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文档简介

第四节定积分的换元积分法5.3

定积分的换元积分法与分部积分法主要内容和学习目标定积分的分部积分法（会应用）定积分的换元积分法（会应用）一、定积分的换元积分法定理若函数f(x)在区间[a,b]

上连续．函数x=j(t)

在区间[a,b]上单调且有连续导数j

(t)，当t

在[a,b](或[b,a])上变化时，x=j(t)的值在[a,b]上变化，

且j(a)=a，j(b)=b(或j(a)=b，j(b)=a

)则证因为f(x)在区间[a,b]上连续，所以它可积.设F(x)是f(x)的一个原函数，

则由牛顿-

莱布尼茨公式得由不定积分换元法得知于是一、定积分的换元积分法例1计算解用定积分换元法.则x=t2，dx=2tdt，于是一、定积分的换元积分法例

2计算解则x=ln(t2

-1)

，于是xtln3ln823一、定积分的换元积分法例

3设函数f(x)在对称区间[-

a,a]上连续，求证：(2)

当

f(x)为偶函数时，(3)

当

f(x)为奇函数时，证

(1)根据定积分性质3，则则①(1)得一、定积分的换元积分法对①式右端第一个积分用换元积分法，令x=-

t，则dx=-dt，xt-a0

a0，于是把②式代入①式中，得②一、定积分的换元积分法(2)

因为f(x)是偶函数，即f(-

x)=f(x)，得(3)

因为f(x)是奇函数，即f(-

x)=-

f(x)，得一、定积分的换元积分法例

4计算解易知因此

且积分区间对称于原点，一、定积分的换元积分法例

5计算解因为被积函数

且积分区间对称于原点，令x=2sint，则dx=2costdt，xt010，于是得一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法例

6证明证：根据三角函数关系则dx=-dt，

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