数学复习分类汇编圆锥曲线抛物线及其性质（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第3节抛物线及其性质题型120抛物线的定义与标准方程1。（2013浙江理15）设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若,则直线的斜率等于________.2。(2013全国新课标卷理11）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（）。A。或B。或C.或D.或3.（2013山东理11）抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（).A。B。C.D。4.(2013天津理5）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为,则().A．B．C．D．5.(2014湖南理15）如图所示，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过，两点，则________.6.（2015陕西理14）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则________．6．解析的焦点坐标为，抛物线准线方程为，所以。命题意图考查双曲线、抛物线的基本概念.7。(2016全国乙理10)以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知，,则的焦点到准线的距离为（）.A.B。C.D。7。B分析以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理。解析设抛物线为，圆的方程为，如图所示.设，，点在抛物线上，所以，得，联立①②，解得,即。则的焦点到准线的距离为4。故选B。8.（2016浙江理9）若抛物线上的点到焦点的距离为,则到轴的距离是_______．8。解析由题意知，该抛物线的焦点，准线为.因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以,所以点到轴的距离为9。9。(2017北京理18（1))已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，,过点作轴的垂线分别与直线,交于点，，其中为原点.(1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；9。解析(1)由抛物线过点，得。所以抛物线的方程为,抛物线的焦点坐标为，准线方程为。10.（2017全国2卷理科16)已知是抛物线的焦点,是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点,则．10．解析由，得，焦点为，准线.如图所示，由为的中点,故易知线段为梯形的中位线.因为,,所以.又由抛物线的定义知,且，所以.题型121与抛物线有关的距离和最值问题——暂无1.（2014新课标1理10）已知抛物线：的焦点为，准线为,是上一点，是直线与的一个交点,若，则（）.A.B。C.D.2。（2017全国1卷理科10）已知为抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，,直线与交于，两点,直线与交于，两点，则的最小值为（）.A．B．C．D．2.解析解法一：设直线的斜率为,则直线的斜率为，设，，，,直线，直线。联立，消去整理得，所以，同理,从而,当且仅当时等号成立。故选A。解法二:设的倾斜角为，抛物线的准焦距为．作垂直准线于点，垂直轴于点，如图所示。易知，所以，即，同理，所以.又与垂直,即的倾斜角为，。而，即，所以，当时取等号，即的最小值为。故选A.题型122抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无1.(2014新课标2理10）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于于两点,为坐标原点,则的面积为（).A.B。C.D。2。(2014四川理10）已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧,（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）。A．B．C．D．3.(2015浙江理5）如图，设抛物线的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上,则与的面积之比是（）．A.B。C.D。3。解析依题意，．故选A．4。(2016天津理14）设抛物线(为参数，）的焦点为,准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为。设，与相交于点.若，且的面积为,则的值为_________。4。解析抛物线的普通方程为,，.又，则。由抛物线的定义得，所以，则.由，得，所以，，即，．5.（2016上海理20）有一块正方形菜地,所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是,菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示．（1）求菜地内的分界线的方程;(2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为的点，请计算以为一边,另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的经验值．5.解析（1）不妨设设分界线上任一点为,依题意化简得．（2)因为,所以，设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则,设