0

的距离为1,故选项D正确.

故选：BD.

10.已知由样本数据（x,,%）（i=l,2,3,,10）组成的一个样本，得到经验回归方程为>2X-0.4,且元=2,去

除两个样本点（-2,1）和（2,-1）后，得到新的经验回归方程为y=3x+b.在余下的8个样本数据和新的经验

回归方程中（）.

A.相关变量x,y具有正相关关系

B.新的经验回归方程为9=3X-3

C.随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小

D.样本（4,8.9）的残差为-0.1

【答案】ABD

【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC,再由残差的概念判断D.

101

【详解】2>=2。，x新平均数5x20=2.5,y=2x2-0.4=3.6.

i=l8

y新平均数：xl0x3.6=4.5,，4.5=3x2.5+九Ab=-3.

o

新的线性回归方程P=3X+A,x,y具有正相关关系，A对.

新的线性回归方程：y=3x-3,B对.

由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；

x=4,y=9,8.9-9=-0.1,D对.

故选：ABD.

11.设抛物线C：丁=8尤的焦点为忆准线为/,点M为C上一动点，E（3,l）为定点，则下列结论正确的是

()

A.准线/的方程是x=-2B.|腔|-|板I的最大值为2

C.IMEI+IM/I的最小值为7D.以线段M尸为直径的圆与y轴相切

【答案】AD

【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得IMEITM用的最大值，结合抛物线的定义

求得|+1MF|的最小值以及判断出以线段板为直径的圆与j轴相切.

【详解】由题意得P=4,则焦点打2,0）,准线/的方程是x=-5=-2,故A正确；

\ME\-\MF\^EF\="（3-2）2+（1-0）2=&,

当点M在线段灰的延长线上时等号成立，.•.|腔|-|4"|的最大值为0,故B错误；

如图所示，过点M,E分别作准线/的垂线，垂足分别为A,B,

贝力ME|+|MF|=|ME|+|MA闫£B|=5,当点M在线段班上时等号成立，

.•.|ME|+|MF|的最小值为5,故C不正确；

设点”（x。,几），线段M尸的中点为，则尤。=手=子，

二以线段M尸为直径的圆与y轴相切，D正确.

故选：AD

12.定义在R上的函数满足：/（x）+r（x）＞l,/（0）=4,则关于不等式e"（x）＞/+3的表述正确的

为（）

A.解集为（0,+e）B.解集为（F,0）U（3,y）

C.在［-2,2］上有解D.在［—2,2］上恒成立

【答案】AC

【解析】构造函数g(无)=e，"(尤)-1],求导后可推出g(x)在R上单调递增，由〃0)=4,可得g(0)=3,

原不等式等价于g(x)>g(。)，从而可得不等式的解集，结合选项即可得结论.

【详解】令g(x)=e[〃尤)一1],xeR,贝(Jg<x)=e[〃尤)一1+/(无)],

V/(x)+/，(x)>l,

.♦.g'(x)>o恒成立，即g(x)在R上单调递增.

不等式e"(x)>d+3可化为e'"(x)-1]>3,等价于g(力>g⑼，

尤>0,即不等式式e"⑺>/+3的解集为(0,+力)，

则在[-2,2]上有解，故选项AC正确.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学

生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

第口卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(彳-工](2尤+1)5的展开式中，常数项为

\X)X

【答案】-40

【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由二项式展开式的通项公式可得[2x+[j的展开式的通项公式可知通项公式为:

“CH=353,，

由于(X_：J(2X+})5=X12X+L)--X^2X+-^|,

令5-2r=1可得r=2,令5-2r=-l可得r=3,

据此可得其常数项为：c；X25-3-C2X2«=-40.

14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1TB=1O24GB)级别跃升到

PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，

2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到L125ZB.若从2008年起，全球产生的数据量产与年份

l2m

t的关系为P=Poa-,其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.

【答案】L5

【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解.

【详解】由题意，1.125=O.5«2010-2008,所以a=1.5,所以尸HSLS”?008,

所以2022年全球产生的数据量为0.5J.5%则2023年全球产生的数据量0.515卜，

所以2023年全球产生的数据量是2022年的空空=1.5倍.

0.5.1.514

故答案为：1.5

15.已知函数/(x)=lnx,g(x)=］，写出斜率大于g且与函数y=/(x),y=g(x)的图象均相切的直线/

的方程：.

【答案】y=x-i

【分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.

【详解】•••/(x)=lnx,g(x)=J

f(x)=Lg\x)=^-x,

x2

设相切的直线/与函数y=〃x),y=g(x)的图象的切点分别为(&ln玉)，［，田，

111

且一f2>~,

xx22

In犬_或

/.1_1_14,且。<玉

须2x1-x2

解得芯=1,%2=2,

・•・两切点分别为(1,0),(2,1)

・•・与函数y=/(x),y=g("的图象均相切的直线/的方程为：y=%-i.

故答案为：y=x-i.

16.已知空间四边形ABC。的各边长及对角线5。的长度均为6,平面平面CBZ),点M在AC上，

且AM=2MC,过点M作四边形ABC。外接球的截面，则截面面积的最小值为.

【答案】12兀

【分析】先由面面垂直的性质得到平面CBD,求得A£、CE、OH、AH,从而求得外接球的半径,

再由平行线分线段成比例的推论证得H,O,M三点共线，从而求得。加，从而求得截面面积的最小值.

【详解】由题意知△ABD和△3CD为等边三角形，取8£＞中点为瓦连接

贝！jAE1BD,

由平面AB£)_L平面CBD,平面ABDc平面CBD=BD,AEu平面ABD

故平面C2。，AE=ylAD2-DE2=A/62-32=3A/3»则易知CE=AE=3/，

易知球心。在平面BCD的投影为△BCD的外心。|,

在AE上作OHLAE于H,易得OH/0E,OOJ/HE,

则在中，OH=®AH=24,

所以外接球半径r=ylOH2+AH2=y/15，连接OM^

因为AH=2HEQHI/CE,AM=2MC,

所以三点共线，所以OM=MH-OH=*CE—OH=®

当M为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，=《小卜(呵=26,截面面积为

兀(2指『=12无.

故答案为：12兀.

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程及验算步骤。

17.在.ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知M为8c边的中点，AM-CB=^^-

⑴求角C的大小；

（2）若ABC的面积为4百，求ASC周长的最小值.

【答案】（l）C=g

⑵12

【分析】（D由平面向量的线性运算可得40.酸=:卜2-62）,由题意可得力+"—02=M，结合余弦定

理计算即可求解；

（2）根据三角形的面积公式可得必=16,由（1）,结合基本不等式计算即可求解.

【详解】（1）因为AM=g（A3+AC）,CB=AB-AC,

所以府。=；,3-：卜

由=丝/，得：卜2一户）=丝科，

整理，得〃+/_c2=a6,由余弦定理，得cosC=巴上=J=L

lab2

又C«O,71）,故C=g.

（2）由ABC的面积为得;〃bsinC=4若，即必=16.

由（1）得C?

所以a+Z?+c=a+Z?+J/+廿-">2\[ab+\j2ab-ab=12-

所以当且仅当a=b=c=4时，等号成立，

此时ABC的周长最小，且最小值为12.

18.已知等差数列｛%｝满足4+%=4,且％%，生成等比数例h

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵记1为数列｛4｝前〃项的乘积，若4<。，求（的最大值.

【答案】⑴4=2或%=2〃-11

⑵945

【分析】（1）利用4+%=4,和%4，生成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差，

从而求解.

（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.

【详解】（1）设｛叫的公差为（由4+%=4,得：2q+lld=4；

由4,火,生成等比数列，得：~，即：（4+3d）2=q（4+4d）,整理得：d（2q+9d）=0.

（2%+lld=41q=2f〃i=—9

由/工。亦—2解得：L八或二。•

+9d）=0[d=0[d=2

所以：｛«„｝的通项公式为%=2或凡=2”11.

（2）因为“<0,所以：an=2n-H,

得：当〃W5时，。〃<。；当〃26时，

从而z〈0,〈〉。工〈。,笃）。工<。1<0伍25）,

又因为：心=。1。2=63,7；=4。2%。4=945,所以：7；的最大值为心=945.

故（的最大值为945.

19.目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分

笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资

格考试的笔试，笔试成绩J~N（60/。2），只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.

（1）从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人，求这6人中至少有一人进入面试的概率；

（2）现有甲、乙、丙3名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为设这3名学生中通过面试的人

数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:若X~N（〃,〃）,则P（〃-bWXV必+b）~0.6827，尸（〃一2。<X4，+2b）〜0.9545,

P（//-3CT<X</z+3CT）®0.9973,0.84135®«0.3547,0.977256®0.8710.

【答案】（1）0.6453

（2）随机变量X的分布列见解析；期望为二23

【分析】（1）由正态分布的对称性有470）=匕如尹求各学生能进入面试的概率，再由独立事

件的乘法公式及对立事件的概率求法，求6人中至少有一人进入面试的概率.

（2）求出X的可能取值为。,1,2,3的概率，写出分布列，由分布列求期望即可.

【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:〃=60。=10,

所以尸（JV70）=“1+。,27=084135,

贝［|P（A）=l-0.841356比1—0.3547=0.6453,

即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.

（2）X的可能取值为0J23,

P(x=o)="£1

224

P(X=l)31x"121211

X—=—

4242、4324

13I)12111

P(X=2)=：xM1」+，1x—=

31242432245

21J_

*X=3)=：x—x—=

324

则随机变量X的分布列为:

X0123

尸(X)

1j_11j_

244244

,E(X)=0x—+lxl+2x—+3xl=—

v724424412

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面筋。。,短）〃5。,4）_1。。,且40=8=20,5。=4&，PA=4.

(1)求证；AB1PC,

(2)在线段PD上是否存在一点使得二面角AC-。的大小为45。，如果存在，求与平面MAC所

成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，；

【分析】(1)先证明出AS1AC,利用己4_L平面ABCD得到即可证明平面PAC,可以得

到ABLPC；

(2)假设存在点M符合题意.以A为原点，以过A平行于8的直线为x轴，AQAP所在直线分别为y

轴、z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,用向量法求解.

【详解】⑴,:AD=CD=2应,BC=40,AB=AC=4,AB2+AC2=BC2,AB±AC

PA_L平面ABCD,：.ABLPA.

,：PAu面PAC,ACu面PAC,且PAAC=A,

：.ABI平面PAC,

:.AB±PC.

(2)取BC的中点E,连接AE,则AE_LBC,

建立如图所示的空间直角坐标系，

A(0,0,0),C(2A/2,2A/2,0),。(0,2夜,0),P(0,0,4),

B(2>/2,-2A/2,0),PD=(0,2&,T),AC=(2A/2,272,0),

设两=tPO(0<t<1).

则点M为(0,2万,4-4r),

所以AM=(0,2",4-旬，

设平面M4C的法向量是〃=@y,z),

AC-n-lyflx+20y=0

AM-n=2^f2ty+(4-4/)z=0

令x=l,/(I,—%2；),(易知t=l不合题意)

又m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，

।"।

|cos<m,n)|="川=2-2t==cos45°=—,

lwllwl2

解得t=I(t=2舍去)则M(0,半,1).

此时平面舷4c的一个法向量可取"=(1,-L&),=(_2后，当Ng

设与平面MAC所成的角为61,

sin0=|cos〈〃,BM)|=------------=—

\n\-\BM\2

21.已知双曲线C与双曲线舌-弓=1有相同的渐近线，且过点A（2夜,-1）.

⑴求双曲线C的标准方程；

（2）已知点。（2,0）,E,歹是双曲线C上异于。的两个不同点，S.\DE+DF\=\DE-DF\,证明：直线E尸过定

点，并求出定点坐标.

【答案】（l）f一/=1

4

⑵证明见解析，定点

【分析】（1）由双曲线渐近线方程和A点坐标求解即可;

（2）由9片+。尸|=|。片-。尸|可得。£。尸=0,^EF-.y^kx+m（斜率存在），与双曲线方程联立，利用

韦达定理求出九%的关系即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.

【详解】（D因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，

设双曲线C的标准方程为V-4y2=%,

代入点A（20,T）坐标，得（2应了_4X（_1）2=2,解得4=4,

所以双曲线C的标准方程为工-丁=1

4'

（2）当直线班斜率存在时，设跖4=辰+根，

设/下,％）*/,%），联立，=辰+帆与双曲线?=1,

化简得（4左2-I）%？+8^7n+4（加2+1）=0,

A=（8M2-4（W+4）（4左2-1）>0,即4公一病一1<0,

8km

又M%=（女+帆）（仇+帆）=左2玉龙2+.（西+/）+加2,

0^J|DE+£）F|=|D£-£）F|,所以£）石£）尸=（须一2）（%2—2）+%%=。

2

所以（左之+1）•再/+（km-2）-^xx+x2）+m+4=0,

所以（左2+1）.^^+（加一2）.”+川+4=0，

化简得3加2+16km+20k2=0，

即（3根+10口（加+2左）=0,

所以叫=-2k,,

且均满足4左2_病-1<0,

当叫=-2上时，直线/的方程为丫=左(龙一2),直线过定点(2,0),与已知矛盾,

当牡=-1左时，直线/的方程为了=(尤-gj,过定点c

(ii)当直线E尸斜率不存在时，由对称性不妨设直线。£：丁=%-2,

与双曲线C方程联立解得.％=%=；,此时E/也过点用(与8}.

综上，直线石尸过定点加［?，。］

22.已知a>0且awl,函数/1(均=卜8^彳+:依2.

(1)若a=6,求函数/⑺在尤=1处的切线方程；

(2)若函数Ax)有两个零点，求实数a的取值范围.

【答案】(l)y=(l+e)x-

⑵Q£[0,一)D

【分析】(1)由"=e时，得到"x)=lnx+geY,求导，进而得到写出切线方程；

(2)将函数“X)有两个零点，转化为函数y=竽与>=-；。1强的图象在%«0,+0))上有两个交点求解.

【详解】⑴解：当a=e时，/(x)=lnx+|ex2,则-⑺=J+ex,

故/")=；+e=l+e,

x=l时，/(l)=lnl+ge=；e,故切点为

所以在x=l处的切线方程为y-?=(l+e)(x_l),

即y=(1+e)

2

(2)函数/(元)有两个零点,

o方程log。尤+：依2=0在xe(0,+oo)上有两个根，

o方程T^=-galna在xe(0,+co)上有两个根，

O函数y=号与y=-；alna的图象在xe(0,+«5)上有两个交点,

设g(x)=(，贝!18'(力=匕券，

g'(x)=-―x>0时,Q<x<册;=---j—<0B^,x>7

所以g(x)=竽在(0,五)上单调递增，在(G,+8)上单调递减,

当尤―+8时,g(x)f0,作图如下:

设/z(x)=xlnx(x>0),贝!)"(九)=l+lnx,

"(x)=l+lnx>0时，x>-,"(x)=l+lnxv0时，0<x<i；

所以Mx)=xlnx在［o,：j上单调递减，在15上单调递增,

因为0v尤vl时lnx<0,且妆1)=0,

所以当OVJTVI时，--</z(x)<0•当x〉l时，/?(%)>0,

e

又因为〃Om=〃。=+,

所以一<xlnx<0的解集为U。］」］

综上所述

【赢在高考・黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考专用）

黄金卷•参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

9101112

BDABDADAC

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,-4014.1.515.y=x-l16.12兀.

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程及验算步骤。

17.（10分）【详解】（1）因为AM=:（42+AC）,CB=AB-AC

所以=-4。）=：卜2一62）

由3.3^1,得=

整理，得"+62一°2=而，由余弦定理，得cos—+”-

2ab2

又C«O,71）,故c=].

(2)由ABC的面积为4百，得;〃bsinC=4G,BPab=16.

由（1）得=.2+/一而，

所以a+b+c=〃+/?+A/片+廿—ab>2y［ab-^-yl2ab-ab=12-

所以当且仅当a=b=c=4时，等号成立，

此时.ABC的周长最小，且最小值为12.

18.（12分）【详解】（1）设｛〃〃｝的公差为d,由4+%=4,得：2q