第一节 定积分的概念

第一节定积分的概念第五章定积分5.1定积分的概念和性质

主要内容和学习目标定积分的定义（理解）定积分的几何意义（理解）引进定积分概念的两个例子（理解）定积分的性质（会应用）一、引进定积分概念的两个例子1.曲边梯形的面积曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b

与x

轴围成的平面图形AabB.yxOabABx=ax=by=f(x)基于这种想法，

可以用一组平行于y

轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，

则其高f(x)的变化就很小.

这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形，曲线y=f(x)是连续的，

所以，当点x在区间[a,b]

上某处变化很小时，

则相应的高f(x)也就变化不大.一、引进定积分概念的两个例子显然，分割越细，近似程度就越高，当无限细分时，

则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积.一、引进定积分概念的两个例子(1)分割在区间[a,b]内任意插入n–1个分点：a=x0<x1<x2<···<xi-1<xi<···<xn-1<xn=b，

把区间[a,b]分成n个小区间：[x0,x1]，[x1,x2]，·

·

·，[xi-1,xi

]，·

·

·，[xn-1,xn].这些小区间的长度分别记为

xi

=xi

–xi-1(i=1,2,···,n).过每一分点作平行于y

轴的直线，

它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形.可按下面四步计算曲边梯形面积a=x0x1xi-1xn=

bOy=f(x)yBAxxiOyBAx一、引进定积分概念的两个例子(2)近似代替在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,·

·

·,n)上取一点xi(xi-1≤xi≤

xi),以

f(xi)为高，

xi为底作小矩形，用小矩形面积f

(xi)

xi

近似代替相应的小曲边梯形面积

Ai，即

Ai

f

(xi)

xi(i=1,2,·

·

·,n).x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=

bxi(4)取极限当分点个数n

无限增加，即（3）求和把n

个小矩形面积加起来，它就是曲边梯形面积的近似值，即

且小区间长度的最大值

(即

=max{xi})趋近于0时，

上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，2.变速直线运动的路程设一物体作直线运动，

已知速度v=v(t)是时间t

的连续函数，

求在时间间隔[T1,T2]上物体所经过的路程s.(1)分割在时间间隔[T1,T2]内任意插入n

-1

个分点：T1

=t0<t1<t2<·

·

·<ti-1<ti<·

·

·<tn-1<tn=T2，

把[T1,T2]分成n

个小区间：[t0,t1]，[t1,t2]，·

·

·，[ti-1,ti

]，·

·

·，[tn-1,tn].这些小区间的长度分别为：

ti

=ti

–ti–1(i=1,2,·

·

·,n).相应的路程s被分为n段小路程：si

(i=1,2,·

·

·,n).一、引进定积分概念的两个例子(2)近似代替在每个小区间上任意取一点xi

(ti-1≤

xi

≤

ti),用xi

点的速度v

(xi)

近似代替物体在小区间上的速度，用乘积v

(xi)

ti

近似代替物体在小区间[ti-1,

ti

]

上所经过的路程

si，即

si

v(xi)

ti(i=1,2,·

·

·,n).一、引进定积分概念的两个例子(3)求和(4)取极限一、引进定积分概念的两个例子二、定积分的定义定义

设函数

f(x)在区间

[a,b]上有定义．任意取分点a=x0<x1<x2<

·

·

·<xi-1<xi<·

·

·<xn-1<xn=b把区间[a,b]分成

n个小区间[xi-1,xi]，

称为子区间，其长度记为

xi

xi–

xi-1(i=1,2,·

·

·,n)在每个子区间

[xi-1,xi]上,任取一点

xi

(xi-1≤

xi

≤xi

)，得相应的函数值

f(xi

)，作乘积f(xi

)

xi(i=1,2,·

·

·,n)，

把所有乘积加起来，得和式当

n无限增大，且子区间的最大长度

l(即l=max{

xi})

趋于零时，

如果上述和式的极限存在，则称函数

f(x)在区间[a,b]上可积，并将此极限值称为函数

f(x)在[a,b]

上的定积分，记作即二、定积分的定义f(x)：被积函数；x：积分变量；a与b：积分下限与上限.符号读作函数

f(x)从a

到

b的定积分.f(x)dx：被积表达式或称被积分式；其中：[a,b]

：积分区间；二、定积分的定义关于定积分定义的几点说明：(1)

所谓和式极限(即函数f(x)可积)，

是指无论对区间[a,b]

怎样分法，

也不论对点xi

(i=1,2,·

·

·,n)怎样取法，极限都存在且有相同的极限值.二、定积分的定义(2)

可以证明，闭区间上连续函数(3)

因为定积分是和式极限，

它是由函数f(x)与区间[a,b]所确定的，

因此，它与积分变量的记号无关，即

或只有有限个第一类间断点的函数是可积的.二、定积分的定义

(4)

该定义是在积分下限a小于积分上限b的情况下给出的，

此时，只要把插入分点的顺序反过来写a=x0>x1>x2>

·

·

·>xi-1>xi>·

·

·>xn-1>xn=b由于xi-1>xi，

xi=xi-xi-1<0，于是有特殊地，当a=b时，如果a>b，同样可给出定积分即可，二、定积分的定义根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：

(1)

曲边梯形面积A

是曲边函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即

(2)

变速直线运动的路程s是速度函数v(x)在时间间隔[T1,T2]

上的定积分，即二、定积分的定义例

1

用定义计算解被积函数f(x)=e-x，在区间[0,1]

上连续，所以e-x

在[0,1]

上可积.为了计算方便起见，把区间[0,1]

等分成n份，分点为二、定积分的定义每个子区间的长度都是在每个子区间上都取左端点为xi，于是和式为二、定积分的定义当l=max{

xi}0+时，即n

+

有于是有二、定积分的定义AabBy=f(x)三、定积分的几何意义当f(x)>0时，

定积分在几何上表示

曲边y=f