2025届新高考数学精准冲刺复习导数综合运用

2025届新高考数学精准冲刺复习导数综合运用CONTENTS目录1导数的运算2利用导数研究曲线上某点切线方程3利用导数研究函数的单调性4利用导数研究函数的最值

一．导数的运算

所以方程f(x)-x=0只有一个实数根；(8分)(III)不妨设x2＜x3，因为f'(x)＞0，所以f(x)为增函数，所以f(x2)＜f(x3)，又因为f'(x)-1＜0，所以函数f(x)-x为减函数，所以f(x2)-x2＞f(x3)-x3，所以0＜f(x3)-f(x2)＜x3-x2，即|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|，所以|f(x3)-f(x2)|＜|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2(13分)

二．利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】解：(Ⅰ)当x＞1时，f(x)=2x∈(2，+∞)，f(x)在(1，+∞)上封闭，g(x)=log2x∈(0，+∞)，g(x)在(1，+∞)上不封闭；(Ⅱ)证明：设f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))(n∈N*，n≥2)，先证：fn(x)在D上封闭的充分条件是f1(x)在D上封闭，任取x∈D，∵f1(x)在D上封闭，∴f2(x)=f(f1(x))∈D，…，fn(x)=f(fn-1(x)))∈D，∴fn(x)在D上封闭的充分条件是f1(x)在D上封闭；再证：fn(x)在D上封闭的必要条件是f1(x)在D上封闭．考虑运用反证法，假设f1(x)在D上不封闭，即存在x0∈D，使得f(x0)∉D，那么f2(x0)=f(f1(x0))无意义，这与fn(x)(n∈N*)的定义域均为D矛盾，故假设不成立，

三．利用导数研究函数的单调性4.如果函数y=f(x)在定义域内存在区间[a,b]，使f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b]，那么称f(x)为“倍增函数”．(Ⅰ)判断f(x)=x2是否为“倍增函数”，并说明理由；(Ⅱ)证明：函数f(x)=ex+x2-x-1是“倍增函数”；(Ⅲ)若函数f(x)=ln(ex+m)是“倍增函数”，写出实数m的取值范围．(只需写出结论)【解析】解：(I)f(x)=x2是“倍增函数”，理由如下：f(x)=x2的定义域是R，且在[0，+∞)上单调递增；所以，当x∈[0，2]时，f(x)∈[0，4]，所以，f(x)=x2是“倍增函数”．(II)f(x)=ex+x2-x-1的定义域是R．当x＞0时，f'(x)=ex+2x-1＞0，所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增．设g(x)=f(x)-2x=ex+x2-3x-1，g'(x)=ex+2x-3．设h(x)=g'(x)=ex+2x-3，h'(x)=ex+2＞0，所以，h(x)在区间(-∞，+∞)上单调递增．又h(0)=-2＜0，h(1)=e-1＞0，所以，存在唯一的x0∈(0，1)，使得h(x0)=g'(x0)=0，所以，当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表：x(-∞，x0)x0(x0，+∞)g'(x)-0+g(x)↘↗

6.对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定义：设f''(x)是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的导数．若f''(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”，现已知：g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，请解答下列问题：(Ⅰ)．若y=g(x)是R上的增函数，求证a=b=c；(Ⅱ)在(Ⅰ)．的条件下，求函数y=g(x)的“拐点”A的坐标，并证明函数y=g(x)的图象关于“拐点”A成中心对称．【解析】解：(I)∵g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，∴g'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac,∵y=g(x)是R上的增函数，∴g'(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立即4(a+b+c)2-12(ab+bc+ac)≤0则2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ac)≤0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0∴a=b=c；(II)由(I)得y=g(x)=(x-a)3g'(x)=3(x-a)2，g''(x)=6(x-a)=0解得x=a∴函数y=g(x)的“拐点”A的坐标为(a,0)设函数y=g(x)图象上任意一点(x,y)则关于(a,0)的对称点为(2a-x,-y)根据g(2a-x)=(a-x)3=-g(x)可知点(2a-x,-y)也在函数y=g(x)图象上∴函数y=g(x)的图象关于“拐点”A(a,0)成中心对称．

．(2)由题设知：g(x)的导函数g′(x)=h(x)(x2-2x+1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，+∞)都成立，所以，当x＞1时，g′(x)=h(x)(x-1)2＞0，从而g(x)在区间(1，+∞)上单调递增．①当m∈(0，1)时，有α=mx1+(1-m)x2＞mx1+(1-m)x1=x1，α＜mx2+(1-m)x2=x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)-g(β)|＜|g(x1)-g(x2)|，符合题设；②当m≤0时，α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2，β=mx2+(1-m)x1≤mx1+(1-m)x1=x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|，与题设不符．③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|，与题设不符因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为(0，1)．

【解析】解：(1)令F(x)=f(x)+g(x)=x2+x(x+2)(x-4)=x3-x2-8x,则F'(x)=3x2-2x-8=(3x+4)(x-2)．F(x)，F'(x)随x的值的变化情况如下表

并且有相同的单调区间．四．利用导数研究函数的最值10.设函数f(x)的定义域为R，若存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，都有f(x+T)=Af(x)成立，则称函数f(x)是“＜T，A＞函数”．(Ⅰ)判断函数f(x)=x是否是“＜T，A＞函数”，并说明理由；(Ⅱ)若函数f(x)是“＜π，2＞函数”，当x∈(-π，0]时，f(x)=sinx,求函数f(x)在区间[0，π]上的最小值；(Ⅲ)若函数f(x)=cosmx是“＜T，T＞函数”，求m的取值范围．【解析】解：(Ⅰ)∵若f(x)=x是“＜T，A＞函数，则存在常数T，A(T＞0，A＞0)，使得对任意x∈R，都有f(x+T)=Af(x)成立，∴对任意x∈R，都有x+T=Ax成立，

13.已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断，定义：f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b])，f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b])．其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值．若存在最小正整数k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”．(1)若f(x