2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题8.5 二元一次方程组章末题型过关卷（人教版）含解析

2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列第8章二元一次方程组章末题型过关卷【人教版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·山东日照·七年级统考期末）若等式2x|m|+(m−1)y=3，是关于x，y的二元一次方程，则mA．±1 B．1 C．−1 D．±22．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=12ax+by=3的解为A．-2 B．2 C．3 D．-33．（3分）（2022秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）若x=1,y=−2,x=−2,y=1,是方程mx+ny=6的两个解，则m−n的值为（A．0 B．-2 C．-12 D．124．（3分）（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）小亮求得方程组2x+y=•2x−y=12的解为x=5y=★，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（A．5，2 B．−8，2 C．8，−2 5．（3分）（2022秋·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x,y的二元一次方程组ax+y=72x−y=5和x+y=43x+by=−2有相同的解，则a−b的值是（A．13 B．9 C．−9 D．−136．（3分）（2022春·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当mA．x=3y=−1 B．x=1y=−3 C．x=−1y=37．（3分）（2022秋·重庆长寿·七年级统考期末）若实数x,y,z满足x−y+4z=1x−2y+3z=3，则x+y+6z=（

A．−3 B．0 C．3 D．不能确定值8．（3分）（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）二元一次方程2x+3y＝18的正整数解有（）A．2组 B．3组 C．4组 D．无数组9．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（

）A．7x+4=y8x−3=y B．7y=x−48y=x+3 C．7y=x−48y+3=x10．（3分）（2022秋·浙江舟山·七年级统考期末）若方程组a1x+b1y=c1A．x=−1y=1 B．x=−1y=−1 C．x=5二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·广东湛江·七年级统考期末）把方程3x−y=1写成用含x的式子表示y的形式______．12．（3分）（2022秋·湖北鄂州·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组x+3y=4−ax−y=−3a，其中x，y的值互为相反数，则a13．（3分）（2022秋·山东临沂·七年级校考期末）对x，y定义一种新运算“⋇”，规定：x⋇y=mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1⋇1=4，1⋇2=3．则2⋇1的值是____．14．（3分）（2022秋·河北张家口·七年级统考期末）在解方程组ax+5y=154x=by−2时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解x=2y=1，乙看错了方程组中的b，而得到解为x=5y=415．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．16．（3分）（2022秋·福建龙岩·七年级统考期末）甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k）个，乙每次摸5个或（5－k）个(k是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球__________个.三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·广东惠州·七年级惠州市第九中学校考期末）解方程组：(1){x−2y=−8(2){3x+2y−z=1118．（6分）（2022秋·广西玉林·七年级统考期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=1x−2y=4（1）解该方程组；（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一组解，求代数式2b﹣4a的值．19．（8分）（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考期末）有关于x，y的方程kx−y=k−1．（1）当k=1和k=2时，所得方程组成的方程组是x−y=02x−y=1，它的解是______（2）当k=−1和k=−2时，所得方程组成的方程组是______它的解是______；（3）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx−y=k−1一定有一个解是______．（4）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx−y=3k−4一定有一个解是______．20．（8分）（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请问A、B两种型号的汽车各购买多少辆？21．（8分）（2022春·全国·八年级期末）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=7令m=2x+3y，n=2x−3y．原方程组化为m4解得m=60n=−24把m=60n=−24代入m=2x+3y，n=2x−3y得2x+3y=602x−3y=−24解得x=9y=14∴原方程组的解为x=9y=14请你参考小明同学的做法解方程组：(1)2(x+1)+3(y−2)=1(2)x+y22．（8分）（2022秋·北京怀柔·七年级校考期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1(1)填空：将y−5=4x3x−2y−3=0写成矩阵形式为：_(2)若矩阵a−5−3−4b−3所对应的方程组的解为x=123．（8分）（2022春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）若在意一个三位数M，满足各数位上的数字均不为0，百位上的数字与十位上的数字的2倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的2倍之和，则称这个三位数M为“双增数”．对于一个“双增数”M=abc，规定：s=a+c，t=b+c，F例如，M=243，因为2+2×4=4+2×3，故M是一个“双增数”，s=2+3=5，t=4+3=7，则FM(1)请判断365，597是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出FM(2)若三位数N为“双增数”，N的百位数字为x−1，个位数字为y（其中x，y是正整数，且3≤y≤7），当N各数位上的数字之和与FN的和能被17整除时，求所有满足条件的“双增数”N第8章二元一次方程组章末题型过关卷【人教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·山东日照·七年级统考期末）若等式2x|m|+(m−1)y=3，是关于x，y的二元一次方程，则mA．±1 B．1 C．−1 D．±2【答案】C【分析】根据二元一次方程的定义，得|m|=1，m-1≠0，计算判断即可．【详解】∵等式2x|m|+(m−1)y=3，是关于x∴|m|=1，m-1≠0，解得m=-1，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程即含有两个未知数且含未知数的项的次数为1的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．2．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=12ax+by=3的解为A．-2 B．2 C．3 D．-3【答案】B【分析】把方程组的解代入二元一次方程组得到关于a、b的方程组，两式相减得结论．【详解】解：把x=1y=−1②-①，得a−2故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的意义是解决本题的关键．3．（3分）（2022秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）若x=1,y=−2,x=−2,y=1,是方程mx+ny=6的两个解，则m−n的值为（A．0 B．-2 C．-12 D．12【答案】A【分析】根据方程的解的定义，得m-2n=6，-2m+n=6，故m=-6，n=-6，进而求得m-n．【详解】解：∵x=1y=−2，x=−2y=1是方程mx+∴m-2n=6，-2m+n=6．∴m=-6，n=-6．∴m-n=-6-（-6）=0．故选：A．【点睛】本题主要考查方程的解的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键．4．（3分）（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）小亮求得方程组2x+y=•2x−y=12的解为x=5y=★，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（A．5，2 B．−8，2 C．8，−2 【答案】C【分析】根据方程的解的定义，把x=5代入2x−y=12，求得y的值，进而求出●的值，即可得到答案．【详解】解：把x=5代入2x−y=12，可得10−y=12，解得y=把x=5，y=−2则“●”“★”表示的数分别为8，−2．故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程是解题的关键．5．（3分）（2022秋·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x,y的二元一次方程组ax+y=72x−y=5和x+y=43x+by=−2有相同的解，则a−b的值是（A．13 B．9 C．−9 D．−13【答案】A【分析】先解方程组x+y=42x−y=5求出该方程组的解，然后把这个解分别代入ax+y=7与3x+by=−2即可求出a、b【详解】解方程组x+y=42x−y=5得x=3y=1把x=3y=1代入ax+y=7得3a+1=7，解得：a=2，把x=3y=1代入3x+by=−2得9+b=−2，解得：b=﹣11，∴a－b=2－（﹣11）=13．故选：A．【点睛】本题考查了同解方程组的知识，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．6．（3分）（2022春·八年级课时练习）已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当mA．x=3y=−1 B．x=1y=−3 C．x=−1y=3【答案】D【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．【详解】解：原方程可整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据题意得：x+y+2=0解得x=−3y=1故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．7．（3分）（2022秋·重庆长寿·七年级统考期末）若实数x,y,z满足x−y+4z=1x−2y+3z=3，则x+y+6z=（

A．−3 B．0 C．3 D．不能确定值【答案】A【分析】方程①乘以3得到方程③，方程②乘以2得到方程④，③-④即可得答案．【详解】x−y+4z=1①①×3得：3x−3y+12z=3③，②×2得：2x−4y+6z=6④，③-④得：x+y+6z=-3，故选：A．【点睛】本题考查三元一次方程组，把两个方程正确变形是解题关键．8．（3分）（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）二元一次方程2x+3y＝18的正整数解有（）A．2组 B．3组 C．4组 D．无数组【答案】A【分析】由方程变形得x＝9−32y，根据x、y都是正整数，且y是2的倍数确定y的值，由此得到【详解】由2x+3y＝18，得x＝9−32∵x，y都是正整数，∴y＝2，4；相应的x＝9，3；故选：A．【点睛】此题主要考查了求二元一次方程的正整数解，解决问题的关键是熟练掌握把二元一次方程变形为用一个未知数的代数式表示为另一个未知数，根据方程的解的要求赋值计算．9．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（

）A．7x+4=y8x−3=y B．7y=x−48y=x+3 C．7y=x−48y+3=x【答案】B【分析】此题中的关键性的信息是：①若每组7人，则余下4人；②若每组8人，则有一组少3人．据此即可得出关于x，y的二元一次方程组．【详解】解：根据若每组7人，则余下4人，得方程7y=x−4；根据若每组8人，则有一组少3人，得方程8y=x+3．可列方程组为7y=x−48y=x+3故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（3分）（2022秋·浙江舟山·七年级统考期末）若方程组a1x+b1y=c1A．x=−1y=1 B．x=−1y=−1 C．x=5【答案】A【分析】将3a1x+2b1y=a1−c1【详解】解：将3a1x+2设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：a1因为方程组a1x+b所以−3x+1=4−2y=−2，解得：x=−1所以方程组3a1x+2故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·广东湛江·七年级统考期末）把方程3x−y=1写成用含x的式子表示y的形式______．【答案】y=3x−1##y=−1+3x【分析】对二元一次方程通过移项变形可得y＝3x﹣1．【详解】解：∵2x﹣y＝5，∴﹣y＝1﹣3x，∴y＝3x﹣1，故答案为：y＝3x﹣1．【点睛】本题考查了二元一次方程，正确的利用等式的性质进行变形是解题的关键．12．（3分）（2022秋·湖北鄂州·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组x+3y=4−ax−y=−3a，其中x，y的值互为相反数，则a【答案】1【分析】先根据二元一次方程组的解法求出x和y，再根据x，y的值互为相反数列出关于a的方程求解．【详解】解：在x+3y=4−a①由②-①得−4y=−3a−4+a，解得y=1+把y=1+a2∵x，y的值互为相反数，∴1+a解得a=1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解，求出方程组的解，利用x与y互为相反数列出关于a的方程是解答关键．13．（3分）（2022秋·山东临沂·七年级校考期末）对x，y定义一种新运算“⋇”，规定：x⋇y=mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1⋇1=4，1⋇2=3．则2⋇1的值是____．【答案】9【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于m、n的方程组，则可求得m、n的值，再代入计算即可．【详解】解：∵1⋇1=4，1⋇2=3，∴m+n=4,解得：m=5,n=−1,则x⋇y=5x−y，∴2⋇1=2×5−1=9，故答案为：9．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3分）（2022秋·河北张家口·七年级统考期末）在解方程组ax+5y=154x=by−2时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解x=2y=1，乙看错了方程组中的b，而得到解为x=5y=4【答案】9【分析】将x=2y=1代入方程4x=by−2求b，将x=5y=4代入方程ax+5y=15求【详解】解：解：将x=2y=1代入方程4x=by−2，得：8=b−2∴b=10，将x=5y=4代入方程ax+5y=15，得：5a+20=15∴a=−1，∴a+b=−1+10=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了方程组的解和解一元一次方程．解题的关键是将所求出的解代准确代入对应的方程中．15．（3分）（2022春·全国·八年级专题练习）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．【答案】8．【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．【详解】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，3a②﹣①，得9a＝3c，∴a＝13c把a＝13c代入②，得b＝14把a＝13c，b＝143c+14cx﹣5c∴cx＝8c，∵c≠0，∴x＝8．故答案为8．【点睛】本题考查方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出正确的方程组并求解．16．（3分）（2022秋·福建龙岩·七年级统考期末）甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k）个，乙每次摸5个或（5－k）个(k是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球__________个.【答案】110【详解】设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，依题意k=1，2，当k=1时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x）=2x+32，乙总共取球的个数为5y+4（17-y）=y+68，当k=2时，甲总共取球的个数为4x+（16-x）=3x+16，乙总共取球的个数为5y+3（17-y）=2y+51，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：①2x+32=y+68，即y=2x-34，由x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；②2x+32=2y+51，即2x+2y=19，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；③3x+16=y+68，即y=3x-52，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；④3x+16=2y+51，即x=2y+353，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，可得x=13，y=2或x=15，y=5；所以当x=13，y=2，球的个数为3×13+16+2×2+51=110个；当x=15，【点睛】本题主要考查了二元一次方程的整数解，解题时根据实际情况先确定k的值，然后表示出甲取得球的数目和乙取得球的数目，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等列出二元一次方程，求整数解即可，注意分4种情况.三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·广东惠州·七年级惠州市第九中学校考期末）解方程组：(1){x−2y=−8(2){3x+2y−z=11【答案】(1){(2){【分析】（1）先把方程组整理为{x−2y=−8（2）先消去未知数z，得到4x+3y=17④，5x+y=13（1）解：∵{x−2y=−8整理得：{x−2y=−8①+②得：x=5,②-①得：y=13∴方程组的解为：{（2）{①+②得：4x+3y=17④①+③得：5x+y=13⑤⑤×3−④得：把x=2代入⑤得：y=3,把x=2,y=3代入③得：z=1,∴方程组的解为：{【点睛】本题考查的是二元一次方程组，三元一次方程组的解法，掌握“方程组的解法”是解本题的关键．18．（6分）（2022秋·广西玉林·七年级统考期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=1x−2y=4（1）解该方程组；（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一组解，求代数式2b﹣4a的值．【答案】（1）x=2y=−1；（2）【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；（2）结合（1）把x＝2，y＝﹣1代入方程ax+by＝2，可得2a﹣b＝2，然后两边乘以﹣2即可求代数式2b﹣4a的值．【详解】解：（1）{2x+3y=1①②×2﹣①得，7y＝﹣7，y＝﹣1，把y＝﹣1代入②，得x＝2，∴原方程组的解为{x=2（2）∵上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by＝2的一组解，∴把x＝2，y＝﹣1代入，得2a﹣b＝2，∴﹣4a+2b＝﹣4，则代数式2b﹣4a的值为﹣4．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．19．（8分）（2022秋·河北秦皇岛·七年级校联考期末）有关于x，y的方程kx−y=k−1．（1）当k=1和k=2时，所得方程组成的方程组是x−y=02x−y=1，它的解是______（2）当k=−1和k=−2时，所得方程组成的方程组是______它的解是______；（3）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx−y=k−1一定有一个解是______．（4）猜想：无论k取何值，关于x，y的方程kx−y=3k−4一定有一个解是______．【答案】（1）x=1y=1；（2）−x−y=−2−2x−y=−3，x=1y=1；（3）x=1【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）将k=−1和k=−2分别代入方程kx−y=k−1，得打方程组，再利用加减消元法进行求解即可；（3）将含有k的项合并，得到kx−1（4）同（3），将含有k的项合并，得到kx−3【详解】有关于x，y的方程kx−y=k−1．（1）当k=1和k=2时，所得方程组成的方程组是x−y=02x−y=1，它的解是x=1（2）当k=−1和k=−2时，所得方程组成的方程组是−x−y=−2−2x−y=−3，它的解是x=1（3）kx−y=k−1，变形整理得kx−1当x=1时，y=1，则方程kx−y=k−1一定有一个解是x=1y=1（4）kx−y=3k−4，变形整理得kx−3当x=3时，y=4，则方程kx−y=3k−4一定有一个解是x=3y=4【点睛】本题主要考查解二元一次方程（组），解此题的关键在于熟练掌握加减消元法或代入消元法.20．（8分）（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请问A、B两种型号的汽车各购买多少辆？【答案】(1)A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；(2)A种型号的汽车购买2辆，B种型号的汽车购买5辆；【分析】（1）根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可；（1）解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得2a+3b=803a+2b=95解得a=25b=10答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；（2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，,由题意可得25m+10n=100，且m＞0，n＞0，∴m=2n=5∴A种型号的汽车购买2辆，B种型号的汽车购买5辆；【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．21．（8分）（2022春·全国·八年级期末）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=7令m=2x+3y，n=2x−3y．原方程组化为m4解得m=60n=−24把m=60n=−24代入m=2x+3y，n=2x−3y得2x+3y=602x−3y=−24解得x=9y=14∴原方程组的解为x=9y=14请你参考小明同学的做法解方程组：(1)2(x+1)+3(y−2)=1(2)x+y【答案】(1)x=1(2)x=−6【分析】(1)令m=x+1，n=y−2，原方程组变形为2m+3n=1m−2n=4，解得m=2n=−1，还原方程组得(2)令p=x+y，【详解】（1）令m=x+1，n=y−2，方程组2(x+1)+3(y−2)=1x+1−2(y−2)=4变形为解得m=2n=−1所以x+1=2y−2=−1解得x=1∴原方程组的解为x=1y=1（2）令p=x+y原方程组化为p解得p=−2q=−10把p=−2q=−10代入得x+y=−2x−y=−10解得x=−6y=4【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．22．（8分）（2022秋·北京怀柔·七年级校考期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1(1)填空：将y−5=4x3x−2y−3=0写成矩阵形式为：_(2)若矩阵a−5−3−4b−3所对应的方程组的解为x=1【答案】(1)−4(2)a=2【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：−4x+y=53x−2y=3（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解x=1y=1代入方程组，解得系数a、b【详解】（1）解：整理方程得，−4x+y=53x−2y=3因此矩阵形式为：−41（2）根据矩阵形式得到方程组为：ax−5y=−3−4x+by=−3将x=1y=1代入上述方程得，a−5=−3解得：a=2b=1【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算．23．（8分）（2022春·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）若在意一个三位数M，满足各数位上的数字均不为0，百位上的数字与十位上的数字的2倍之和等于十位上的数字与个位上的数字的2倍之和，则称这个三位数M为“双增数”．对于一个“双增数”M=abc，规定：s=a+c，t=b+c，F例如，M=243，因为2+2×4=4+2×3，故M是一个“双增数”，s=2+3=5，t=4+3=7，则FM(1)请判断365，597是不是“双增数”，说明理由．若是，请求出FM(2)若三位数N为“双增数”，N的百位数字为x−1，个位数字为y（其中x，y是正整数，且3≤y≤7），当N各数位上的数字之和与FN的和能被17整除时，求所有满足条件的“双增数”N【答案】(1)365不是“双增数”；597是“双增数”，F597(2)354，825【分析】（1）根据“双增数”的概念判断即可；（2）根据条件，建立关于x，y的方程求解．【详解】（1）解：365不是“双增数”，597是“双增数”，理由如下：∵3+2×6=15，6+2×5=16，∴3+2×6≠6+2×5，∴365不是“双增数”；∵5+2×9=23，9+2×7=23，∴5+2×9=9+2×7，∴597是“双增数”，∴s=5+7=12，t=9+7=16，∴F597（2）设N的十位数字是a，∵N是“双增数”，∴x−1+2a=a+2y，∴a=2y−x+1，∴s=x−1+y，t=a+y=3y−x+1，∴F=x+9y−1，∴N各数位上的数字之和与FN的和：=x−1+2y−x+1+y+x+9y−1=x+12y−1，∵N各数位上的数字之和与FN的和能被17整除，且3≤y≤7∴当y=4，x=4符合题意，此时N=354，当y=5，x=9符合题意，此时N=825．∴所有满足条件的“双增数”N的值为354，825．【点睛】本题考查用新定义解题，一次不定方程．理解新定义是求解本题的关键．专题9.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等式的概念及意义】 1【题型2取值是否满足不等式】 2【题型3根据实际问题列出不等式】 2【题型4在数轴上表示不等式】 2【题型5利用不等式的性质判断正误】 3【题型6利用不等式性质比较大小】 4【题型8利用不等式性质证明（不）等式】 5【题型9利用不等式性质求取值范围或最值】 6【题型10不等关系的简单应用】 6【知识点1认识不等式】定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.【题型1不等式的概念及意义】【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是．【题型2取值是否满足不等式】【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有个．【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（）A．x+2＜4 B．13x＞3 C．2x﹣1＜3 D．3x【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．3【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．（1）0是这个不等式的一个解：；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：；（3）0不是这个不等式的解：.【题型3根据实际问题列出不等式】【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为．【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是．【题型4在数轴上表示不等式】【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为．【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝．【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式（1）x＜﹣1（2）﹣2＜x≤3．【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（）A． B． C． D．【知识点2不等式的基本性质】性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。若a＞b，则a±c＞b±c.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜【题型5利用不等式的性质判断正误】【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．−【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，则ab＜0 D．若ab＞1，则a【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有（填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）（6）若a＞b＞0，则1a＜1b．【题型6利用不等式性质比较大小】【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣31．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4b﹣4（2）a5（3）﹣2a﹣2b．【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【题型7利用不等式性质化简不等式】【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．（1）13x＞−23x﹣2（2）12x【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【题型8利用不等式性质证明（不）等式】【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求证：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求证：ac【问题探究】（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：）即﹣ac＞﹣bc不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：）合并同类项可得：bc＞ac即：ac＜bc得证．（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求证：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【题型9利用不等式性质求取值范围或最值】【例9】（2022春•龙凤区期中）已知实数x，y，z满足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，则x+y+z的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式9-1】（2022春•郫都区校级期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是．【变式9-2】（2022•天门校级自主招生）已知正数a、b、c满足a2+c2＝16，b2+c2＝25，则k＝a2+b2的取值范围为．【变式9-3】（2022春•朝阳区校级期中）已知a，b，c为整数，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．【题型10不等关系的简单应用】【例10】（2022春•饶平县校级期末）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？【变式10-1】（2022春•巩义市期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）A．D＜B＜A＜C B．B＜D＜C＜A C．B＜A＜D＜C D．B＜C＜D＜A【变式10-2】（2022春•兰山区期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．反之也成立．这种方法就是求差法比较大小．请运用这种方法解决下面这个问题：制作某产品有两种用料方案，方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一总面积记为S1，方案二总面积记为S2，则S1S2（填“＞，＜或＝”）．【变式10-3】（2022•苏州自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（）A．a+b2＞c+d2 B．c+d2专题9.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1不等式的概念及意义】 1【题型2取值是否满足不等式】 3【题型3根据实际问题列出不等式】 4【题型4在数轴上表示不等式】 6【题型5利用不等式的性质判断正误】 8【题型6利用不等式性质比较大小】 10【题型8利用不等式性质证明（不）等式】 14【题型9利用不等式性质求取值范围或最值】 17【题型10不等关系的简单应用】 19【知识点1认识不等式】定义：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的式子，叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.【题型1不等式的概念及意义】【例1】（2022春•郏县期中）在数学表达式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】主要依据不等式的定义──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来解答．【详解】解：因为除③x＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中都含不等号，都是不等式，共4个．故选：C．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞,＜,≤,≥,≠．【变式1-1】（2022春•苍溪县期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此选项不符合题意；B、x，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；C、x+y，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；D、x﹣3＞0是不等式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：＞，＜，≤，≥，≠等．【变式1-2】（2022春•平泉市期末）某种牛奶包装盒上表明“净重205g，蛋白质含量≥3%”．则这种牛奶蛋白质的质量是（）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可．【详解】解：∵205×3%＝6.15（g），蛋白质含量≥3%，∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上，故选：C．【点睛】本题考查了不等式的定义，掌握≥表示大于或等于是解题的关键．【变式1-3】（2022春•曲阳县期末）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．【题型2取值是否满足不等式】【例2】（2022春•卧龙区期中）下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的个数有4个．【分析】解得不等式后根据x的取值范围确定个数即可．【详解】解：解1﹣2x＞0，解得：x＜1满足x＜1故答案为：4．【点睛】本题考查了不等式的解集的知识，解答时也可以将x的值代入看能否满足不等式，满足可以，否则不可以．【变式2-1】（2022春•泸县期末）x＝3是下列哪个不等式的解（）A．x+2＜4 B．13x＞3 C．2x﹣1＜3 D．3x【分析】根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集，可得答案．【详解】解：A、x＜2，故A不是不等式的解；B、x＞9，故B不是不等式的解；C、x＜2，故C不是不等式的解；D、x＞83，故故选：D．【点睛】本题考查了不等式的解集，先解不等式，再选出答案．【变式2-2】（2022春•雁塔区校级期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．3【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论．【详解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的数，∴3是不等式的解．故选：D．【点睛】本题考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键．【变式2-3】（2022春•夏津县期中）请写出满足下列条件的一个不等式．（1）0是这个不等式的一个解：x＜1；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：x＜2；（3）0不是这个不等式的解：x＜0．【分析】根据不等式的解集，即可解答．【详解】解：（1）x＜1，（答案不唯一）（2）x＜2，（答案不唯一）（3）x＜0，（答案不唯一）故答案为：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集．【题型3根据实际问题列出不等式】【例3】（2022春•川汇区期末）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【分析】由题意可得，小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，由图可知：小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，所以此时电梯乘载的重量x+40≤300，解得x≤260，因为小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，所以此时电梯乘载的重量x+40+50＞300，解得x＞210，因此210＜x≤260．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．【变式3-1】（2022•南京模拟）据深圳气象台“天气预报”报道，今天深圳的最低气温是25℃，最高气温是32℃，则今天气温t（℃）的取值范围是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【分析】根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32，再找出t的公共解集即可．【详解】解：根据今天的最低气温是25℃可得：t≥25，根据最高气温是32℃可得：t≤32，则气温范围是：25≤t≤32，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题列不等式，关键是抓住关键词“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．【变式3-2】（2022春•玉田县期末）用不等式表示“a是负数”应表示为a＜0．【分析】根据题意可得，负数小于0，由此列出不等式即可．【详解】解：根据题意，得a＜0．故答案为：a＜0．【点睛】本题考查列不等式，所考查的知识点是：负数小于0．【变式3-3】（2022秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是7.5≤x≤40．【分析】若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间．【详解】解：若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间，所以7.5≤x≤40．故答案为：7.5≤x≤40．【点睛】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．【题型4在数轴上表示不等式】【例4】（2022•嘉善县模拟）数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为﹣1≤x＜2．【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【详解】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆，表示x≥﹣1；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，不等式组的解集是指它们的公共部分．所以这个不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．故答案为：﹣1≤x＜2．【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式4-1】（2022春•永丰县期中）不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示，则a＝2．【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可．【详解】解：根据数轴上的解集得：a＝2，故答案为：2【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【变式4-2】（2022秋•衢州期中）在数轴上表示下列不等式（1）x＜﹣1（2）﹣2＜x≤3．【分析】（1）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．（2）根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示．【详解】解：（1）将x＜﹣1表示在数轴上如下：（2）将不等式组﹣2＜x≤3表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．【变式4-3】（2022•防城港模拟）在数轴上表示﹣2≤x＜1正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左画出图形即可得到答案．【详解】解：﹣2是实心点，方向向右，1是空心点，方向向左，如图所示：故选：D．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，掌握“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”是解题的关键．【知识点2不等式的基本性质】性质1：若a＜b，b＜c，则a＜c.这个性质叫做不等式的传递性.性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。若a＞b，则a±c＞b±c.性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜【题型5利用不等式的性质判断正误】【例5】（2022春•雁塔区校级期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a2＜ab C．2a＜2b D．−【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴3﹣a＞3﹣b，∴选项A不符合题意；∵a＜b，∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），∴选项B符合题意；∵a＜b，∴2a＜2b，∴选项C不符合题意；∵a＜b，∴−a∴选项D不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【变式5-1】（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是（）A．若a＞b，c≠0，则ac＞bc B．若ab＜0，则a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，则ab＜0 D．若ab＞1，则a【分析】根据不等式的基本性质判断A，D选项；根据有理数的乘法法则判断B，C选项．【详解】解：A选项，当c＜0时不成立，故该选项不符合题意；B选项，也可能是a＜0，b＞0，故该选项不符合题意；C选项，若a＞0，b＜0，则ab＜0，故该选项符合题意；D选项，当b＜0时不成立，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．【变式5-2】（2022春•大埔县期末）下列结论正确的有①④（填序号）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．【详解】解：①∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣d，故①正确．②当b＜0时，ab故②错．③若a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但1a故③错．④∵ac∴c2＞0，∴a＜b，故④正确．故答案为：①④．【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．【变式5-3】（2022春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；√（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；×（3）若a＞b，则ac2＞bc2；×（4）若ac2＞bc2，则a＞b；√（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）．√（6）若a＞b＞0，则1a＜1【分析】利用不等式的性质逐个判断即可．【详解】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a＞b，当c＝0时则ac2＞bc2错误，故错误；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；（5）若a＞b，根据c2+1，则a（c2+1）＞b（c2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a＝2，b＝1，则1a故答案为：√、×、×、√、√、√．【点睛】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．【题型6利用不等式性质比较大小】【例6】（2022春•闵行区期中）如果7x＜4时，那么7x﹣3＜1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．【详解】解：∵7x＜4，∴7x﹣3＜4﹣3，即7x﹣3＜1．故答案为：＜．【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．【变式6-1】（2022春•辉县市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4＜b﹣4（2）a5＜（3）﹣2a＞﹣2b．【分析】（1）根据不等式的基本性质，两边同时﹣4，不等号的方向不变即可解答：（2）根据不等式的基本性质，两边同时除以5，不等号的方向不变解答即可：（3）根据不等式的基本性质，两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变即可解答．【详解】解：（1）根据不等式的基本性质1可得：a﹣4＜b﹣4；（2）根据不等式的基本性质2可得：a5（3）根据不等式的基本性质3可得：﹣2a＞﹣2b，故答案为＜，＜，＞．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式6-2】（2022春•饶平县校级期末）要比较两个数a、b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决：（1）如果a﹣b＞0，则a＞b；（2）如果a﹣b＝0，则a＝b；（3）如果a﹣b＜0，则a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，试比较x、y的大小．【分析】利用作差法可比较x、y的大小．【详解】解：由于x﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．所以x＞y．【点睛】本题考查了不等式的性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式6-3】（2022春•濉溪县期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）＞b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【分析】根据不等式的性质进行解答．【详解】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．故答案是：＞．【点睛】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是本题的关键，不等式的基本性质是：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【题型7利用不等式性质化简不等式】【例7】（2022秋•余杭区期中）利用不等式的性质解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去5，不等号的方向不变．利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以﹣5，不等号的方向改变．【详解】解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得﹣5x＜﹣15，根据不等式的性质3，在不等式﹣5x＜﹣15的两边同时除以﹣5，得x＞3．【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．【变式7-1】（2022秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【分析】（1）根据移项、合并同类项，系数化为1，可得答案；（2）根据去括号、移项、系数化为1，可得答案．【详解】解：（1）移项，得2x＞3﹣5，合并同类项，得2x＞﹣2，系数化为1，得x＞﹣1；（2）去括号，得，﹣6x+6＜0，移项，得﹣6x＜﹣6，系数化为1，得x＞1．【点睛】本题考查了不等式的性质，利用了解不等式的一般步骤，不等式的两边都除以同一负数，不等号的方向改变．【变式7-2】（2022秋•余杭区期中）试依据不等式的基本性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）．（1）13x＞−23x﹣2（2）12x【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变作答．【详解】解：（1）利用不等式的基本性质1，在不等式的两边都加上23x，得13x+23x＞−即x＞﹣2；（2）根据不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘以2，得12x×2≤12即x≤6﹣x，①再由不等式的基本性质1，在不等式①的两边同时加上同一个整式x，得2x≤6，②最后利用不等式的性质2，在不等式的两边同时除以2，得x≤3．【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【变式7-3】（2022秋•湖州期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【分析】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可．【详解】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减7，不等号的方向不变，得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去5x，不等号的方向不变，得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；（3）根据不等式性质2，不等式两边同乘以5，不等号的方向不变，得x＜2；【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，需熟练掌握．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【题型8利用不等式性质证明（不）等式】【例8】（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：【问题背景】小明在学习完不等式的性质之后，思考：“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求证：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求证：ac【问题探究】（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）即﹣ac＞﹣bc不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变）合并同类项可得：bc＞ac即：ac＜bc得证．（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可；（2）仿照（1）的方法进行求解即可．【详解】解：（1）∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），即﹣ac＞﹣bc，不等式的两端同时加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变），合并同类项可得：bc＞ac，即：ac＜bc，得证．故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号不变；（2）∵c＜0，即c是一个负数∴c的相反数是正数，即﹣c＞0∵a＞b∴a−c即−a不等式的两端同时乘以﹣1可得：−ac×即：ac【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质．【变式8-1】（2022春•武侯区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变，可得答案．【详解】证明：∵a＞b，c＞0，∴﹣ac＜﹣bc．f﹣ac＜f﹣bc．∵e＞f，∴e﹣bc＞f﹣bc．∴f﹣ac＜e﹣bc．【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．【变式8-2】（2022春•江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：b＜a．【分析】根据不等式的性质得出2b＜a+1，1+a＜2a，根据不等式的传递性从而得出结论．【详解】证明：因为b＜c，所以2b＜b+c，由b+c＜a+1，得2b＜a+1，由1＜a，得1+a＜2a，所以2b＜1+a＜2a，∴b＜a成立．【点睛】本题考查了不等式的性质，要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．【变式8-3】（2022春•夏津县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求证：（1）a＞c；（2）﹣2＜b【分析】（1）根据等式的性质可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性质可得b＜﹣a，再根据2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，结合不等式的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，又