人教A数学必修二教案2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.2平面与平面垂直的判定

【教学目标】

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”

的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

【教学重难点】

重点：平面与平面垂直的判定。

难点：找出二面角的平面角。

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么

共同的特征？

以,上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到

两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的

角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归

纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

角二面角

AA

p

图形

顶点0』-----B棱/

边B\a

从,平面内一点出发的两条射线（半从空间一直线出发的两个半平面所组

定义

直线）所组成的图形成的图形

构成射线一点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面

表示ZAOB二面角a-/-B或a-AB-0

2、二面角的度量

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，

那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在

其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3）,通过实验操作，研探二i

量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：

（1）在表示二面角的平面角时，要求OAJ_L,OB±L；/

（2）NAOB的大小与点。在L上位置无关；/

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平（A

面的位置关系怎样？\

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，\

获得两个平面互相垂直的判定定理：'

2

一个平面过另一个平面的,垂线，则这两个平面垂直。图2.3-3

（三）实际应用，巩固深化

例1、（课本69页例3）设AB是圆0的直径，PA垂直于圆0所在平面，C是圆周上的任意点，求证:

面PAC_1_面PBC.

变式：课本介9的探究问题

例2、已知直线PA垂直正方,形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PACL平面PBD。

说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明8d平面必。和做，平面为C是

关键.从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因.此整个解

题过程始终沿着“线线垂直O线面垂直O面面垂直”转化途径进行.

变式.课本”9的练习

（四）小结归纳，整体认识

（1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

（五）当堂检测

P81习题2.3A组第4、6、7题，B组第1题

【板书设计】

二面角的概念

两个平面垂直的定义

两个平面垂直的判定定理

三种形式描述

例1

例2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

2.3.2平面与平面垂直的判定

课前预习学案

一、预习目标：（1）明确角的定义及推广。

（2）初步知道什么是二面角。

二、预习内容

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么

共同的特征？

问题3、二面角的有关概念

角二面角

,AA

图形

顶点0』-----B棱/.

边B\a

从平面内一点出发的两条射线（半

定义

直线）所组成的图形

构成射线一点（顶点）一射线

表示ZAOB

3

问题4、二面角如何度量？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

疑惑点疑惑内容

课内探究学案

--学习目标

(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个,平面互相垂直”

的概念；

(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

(3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

(4)通过实例让学生直观感知“，二面角”概念的形成过程；

(5)类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

学习重点：平面与平面垂直的判定。

学习难点：找出二面角的平面角。

二、学习过程

(一)、二面角的平面角

1、如何找出二面角的平面角？

2、二面角的平面角为90°说明了什么？

(二)、平面与平面垂直的判定定理(文字，符号及图形表示)

(三)、定理的应用

例1(课本之中的例3)

变式1、课本乙9的探究问题

例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PACL平面PBD。

变式2、课本”9的练习

当堂达标测试

P81习题2.3.A组第4、6、7题，B组第1题

课后练习与提高

1.过平面a外两点且垂直于平面a的平面()

(A)有且只有一个(8)不是一个便是两个(C)有且仅有两个(。)一个或无数个

2.若平面。，平面夕，直线〃ua,mu0,,贝ij(.)

(A)n±/?(8)〃_L尸且m_La(C)ml.a(£>)〃_L4与ma中至少有一个成立

3.对于直线机力和平面a,a,夕的一个充分条件是()

(A)m±«,mHa,nII/3(B)mVn.a/3=ua

4

（C）mHn,n±（£））m±n,mVa,nV/3

4.设/，加，〃表示三条直线，a,4，/表示三个平面，给出下列四个命题：

①若/_La,加_La,则/〃加；②若mu⑸〃是/在夕内的射影，m±I,则zn_L〃；

③若mua,m〃n,则〃〃a；④若a_L/,Q_Ly,则。〃，.其中真命题是（）

（A）①②（8）②③（C）®®（。）③④

5.如图正方体ABCQ—A4GA中，分别是A4，BC,CQ,8c的中点,

求证：平面MVF_L平面E7VF。

6.如图，