2023-2024学年广东省广州市高二年级上册期末数学模拟试题(二)(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线x+gy+m=0("?e7?)的倾斜角为

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正确答案】D

【分析】根据直线方程求出斜率，利用倾斜角的正切值为斜率，可得结果.

【详解】设直线x++/=的倾斜角为0,0G[O,n).

直线化为y=--x-—m,斜率k=tan0=-—,

333

.*.0=150°,

故选D.

本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

2.在数列｛4“｝中，若q=2,an+l=2a„,则q=()

A.16B.32C.64D.128

【正确答案】C

【分析】根据题意，｛《｝为等比数列，用基本量求解即可.

【详解】因为。向=24，故｛勺｝是首项为2,公比为2的等比数列，

故4=*=26=64.

故选：C

3.在等差数列｛《,｝中，已知名+4=12,则数列｛%｝的前6项之和为()

A.12B.32C.36D.37

【正确答案】C

【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.

【详解】数列｛《,｝的前6项之和为q+%+%+4+/+&=3(%+%)=36.

故选：C.

4.圆。：/+/+4丫-2，-3=0与圆。:3-3)2+0；+4)2=18的位置关系为()

A.外离B.内切C.相交D.外切

【正确答案】D

【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.

【详解】因为圆。的圆心为C(-2,l),圆。的圆心为。(3,-4),所以两圆的圆心距为

|CD|=7(-2-3)2+(1+4)2=572.因为圆C的半径为2夜，圆。的半径为3行，所以圆心

距等于两圆的半径和，故两圆外切.

故选：D.

5.已知0=(0,1,1),h=(0,1,0),则「在。上的投影向量为()

A.1B.—C.(0,1,0)(0，；，；

【正确答案】C

XX厂

【分析】根据题意得cos《,»=苧，进而根据投影向量的概念求解即可.

【详解】解：因为:二(0,1,1),二(0,1,0),所以|彳=应,0=1,

XX

所以cos(a,b)=

XXX,6

所以:在，上的投影向量为“cos(a,»*=^x，(0,l,0)=p,1,0)

\b\2

故选：C

6.AABC的周长是8,8(-1,0),C(1,0),则顶点A的轨迹方程是()

2222

A.二+匕=1(XH±3)B.J匕=l(x声0)

9898

X2v2x2v2

C.1+、=1(尸0)D.石+亍=l(y#o)

【正确答案】A

由周长得/8+4C=6,从而知/的轨迹是以8,C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨

迹方程.注意范围.

【详解】解：•.•△/8C的两顶点8(-1,0),C(1,0),周长为8,...8C=2,AB+AC=6,

：6>2,.•.点4到两个定点的距离之和等于定值，

.,.点N的轨迹是以8,C为焦点的椭圆，且2n=6,c=l,6=2及，

所以椭圆的标准方程是工+或=1(XH±3).

98

故选：A.

结论点睛：本题考查求轨迹方程，解题方法是定义法，根据恬条件确定轨迹是椭圆，由已知

确定焦距和实轴长，由此易得方程，解题还要注意隐藏条件ABC,因此要去掉直线8c上

的两点.否则出错.

7.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如

下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意

思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共

有灯几盏？''.若改为"求塔的最底层几盏灯？“，则最底层有（）盏.

A.192B.128C.3D.1

【正确答案】A

【分析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解.

【详解】设这个塔顶层有x盏灯，则问题等价于一个首项为x,公比为2的等比数列的前7

项和为381,

所以x（2'T）=38i，解得X=3,

2-1

所以这个塔的最底层有3X2'7=192盏灯.

故选：A.

8.过双曲线C=1（〃>/>>0）的左焦点片作x轴的垂线交曲线C于点P,苣为右焦点,

ab

若N环珍=45。，则双曲线的离心率为（）

A.—B.72-1C.V2D.V2+1

【正确答案】D

【分析】由题知△尸耳与是等腰直角三角形，户耳1=16玛|=2c,又根据通径的结论知

|P用=?,结合从=02-/可列出关于c的二次齐次式，即可求解离心率.

【详解】由题知△尸耳鸟是等腰直角三角形，且/片产名=45。，

•.•I咫|=|用4=加，

序A2

又Q|PfJ=—,—=2c,即/?2=2。。，

b2=c2-a2,c2-a2=2ac,We2-2e-2=0

解得e=2->=1±y/2，

2

Qe>l,/.e=l+V2.

故选：D.

二、多选题

9.若｛£.m构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()

A.b+c<b，b-cB.a>a+b>a-hC.a+b>a-b，cD.a+b>a+b+c>c

【正确答案】ABD

【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.

【详解】对于A,因为6X=；[仅X+X小伍x-X矶,故『+；,b,力二共面；

X|XXXX.八，

对于B,因为a=5[(a+b)+(Q—6“，故Q，a+b,a-6共面；

，、，、，、，、，、，、

对于D,因为c=a+b+c-(a+b),故展"，a+b+c-c共面；

对于C,若;+，；a-b,I共面，则存在实数九〃，使得：，

c=4(a+〃)+〃(a-6)=0++0—〃»,故a,b,c共面，

这与｛/；｝构成空间的一个基底矛盾，

故选：ABD

22

10.已知曲线c的方程为，+工=1(々wR,且％H2,%R6),则下列结论正确的是

k-26-k

()

A.当左二4时，曲线。为圆B.若曲线C为椭圆，且焦距为2亚，则左=5

C.当左<2或左>6时、曲线C为双曲线D.当曲线C为双曲线时，焦距等于4

【正确答案】AC

【分析】写出当上=4时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时上的值，可

判断B；当％<2或%>6时，判断A-2,6-A的正负，即可判断C;当曲线C为双曲线时，确

定人的范围，求得焦距，可判断D.

【详解】当左=4时，方程为］+：=1,即/+丁=2,表示圆，故A正确；

若曲线C为椭圆，且焦距为20，

则当焦点在x轴上，k-2>6-k>0且"2-(6-%)=2,解得左=5；

当焦点在夕轴上，6-k>k-2>0且6-&-(〃-2)=2,解得左=3,

故此时％=5或左=3,故B错误；

当后<2时，k-2<0,6-k>0,曲线达+£=1表示的是焦点位于>轴上的双曲线；

,)2

当%>6时，k-2>0,6-k<0,曲线工+工=1表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故

k-26-k

C正确：

当曲线C为双曲线时，(”2)(6T)<0,即A<2或Q6,

当A<2时，左―2<0,6—左)0,焦距2c=2<8-2k,

当左>6时，左一2>0,6—左<0,焦距2c=212k-8，

故D错误，

故选：AC

11.如图，正方体/8C。-44GA的棱长为1，E,F,G分别为8C,CC,,的中点，

A.直线与直线4尸垂直

B.直线4G与平面NEF平行

9

C.平面XEF截正方体所得的截面面积为三

O

D.点C与点G到平面ZEF的距离相等

【正确答案】BC

【分析】（1）利用空间向量的坐标运算确定直线与直线/尸的位置关系：（2）根据面面平行

来证明线面平行；（3）先根据四点共面确定截面，进而算截面面积；（4）利用等体积法思想证

明求解.

【详解】对于选项A,以。点为坐标原点,

DA,DC,所在的直线分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系,

,4（0,0』）.

从而=（0,0,1）,/1F=I

从而。。Z尸=5*0,所以直线。。与直线4F不垂直，选项A错误;

对于选项B,取5c的中点为〃，连接4",GM,则易知《收〃ZE,

又4A/E平面4EF,4^（::平面工石尸，故4M〃平面

又GMHEF,GA/a平面AEF,E尸u平面Z£F,

所以GM〃平面/EF,

又A[MGM=M,AtM,GMu平面AfiM,

故平面4MG〃平面/所，

又％Gu平面4MG,从而4G〃平面选项B正确;

对于选项C‘连接力"，RF,如图所示,

•••正方体中/乌〃80〃即，，A,E,F,%四点共面,

二四边形AEFD,为平面AEF截正方体所得的截面四边形，且截面四边形/EFQ为梯形,

又由勾股定理可得〃F=/E=曰，g=6,EF考，

梯形AEFD｝为等腰梯形，高为学------―-=拶，

S梯畛wo,=；x&=选项C正确；

1

对于选项D,由于工（6=；xgxl=；,S£cF=gxgxg=

8-

而V/-GEF=§$EFG，AB,^A-ECF~^BCF,,

**•^A-GEF~2%一BCF，即^G-AEF=2人-AEF>

点G到平面ZE尸的距离为点C到平面AEF的距离的2倍，选项D错误.

故选:BC.

12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三

角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第〃层有。〃个球，从上往

下〃层球的总数为S〃，则（）

B.S5=35

11112021

D.一十一+—+T---------------------------

aAa2a3“20221011

【正确答案】ABC

【分析】由题可得%-〃-=〃，利用累加法可得知,由递推公式即可判断A,计算前5项

的和可判断B,由%=S“-S一即可判断C,利用裂项相消求和法可判断D.

【详解】因为6=1,

a2-a}=29

a3-a2=3,

­二〃，

以上〃个式子累加可得%=1+2+3+…+〃=当由，n>2,

q=1时也满足上式，故/=当2，

所以§5=q+/+03+44+%=1+3+6+10+15=35,故B正确;

由递推关系可知%+「%=〃+1,故A正确；

当〃22,S,,—故C正确；

所以—I---------F,••H---------------=21—+2----++2------------=21-------=------

qa2生022I2)[23J(20222023)(2023J2023

D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13.。为2和6的等差中项，贝.

【正确答案】4

【分析】利用等差中项的定义可求得结果.

【详解】由等差中项的定义可得。=孚=4.

故答案为.4

14.如图，已知平行六面体488-4四。1乌中，底面是边长为1的正方形，

AAt-2,ZAtAB-ZAtAD-60°,AB=a^AD=b,AAi=c.则卜G卜

【正确答案】Vio

【分析】利用空间向量的运算法则，将NG表示成Gb+C，两边平方利用向量数量积即可

求得

【详解】由题意可知

又BC=AD,4A]=CCt,所以/C1=/8+/。+44=a+b+c,

易知能M、=1，F=2,所以|萄^=（2人今=|手+0+。+2aS+2aKf-2&ii

因为底面是正方形，所以46,即au（）

又乙4/3=40=60。，所以北1=|可，cos60^=1,/W=|^[<|cos60^=1,

=1+1+4+0+2+2=10,所以|/6|=丽

故而

15.已知点尸是抛物线f=”的焦点，点M0,2),点尸为抛物线上的任意一点，则1PMi+|「目

的最小值为.

【正确答案】3

【分析】根据抛物线的定义可求最小值.

【详解】如图，过P作抛物线准线y=-i的垂线，垂足为。，连接MQ,

则1PM=忸闾+|P0|>|M2|>2+1=3,当且仅当M,P,。共线时等号成立，

故归历|+|尸尸1的最小值为3，

故3.

16.设椭圆C：］+/=l的左、右焦点分别为「石，则下列说法中正确的有

(填序号，漏填或错填都没有分)

(1)离心率e=®

2

(2)过点耳的直线与椭圆交于N,8两点，则△A8行的周长为46

(3)若P是椭圆C上的一点，则△出写面积的最大值为1

(4)若P是椭圆C上的一点，且/耳盟=60。，则△产《工面积为立

3

【正确答案】(2)(3)(4)

【分析】对于(1),由椭圆方程求出外6、c的值，求得椭圆离心率即可判断；

对于(2),求出△NB5的周长即可判断;

对于(3),由三角形面积公式求出△小月面积的最大值即可判断；

n

2

对于(4),方法1：直接应用椭圆中焦点三角形的面积公式：SXPFiFi=btanp(其中b为

椭圆的短半轴长，。为半PFQ；

方法2：由椭圆定义、余弦定理以及三角形面积公式可得△尸片鸟的面积即可判断.

【详解】对于(1),由题意知，a=五,b=l,:.c=后==母=1，

•••e=£=J==日，故(1)错误；

ay/22

对于(2),C△“3=|阳|+|/£|+|%|+|眶|=4〃=6,故(2)正确；

对于(3),%对&=；X2CX|%|=|%|46=1,当点尸在短轴端点时取最大值，故(3)正确;

对于(4),方法1：S=b2tan-=tan30^=—:

△AP小FF323

方法2：,:PF\+PF2=2a=m,

.•.在△尸片匕中，由余弦定理得：

cos60-P£F+|PV『="用+］尸察|广21mliP/|-IKEF

21Mll你|2\PF,\\PF2\

_(20)2—21尸,II尸61—224—21P耳IIJ_

-2\PF｝\\PF2\"2\PFt\\PF2\2

4

解得:|用||%|=§,

...S△际八=g|尸耳||町|sin60"=gxgx¥=乎，故(4)正确.

故(2)(3)(4).

四、解答题

17.在①q+。6+《0=°，②-2生=43，③。3a5=。；这三个条件中任选一个，补充在下面问

题的题设条件中.

问题：等差数列｛4｝的公差为必4片0),满足%+%+%=T5,?

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前〃项和，得到最小值时〃的值.

【正确答案】(1)选择条件见解析，％=3〃-17

(2)77=5

【分析】(1)设等差数列｛对｝的公差为d(dwo),由/+%+%=T5,得到弓二-5-3",

选①％+4+《0=的+1旬=o,联立求解；选②-2q-2d=q+12d,联立求解；选

③(q+2d)(4+4d)=(q+6J)2,联立求解；

(2)由(1)知。“=3〃-17,令=3--17Vo求解.

【详解】(1)解：设等差数列｛%｝的公差为d(d=O),

得q=-5-3d,

选①q+4+4o=34+14t/=一15+51=0,

得d=3,

故q=-14,

/.an=3«-17.

选②-2a2=-2a,-2d=a]+\2d=a]3,

得3q=-15-9d=-14d,得Q=3,

故q=-14,

Aan=3«-17.

选③%%=(《+24)(q+4d)=(Q]+6t/)2=a；,

(-5-d)(-5+1)=(-5+31)2,得[=3,

故q=-14,

，=3〃-17；

(2)由(1)知。〃=3〃-17,——14<0,d=3>0,

二数列｛6,｝是递增等差数列.

172

由%=3〃-17W0,得〃4—=54—,

33

二〃45时，«„<0,

〃26时，>0,

.••“=5时,s,得到最小值.

18.如图，在棱长为2的正方体/88-44G4中，E,尸分别为48,8c上的动点，且

AE=BF=a.

(1)求证：A.FVC.E.

(2)当”=1时，求点/到平面GEF的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

【分析】(1)如图，以8c为X轴，8/为V轴，8玛为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向

量法分别求出4万和，再证明4片:即可：

(2)利用空间向量的数量积求出平面GEF的法向量；二(x,%z),结合求点到面距离的向量法即

可得出结果.

【详解】(1)证明：如图，以为X轴，以为y轴，84为Z轴，建立空间直角坐标系,

则E(0,2-a,0),F(a,O,O),A,(0,2,2),£(2,0,2),

所以4尸=(a,-2,-2),C,E=(-2,2-a,-2),

所以4F•GE=(a,-2,-2)•(-2,2-a,-2)=0,

故4片所以4E_LCE；

(2)当a=l时,£(0,1,0),尸(1,0,0),4(0,2,0),£(2,0,2),

则(1,-1,0),FC,=(1,0,2),J£=(0,-l,0),

设；：(x/,z)是平面CE尸的法向量，则

由代主、一；二，解得「X，取x=2,得］(2,2,-1),

n-FCX=x4-2z=0z=--

设点A到平面C、EF的距离为d,则d=国型=1(。，7产(2,2,-1)|=2,

|n|V4+4+13

所以点/到平面GEF的距离为;.

19.已知圆C过两点4-2,0),8(2,4),且圆心C在直线2—-4=0上.

(1)求圆C的方程；

(2)过点尸(6,46)作圆C的切线，求切线方程.

【正确答案】(1)一+必-以一12=0.(或标准形式(x-2)2+/=i6)

(2)x=6x—yfiy+6=0

【分析1(1)根据题意，求出/B的中垂线方程，与直线2x-y-4=0联立，可得圆心C的

坐标，求出圆的半径，即可得答案；

(2)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案.

【详解】(1)解：根据题意，因为圆C过两点4-2,0),8(2,4),

设N8的中点为则"(0,2),

因为如3=1，所以的中垂线方程为P-2=-(x-0),EPy=2-x

2一(一勿

fy=2-x(X=2

又因为圆心在直线2x-y-4=0上，联立；解得所以圆心C(2,0),半

径r=|g=4,故圆的方程为(x-2)2+产=16,

(2)解：当过点尸的切线的斜率不存在时，此时直线x=6与圆C相切

当过点P的切线斜率在存在时，设切线方程为卜一46=上卜一6)即去-夕+4行-6左=0(*)

由圆心C到切线的距离”斗=4,可得人正

A/F7T3

将左=等代入(*),得切线方程为x-岛+6=0

综上，所求切线方程为x=6或x-岛+6=0

20.已知数列｛凡｝的前〃项和为S“，邑=13,«„+1=2S„+l.

(1)证明：数列｛《,｝是等比数列；

⑵若"=肃＞求数列抄也”的前”项和T„.

10&73""+1

【正确答案】(1)证明见解析

n

⑵4(〃+1)

【分析】(1)〃”+|=2S,+1中令”=1和〃=2结合邑=4+4+4求得《，”2,然后%+i=2S.+1

中利用S“-S,E=/得数列｛”“｝的递推关系得数列为等比数列：

(2)由(1)求得/再得出"，利用裂项相消法求得和7；.

【详解】(1)因为邑=13,所以q+/+%T3,

因为%+i=2S“+1,所以%=252+1,«,=2S,+1,即2(%+“2)+1=%，。2-2《=1,

解得q=l,々=3,当〃“时，a"=2S“_+l,与“用=2S”+1联立,

得。”+1-4=2%,所以誓=3.

an

又因为”=3,所以｛6,｝是以1为首项，3为公比的等比数歹I」.

a\

,,111

（2）由（1）得见=3〃T,所以"=碣3=三，%=五*，

所以b“b“*L

所以1=；(l_g+n

+

2~3"4(n+1)

21.如图，在四棱锥尸-45CZ）中，_L底面/8c。，底面458是矩形，PA=2AD=4,

且PC=2#，点E在尸C上.

（1）求证：8。/平面以。；

（2）若E为PC的中点，求直线PC与平