数学复习顶层设计配餐作业曲线与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精配餐作业(五十八)曲线与方程(时间：40分钟）一、选择题1．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M（－1,2）,Q是线段PM延长线上的一点，且｜PM｜＝｜MQ｜，则Q点的轨迹方程是（)A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x,y),则P为（－2－x,4－y),代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0。故选D。答案D2．已知两定点A(－2，0),B(1,0)，如果动点P满足|PA｜＝2|PB｜，则动点P的轨迹是（）A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线解析设P(x，y)，则eq\r（x＋22＋y2)＝2eq\r（x－12＋y2)，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16〉0，所以动点P答案B3．已知点Feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，4），0）),直线l:x＝－eq\f(1,4)，点B是l上的动点。若过B作垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是(）A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线解析由已知得｜MF|＝|MB｜.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线。故选D.答案D4．已知A(0,7)，B（0，－7），C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（）A．y2－eq\f(x2,48）＝1(y≤－1） B．y2－eq\f（x2,48)＝1C．y2－eq\f（x2,48）＝－1 D．x2－eq\f(y2，48）＝1解析由题意，得｜AC｜＝13，｜BC|＝15,|AB|＝14,又|AF|＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴|AF｜－|BF|＝|BC｜－｜AC|＝2。故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支。∵c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－eq\f（x2，48）＝1（y≤－1)。故选A.答案A5．经过抛物线y2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是（)A．抛物线 B．椭圆C．双曲线 D．直线解析设抛物线的焦点为F，坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（p，2），0）)，弦AB中点坐标为(x，y），且A(x1，y1）,B(x2,y2），由点差法得kAB＝eq\f(2p，y1＋y2)＝eq\f（2p，2y）＝kMF＝eq\f（y,x－\f(p，2))化简得y2＝peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)）)，故轨迹为抛物线。故选A。答案A6．(2017·衡水调研卷）双曲线M：eq\f(x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB,则动点Q的运动轨迹为（)A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线解析A(－a,0），B（a，0),设Q(x，y)，P（x0，y0），kAP＝eq\f（y0，x0＋a)，kBP＝eq\f(y0,x0－a）,kAQ＝eq\f（y，x＋a），kBQ＝eq\f(y,x－a），由QA⊥PA且QB⊥PB,得kAPkAQ＝eq\f（y0,x0＋a）·eq\f(y,x＋a）＝－1，kBPkBQ＝eq\f(y0,x0－a）·eq\f(y,x－a）＝－1.两式相乘即得轨迹为双曲线。故选C。答案C二、填空题7．长为3的线段AB的端点A，B分别在x,y轴上移动，动点C（x，y)满足eq\o（AC,\s\up6（→)）＝2eq\o(CB，\s\up6(→））,则动点C的轨迹方程为__________________。解析设A(a,0)，B（0，b)，则a2＋b2＝9。又C（x,y），则由eq\o(AC，\s\up6(→)）＝2eq\o(CB,\s\up6(→）），得(x－a，y）＝2(－x，b－y)。即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－a＝－2x，，y＝2b－2y，))即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3x，，b＝\f（3,2）y，）)代入a2＋b2＝9,并整理，得x2＋eq\f(1，4)y2＝1。答案x2＋eq\f（1，4)y2＝18．在平面直角坐标系xOy中，若定点A（1，2）与动点P(x,y）满足向量eq\o(OP，\s\up6（→））在向量eq\o(OA,\s\up6（→）)上的投影为－eq\r(5)，则点P的轨迹方程是__________________。解析由eq\f(\o(OP，\s\up6(→))·\o(OA，\s\up6（→)）,｜\o(OA，\s\up6（→）)|）＝－eq\r（5），知x＋2y＝－5,即x＋2y＋5＝0.答案x＋2y＋5＝09．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB的中点为M，则点M的轨迹方程是____________________。解析由题意知F(1，0），设A(x1,y1），B（x2，y2)，M(x，y）,则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y,yeq\o\al(2，1)＝4x1,yeq\o\al(2，2）＝4x2,后两式相减并将前两式代入,得(y1－y2）y＝2(x1－x2）.当x1≠x2时，eq\f(y1－y2，x1－x2)y＝2，又A，B，M，F四点共线，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(y,x－1），代入上式，得y2＝2（x－1);当x1＝x2时，M（1,0）也满足这个方程，即y2＝2（x－1)是所求的轨迹方程。答案y2＝2（x－1）三、解答题10．在平面直角坐标系中，已知A1(－eq\r（2)，0)，A2(eq\r(2)，0)，P(x,y)，M（x,1），N(x,－2)，若实数λ使得λ2eq\o(OM，\s\up6(→)）·eq\o(ON,\s\up6（→）)＝eq\o（A1P,\s\up6(→））·eq\o(A2P,\s\up6（→））（O为坐标原点).求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型。解析eq\o(OM,\s\up6(→)）＝(x,1)，eq\o(ON,\s\up6(→)）＝（x，－2），eq\o(A1P，\s\up6（→)）＝(x＋eq\r(2），y)，eq\o（A2P，\s\up6(→））＝（x－eq\r（2),y）。∵λ2eq\o(OM，\s\up6(→)）·eq\o(ON，\s\up6（→)）＝eq\o(A1P，\s\up6(→))·eq\o（A2P,\s\up6(→))，∴（x2－2）λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2)x2＋y2＝2（1－λ2）为点P的轨迹方程。①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2,轨迹为圆；③当λ∈(－1，0)∪（0,1)时，方程为eq\f（x2,2)＋eq\f(y2，21－λ2)＝1，轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞,－1）∪（1，＋∞)时,方程为eq\f(x2，2）－eq\f(y2,2λ2－1)＝1,轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。答案见解析11．（2016·安徽淮南二模)已知点A(－2，0），P是⊙O：x2＋y2＝4上任意一点，P在x轴上的射影为Q，eq\o(QP,\s\up6(→)）＝2eq\o(QG，\s\up6（→)），动点G的轨迹为C，直线y＝kx(k≠0)与轨迹C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.（1）求轨迹C的方程；（2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。解析（1）设G（x，y),∴Q(x，0），∵eq\o(QP,\s\up6（→））＝2eq\o(QG,\s\up6(→））,∴P（x，2y）,∵P在⊙O：x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4.∴轨迹C的方程为eq\f（x2，4)＋y2＝1.（2)经过定点.设点E(x0，y0）（不妨设x0〉0）,则点F(－x0，－y0)。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,4)＋y2＝1，））消去y得x2＝eq\f(4,1＋4k2)。所以x0＝eq\f(2,\r(1＋4k2))，则y0＝eq\f(2k，\r(1＋4k2)）。所以直线AE的方程为y＝eq\f(k,1＋\r（1＋4k2）)（x＋2)则Meq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（2k,1＋\r（1＋4k2)））)。同理可得点Neq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f(2k，1－\r（1＋4k2）)））。所以｜MN|＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（2k，1＋\r(1＋4k2））－\f(2k，1－\r(1＋4k2)）））＝eq\f（\r（1＋4k2),｜k｜）。设MN的中点为P，则点P的坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，－\f(1，2k）)）。则以MN为直径的圆的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（y＋\f（1，2k))）2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（1＋4k2)，2｜k|））)2，即x2＋y2＋eq\f(1，k)y＝1。令y＝0，得x2＝1，即x＝1或x＝－1。故以MN为直径的圆经过两定点(1，0)，(－1，0）。答案（1）eq\f(x2,4)＋y2＝1（2）经过两定点(1,0）,(－1，0)(时间:20分钟)1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程2eq\r（x)＋y＝0"的(）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解析点M的坐标满足方程2eq\r(x）＋y＝0,则点M在曲线y2＝4x上,是必要条件；但当y>0时，点M在曲线y2＝4x上，点M的坐标不满足方程2eq\r（x）＋y＝0，不是充分条件.故选B。答案B2．动圆M经过双曲线x2－eq\f（y2，3）＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析双曲线x2－eq\f(y2，3）＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x。故选B。答案B3．(2016·湖南东部六校联考）已知两定点A（0，－2)，B(0,2），点P在椭圆eq\f(x2，12)＋eq\f（y2,16）＝1上，且满足｜eq\o(AP，\s\up6(→）)|－|eq\o（BP，\s\up6(→））|＝2,则eq\o（AP，\s\up6（→))·eq\o（BP,\s\up6(→)）为(）A．－12 B．12C．－9 D．9解析由｜eq\o(AP,\s\up6(→））|－|eq\o(BP,\s\up6(→））|＝2，可得点P(x,y）的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的上支，且2a＝2，c＝2,∴b＝eq\r（3).∴点P的轨迹方程为y2－eq\f（x2，3)＝1(y≥1)。由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(x2,12)＋\f（y2，16）＝1，,y2－\f(x2,3)＝1，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝9，，y2＝4，）)所以eq\o（AP，\s\up6（→)）·eq\o（BP,\s\up6(→）)＝(x，y＋2)·（x，y－2)＝x2＋y2－4＝9＋4－4＝9，故选D.答案D4．（2016·全国卷Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点。(1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。解析由题知Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，0))。设l1：y＝a，l2:y＝b,则ab≠0，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a2,2)，a))，Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(b2，2)，b）），Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，a））,Qeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，b）），Req\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，\f(a＋b，2）））。记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b)y＋ab＝0。（1）证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0。记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2,则k1＝eq\f(a－b,1＋a2)＝eq\f(a－b，a2－ab)＝eq\f(1，a）＝eq\f(－ab，a)＝－b＝k2.所以AR∥FQ。（2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝eq\f(1,2)｜b－a|｜FD|＝eq\f（1,2）|b－a｜eq\b\lc\｜\rc