2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列专题7.2 期中期末专项复习之轴对称图形十九大必考点（举一反三）（苏科版）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题7.2轴对称图形十九大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1轴对称中坐标与图形变化】 1【考点2格点中的轴对称】 2【考点3设计轴对轴图案】 3【考点4镜面对称】 5【考点5利用轴对称求最值】 5【考点6寻找构成等腰三角形的点的个数】 6【考点7利用三线合一求值】 7【考点8利用三线合一证明】 8【考点9利用等角对等边证明边长相等】 9【考点10利用等角对等边证明】 10【考点11作等腰三角形】 12【考点12等边三角形的判定与性质】 13【考点13含30度的直角三角形】 15【考点14尺规作垂直平分线、垂线、角平分线】 16【考点15垂直平分线的判定与性质】 17【考点16等腰三角形中的新定义问题】 19【考点17角平分线的判定与性质的综合求值】 22【考点18角平分线的判定与性质的综合证明】 23【考点19根据直角三角形斜边的中线进行计算与证明】 25【考点1轴对称中坐标与图形变化】【例1】（2022·贵州省遵义市第一初级中学八年级阶段练习）已知点P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)关于x轴对称，则【变式1-1】（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期中）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________．【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）．(1)若点p与点p′关于x轴对称，求a、b的值．(2)若点p与点p′关于y轴对称，求a、b的值．【变式1-3】（2022·吉林白山·八年级期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣【考点2格点中的轴对称】【例2】（2022·湖北·武汉市光谷实验中学八年级开学考试）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为(﹣2，1)，B点的坐标为(﹣1，2)．(1)请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A(2)作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出(3)在x轴上求作一点M，使△AB'M【变式2-1】（2022·山东济南·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l．(1)作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A(2)直接写出A1（，），B1（，），C1（(3)在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（，）（结果用含m，n【变式2-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上．(1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A(2)若网格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积；(3)在直线MN上找一点P，使得PC-PA1的值最大，并画出点【变式2-3】（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期中）如图，已知三点A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，其中A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点．(1)画出△A1B1C1，并写出三个顶点A1，B1，C1的坐标；(2)若点M(m+2，n-1)是△ABC上一点，其关于x轴的对称点为M'(-m-4，【考点3设计轴对轴图案】【例3】（2022·江苏·八年级课时练习）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（

）种涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（）A．5 B．4 C．3 D．2【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）在3×3的正方形网格中，有三个小方格涂上阴影，请再在余下的6个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成一个轴对称图形，共有()种不同的填涂方法．A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【变式3-3】（2022·江苏·八年级专题练习）现有如图1所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖中各选两块，拼成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不同的轴对称图形．【考点4镜面对称】【例4】（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____．【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）从镜子中看到背后墙上电子钟的示意数为10：05,这时的实际时间为______.【变式4-3】（2022·甘肃平凉·八年级期中）小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是________．【考点5利用轴对称求最值】【例5】（2022·湖南·李达中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5【变式5-1】（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（

）A．12α B．2α-180° C．180°-α 【变式5-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，动点M在线段AC上运动(不与端点重合)，点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是_______．【变式5-3】（2022·福建龙岩·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是_______．【考点6寻找构成等腰三角形的点的个数】【例6】（2022·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（

）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有___个．【变式6-2】（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期末）如图，△ABC的点A、C在直线l上，∠B=120°, ∠ACB=40°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则【变式6-3】（2022·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【考点7利用三线合一求值】【例7】（2022·河北保定·八年级期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【变式7-1】（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E中同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE，以下结论：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-2】（2022·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【变式7-3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为_____.【考点8利用三线合一证明】【例8】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．【变式8-2】（2022·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【变式8-3】（2022·山东青岛·七年级期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AB边上的一动点（不与点A、B重合），连接CE(1)如图①，若E运动到BD上，过点A作CE的垂线交CD于点G，CE于点F，CB于点H，求证：CG=BE；(2)如图②，若E运动到AD上，过点A作CE的垂线与CE延长线交于点F，延长AF交CD延长线于点G，试猜想CG、BE的数量关系并证明．【考点9利用等角对等边证明边长相等】【例9】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是_____.【变式9-1】（2022·湖南长沙·八年级期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为__cm．【变式9-2】（2022·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.(1)求证：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC长．【变式9-3】（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图，为的角平分线．(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）【考点10利用等角对等边证明】【例10】（2022·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．【变式10-1】（2022·浙江·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，(1)求证：△BDE是等腰三角形；(2)求证：CD=BE．【变式10-2】（2022·陕西西安·七年级期末）已知∠AOB=60°，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．问题发现(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？问题探究(2)如图2，小新在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由．【变式10-3】（2022·江西·吉安县文博国际学校八年级开学考试）如图①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F(1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？(3)如图③，若ΔABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF【考点11作等腰三角形】【例11】（2022·山东青岛·九年级专题练习）如图，已知：点P和直线BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，点M落在BC上．【变式11-1】（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．【变式11-2】（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，射线CM∥AB．(1)在线段AB上取一点E，使得CE=CB，在射线CM上确定一点D，使△CDE是以CE为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接AD，求证：AD=BC．【变式11-3】（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a．【考点12等边三角形的判定与性质】【例12】（2022·全国·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（）A．25m B．13m C．【变式12-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．12a+2b B．12a+43【变式12-2】（2022·广东·东华学校八年级期中）如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，(1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数；(2)判断△CFG的形状并说明理由；(3)求证：OA+OC=OB．【变式12-3】（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）晓芳利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：初步发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB＝60°；深入探究：如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；拓展创新：如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，连接AE交BD于P，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC＝3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：（1）AP-3PDPC（2）AP+PC+2PDBD-PC+PE【考点13含30度的直角三角形】【例13】（2022·广东·丰顺县球山中学九年级开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E在△ABC内部，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60∘，若BE=6，DE=2，则【变式13-1】（2022·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点E落在AB上，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA，BF，若∠ABC=60°，BF=AF．(1)求证△ADF≌△BDF；(2)若AF=2，求DF的长．【变式13-2】（2022·福建省长乐第七中学八年级阶段练习）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC边上一点，延长AD到点E，使得AD＝DE，连接CE，过点D作BC的垂线，交CE的垂直平分线于点F，连接EF．(1)如图1，当点D与点C重合时，证明：BF＝2DF；(2)如图2，当点D不与B，C两点重合时，（1）中的结论是否还成立？并说明理由．【变式13-3】（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，在△ABD中，点E，F分别是AB和AD上的点，满足AE=EF，连接EF并延长交BD延长线于点C．(1)若DC=DF=EF，求证：AB=BC；(2)如图2，过B作BG⊥AD，垂足为G．（i）求证：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如图3，连接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面积为4，求△AFC的面积．【考点14尺规作垂直平分线、垂线、角平分线】【例14】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．【变式14-1】（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BAC是钝角，完成下列画图．(1)BAC的平分线AD；(2)AC边上的中线BE；(3)AC边上的高BF【变式14-2】（2022·广东广州·八年级期中）如图，在钝角△ABC中．(1)用尺规作图法作AC的垂直平分线，与边BC、AC分别交于点D、E（保留作图痕迹，不用写作法）；(2)在（1）的条件下，画出△ABC的AC边上的高BH（可用三角板画图），连接AD，直接写出∠ADE和∠HBC的大小关系．【变式14-3】（2022·江苏·八年级阶段练习）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足OB>2OA．求作：线段OB上的一点C，使△AOC的周长等于线段OB的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即△AOC得周长等于OB的长，那么由OA+OC+AC=OB=OC+BC，可以得到OA+AC=．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得BD=AO，那么就可以得到CA=．若连接AD，由．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【考点15垂直平分线的判定与性质】【例15】（2022·广东·广州市第九十七中学八年级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM=CN；（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．【变式15-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求证：（1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【变式15-2】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证．证明：∵DM是边AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，则∠BAC-解得∠BAC＝105°．情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系．(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．(2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）．(3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．【变式15-3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．【探究】如图②，若∠C＝β．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝12DF，DE＝1，则△DEF【考点16等腰三角形中的新定义问题】【例16】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE(SAS)．(1)【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有_______≌________．(2)【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：BE=CD．(3)【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．【变式16-1】（2022·福建厦门·八年级期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD=AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一条等直分割线段．(1)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段．(2)若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形．【变式16-2】（2022·浙江·八年级单元测试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．【变式16-3】（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）阅读下列材料，解答问题：定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线．(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36∘，BM为△ABC的完美分割线，且CM<AM，则∠C=°，∠AMB=(2)如图2，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=108∘,AC=CN，求证：AN(3)如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB＝AC，AN是它的一条完美分割线，且BN>NC，将△ACN沿直线AN折叠后，点C落在点C1处，AC1交BN于点M【考点17角平分线的判定与性质的综合求值】【例17】（2022·广东汕头·八年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAOA．1：1：1 B．1：2：3C．2：3：4 D．3：4：5【变式17-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式17-2】（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD；②BE⊥CD；③OA平分【变式17-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【考点18角平分线的判定与性质的综合证明】【例18】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．【思考说理】（1）求证：FE=FD．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“∠ACB=90°”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE=FD）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【变式18-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P．（1）求∠APB的度数．（2）求证：点P在∠C的平分线上．（3）求证：①PD=PE；②AB=AD＋BE．【变式18-2】（2022·四川成都·七年级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，AB≠AE，∠BAC=∠DAE=38°．连接BD，CE交于点O．(1)求证：BD=CE；(2)求∠BOC的度数：(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了AO，并提出了下面结论：OA平分∠BOE．请给予证明．【变式18-3】（2022·山东·北辛中学八年级阶段练习）（1）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；并证明．（3）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【考点19根据直角三角形斜边的中线进行计算与证明】【例19】（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级阶段练习）（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段CF、CE、BC之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D为AB的中点，∠MDN=60°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段CF、CE、BC之间的数量关系为______；（3）【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，若CB=6，DC=2，则BE的长为．【变式19-1】（2022·浙江·杭州春蕾中学八年级期中）如图（1），CD、BE是△ABC的两条高，M为线段BC的中点．（1）求证：MD＝ME．（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，求∠DME的度数．（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图（2），∠BAC＝α，请直接写出∠DME的度数．（用含α的式子表示）【变式19-2】（2022·北京市朝阳外国语学校八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4，AB=5，D为AB上的动点，在D从A向B运动的过程中，(1)当CD⊥AB时，则CD=_______；(2)当D为AB的中点时，则CD=_______；(3)当CD平分∠ACB时，则SΔ【变式19-3】（2022·浙江温州·八年级期中）证明命题“30°所对直角边等于斜边的一半”是真命题并应用．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．(1)求证：BC=1(2)点P，Q分别是Rt△ABC边AB，BC上的动点．点P以每秒2个单位的速度从A向B运动，点Q以每秒1个单位的速度从B向C运动．P，Q同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点立即停止运动．连接PQ，若AB＝4，当t为多少秒时，△PQB是直角三角形．专题7.2轴对称图形十九大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1轴对称中坐标与图形变化】 1【考点2格点中的轴对称】 3【考点3设计轴对轴图案】 9【考点4镜面对称】 11【考点5利用轴对称求最值】 13【考点6寻找构成等腰三角形的点的个数】 17【考点7利用三线合一求值】 20【考点8利用三线合一证明】 24【考点9利用等角对等边证明边长相等】 28【考点10利用等角对等边证明】 33【考点11作等腰三角形】 39【考点12等边三角形的判定与性质】 43【考点13含30度的直角三角形】 53【考点14尺规作垂直平分线、垂线、角平分线】 61【考点15垂直平分线的判定与性质】 65【考点16等腰三角形中的新定义问题】 73【考点17角平分线的判定与性质的综合求值】 81【考点18角平分线的判定与性质的综合证明】 88【考点19根据直角三角形斜边的中线进行计算与证明】 96【考点1轴对称中坐标与图形变化】【例1】（2022·贵州省遵义市第一初级中学八年级阶段练习）已知点P1(2a-b,2)和P2(-7,4a+2b)关于【答案】-8【分析】根据题意，列关于a、b的二元一次方程组，求解并计算即可；【详解】∵点P1(2a-b,2)和P2∴2a-b=-7解得a=-2b=3∴a故答案为：-8【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解二元一次方程组，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．【变式1-1】（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期中）将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为__________．【答案】（4，8）【分析】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【详解】解：设A（x，y），∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5），∴x＋2＝−2，y−3＝5，解得x＝−4，y＝8，∴点A的坐标为（−4，8），∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）．故答案为：（4，8）．【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知点P（2a+b，-3a）与点P′（8，b+2）．(1)若点p与点p′关于x轴对称，求a、b的值．(2)若点p与点p′关于y轴对称，求a、b的值．【答案】(1)a=2，b=4(2)a=6，b=-20【分析】（1）根据关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数方程组求解即可；（2）根据关于y轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数方程组求解即可．（1）解：∵点P与点P'关于x轴对称，∴2a+b=8，3a=b+2,解得a=2，b=4．（2）解：∵点P与点P'关于y轴对称，∴2a+b=-8，-3a=b+2解得a=6，b=-20．【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点坐标特征，关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数．【变式1-3】（2022·吉林白山·八年级期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣52）和B（3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣32） C．（﹣32，﹣9） D．（﹣2，﹣【答案】A【分析】先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．【详解】解：∵A（3，﹣52）和B（3，﹣11∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．【考点2格点中的轴对称】【例2】（2022·湖北·武汉市光谷实验中学八年级开学考试）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为(﹣2，1)，B点的坐标为(﹣1，2)．(1)请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A(2)作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出(3)在x轴上求作一点M，使△AB'M【答案】(1)见解析，△ABC与△A'B(2)见解析，A(3)见解析，M(﹣1，0)【分析】（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可；（2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1（3）作点B'关于x轴的对称点B″，连接AB″交x轴于点M，连接（1）解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：△ABC与△A'B（2）如图，△A1B（3）如图，点M即为所求．M（﹣1，0）．此时：C△A此时满足周长最短．【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型．【变式2-1】（2022·山东济南·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（1，0）作x轴的垂线l．(1)作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A(2)直接写出A1（，），B1（，），C1（(3)在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（，）（结果用含m，n【答案】(1)见解析(2)4，1；5，4；3，3(3)2-m，n【分析】（1）根据轴对称的性质画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A（2）根据坐标系写出点的坐标；（3）根据△ABC与△A1B1C1关于直线l的轴对称，则（1）解：如图，△A（2）由图形可知：A1（4，1），B1（5，4），C1（3，3）；故答案为：4，1；5，4；3，3；（3）点P关于直线l的对称点P1的坐标为（2﹣m，n）．故答案为：2﹣m，n．【点睛】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．【变式2-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上．(1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A(2)若网格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积；(3)在直线MN上找一点P，使得PC-PA1的值最大，并画出点【答案】(1)详见解析(2)7(3)详见解析【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点A1，B1，（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．（3）连接A1C1交直线MN于点P（1）如图，△A（2）△ABC的面积为3×3-（3）点P即为所求【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P．【变式2-3】（2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期中）如图，已知三点A（-2，3），B（3，-3），C（-3，1），△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，其中A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点．(1)画出△A1B1C1，并写出三个顶点A1，B1，C1的坐标；(2)若点M(m+2，n-1)是△ABC上一点，其关于x轴的对称点为M'(-m-4，【答案】(1)图见解析，A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）(2)m=-3，n=2【分析】（1）首先确定A、B、C三点的对称点位置，再连接即可，然后再利用坐标系写出A1，B1，C1的坐标；（2）利用关于x轴的对称的对称点坐标特点可得m+2=-m-4，n-1+n-3=0，再解方程即可．（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（-2，-3），B1（3，3），C1（-3，-1）；（2）∵点M（m+2，n-1）是△ABC上一点，其关于x轴的对称点为M′（-m-4，n-3），∴m+2=-m-4，n-1+n-3=0，解得：m=-3，n=2．【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．【考点3设计轴对轴图案】【例3】（2022·江苏·八年级课时练习）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（

）种涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,根据轴对称图形的概念进行设计即可．【详解】解：如图所示：故选：C【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念．【变式3-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图为5×5的方格，其中有A、B、C三点，现有一点P在其它格点上，且A、B、C、P为轴对称图形，问共有几个这样的点P（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可．【详解】解：如图所示：A、B、C、P为轴对称图形，共有4个这样的点P．答案：B．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的定义是解题关键．【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）在3×3的正方形网格中，有三个小方格涂上阴影，请再在余下的6个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成一个轴对称图形，共有()种不同的填涂方法．A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】D【分析】如图，将图中的空白正方形标号，然后根据轴对称图形的定义对其不同的组合进行判断即可．【详解】解：如图所示：当将①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分别组合，都可以得到轴对称图形，共有6种方法．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的设计，熟知概念、明确方法是解题的关键．【变式3-3】（2022·江苏·八年级专题练习）现有如图1所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖中各选两块，拼成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不同的轴对称图形．【答案】见解析【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．【详解】解：依照轴对称图形的定义，设计出图形，如图所示．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称定义得出是解题关键．【考点4镜面对称】【例4】（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．【详解】9点的时钟，在镜子里看起来应该是3点，所以最接近9点的时间在镜子里看起来就更接近3点，所以应该是图B所示，最接近9点时间．故选：B．【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____．【答案】E6395【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成镜面对称，则该车牌照的部分号码为E6395．故答案为：E6395．【点睛】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解题的关键．【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）从镜子中看到背后墙上电子钟的示意数为10：05,这时的实际时间为______.【答案】20：01【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．故答案为：20：01．【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．【变式4-3】（2022·甘肃平凉·八年级期中）小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是________．【答案】16:25:08【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．【详解】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是16:25:08.故答案为16:25:08.【点睛】本题考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．【考点5利用轴对称求最值】【例5】（2022·湖南·李达中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．5【答案】C【分析】由题意可以把Q反射到AB的O点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，∵S△ABC∴CM=6×810=4.8，即PC+PQ的最小值为故选C．【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．【变式5-1】（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=α，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（

）A．12α B．2α-180° C．180°-α 【答案】B【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB=α，∴∠HAA′=180°-α，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=180°-α，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2180°-α∴∠MAN=180°-∠AMN+∠ANM故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称-最段路线问题，熟练掌握平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．【变式5-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，动点M在线段AC上运动(不与端点重合)，点M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是_______．【答案】24【分析】过D作DM'⊥AC于M'，连接DM，根据已知，由面积法先求出DM'=125，由M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，可得DM1=DM=DM2，M1M2=2DM，故线段M1M2长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，M与M'重合，即可得M1M2最小值为2DM'=24【详解】解：过D作DM'⊥AC于M'，连接DM，如图：长方形ABCD中，AD=BC=3，AB=CD=4，AC=5，∴S△ADC=12AD•CD=12AC•∴DM'=AD·CDAC∵M关于边AD，DC的对称点分别为M1，M2，∴DM1=DM=DM2，∴M1M2=2DM，线段M1M2长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，即M与M'重合，M1M2最小值为2DM'=245故答案为：245【点睛】本题考查对称变换，涉及三角形面积、点到直线的距离等知识，解题的关键是将求M1M2长度的最小值转化为求DM长度的最小值.【变式5-3】（2022·福建龙岩·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是_______．【答案】48【分析】如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．首先证明E，A，F共线，则PM+MN+PN=EM+MN+NF≥EF，推出EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，求出PA的最小值，可得结论．【详解】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．由对称的性质可知，AE=AP=AF，∠BAP=∠BAE，∠CAP=∠CAF，∵∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°，∴∠EAF=180°，∴E，A，F共线，∵ME=MP，NF=NP，∴PM+MN+PN=EM+MN+NF，∵EM+MN+NF≥EF，∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，∵EF=2PA，∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA=6×810=24∴PM+MN+PN≥485∴PM+MN+PN的最小值为485故答案为：485【点睛】本题考查了轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短．【考点6寻找构成等腰三角形的点的个数】【例6】（2022·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（

）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个【答案】A【分析】当AB为底时，作AB的垂直平分线，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，分别找到格点即可求解．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有___个．【答案】4【分析】分别以A、B为圆心，以AB为半径作圆，再作AB的垂直平分线，即可得出答案．【详解】解：以A为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有一个交点；同理以B为圆心，以AB为半径作圆，与直线BC有两个交点；作AB的垂直平分线与BC有一个交点，即有1+2+1＝4个，故答案为4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．【变式6-2】（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期末）如图，△ABC的点A、C在直线l上，∠B=120°, ∠ACB=40°，若点P在直线l上运动，当△ABP成为等腰三角形时，则【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三种情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分别求解即可解决问题．【详解】解：如图，在ΔABC中，∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-120°-40°=20°，①当AB=AP时，∠ABP1=∠A②当PA=PB时，∠ABP③当BA=BP时，∠ABP综上所述，满足条件的∠ABP的值为10°或80°或20°或140°．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．【变式6-3】（2022·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有_____个．【答案】8【分析】分三种情况①以B为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，②以A为圆心，以AB为半径作圆与两轴的交点，，③以AB为底，AB的垂直平分线与两轴的交点即可【详解】解：如图所示：①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；3+3+2＝8，因此，满足条件的点P有8个，故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、坐标与图形性质、熟练掌握等腰三角形的判定，分三种情况讨论圆与坐标轴的交点以及线段垂直平分线与坐标轴的交点是解决问题的关键．【考点7利用三线合一求值】【例7】（2022·河北保定·八年级期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【答案】C【分析】利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB，∠ACM=∠B，∠CMF=∠BME，从而证明△CMF≌△BME，根据四边形CEMF的面积=S【详解】解：连接MC，∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点，∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°，∴MC=MB，∠BMC=90°，∵∠EMF=90°=∠BMC，∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME，在△CMF和△BME中，∠FCM=∠EBM=45°MC=MB∴△CMF≌△BMEASA，∴S△CMF∴四边形CEMF的面积=S△CMF+故选：C．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明△CMF≌△BME．【变式7-1】（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E中同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE，以下结论：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD=BE，∠ADC=∠BEC，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，可判断②，由全等三角形的性质可求∠AEB=∠CME=90°，可得CM∥BE，可证∠BCM=∠【详解】解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，故①错误，∵△DCE为等腰直角三角形，CM平分∠DCE，∴∠CDE=∠CED=45°，CM⊥AE，故②正确，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，∴∠AEB=∠CME=90°，∴CM∥∴∠BCM=∠CBE，故④正确，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．∴AE-BE=2CM，故③正确，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACD≌△BCE是本题的关键．【变式7-2】（2022·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作EF⊥BC于F，∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，∴CD⊥AB，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴△BCE的面积=12×BC×EF故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式7-3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为_____.【答案】8【分析】由等腰三角形的性质得到△ABC是△ACD的面积的两倍，然后用等面积法求得DE和CF的关系，进而得到CF的长．【详解】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD＝2×12×DE•AC∵S△ABC∴12AB•CF＝DE•AC∵AC＝AB，∴12CF＝DE∵DE＝4，∴CF＝8；故答案为：8【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解题的关键是熟练应用等面积法求高．【考点8利用三线合一证明】【例8】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由△ABC是等腰三角形，AD和BE是高，可知∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，通过ASA即可证明△AEH≌△BEC，（2）由（1）可知△AHE≌△BCE，则AH=BC，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，可知BC=2BD，即可进行证明．（1）证明：∵AD是高，BE是高∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°∴∠EBC=∠CAD又∵AE＝BE，∠AEH=∠BEC∴△AEH≌△BEC(ASA)；（2）∵△AEH≌△BEC∴AH＝BC∵AB＝AC，AD是高∴BC=2BD∴AH＝2BD．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、及三角形全等的判定方法．解决本题的关键是证明△AEH≅△BEC．【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．【答案】AD⊥EF，理由见解析【分析】先根据角平分线的性质可得DE＝DF，然后再证Rt△AED≌Rt△AFD可得AE＝AF，即△AEF是等腰三角形，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可．【详解】解：AD⊥EF，理由如下：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，∵AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形∵AD平分∠EAF，∴AD⊥EF（等腰三角形三线合一）．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识点，说明△AEF是等腰三角形是解答本题的关键．【变式8-2】（2022·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【答案】证明见解析．【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD＝∠CAD，再由三角形的高的定义得出∠BEC＝∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，根据同角的余角相等得出∠EBC＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【详解】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE⊥CE，AD⊥BC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠EBC＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式8-3】（2022·山东青岛·七年级期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AB边上的一动点（不与点A、B重合），连接CE(1)如图①，若E运动到BD上，过点A作CE的垂线交CD于点G，CE于点F，CB于点H，求证：CG=BE；(2)如图②，若E运动到AD上，过点A作CE的垂线与CE延长线交于点F，延长AF交CD延长线于点G，试猜想CG、BE的数量关系并证明．【答案】(1)证明见解析(2)CG=BE，证明见解析【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠ACG=45°，再根据直角三角形的性质可得∠CAG=∠BCE，然后根据三角形全等的判定证出△CAG≅△BCE，根据全等三角形的性质即可得证；（2）先根据等腰三角形的性质可得CD=BD=AD,CD⊥AB，再根据直角三角形的性质可得∠G=∠DEC，然后根据三角形全等的判定证出△ADG≅△CDE，根据全等三角形的性质可得DG=DE，最后根据线段和差即可得证．（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠B=∠ACG=45°，∠CAG+∠AHC=90°，∵AH⊥CE，∴∠BCE+∠AHC=90°，∴∠CAG=∠BCE，在△CAG和△BCE中，∠ACG=∠BAC=CB∴△CAG≅△BCEASA∴CG=BE．（2）解：CG=BE，证明如下：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴CD=BD=AD,CD⊥AB，∴∠DCE+∠DEC=90°，∵AG⊥CF，∴∠DCE+∠G=90°，∴∠G=∠DEC，在△ADG和△CDE中，∠ADG=∠CDE=90°∠G=∠DEC∴△ADG≅△CDEAAS∴DG=DE，又∵CD=BD，∴DG+CD=DE+BD，即CG=BE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出全等三角形是解题关键．【考点9利用等角对等边证明边长相等】【例9】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是_____.【答案】14【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的等角对等边得出EB＝ED，FD＝FC，即可得出答案．【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋FD＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝14，故答案为：14．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形等角对等边，熟练掌握相关图形的性质是解本题的关键．【变式9-1】（2022·湖南长沙·八年级期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为__cm．【答案】5．【分析】根据角平分线和平行线的性质可证BD＝FD，EF＝CE，再根据线段和差可求CE的长．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∵BD＝9cm，DE＝4cm，，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5cm，故答案为：5．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，解题关键是理解已知条件，根据角平分线和平行线得出等腰三角形．【变式9-2】（2022·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.(1)求证：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC长．【答案】(1)见解析；(2)AC＝14．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“边角边”证明即可；（2）根据全等三角形的对应边相等可得AE＝AB，DE＝BD，根据全等三角形的对应角相等可得∠AED＝∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED＝∠C＋∠CDE，从而求出∠C＝∠CDE，根据等角对等边可得CE＝DE，然后根据AC＝AE＋CE计算即可得解．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AED中，AB=AE∠BAD=∠EAD∴△ABD≌△AED（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△AED，∴AE＝AB＝9，DE＝BD＝5，∠AED＝∠B，∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠B＝2∠C，∴∠C＝∠CDE，∴CE＝DE＝5，∴AC＝AE＋CE＝9＋5＝14．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式9-3】（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图，为的角平分线．(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）【答案】(1)3；(2)12；(3)【分析】（1）依题意可证，从而AF=AE=4，可由FC=AC-AF求得问题的解；（2）延长CG，AB交于点H，可证，从而AH=AC，HG=GC，又，，，由问题可解；（3）在AC上取一点N，使得AN=AB，从而，所以BD=DN=NC=