物理新增分大一轮新高考（京津鲁琼）讲义第九章磁场强化十一

专题强化十一带电粒子在叠加场和组合场中的运动

【专题解读】1.本专题是磁场、力学、电场等知识的综合应用，高考往往以计算压轴题的形式

出现.

2.学习本专题，可以培养同学们的审题能力、推理能力和规范表达能力.针对性的专题训练，

可以提高同学们解决难题、压轴题的信心.

3.用到的知识有：动力学观点（牛顿运动定律）、运动学观点、能量观点（动能定理、能量守恒

定律）、电场的观点（类平抛运动的规律）、磁场的观点（带电粒子在磁场中运动的规律）.

命题点一带电粒子在叠加场中的运动

L带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动

（1）洛伦兹力、重力并存

①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.

②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械

能守恒，由此可求解问题.

（2）电场力、洛伦兹力并存（不计重力的微观粒子）

①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动.

②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用

动能定理求解问题.

（3）电场力、洛伦兹力、重力并存

①若三力平衡，一定做匀速直线运动.

②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动.

③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量

守恒定律或动能定理求解问题.

2.带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动

带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运

动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功

的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解.

【例1】（2017•全国卷I・16）如图1,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上

（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒。、6、c电荷量相等，质量分

别为7加、mt,、mc,已知在该区域内，。在纸面内做匀速圆周运动，6在纸面内向右做匀速直

线运动，。在纸面内向左做匀速直线运动.下列选项正确的是（）

图1

K.ma>mb>mcB.mh>ma>mc

C.mc>ma>mbD.mc>mb>ma

答案B

解析设三个微粒的电荷量均为q,

a在纸面内做匀速圆周运动，说明洛伦兹力提供向心力，重力与电场力平衡，则加ag=q£①

6在纸面内向右做匀速直线运动，三力平衡，则加泪=亚+卯8②

c在纸面内向左做匀速直线运动，三力平衡，则加cg+qzB=q£③

比较①②③式得：7〃户加“>强，选项B正确.

【变式1】（多选）（2018•河南省安阳市第二次模拟）如图2所示，空间某处存在竖直向下的匀强

电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的金属小球从"点水平射入场区，经一段时间

运动到N点，关于小球由M到N的运动，下列说法正确的是（）

图2

A.小球可能做匀变速运动B.小球一定做变加速运动

C.小球动能可能不变D.小球机械能守恒

答案BC

解析小球从M到N,在竖直方向上发生了偏转，所以受到的竖直向下的洛伦兹力、竖直向

下的重力和竖直向上的电场力的合力不为零，并且速度方向变化，则洛伦兹力方向变化，所

以合力方向变化，故不可能做匀变速运动，一定做变加速运动，A错误，B正确；若电场力

和重力等大反向，则运动过程中电场力和重力做功之和为零，而洛伦兹力不做功，所以小球

的动能可能不变，重力势能减小，这种情况下机械能不守恒，若电场力和重力不等大，则有

电场力做功，所以机械能也不守恒，故小球的机械能不守恒，C正确，D错误.

【例2】（2016•天津理综T1）如图3所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E

=5A/3N/C,同时存在着垂直纸面向里的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大

小3=0.5T.有一带正电的小球，质量a=1*10-6kg,电荷量q=2xl（）―6C,正以速度v在图

示的竖直面内做匀速直线运动，当经过尸点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现

象），取g=10m/s2,求：

图3

(1)小球做匀速直线运动的速度。的大小和方向；

(2)从撤掉磁场到小球再次穿过尸点所在的这条电场线经历的时间t.

答案(1)20m/s方向与电场方向成60。角斜向上

(2)2^3s

解析(1)小球做匀速直线运动时受力如图甲，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，

有qvB=yjq^+m2^2®

代入数据解得z，=20m/s②

速度v的方向与电场E的方向之间的夹角满尺tan。=也③

mg

代入数据解得tan9=3

8=60。④

(2)解法一撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图乙所示，设其

加速度为0,有a=JqE+m2g2⑤

m

设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为X,有x=vt®

设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y9有＞=5好⑦

tan0=^®

x

联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t=2yl3s⑨

解法二撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以尸

点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为马=osin。⑤

若使小球再次穿过尸点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有Vyt-^gt2=

0@

联立⑤⑥式，代入数据解得/=23s.

【变式2](2018•山西省孝义市质量检测三)如图4所示,竖直平面内存在水平方向的匀强电场,

电场强度为£,同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为8,纸面内放置一光滑的

绝缘细杆，与水平方向成0=45。角.质量为加、带电荷量为g的金属小环套在细杆上，以初速

度。0沿着细杆向下运动，小环离开细杆后，恰好做直线运动，则以下说法正确的是()

图4

A,小球可能带负电

B.电场方向可能水平向右

,也ng

C.小球的初速度6

qB

D.小球离开细杆时的速度。=旦

B

答案C

命题点二带电粒子在组合场中的运动

1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现.

2.分析思路

（1）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.

（2）找关键：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键.

（3）画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观

地解决问题.

■模型1磁场与磁场的组合

【例3】（2017•全国卷II124）如图5,空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场.在

区域，磁感应强度的大小为瓦；x<0区域，磁感应强度的大小为比o（常数4>1）.一质量为加、

电荷量为式4>0）的带电粒子以速度。0从坐标原点。沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，

当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：（不计重力）

图5

（1）粒子运动的时间；

（2）粒子与。点间的距离.

答案（1）侬（1+1）Q心妈（1—1）

BoqABoq2

解析（1）在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动.设在区域，圆周半径为在x<0

2

区域，圆周半径为由洛伦兹力公式及牛顿运动定律得夕为。0=加微"①

2

q入Bo©o=n^~②

设粒子在1三0区域运动的时间为心则九=幽③

vo

粒子在XV。区域运动的时间为力，贝卜2=脸④

Vo

联立①②③④式得，所求时间为/=力+，2=磔（1+1）⑤

BoqA

（2）由几何关系及①②式得，所求距离为

d=2(R—七)=湃(1—；)

BoqZ

【变式3】(2019•广东省韶关市调研)如图6所示，在无限长的竖直边界/C和。E间，上、下

部分分别充满方向垂直于平面/DEC向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为瓦，

OF为上、下磁场的水平分界线.质量为m、带电荷量为+q的粒子从AC边界上与。点

相距为。的尸点垂直于AC边界射入上方磁场区域，经。尸上的。点第一次进入下方磁

场区域，。与。点的距离为3a.不考虑粒子重力.

图6

(1)求粒子射入时的速度大小；

(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度©应满足的条件；

⑶若下方区域的磁感应强度B=3Bo,粒子最终垂直DE边界飞出，求边界DE与4c间距

离的可能值.

答案(1声幽(2)5金曲(3)4"°(〃=1,2,3…)

m3

解析(1)粒子在。方上方的运动轨迹如图所示，

设粒子做圆周运动的半径为R,由几何关系可知R2—(R—Q)2=(3Q)2,R=5a

由牛顿第二定律可知：quBo=n^~,解得：0=

Rm

(2)当粒子恰好不从4C边界飞出时，运动轨迹如图所示，设粒子在。产下方做圆周运动的半

径为n,

由几何关系得：n+ncos0=3afcos0=~,所以尸产^^,根据85i=里巴，解得：台尸鼓^,

58n3

当时，粒子不会从/C边界飞出；

(3)当3=3瓦时，粒子的运动轨迹如图所示，粒子在。尸下方的运动半径为：设粒子

的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为Pi,则P与Pi的连线一定与OF

平行，根据几何关系知：PPi=4a,所以若粒子最终垂直。E边界飞出，边界DE与/C间

的距离为:L=nPPi=4/za(；7=1,2,3,")•

.模型2电场与磁场的组合

[例4](2018•全国卷II25)-足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内

的截面如图7所示：中间是磁场区域，其边界与夕轴垂直，宽度为/,磁感应强度的大小为瓦

方向垂直于X。平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为,电场强度的大小均为E,

方向均沿X轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行.一带正电的

粒子以某一速度从M点沿〉轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度

从N点沿y轴正方向射出.不计重力.

图7

(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹；

(2)求该粒子从M点入射时速度的大小；

⑶若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为匹，求该粒子的比荷及其从M

6

点运动到N点的时间.

答案(1)见解析图(2)丝心(3力可：+

BlB2PE

解析(1)粒子运动的轨迹如图(a)所示.(粒子在电场中的轨迹为抛物线，在磁场中为圆弧，上

下对称)

(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动.设粒子从〃点射入时速度的大小为

在下侧电场中运动的时间为方,加速度的大小为Q；粒子进入磁场的速度大小为0,方向与电

场方向的夹角为仇

如图(b),速度沿电场方向的分量为s.

根据牛顿第二定律有qE=ma①

式中q和冽分别为粒子的电荷量和质量.

由运动学公式有vi=at®

I'=vot®

U1=Z7COS6®

粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动轨道半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

由几何关系得l=2Rcos0®

联立①②③④⑤⑥式得利=竺匕~@

BI

vo

(3)由运动学公式和题给数据得。1=—7r⑧

tan-

6

联立①②③⑦⑧式得2=4他?⑨

mB2P

设粒子由M点运动到N点所用的时间为，，则，=2H

式中7是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，则?二四⑪

qB

「I岳/]

由③⑦⑨⑩⑪式得t'=整18/'J

【变式4】(2018•山西省晋城市第一次模拟)在如图8甲所示的xOy坐标系中，第一象限内有垂

直坐标平面的匀强磁场；第二象限内有方向水平向右、场强大小为E的匀强电场田；第四象

限内有方向水平(以水平向右为正方向)、大小按图乙规律变化的电场生，变化周期7=

㈣2一质量为加、电荷量为十«的粒子，从(―xo,祝)点由静止释放，进入第一象限后恰

VEq

能绕。点做匀速圆周运动.以粒子经过x轴进入第四象限的时间点为电场£2的计时起点，不

计粒子重力.求：

图8

⑴第一象限内匀强磁场的磁感应强度B的大小;

(2)粒子在第四象限中运动，当/=,时，粒子的速度;

(3)粒子在第四象限中运动，当，=〃T(〃£N*)时，粒子的坐标.

答案⑴入2(2)2、眄，方向与水平方向成45。角斜向右下方⑶[(〃+1)为，-

\1qxo\1m

2〃Xo](〃£N*)

解析(1)设粒子离开第二象限时的速度为。0,在第二象限内，由动能定理得4£次)=3根。。2

，2qEx0

解得vo=

m

2

在第一象限内，粒子做匀速圆周运动的速度为。o,由洛伦兹力提供向心力得夕仍近=加%

X0

2mE

解得B=

qxo

(2)粒子进入第四象限后，加速度〃=彼&=史"，当时在水平方向上有o水平=办=2"X，

mm2m2

'2qExQ^

得。水平==

m

故粒子的速度大小v合=/研)=2

方向与水平方向成45。角斜向右下方

⑶粒子在第四象限中运动时，)轴方向上做匀速直线运动，x轴方向上前半个周期向右做匀

加速运动，后半个周期向右做匀减速运动直到速度为0;每半个周期向右前进x=1X退Gh

2m

=；，每个周期前进xo

当/="T时，x轴距。点的距离x=xo+nxo

y轴距0点的距离y——vonT——2nxo

粒子的坐标［（〃+l）xo,—2〃xo］（"eN*）

1.（多选）（2018•河南省驻马店市第二次质检）如图1所示，平面直角坐标系的第二象限内存在着

垂直纸面向外、磁感应强度大小为23的匀强磁场，第三象限内存在着垂直纸面向里、磁感

应强度大小为3的匀强磁场.一带负电的粒子从原点O以某一速度沿与y轴成30。角方向斜向

上射入磁场，且在第二象限运动时的轨迹圆的半径为凡已知带电粒子的质量为处所带电

荷量为4,且所受重力可以忽略.则（）

图1

A.粒子在第二象限和第三象限两磁场中运动的轨迹圆半径之比为1:2

B.粒子完成一次周期性运动的时间为孙

3qB

C.粒子从O位置入射后第二次经过x轴时的位置到坐标原点的距离为3^37?

D.若仅将粒子的入射速度大小变为原来的2倍，则粒子完成一次周期性运动的时间将减少

答案AC

解析由半径公式皿知，轨迹圆半径与磁感应强度5成反比，所以粒子在第二象限和第

qB

三象限两磁场中运动的轨迹圆半径之比为1：2,故A正确；粒子在磁场中运动一个周期的轨

迹如图所示：

在第二象限的周期八=辿=畋圆心角为120。，运动时间在第三象限

q，2BqB36003qB

运动的周期？2=物，圆心角为120。，运动时间/2=辿乙=①，所以粒子完成一次周期性

qB36003qB

运动的时间方=/1+/2=四，故B错误；粒子在第三象限轨迹圆的半径为&=2凡从。点入

qB

射后第一次经过X轴的距离Xl=34=3七第二次圆弧的弦长X2=3&=23七所以粒子

从O位置入射后第二次经过x轴时的位置到坐标原点的距离为X=XI+X2=3\/3凡故C正确;

若仅将粒子的入射速度变为原来的2倍，周期7=纲与速度无关，圆心角不变，所以在磁

qB

场中运动时间/=且7不变，故D错误.

2兀

2.（多选）（2019•山西省晋城市第一次模拟）足够大的空间内存在着竖直向上的匀强磁场和匀强

电场，有一带正电的小球在电场力和重力作用下处于静止状态.现将磁场方向顺时针旋转30%

同时给小球一个垂直磁场方向斜向下的速度0（如图2所示），则关于小球的运动，下列说法正

确的是（）

图2

A.小球做类平抛运动

B.小球在纸面内做匀速圆周运动

C.小球运动到最低点时电势能增加

D.整个运动过程中机械能不守恒

答案CD

解析小球在复合电磁场中处于静止状态，只受两个力作用，即重力和电场力且两者平衡，

当把磁场顺时针方向旋转30°,且给小球一个垂直磁场方向的速度o,则小球受到的合力就是

洛伦兹力，且与速度方向垂直，所以小球在垂直于纸面的倾斜平面内做匀速圆周运动，选项

A、B错误；小球从开始到最低点过程中克服电场力做功，电势能增加，选项C正确；整个

运动过程中机械能不守恒，选项D正确.

3.（2018•江西省十所省重点高中二模）如图3所示，在纸面内有两个磁感应强度大小均为3、

方向相反的匀强磁场，虚线等边三角形/8C为两磁场的理想边界.已知三角形/8C边长为3

虚线三角形内为方向垂直纸面向外的匀强磁场，三角形外部的足够大空间为方向垂直纸面向

里的匀强磁场.一电荷量为+如质量为%的带正电粒子从N3边中点尸垂直边射入三角

形外部磁场，不计粒子的重力和一切阻力，试求：

图3

（1）要使粒子从P点射出后在最短时间内通过B点、,则从尸点射出时的速度oo为多大？

（2）满足（1）间的粒子通过3后第三次通过磁场边界时到B的距离是多少？

（3）满足（1）间的粒子从尸点射入外部磁场到再次返回到尸点的最短时间为多少？画出粒子的

轨迹并计算.

答案（1产（2）—（3）见解析

4m4

解析（1）当粒子运动半个圆周到达8点时所用时间最短，此时粒子做圆周运动半径厂=4根

4

据洛伦兹力提供向心力可得r=-,解得。（）=理；

qB4m

（2）粒子做圆周运动半径T=±由几何关系可知：

4

设过B点后第三次通过磁场边界时到B点的距离为s,

。3L

s=3r=一;

4

（3）粒子运动轨迹如图

粒子在磁场中运动的周期7=—,由图可知从P点射入外部磁场到再次返回到P点的最短

qB

时间为

63qB

4.（2018•河南省濮阳市第二次模拟）如图4所示，在xQy坐标系的第二象限内有水平向右的匀

强电场，第四象限内有竖直向上的匀强电场，两个电场的场强大小相等，第四象限内还有垂

直于纸面的匀强磁场，让一个质量为加、带电荷量为夕的粒子在第二象限内的P（一乙L）点

由静止释放，结果粒子沿直线运动到坐标原点并进入第四象限，粒子在第四象限内运动后从

x轴上的0。，0）点进入第一象限，重力加速度为g,求：

图4

（1）粒子从P点运动到坐标原点的时间；

（2）匀强磁场的磁感应强度的大小和方向.

答案（1八丹（2）以*方向垂直纸面向里

7gqNL

解析（1）粒子在第二象限内做直线运动，因此电场力和重力的合力方向沿P。方向，则粒子

带正电.

由运动学知识可得/〃g=q£i=q£2,y^2mg—ma,也解得/丝

2Vg

（2）设粒子从。点进入第四象限的速度大小为V,由动能定理可得仅

解得？=2\[gL,方向与x轴正方向成45。角，由于粒子在第四象限内受到电场力与重力等大

反向，因此粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于粒子做匀速圆周运动后从x轴上的

。（工,0）点进入第一象限，根据左手定则可以判断，磁场方向垂直于纸面向里.

粒子做匀速圆周运动的轨迹如图，由几何关系可知

粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R=^L

2

由牛顿第二定律可得5卯=加彳，解得餐

5.（2018•山东省日照市一模）如图5所示，在坐标系xQy平面的x>0区域内，存在电场强度大

小E=2X105N/C、方向垂直于x轴的匀强电场和磁感应强度大小5=0.2T、方向与xOy平面

垂直向外的匀强磁场.在y轴上有一足够长的荧光屏尸0,在x轴上的M(10,0)点处有一粒子

-27

发射枪向x轴正方向连续不断地发射大量质量m=6.4xl0kg＞电荷量4=3.2x10-19c的带

正电粒子(重力不计)，粒子恰能沿x轴做匀速直线运动.若撤去电场，并使粒子发射枪以M点

为轴在xOy平面内以角速度。=2兀rad/s顺时针匀速转动(整个装置都处在真空中).

图5

(1)判断电场方向，求粒子离开发射枪时的速度；

(2)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径；

⑶荧光屏上闪光点的范围距离；

(4)荧光屏上闪光点从最低点移动到最高点所用的时间.

答案见解析

解析(1)带正电粒子(重力不计)在复合场中沿x轴做匀速直线运动，据左手定则判定洛伦兹

力方向向下，所以电场力方向向上，电场方向向上有《£