2025届新高考数学精准冲刺复习集合

2025届新高考数学精准冲刺复习集合目录集合的含义01元素与集合关系的判断02集合的表示法03集合的包含关系判断及应用04子集与真子集05集合中元素个数的最值06集合关系中的参数取值问题07交集及其运算08子集与交集09一．集合的含义

二．元素与集合关系的判断2.已知集合A为非空数集．定义：S=|x=a+b,a,b∈A}T={x|x=|a-b|，a∈S}．(Ⅰ)若集合A={1，3}．直接写出集合S，T；(Ⅱ)若集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T=A．求证：x4=3x2；(Ⅲ)若集合．A⊆{x|0≤x≤2024，x∈N}，S∩T=∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．【解析】解：(Ⅰ)∵A={1，3}，S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a-b|，a,b∈A}，∴集合S={2，4，6}，集合T={0，2}．

3.对非空数集T，给出如下定义：定义1：若∀x,y∈T，当x+y≠x-y时，{x+y,x-y}∩T≠∅，则称T为强和差集；定义2：若∀x,y∈T，当x+y≠|x-y|时，{x+y,|x-y|}∩T≠∅，则称T为弱和差集．(Ⅰ)分别判断{0，1}是否为强和差集，{1，2}是否是弱和差集，并说明理由；(Ⅱ)若集合A={1，a,b}是弱和差集，求A；(Ⅲ)若强和差集B的元素个数为12，且1∈B，求满足条件的集合B的个数．

但必须满足1∈B，故满足条件的集合B只有2个．4.对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的整数k,定义集合Ak={x|x=|a-k|，a∈A}．(1)若A={1，2，3，4}，直接写出集合A1，A2和A3；(2)若A={1，2，3，⋯，n}，其中n∈N*，n≥5，求k的值，使得集合Ak中元素的个数最少；(3)写出所有满足0≤k＜p的整数p和k,使得当集合A={mp|m∈Z}时，有N⊆(A∪Ak)，并说明理由．【解析】解：(1)A1={0，1，2，3}，A2={0，1，2}，A3={0，1，2}，(2)Ak={|1-k|，|2-k|，|3-k|，…|n-k|}，n∈N*，当|1-k|=|n-k|时，Ak中元素个数最少，

当m≤0时，|3m-1|=1-3m∈A1，3(1-m)+1∈A1，所以N1⊆A1，综上可得，N=N0∪N1∪N2，N0⊆A，N1∪N2⊆A1，所以N⊆(A∪A1)，即p=3，k=1可行；同理可得p=3，k=2也可行．p≥4时，明显(A∪Ak)中很多整数空缺，③p=2时，A={2m|m∈Z}，要使N⊆(A∪Ak)且k≥0，则k=1，即Ak={2m-1|m∈Z}．

根据题意知点(n,k)既是点(2022，m)的“下位点”，又是点(2023，m+1)的“上位点”对m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}时恒成立，根据上述的结论知，当n=2022+2023=4045，k=2m+1时，满足条件，故n=4045．6.设集合A为非空数集，定义A+={x|x=a+b,a,b∈A}，A-={x|x=|a-b|，a,b∈A}．(Ⅰ)若集合A={-1，1}，直接写出集合A+及A-；(Ⅱ)若集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A-=A，求证x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)若集合A⊆{x|0≤x≤2023，x∈N}，且A+∩A-=∅，求A中元素个数的最大值．【解析】解：(Ⅰ)根据题意，由A={-1，1}，A+={-2，0，2}，A-={0，2}；(Ⅱ)证明：∵集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A-=A，∴A-中也有四个元素，即A-={0，x2-x1，x3-x1，x4-x1}，∴x3-x2=x4-x3=x2-x1，即x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)设A={a1，a2，⋯ak}满足题意，其中a1＜a2＜⋯＜ak，则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜⋯＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜⋯＜ak-1+ak＜2ak，∴|A+|≥2k-1，a1-a1＜a2-a1＜a3-a1＜⋯＜ak-a1，∴|A-|≥k,∵A+∩A-=∅，由容斥原得：||A+∪A-|=|A+|+|A-|≥3k-1，而A+∪A-中最小的元素为0，最大的元素为2ak，∴|A+∪A-|≤2ak+1，∴3k-1≤2ak+1≤4047(k∈N*)，所以k≤1349，∴当A={675，676，677，…，2023}时满足题意，

7.已知实数集A={a1，a2，…，an}(n≥3)，定义φ(A)={aiaj|ai，aj∈A，i≠j}．(Ⅰ)若A={-2，0，1，2}，求φ(A)；(Ⅱ)若φ(A)={0，-6，-8，-12，12，18，24}，求集合A；(Ⅲ)若A中的元素个数为9，求φ(A)的元素个数的最小值．【解析】解：(Ⅰ)φ(A)={-4，-2，0，2}；(Ⅱ)首先，0∈A；其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负，记A={0，a,b,c,d}，不妨设a＜0＜b＜c＜d或者a＜b＜c＜0＜d,①当a＜0＜b＜c＜d时，{ab,ac,ad}={-6，-8，-12}，{bc,bd,cd}={12，18，24}，相乘可知bcd=72，a3bcd=-576，从而a3=-8⇒a=-2，从而{b,c,d}={3，4，6}，所以A={0，-2，3，4，6}；②当a＜b＜c＜0＜d时，与上面类似的方法可以得到d3=8⇒d=2，进而{b,c,d}={-3，-4，-6}，从而A={0，2，-3，-4，-6}，所以A={0，-2，3，4，6}或者A={0，2，-3，-4，-6}；(Ⅲ)估值+构造，需要分类讨论A中非负元素个数，先证明|φ(A)|≥13，考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，集合φ(A)不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数，接下来分类讨论：情况一：A中没有负数，不妨设0≤a1＜a2＜…＜a9，则0≤a1a2＜a2a3＜a2a4＜…＜a2a9＜a3a9＜…＜a8a9，上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是φ(A)的元素，这表明|φ(A)|≥14；情况二：A中至少有一个负数，设b1，b2，…，bs是A中的全部负元素，c1，c2，…，ct是A中的全部非负元素．不妨设bs＜bs-1＜…＜b1＜0≤c1＜c2＜…＜ct，其中s,t为正整数，s+t=9，s≤4，t≥5，则0≥b1c1＞b1c2＞…＞b1ct＞b2ct＞…＞bsct，以上是φ(A)中的s+t-1=8个非正数元素，另外，注意到c2c3＜c2c4＜c2c5＜c3c5＜c4c5，它们是φ(A)中的5个正数，这表明|φ(A)|≥13；综上可知，总有|φ(A)|≥13，另一方面，当A={0，±1，±2，±22，±23}时，φ(A)={0，-1，±2，±22，±23，±24，±25，-26}中恰有13个元素，综上所述，φ(A)中元素个数的最小值为13．8.对非空数集X，Y，定义X与Y的和集X+Y={x+y|x∈X，y∈Y}．对任意有限集A，记|A|为集合A中元素的个数．(Ⅰ)若集合X={0，1，2}，Y={1，3，5，7，9}，写出集合X+X与X+Y；(Ⅱ)若集合X={x1，x2，⋯，x1012}满足x1＜x2＜⋯＜x1012，且|X+X|＜2024，求|X+X|．【解析】解：(Ⅰ)∵集合X={0，1，2}，Y={1，3，5，7，9}，∴根据题意可得：X+X={0，1，2，3，4}，X+Y={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}；(Ⅱ)集合X={x1，x2，⋯，x1012}满足x1＜x2＜⋯＜x1012，∴x1+x1＜x1+x2＜x1+x3＜…＜x1+x1012＜x2+x1012＜x3+x1012＜…＜x1012+x1012，∴X+X中至少有2×1012-1=2023个元素，即|X+X|≥2023，又|X+X|＜2024，∴|X+X|=2023．

【解析】解：(1)不正确，理由如下：A={1，2，3}，B={2，3，4}，A∪B={1，2，3，4}，当i=2时，因为2∈A，所以f2(A)=1，因为2∈B，所以f2(B)=1，因为2∈(A∪B)，所以f2(A∪B)=1，此时f2(A∪B)≠f2(A)+f2(B)，所以对任意i∈N*，fi(A∪B)=fi(A)+fi(B)不正确．(2)证明：①若fi(A∩B)=0，此时有i∉(A∩B)，当i∈A且i∉B时，fi(A)=1，fi(B)=0，此时fi(A)•fi(B)=0；当i∉A且i∈B时，fi(A)=0，fi(B)=1，此时fi(A)•fi(B)=0；当i∉A且i∉B时，fi(A)=0，fi(B)=0，此时fi(A)•fi(B)=0，因此fi(A∩B)=fi(A)•fi(B)成立．②若fi(A∩B)=1，则i∈(A∩B)，此时i∈A且i∈B，则fi(A)=1，fi(B)=1，此时fi(A)•fi(B)=1，因此fi(A∩B)=fi(A)•fi(B)成立，综合①②可知，fi(A∩B)=fi(A)•fi(B)成立．

【解析】解：(1)集合A不具有性质P，集合B具有性质P．

要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1=2014，∴若集合A具有性质P，则a1+a2+a3的最大值为6050．11.对于任意有限集S，T，定义集合S-T={x|x∈S，x∉T}，|S|表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C={x|x=a+b,a∈A，b∈B}．(1)若A={1，2，3}，B={-1，1}，求集合C和|C|；(2)已知D为有限集，若D⊂(0，+∞)，证明：|A-D|+|B-D|+|D-C|≥1．(3)若|C|=3，求|A|•|B|的值．【解析】解：(1)集合C={x|x=a+b,a∈A，b∈B}，而A={1，2，3}，B={-1，1}，∴C={0，1，2，3，4}，|C|=5．(2)证明：依题意，|A-D|≥0，|B-D|≥0，|D-C|≥0，|A-D|+|B-D|≥|(A∪B)-D|，当且仅当A∩B=∅时，取等号，若A∪B中至少含有一个不在D中的元素，则有|A-D|+|B-D|≥|(A∪B)-D|≥1，当(A∪B)⊆D时，则有|A-D|=|B-D|=0，∵D为有限集，且D⊂(0，+∞)，令D的最小元素为d,此时集合A中最小的元素为a≥d,集合B中最小的元素b≥d,∴集合C中最小的元素为a+b≥2d,∴d∉C，∴|D-C|≥1，有|A-D|+|B-D|+|D-C|=|D-C|≥1，∴|A-D|+|B-D|+|D-C|≥1．(3)|C|=3，∵集合C={x\x=a+b,a∈A，b∈B}，若|A|≥4或|B|≥4，则|C|≥4，不合题意，∴|A|≤3或|B|≤3，当集合A，B中有存在3元素的集合时，令|A|=3，令A={a1，a2，a3}，a1＜a2＜a3，若B={b1，b2}，b1＜b2，则有a1+b1＜a2+b1＜a2+b2＜a3+b2，若c2-c1=d2-d1，则c2+d1=c1+d2，满足|C|=3，此时|A|•|B|=4．若c2-c1≠d2-d1，则c2+d1≠c1+d2，此时|C|=4，不合题意，∴|A|•|B|的值为3或4．12.已知正整数n≥5，集合Sn={X|X=(x1，x2，⋯，xn)，xi∈{0，1}，i=1，2，⋯，n}．对于Sn中的元素A=(a1，a2，⋯an)，B=(b1，b2，⋯bn)，定义A•B=a1b1+a2b2+⋯+anbn．令Tn={X∈Sn|X•X=3}．(Ⅰ)直接写出T6的两个元素及T6的元素个数；(Ⅱ)已知A1，A2，⋯，Am∈T6，满足对任意1≤i＜j≤m,都有Ai•Aj=1，求m的最大值；(Ⅲ)证明：对任意A1，A2，⋯，An+1∈Tn，总存在1≤i＜j≤n+1，使得Ai•Aj=1．【解析】解：(Ⅰ)A1=(1，1，1，0，0，0)，A2=(1，0，0，1，1，0)，

，1)，A4=(0，0，1，1，0，1)，符合题意，综上，当n=6时，m的最大值为4．(Ⅲ)证明：{A1，A2，…，An+1}共有2n+1-1个非空子集，记为Di，i=1，2，…，2n+1-1，则S(Di)在每分量得奇偶性下恰有2种不同的状态，由n≥5知2n+1-1≥2n，由抽屉原理，存在两个不同的{A1，A2，…，An+1}的非空子集D，E，设S(D)=(d1，d2，…，dn)，S(E)=(e1，e2，…，en)，有dj与ej奇偶性相同，j=1，2，…，n,令F={X|X∈D∪E，X∉D∩E}，由于D≠E，∴F≠∅，令S(D∩E)=(s1，s2，…，sn)，则S(F)=(d1+e1-2s1，…，dn+en-2sn)，

-3为奇数，故必存在一个i∈{2，3，…，n)，使得Ai•Aj为奇数，又由于Ai•Aj∈{0，1，2}，从而Ai•Aj=1．13.已知集合D={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={1，2，3}，集合C={0，1，2}，且集合D满足D∩B≠∅，D∩C=∅．(1)求实数a的值；(2)对集合A={a1，a2，…，ak}(k≥2，k∈N*)，其中ai∈Z(i=1，2，…，k)，定义由A中的元素构成两个相合：S={(a,b)|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={(a,b)|a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中(a,b)是有序实数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n,若对任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．①请检验集合B∪C与B∪D是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．【解析】解：(1)已知集合B={1，2，3}，集合C={0，1，2}，由D∩B≠∅，D∩C=∅，可得3∈D，即x=3是方程x2-ax+a2-19=0的一个根，即32-3a+a2-19=0，即a2-3a-10=0，解得a=5或a=-2．当a=5时，方程为x2-5x+6=0，解得x=2或x=3，此时D={2，3}(不合题意，舍去)；当a=-2时，方程为x2+2x-15=0，解得x=-5或x=3，此时D={3，-5}符合题意．综上，a=-2．(2)①由(1)可知B∪C={0，1，2，3}，B∪D={-5，1，2，3}，易得集合B∪C不满足性质P，集合B∪D满足性质P，则S={(1，1)，(1，2)，(2，1)}，T={(2，1)，(3，1)，(3，2)}．②m与n的大小关系为m=n.证明如下：对于(a,b)∈S，根据定义知a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而(a+b,b)∈T，如果(a,b)与(c,d)是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立，故(a+b,b)与(c+d,d)也是T的不同元素，可见S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n.对于(a,b)∈T，根据定义知a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而(a-b,b)∈S，如果(a,b)与(c,d)是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，故(a-b,b)与(c-d,d)也是S的不同元素，可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m.综上，m=n.14.定义：给定整数i,如果非空集合A满足如下3个条件：①A⊆N*；②A≠{1}；③∀x,y∈N*，若x+y∈A，则xy-i∈A．则称集合A为“减i集”(Ⅰ)P={1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？(Ⅱ)证明：不存在“减2集”；(Ⅲ)是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由．【解析】解：(Ⅰ)∵P⊆N*，P≠{1}，1+1=2∈P，1×1-0∈P，∴P是“减0集”同理，∵P⊆N*，P≠{1}，1+1=2∈P，1×1-1∉P，∴P不是“减1集”．(Ⅱ)假设存在A是“减2集”，则若x+y∈A，那么xy-2∈A，①当x+y=xy-2时，有(x-1)(y-1)=3，则x,y一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3-2∉A，与A是“减2集”，矛盾；②当x+y≠xy-2时，则x+y=xy-1或者x+y=xy-m(m＞2)，若x+y=xy-1，m=1时M为除1以外的最小元素，则x=M-1，y=1时，xy-2=M-3小于M，如果要符合题意必须M=4，此时取x=2，y=2，xy-2=2不属于A，故不符合题意．m＞2时，(x-1)(y-1)=m+1，同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．(Ⅲ)存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1-1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2-1∈A，因此3∈A．因此可以有A={1，3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3-1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4-1∈A，2+3=5，2×3-1∈A，因此5∈A．因此可以有A={1，3，5}．以此类推可得：A={1，3，5，……，2n-1，……}，(n∈N*)，以及A的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{x|x=2k-1，k∈N*}，15.已知集合An={(x1，x2，…xn)，xi∈{0，1}(i=1，2，…n)}(n≥2)，若x,y∈An，记x=(x1，x2，…xn)，y=(y1，y2，…yn)，定义x⊗y=(x1+y1)(x2+y2)…(xn+yn)．(Ⅰ)若x=(1，1，1，1)且x⊗y=4，写出An中所有满足条件的元素y；(Ⅱ)令B={x⊗y|x,y∈An}，若m=card(B)，求证：m+n为偶数；(card(B)表示集合B中元素的个数)．(Ⅲ)若集合A⊆An，且A中的每一个元素均含有4个0和4个1，对任意x,y∈A，都有x⊗y=4，求A中最多有多少个元素？并说明理由．【解析】解：(Ⅰ)由4=1×1×1×4=1×1×2×2(不考虑顺序)，而xi+yi只可能为0或1或2，则x⊗y=4，只可能为2个yi为0，2个yi为1，∴y=(1，1，0，0)或(1，0，1，0)或(1，0，0，1)或(0，0，1，1)或(0，1，0，1)或(0，1，1，0)；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得xi+yi只可能为0或1或2，∴x⊗y的结果只能为0，1，2，22，…，2n，∴m=card(B)=n+2，∴m+n=2n+2=2(n+1)为偶数；(Ⅲ)4=1×1×1×1×1×1×2×2，也就是取y时，与x中为1的位置恰好只有2个重合也为1，x中0的位置y中为1，则此时y中1的元素为4+2=6个，与4个0和4个1不符，无法找出这样的元素．

三．集合的表示法17.设A为非空集合，令A×A={(x,y)|x,y∈A}，则A×A的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation)，简称A上的关系．例如A={0，1，2}时，R1={(0，2)}，R2=A×A，R3=∅，R4={(0，0)，(2，1)}等都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：①(自反性)若∀x∈A，有(x,x)∈R，则称R在A上是自反的；②(对称性)若∀(x,y)∈R，有(y,x)∈R，则称R在A．上是对称的；③(传递性)若∀(x,y)，(y,z)∈R，有(x,z)∈R，则称R在A．上是传递的；如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．(Ⅰ)已知A={0，1，2}，按要求填空：(ⅰ)用列举法写出A×A=___________________________________________________________________________________；(ⅱ)A上的关系有_____个(用数值作答)；(ⅲ)用列举法写出A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________________________________________，___________________________________________________________________________________共5个．(Ⅱ)设R1，和R2是某个非空集合A上的关系，证明：{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}512{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)}{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)，(0，2)，(2，0)，(0，1)，(1，0)}(ⅰ)若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反的和对称的：(ⅱ)若R1，R1是传递的，则R1∩R2也是传递的．(Ⅲ)若给定的集合A有n个元素(n≥4)A1，A2，⋯Am(2≤m≤n)为A的非空子集，满足A1∪A2∪⋯∪Am=A且两两交集为空集．求证：R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪⋯∪(Am×Am)为A上的等价关系．【解析】解：(1)由题意得A×A={(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，∵A×A共有9个元素，∴A×A共有29个子集，即A上的关系有29=512个，所有等价关系有R1={(0，0)，(1，1)，(2，2)}，R2={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，R3={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，R4={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)}，R5={(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)，(0，2)，(2，0)，(0，1)，(1，0)}．(2)(i)证明：若任意x,y∈A，R1，R2在A上是自反的，令(x,x)∈R1，(y,y)∈R2，∴{(x,x)，(y,y)}⊆(R1∪R2)，则R1∪R2是自反的；若R1，R2在A上是对称的，则∀(x,y)∈R1，有(y,x)∈R1；∀(t,s)∈R2，有(t,s)∈R2，∴{(x,y)，(y,x)，(s,t)，(t,s)}⊆(R1∪R2)，则R1∪R2是对称的，综上所述：若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反的和对称的．(ii)证明：假设R1∩R2不是传递的，则∃(x,y)∈(R1∩R2)，(y,z)∈(R1∩R2)，(x,z)∉(R1∩R2)，∴(x,z)∉R1或(x,z)∉R2，此时R1或R2不是传递的，与已知矛盾，∴若R1，R2是传递的，则R1∩R2也是传递的．(3)证明：令A={a1，a2，a3，…，an}，∵A1∪A2∪…∪Am=A，且两两交集为空集，设as=As(1≤s≤m≤n)，除As外，其余集合不包含元素as，则{(as，as)}⊆(As×As)，又(As×As)⊆(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)，∴(as，as)∈R，则R在A上是自反的，设as，at∈At(1≤t≤m≤n)，除At外，其余集合不包含元素as，at，则{(as，at)，(at，as)}⊆(At×At)，又(At×At)⊆(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)，∴(as，at)∈R，(at，as)∈R，则R在A上是对称的，设as，at，aq∈Aq(1≤q≤m≤n)，则除Aq外，其余集合不包含元素as，at，aq，则{(as，at)，(at，as)，(as，aq)}⊆(Aq×Aq)，∵(Aq×Aq)⊆(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)，∴(as，at)∈R，(as，aq)∈R，则R在A上是传递的，综上所述，R=(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)为A上的等价关系．

1093=2017而区间[170，1093]中的整数均可用|x1+3x2+9x3+27x4+81x5+243x6+729x7|表示其中x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7∈{-1，0，1}则此时A={1，3，9，27，81，243，729，924}，B={0，1，2，3，…，2017}所以n的最小值为8．19.设a,b是正奇数，数列{cn}(n∈N*)定义如下：c1=a,c2=b,对任意n≥3，cn是cn-1+cn-2的最大奇约数．数列{cn}中的所有项构成集合A．(Ⅰ)若a=9，b=15，写出集合A；(Ⅱ)对k≥1，令dk=max{c2k，c2k-1}(max{p,q}表示p,q中的较大值)，求证：dk+1≤dk；(Ⅲ)证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．

所以cn≤max{cn-1，cn-2}，当且仅当cn-1=cn-2时等号成立．所以，对k≥1有c2k+1≤max{c2k，c2k-1}=dk，且c2k+2≤max{c2k+1，c2k}≤max{dk，dk}=dk．所以dk+1=max{c2k+2，c2k+1}≤dk，当且仅当c2k=c2k-1时等号成立．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当n≥3时，有cn≤max{cn-1，cn-2}．所以对n≥3，有cn≤max{c1，c2}=max{a,b}．又cn是正奇数，且不超过max{a,b}的正奇数是有限的，所以数列{cn}中的不同项是有限的．所以集合A是有限集．集合A中的最小数是a,b的最大公约数．四．集合的包含关系判断及应用20.对于给定的非空集合A，定义集合A+={|x+y||x∈A，y∈A}，A-={|x-y||x∈A，y∈A}，若A+∩A-=∅，则称集合A满足性质P．(Ⅰ)判断下列集合是否满足性质P，并说明理由：①S={3，4}，②T={0，1，7}(Ⅱ)集合A={1，2，a}⊆N，满足性质P，求a的最小值；(Ⅲ)若非空集合A⊆{x|x∈N，0≤x≤100}，且集合A满足性质P，求集合A中的元素个数的最大值．【解析】解：(Ⅰ)由S={3，4}可知S+={6，7，8}，S-={0，1}，此时，S+∩S-=∅，故S满足性质P；由T={0，1，7}可知T+={0，1，2，7，8，14}，T-={0，1，6，7}，此时，T+∩T-={0，1，7}≠∅，故T不满足性质P．(Ⅱ)由A={1，2，a}可知，A+={2，3，4，a+1，a+2，2a}，A-={0，1，a-2，a-1}，欲使A+∩A-=∅，须使a-2＞4，即a＞6，故a的最小值为7．(Ⅲ)根据题意，要使集合A中的元素个数的最大值，则需A中的元素连续且元素尽可能最大，故，设A={m,m+1，m+2，…，100}，m∈N，则A+={2m,2m+1，2m+2，…，200}，

五．子集与真子集21.定义两个非空数集A，B的“和集”为A+B={a+b|a∈A，b∈B}，对有限集合X，记card(X)=|X|．(1)已知A={1，2，3}，B={-a|a∈A}，求出A+B与|A+B|；(2)任取非空有限数集A，B，证明：|A+B|≥|A|+|B|-1；(3)S={-2022，-2021，…，2021，2022}的非空子集T满足：∀a,b,c∈T，都有a+b+c≠0，求|T|max．【解析】解：(1)∵B={-a|a∈A}={-3，-2，-1}，∴A+B={-2，-1，0，1，2}，∴|A+B|=5．(2)证明：设A={a1，a2，a3，…，an}，B={b1，b2，b3，…，bm}，则当|A+B|最小时，A+B={a1+b1，a1+b2，a1+b3，…，a1+bm，a2+bm，a3+bm，…，an+bm}，∴|A+B|min=m+n-1，又|A|=n,|B|=m,∴|A+B|≥m+n-1=|A|+|B|-1．(3)∵∀a,b,c∈T，都有a+b+c≠0，若0∈T，则a≠-b,若|T|最大，则T={-2022，-2021，…，-1，0}或T={0，1，2，…，2021，2022}，∴|T|max=2023；若0∉T，若a∈[-2022，-1]且a∈Z，则-(b+c)∉T，∴|T|≤2022，综上所述：|T|max=2023．

23.已知集合A={1，2，3，…，n}，n∈N*．集合A含有k个元素的子集分别记为Ak,1，Ak,2，Ak,3，…，Ak,m，其中1≤k≤n,k∈N*，m∈N*．当1≤j≤m,j∈N*时，设Ak,j={x1，x2，……，xk}，且x1＜x2＜x3＜…＜xk．定义：S(Ak,j)=xk-xk-1+xk-2-…+(-1)k+1x1；T[k]=S(Ak,1)+S(Ak,2)+S(Ak,3)+…+S(Ak,m)．(Ⅰ)若n=5，(ⅰ)写出满足S(A4，j)=2的一个集合A4，j，并写出j的最大值；(ⅱ)求T[1]+T[2]+T[3]的值；(Ⅱ)若存在唯一的n∈N*，使得T[1]+T[2]+…+T[n]=1024，求n的值．【解析】解：(Ⅰ)若n=5，(i)取A4，j={1，2，3，4}，S(A4，j)=4-3+2-1=2．j的最大值为3．(ii)枚举法：集合A含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，则T[1]=15；集合A含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，则T[2]=20；集合A含有3个元素的子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，则T[3]=30；∴T[1]+T[2]+T[3]=65．(Ⅱ)对于集合A的子集，可以分两类，一类含n,一类不含n；

六．集合中元素个数的最值

}．证明如下：对集合A分类：A1={a|a∈A，a＜1}，A2={a|a∈A，a=1}，A3={a|a∈A，a＞1}，设|A1|=x,|A2|=y,|A3|=z⇒x+y+z=7，y≤1⇒x+z≥6．设B=Ω(A)，再对集合B分类：B1={b|b∈B，b＜1}，B2={b|b∈B，b=1}，B3={b|b∈BA，b＞1}，

25.对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k={m+t|m∈M，t=-k,-k+1，…，k}，对于非空整数集合A，B，定义d(A，B)=min{k∈N|A⊆B⊕k,B⊆A⊕k)．(1)设M={2，4，6}，请直接写出集合M⊕1；(2)设A={1，2，3，4，…，100}，d(A，B)=1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；(3)对三个非空整数集合A，B，C，若d(A，B)=4且d(B，C)=1，求d(A，C)所有可能取值．【解析】解：(1)M⊕1={1，2，3，4，5，6，7}；(2)设B有|B|个元素，下证|B|min=34，一方面，B={2，5，8，…，98，101}，则A⊄B⊕0=B，∴d(A，B)≠0，∴d(A，B)≥1，而B⊆A⊕1={0，1，2，…，101}，A⊆B⊕1={1，2，3，…，102}，可得d(A，B)=1，符合题意，此时|B|=34，故|B|min≤34，另一方面，假设|B|=j≤33，则令B={b1，b2，⋯，bj}且b1＜b2＜⋯＜bj，可知A⊆B⊕1={b1-1，b1，b1+1}∪{b2-1，b2，b2+1}∪…∪{bj-1，bj，bj+1}，右边最多含有3j≤99个元素，矛盾，因此|B|≥34，综上B至少含34个元素；(3)先证明(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k+l)，易见，M⊕k={n∈Z|∃m∈M，|n-m|≤k}，因此只要M1⊆M2，就有M1⊕k⊆M2⊕k,∀x∈(M⊕k)⊕l,∃p∈M⊕k,|x-p|≤l,∴∃m∈M，|m-p|≤k,因此相加得|m-x|≤k+l,即x∈M⊕(k+l)，(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k+l)，得证，注：其实(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k+l)，∀x∈M⊕(k+l)，∃m∈M，|x-m|≤k+l,因此可得{m-k,m-k+1，…，m+k}∩{x-l,x-l+1，…，x+l-1，x+l}≠∅，即∃p∈Z，|x-p|≤l,|p-m|≤k.于是p∈M⊕k,而x∈(M⊕k)⊕l,即得M⊕(k+l)⊆(M⊕k)⊕l,再证明：对于任意三个非空整数集合A，B，C，总有d(A，B)+d(B，C)≥d(A，C)，令d1=d(A，B)，d2=d(B，C)，则C⊆B⊕d2⊆(A⊕d1)⊕d2=A⊕(d1+d2)，同理A⊆B⊕d1⊆(C⊕d2)⊕d1=C⊕(d1+d2)，因此由定义可得，d(A，C)≤d1+d2=d(A，B)+d(B，C)，即d满足距离的三角不等式，因此本题中，d(A，C)≤d(A，B)+d(B，C)=5，且d(A，C)+d(B，C)≥d(A，B)=4，得出d(A，C)≥3，即d(A，C)=3，4，5，取A={0}，B={4}，C={5}可知d(A，C)=5可能成立，取A={0}，B={4}，C={3}可知d(A，C)=3可能成立，取A={0}，B={4}，C={3，4}，可知d(A，C)=4可能成立，综上，d(A，C)的所有可能取值为3，4，5．

且对于集合M中任意两个不相同的元素A=(a1，a2，…，an)，B=(b1，b2，…，bn)，都有A•B=n-k,试求集合M中元素个数的所有可能值．

a11a12…a1ma21a22…a2m…………an1an2…anm(Ⅰ)当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：A1={1，4}，A2={2，4}，A3={3}；集合组2：A1={1，2，3}，A2={1，2}，A3={3，4}．(Ⅱ)当n=7时，若集合组A1，A2，A3具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合A1，A2，A3；(Ⅲ)当n=58时，集合组A1，A2，…，At是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值．(其中|Ai|表示集合Ai所含元素的个数)【解析】解：(Ⅰ)集合组1具有性质P．所对应的数表为：100010110001集合组2不具有性质P，因为存在{2，3}⊆{1，2，3，4}，有{2，3}∩A1={2，3}，{2，3}∩A2={2，3}，{2，3}∩A3=∅，与对任意的{x,y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3}，有Ai∩{x,y}={x}或{y}矛盾，所以集合组A1={2，3，4}，A2={2，3}，A3={1，4}不具有性质P．(Ⅱ)001010100110101011111A1={3，4，5，7}，A2={2，4，6，7}，A3={1，5，6，7}．(注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同)(Ⅲ)设A1，A2，…，At所对应的数表为数表M，因为集合组A1，A2，…，At为具有性质P的集合组，所以集合组A1，A2，…，At满足条件①和②，由条件①：A1∪A2∪…∪At=A，可得对任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈A，所以axi=1，即第x行不全为0，所以由条件①可知数表M中任意一行不全为0．由条件②知，对任意的{x,y}⊆A，都至少存在一个i∈{1，2，3，…，t}，Ai∩{x,y}={x}或{y}，所以axi，ayi一定是一个1一个0，即第x行与第y行的第i列的两个数一定不同．所以由条件②可得数表M中任意两行不完全相同．因为0，1所构成的t元有序数组共有2t个，去掉全是0的t元有序数组，共有2t-1个，又因数表M中任意两行都不完全相同，所以100≤2t-1，所以t≥7．又t=7时，由0，1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，

28.对于给定的正整数n,Sn={(x1，x2，x3，…，xn)|xi∈{0，1}，i∈N*，i≤n}．对于X=(x1，x2，x3，…，xn)，Y=(y1，y2，y3，…，yn)，有：(1)当且仅当(x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3)2+…+(xn-yn)2=0，称X=Y．(2)定义X•Y=x1y1+x2y2+x3y3+…+xnyn．(Ⅰ)当n=3时，X=(1，1，0)，请直接写出所有的Y∈S3，满足X•Y=1．(Ⅱ)若非空集合A⊆Sn，且满足对于任意的X，Y∈A，X≠Y，均有X•Y=0，求集合A中元素个数的最大值．(Ⅲ)若非空集合B⊆Sn，且满足对于任意的X，Y∈A，X≠Y，均有X•Y≠0，求集合B中元素个数的最大值．【解析】解：(Ⅰ)∵当n=3时，X=(1，1，0)，

七．集合关系中的参数取值问题29.已知集合A={α|α=(x1，x2，x3，x4)，xi∈N，i=1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α=(x1，x2，x3，x4)，定义T(α)=(|x1-x2|，|x2-x3|，|x3-x4|，|x4-x1|)，当正整数n≥2时，定义Tn(α)=T(Tn-1(α))(约定T1(α)=T(α))．(Ⅰ)若α=(2，0，2，1)，β=(2，0，2，2)，求T4(α)和T4(β)；(Ⅱ)若α=(x1，x2，x3，x4)满足xi∈{0，1}(i=1，2，3，4)且T2(α)=(1，1，1，1)，求α的所有可能结果；(Ⅲ)是否存在正整数n使得对任意α=(x1，x2，x3，x4)∈A(x1≥x2≥x4≥x3)都有Tn(α)=(0，0，0，0)？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．【解析】解：(I)由题意T(α)=(2，2，1，1)，T2(α)=(0，1，0，1)，T3(α)=(1，1，1，1)，T4(α)=(0，0，0，0)，T(β)=(2，2，0，0)，T2(β)=(0，2，0，2)，T3(β)=(2，2，2，2)，T4(β)=(0，0，0，0)，(Ⅱ)由T2(α)=(1，1，1，1)且xi∈{0，1}(i=1，2，3，4)，|x1-x2|-|x2-x3||=1，同理，x2=0或1时，||x1-x2|-|x2-x3||=|x1-x3|=1，x3=0或1时，||x2-x3|-|x3-x4||=|x2-x4|=1，x4=0或1时，||x3-x4|-|x4-x1||=|x1-x3|=1，

，x1-x4)，所以T2(α)=(|x1+x3-2x2|，x2-x4，|x1+x3-2x4|，x2-x4)，若a=|x1+x3-2x2|，b=|x1+x3-2x4|，所以T3(α)=(|x2-x4-a|，|x2-x4-b|，|x2-x4-b|，|x2-x4-a|)，若c=|x2-x4-a|-|x2-x4-b||，则T4(α)=(c,0，c,0)，T5(α)=(c,c,c,c)，T6(α)=(0，0，0，0)，所以，对α=(x1，x2，x3，x4)∈A(x1≥x2≥x4≥x3)都有T6(α)=(0，0，0，0)，当n≥7时，Tn(α)=(0，0，0，0)恒成立，综上，n所有取值为{，n∈N*|n≥6使Tn(α)=(0，0，0，0)成立．

求n的最小值．

所以card(A*B)=1010+1010=2020个．(Ⅲ)作图如下：___n=card(M*A)+card(M*B)=(a1+a2+a6+a7)+(a2+a3+a4+a7)=a1+a2+a3+a4+a6+a2+2a7又a1+a2+a3+a4+a5+a6=card(A∪B)=3030，所以n=3030-a5+a2+2a7，又a2+a5=card(A∩B)=1010，且0≤a2≤1010，0≤a5≤1010，a7≥0，所以当a5=1010，a2=0，a7=0时，n取最小值，n=3030-1010=2020，n=card(M*A)+card(M*B)的值最小，最小值为2020．八．交集及其运算31.已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a-b|，a,b∈A}．(Ⅰ)若集合A={1，3}，直接写出集合S，T；(Ⅱ)若集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T=A，求证：x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)若集合A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，S∩T=∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．【解析】解：(Ⅰ)根据题意，由集合A={1，3}，计算集合S={2，4，6}，T={0，2}；(Ⅱ)由于集合A={x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T=A，所以T中也只包含四个元素，即T={0，x2-x1，x3-x1，x4-x1}，剩下的x3-x2=x4-x3=x2-x1，所以x1+x4=x2+x3；(Ⅲ)设A={a1，a2，…ak}满足题意，其中a1＜a2＜…＜ak，则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜…＜ak-1+ak＜2ak，∴|S|⩾2k-1，a1-a1＜a2-a1＜a3-a1＜…＜ak-a1，∴|T|⩾k,∵S∩T=∅，由容斥原理|S∪T|=|S|+|T|⩾3k-1，S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2ak，∴|S∪T|⩽2ak+1，∴3k-1⩽2ak+1⩽4041(k∈N*)，∴k≤1347，实际上当A={674，675，676，…，2020}时满足题意，

九．子集与交集32.对非空数集A，B，定义A-B={x-y|x∈A，y∈B}，记有限集T的元素个数为|T|．(1)若A={1，3，5}，B={1，2，4}，求|A-A|，|B-B|，|A-B|；(2)若|A|=4，A⊆N*，B={1，2，3，4}，当|A-B|最大时，求A中最大元素的最小值；(3)若|A|=|B|=5，|A-A|=|B-B|=21，求|A-B|的最小值．【解析】解：(1