初中数学动点问题例题集

动点问题专题训练

1、如图，已知△原€：中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.

(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q

在线段CA上由C点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后，

△BPD与aCQP是否全等，请说明理由；人

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的J\

运动速度为多少时，能够使ABPD与acQp全等？1y

xPC

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来

的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P

与点Q第一次在的哪条边上相遇？

解：⑴①,1=1秒,

BP=CQ=3xl=3厘米，

•.・AB=10厘米，点D为AB的中点，

BD=5厘米.

又；厘米，

PC=8—3=5厘米PC=BC—BP,BC=8,

PC=BD.

又；AB=AC,

ZB=ZC,

ABPD^ACQP.......................................................(4分)

(2)vvwv,/.BPwCQ,

PQ

又.•△BPDgZkCQP,ZB=ZC,贝IJBP=PC=4,CQ=BD=5,

BP4

二.点P,点Q运动的时间t==?秒，

CQ515,,

.,.v二丁二才二丁厘米/秒.............................(7分)

Qt44

3

(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得gx=3x+2xl0,

4

80,

解得x=3秒.

80

•・•点P共运动了§x3=80厘米.

•.-80=2x28+24,

•・•点P、点Q在AB边上相遇，

80

.•・经过了秒点P与点Q第一次在边AB上相遇...................(12分)

2、直线y=--x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从。点出发,

4

同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，

点P沿路线O—B—>A运动.

(1)直接写出A、B两点的坐标；

(2)设点Q的运动时间为t秒，aop、的面积为S,求出S与t之间的函数关系

式;

(3)当S=£时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四

边形的第四个顶点M的坐标.

解(1)A(8,0)B(0,6)............1分

(2)OA=8,OB=6

A%10

8

•-•点Q由。到A的时间是j=8(秒)

，点P的速度是"吧=2(单位/秒)T分

o

当P在线段OB上运动(或oWt<3)时，OQ=t,OP=2t

S=t2...............................................................................................................................................................................................................1分

当P在线段BA上运动（或3<tS8）时，OQ=t,AP=6+10—2t=16-2t,

PDAP48-6t

如图，作PD_LOA于点D,由=得PD=—^1分

BOAB5

1324

..S=lOQxPD=-_t2+_t.....................................................................1分

255

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分.）

„f824、

⑶于M1分

7

282412241224

---9----,M—，—―3分

T'T，叫5555

3如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A

B两点，点P（0,k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半

径作。P.

（1）连结PA若PA=PB,试判断OP与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以。P与直线1的两个交点和圆心P为顶点的三角形

是正三角形？

解：（1）OP与x轴相切.

；直线丫=一2乂-8与乂轴交于人（4,0）,

与y轴交于B（o,-8）,

OA=4,OB=8.

由题意，OP=-k,

PB=PA=84.

在RtZkAOP中，k?+*=（8+k）2,

.•.k=-3,「.OP等于。P的半径,

...OP与x轴相切.

（2）设。P与直线1交于CD两点，连结PCPD当圆心P

在线段ORk时，作PELCHFE

13

•.△PCD为正三角形，.•.DE=2CD=2,PD=3,

22

..PE=30.

2

ZAOB=ZPEB=90°,ZABO=ZPBE,

•.△AOB^APEB,

3小

型="，即吃=二,

ABPB4"PB

PB=3",

2

PO=BO-PB=8-305

2

P(0,3^-8),

k=3电8.

2

当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P（0,-3、；一8）,

..k=一-8,

2

当k=3底-8或k=-3f-8时,以0P与直线1的两个交点和圆心P为顶点的三

2

角形是正三角形.

4（09哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO

是菱形，点A的坐标为（-3,4）,

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM,如图2,动点P从点A出发，沿折线AB5向以2个单位/

秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（芹0）,点P的运动时间为t

秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）;

（3）在（2）的条件下，当t为何值时,NMPB与NBCO互为余角，并求此

时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.

解:

28.(1)过点A作AElx轴垂足为E(如图I)

■,-A(-3,4).\AE=4OE=3.-.OA=VAE,+OE,=5

•.•四边形ABCO为菱形.*.0C=CB=BA=0A=5.£(5.0)....................................1分

设直线AC的解析式为:y=kx+b窗上。

l-3k+b=4

直线AC的解析式为:尸亭+右........

⑵由⑴得M点坐标为（0合）AOM=|-

如图1,当P点在AB边上运动时

由题意得0H=4

.­S=4-BP-MH=i-（5-2t）-i

222

.5=亭+*（0W啥）..............2分

当P点在BC边上运动时,记为B

VZ.OCM=4BCMCO=CBCM=CM

.-.△OMC^ABMC.\OM=BM=1-Z.MOC=Z.MBC=9O°

.S=}PBBM=:(2T)•多•，S=|-,-V(y<t<5)................................................2分

(3)设OP与AC相交于点Q连接0B交AC于点Kv£AOC=£ABC.ZAOM:乙ABM

•.•£MPB+rBCO=90°ZBAO=Z.BCOZ.BAO+ZAOH=90°

・・ZMPB二乙AOH・.Z.MPB二乙MBH

当P点在AB边上运动时，如图2

vZ.MPB=Z.MBH.\PM=BMvMHIPB

\PH=HB=2/.PA=AH-PH=1•'t=y……1分

•.AB#OC.・・2PAQ:乙OCQ

・"AQP=Z_CQO.-.△AQP-'ACQO

嗡啮J5!

在RtAAEC中AC=VAEJ+EC2=V45+8r=^V5~

...AQ呼QC=J0VL

在RtAOHB中OBxVHB^HO1=2\ZT

•.AClOBOK=KBAK=CK图2

..OK=VTAK=KC=2VT.-.QK=AK-AQ=^--..tanZ.OQC=^-=1-l分

当P点在BC边上运动时，如图3・・・Z.BHM=zCPBM=900乙MPB二乙MBH

5.1

.,.tan£MPB=tanZ.MBH•.耨"二器"蚩=^一

..BP=四..t=g・・・1分

36

.'.PC=BC-BP=5-^-=y

由PC〃OA同理可证△PQCs^OQA•.•器=需

4-C昌AC=VT.-.QK=KC-CQ=Vr

344

•.•OK=VT.•.tanZ.OQK=1分

图3,

综上所述,当弓时/MPB与,BC°互为余角,巨线°P与直线AC所夹锐角的正切值为去

当t=g时,4MPB与4BCO互为余角，直线0P与直线AC所夹锐角的正切值为1

6

5在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.点

P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀

速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点

Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀

速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,

图16

且交PQT点D,交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B

时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).

(1)当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；

(2)在点P从C向A运动的过程中,求ZkAPQ的面积S与

t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED^否成

为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；

(4)当D略过点C时，请直接写出t的值.

解：(1)1,

(2)作QF_LAC于点F,如图3,AQ=CRt,AP=3-t.

由△AQFS/XABC,BC=，52-3Z=4,

但QF_t-_4.

rrj-----=-•••QF=-t•

455

14

・•・S=-(3-t)t,

25

BPs=--t2+-t.

55

(3)能.

①当DE〃QB时，如图4.

•.DE±PQ,.-.PQ±QB,四边形QBED是直角梯形.

此时NAQP=90。.

图4

由△APQs^ABC,得理=竺，

ACAB

即工=好.解得t="

358

②如图5,当PQ〃BQ寸，DE±BC,四边形QBED是直角梯形.

此时NAPQ=90°.

由△AQPs/\ABC,得^2=—,

ABAC

即工=匕！.解得t=竺.

538

(4)t=-=—.

214

①点P由C向A运动，DE经过点C.

连接QC,作QGLBC于点G,如图6.

34

PC=t,QC1=QG2+CG2=|-(5-t)|2+|4--(5-t)|2.

图6

由PC2=QC2,f#t2=||(5-t)]2+|4--(5-t)]2,解得t=5

图7

②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.

(6-t)2=||(5-t)]z+|4-^(5-t)12,t=竺]

5514

6如图，在RtAABC中，ZACB=90°,NB=60。，

BC=2.点。是AC的中点，过点O的直线【从与AC重合

的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D.过

点C作CE〃AB交直线I于点E,设直线1的旋转角为

a.

(1)①当a=度时，四边形EDBC是等腰梯形,

此时AD的长为

②当a=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长

为________

(2)当a=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.

解(1)①30,1；②60,1.5；.................................4分

(2)当Na=90"时，四边形EDBC是菱形.

---Za=ZACB=90",.,.BC//ED.

■.CE7AB二四边形EDBC是平行四边形................6分

在RtZ\ABC中，ZACB=9O0,ZB=60%BG=2,

NA=30。.

AB=4,AC=21.

.•.AO=!AC=6.................................8分

2

在RtaAOD中，NA=30。，，AD=2.

.-.BD=2.

.,.BD=BC

又..•四边形EDBC是平行四边形,

，四边形EDBC是菱形..............................10分

7如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,DC=5,AB=4«NB=45。.动

点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速

度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以

每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时

间为t秒.

(1)求BC的长.

(2)当MN〃AB时，求t的值.

(3)试探究：t为何值时，aMNC为等腰三角形.

解：(1)如图①，过A、D分别作AKJ.BC于K,DH_LBC于H,则四边形ADHK

悬巨形

/.KH=AD=3.....................................................................................................1分

在RtZ\ABK中，AK=ABsin45°=45/2.=4

2

BK=ABcos45o=40?=4

2分

在RtACDH中，由勾股定理得，HC=752-42=3

(2)如图②，过D作DG〃AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形

•.­MN〃AB

:.MN/7DG

..BG=AD=3

GC—10—3=7................................................................................................4分

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t,CM=10-2t.

•.DG〃MN

ZNMC=ZDGC

又NC=NC

AMNC^AGDC

CNCM

CD-CG.............................................................................5分

t10-2t

SP5=-

50

角翠得，t=.............................................................................6分

(3)分三种情况讨论：

①当NC=MC时，如图③，即t=10-2t

10

②当MN=NC时，如图④，过N作NELMC于E

解法一：

由等腰三角形三线合一性质得EC=|MC=l(10-2t)=5-t

EC5-t

在RtZ\CEN中，cosc

CH3

又在RtZkDHC中,COSC=-------=一

CD5

5-t3

••——

t5

25

解得1=年........................8分

o

解法二：

•.NC=NC,NDHC=/NEC=90。

.-.△NEC^ADHC

NC_EC

DC-HC

t5-t

BP5=—

25

,t=.....................................................8分

8

③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF_LCN于F点.FC=lNC=lt

22

解法一：(方法同②中解法一)

「FC}3

cosC==--——=—

MC10-2t5

60

解得t=F

解法二：

•••NC=NC,ZMFC=ZDHC=90°

.-.△MFC^ADHC（图⑤）

FCMC

HC-DC

42k10-2t

60

•.t=——

17

1025号时，ZiMNC为等腰三角形

综上所述，当1=〒、t=《"•或t=9分

3o

8如图1,在等腰梯形ABCD中，AD/7BC,E是AB的中点，过点E作EF〃BC

交CD于点F.AB=4,BC=6,ZB=60°.

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMLEF交BC于点M,过M作

MN〃AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.

①当点N在线段AD上时（如图2）,4PMN的形状是否发生改变？若不变，求

出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使aPMN为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

解（1）如图1,过点E作EGLBC于点G.1分

・•.E为AB的中点，

BE/AB=2.

2

在RtaEBG中，ZB=60°,.-.ZBEG=30°.2分

BG=1BE=1,EG=也一12=/

2

即点E到BC的距离为JI..............................3分

(2)①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变.

PM1EF,EG1EF,二PM//EG.

•.­EF//BC,EP=GM,PM=EG="

同理MN=AB=4.........................................................

如图2,过点P作PH_LMN于H,「MNaAR

NNMC=NB=60°,NPMH=30°.

PH=1PM=史.

22

3

MH=PM_cos30°=_.

H2

35

则NH=MN-MH=4--=-.

在RtAPNH中,

△PMN的周长=PM+PN+MN=V5+"+4...............................6分

②当点N在线段DC上运动时，APIVIN的形状发生改变，但aMNC恒为等边三角

形.

当PM=PN时，如图3,作PRJ_MN于R,则MR=NR

3

类似①，MR=-.

MN=2MR=3......................................................7分

•.,△皿（3是等边三角形，；.1^=即=3.

当MP=MN时，如图4,这时MC=MN=MP=

此时，x=EP=GM=6—1—/=5—点

当NP=NM时，如图5,ZNPM=ZPMN=30°.

则ZPMN=120°,又ZMNC=60°,

NPNM+NMNC=180。.

因此点p与F重合，^PMC为直角三角形.

MC=PMtan30°=L

此时，x=EP=GM=6—1-1=4.

综上所述，当X=2或4或(5-道)时，△PMN为等腰三角形............10分

9如图①，正方形ABCD中，点4B的坐标分别为(0,10),(8,4),

点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿—

匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时

停止运动，

设运动的时间为t秒.

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t

(秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速

度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿—JD匀速运动时，OP与

PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由.

图①图］

解：(1)Q(1,0)..................................................................................1分

点P运动速度每秒钟1个单位长度..............................2分

(2)过点B作BELy轴于点F,8£1^轴于点£,则BF=8,OF=BE=4.

AF=10-4=6.

在RtZkAF阱，AB=，82+6Z=103分

过点C作CG_Lx轴于点G,与FB的延长线交于点H./\c

,•ZABC=90°,AB=BC.,.△ABF^ABCHAa/

••BH=AF=6,CH=BF=8.M/1

OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12.-------iH

•••所求C点的坐标为(14,12)..................................................4分H\1

(3)过点P作PM_y轴于点M,PN_Lx轴于,2N,O|NQE

则△APMs^ABF

.AP_AMMPtAMMP

''io'

3434

/.AM=-t,PM=-t.PN=OM=10--t,ON=PM=-t.

5555

设aorQ的面积为S(平方单位)

S=ix(10--tXl+t)=5+—t--h(0<t<10)................................................................5分

251010

说明:未注明自变量的取值范围不扣分.

47

■.-a=-±<0.•.当t=--%-=又时，△OPQ的面积最大...................6分

1。2x(-1)6

10

此时P的坐标为(上，包)................................................7分

1510

(4)当t=9或t=竺时，OP与PQ相等..................................9分

313

10数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是

边BC的中点.NAEF=90,且EF交正方形外角NDCG的平行线CF于点F,求

证：AE=EF.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则

AWEC易证4AME之△ECF,所以AE=EF.

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC

上（除B,C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论"AE=EF”仍然成立，

你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，

其他条件不变，结论"AE=EF”仍然成立.你认亨EJ小华的观点正确吗？如果正确,

写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

A\DAr------------D

BECGBECGBCEG

图1图2图3

解：（1）正确.（1分）

证明：在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME.（2分）________D

..BM=BE...ZBME=45°,..ZAME=135°.\

CF是外角平分线，M\/F

ZDCF=45。,J

..ZECF=135°.ECG

,-.ZAME=ZECF.

NAEB+NBAE=90。，ZAEB+ZCEF=90°,

ZBAE=ZCEF.

J.AAME^ABCF（ASA）....................................................................................（5分）

AE=EF...............................................................................................................（6分）

（2）正确......................................（7分）

证明：在BA的延长线上取一点N.

使AN=CE,连接NE...........................................（8分）N

.BN=BE.：、.Q7

..NN=ZPCE=45°./

---四边形ABCD是正方形，Nx//

••.AD〃BE.

..NDAE=NBEA.BCEG

.•.NNAE=/CEF.

.-.△ANE^AECF（ASA）....................................................................................（10分）

..AE=EF..............................................................................................................（11分）

11已知一个直角三角形纸片OAB,其中NAOB=90。，OA=2,OB=4.如图，

将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C,与边

AB交于点D.

（I）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

（II）若折叠后点B落在边OA上的点为B',设OB，=x,OC=y,试写出y关

于x的函数解析式，并确定y的取值范围；fy

O

（Ill）若折叠后点B落在边OA上的点为B',且使B'D〃OB,求此时点C的坐标.

解（I）如图①，折叠后点B与点A重合，

则4ACD之ABCD.

设点C的坐标为（0,m）（m>0）.

则BC=OB-OC=4-m.

于是AC=BC=4—m.

在RtaAOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+O4,

即（4—m）=iw+22,解得m=—.

点c的坐标为（0,2）................................................................................................4分

（II）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B',

则△B'CD^ABCD.

由题设OB'=x,OC=y,

则B'C=BC=OB-OC=4-y,

在RtZ\B'OC中，由勾股定理，得B'C2=OC2+OB'2.

（4-y）2=y2+x2,

1〜

即y=~dX2+2.............................................................................................................6分

o

由点B'在边OA上，有0Wx<2,

解析式y=-dX2+2（owx<2）为所求.

o

.­.一当OWX<2时，y随X的增大而减小，

，y的取值范围为"y<2.......................................................................................7分

(III)如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B〃，且B"D〃OB.

贝I]NOCB〃=NCB"D.

又NCBD=NCB"D,..NOCB"=NCBD,有CB"〃BA.

R3COB"sRtABOA.

有罂嗡得由2阪.............................................9分

在RtZkB”OC中，

设OB"=x(x>0),则OC=2x.

oo

由(II)的结论，得2x=-1x2+2,

。o®

解得X。=-8±4^/5.X。>0,X。=-8+46.

点C的坐标为(0,86-16)....................................................................................10分

类比归纳

/<、士生丁

在图⑴中q,右-M-五CE二,1则m.i而AM的值等于----------；-右M-C有E北1刎m.i丽AM的,,

值等于；若黑=1（n为整数），则黑的值等于.（用含n

--------------CDnBN--------------

的式子表示）

联系拓广

如图（2）,将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C,D

重合）,压平后得到折痕MN,设=

于.（用含m,n的