九年级第一学期期中测试数学试卷-带参考答案

九年级第一学期期中测试数学试卷-带参考答案

一.选择题（每小题3分，满分30分）

1.如图所示图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AOQ9B阕

£D◎

2.一元二次方程2N-3尤+1=0化为（x+a）2=6的形式，正确的是（）

A.（x-y）2=16B.22=~^

C.（—）2=D.以上都不对

3.函数,=办2+2办十加（aVO）的图象过点（2,0）,则使函数值yVO成立的％的取值范

围是（）

A.xV-4或%>2B.-4<x<2C.%<0或%>2D.0<x<2

4.如图，在。。中，A8是弦，ZOCA=40°,则NBOC的度数为（）

C.40°D.50°

5.已知二次函数y=3（兀+1）2-8的图象上有三点A（1,yi）,B（2,y£）,C（-2,第），

则yi,”，声的大小关系为（）

A.yi>y2>y3B.”>6>gC.”>%>”D.y3>yi>y\

6.在平面直角坐标系％0y中，已知点A（-4,-3）,以点A为圆心，则坐标原点。与OA

的位置关系是（）

A.点。在GM内B.点。在G)A外

C.点。在OA上D.以上都有可能

7.如图，在△ABC中，ZCAB=65°,使CC'//AB,则旋转角的度数为()

AB

A.40°B.30°C.50°D.65°

8.如图，一次函数”=履+。与二次函数丫之二a:「交于A(-1,1)和B(2,4),则当yi

>”时工的取值范围是()

A.x<-1B.x>2C.-l<x<2D.x<-l或x>2

9.如图，等边三角形ABC的边长为4,OC的半径为百,.过点尸作OC的切线尸。，切点

为。()

A

A.1B.V3C.2a

D.3

10.已知二次函数y=ox2+bx+c(〃W0)的图象如图所示，有下列5个结论：

①％<0；②9a+36+c<0；③2c<36(am+b)(机Wl)；⑤若方程欣2+6x+c|=1有四个

根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有（）

C.4个D.5个

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11.设a,6是方程N+x-2024=0的两个实数根，贝I］。2+2。+6=.

12.若等腰三角形的一边长为6,另两边的长是关于x的一元二次方程N-8x+m=0的两个

根，则机的值为

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB与线段C。关于点P对称.若点A（a,b）

（5,1）、。（-3,-1）,则点C的坐标为.（用含a、b的式子表

-6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式

为

15.如图，在△ABC中，AB=10,BC=6,以边AB的中点。为圆心，点尸、。分别是边

8C和半圆上的动点，连接尸2

16.如图，AABC的内切圆与AB,BC,E,F,且AD=2,△ABC的周长为

14

A

17.如图，把RtZXOAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)(3,0),点P是

□△。48内切圆的圆心.将RtzXOAB沿无轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与

X轴重合1,第二次滚动后圆心为P2,…，依此规律，第2023次滚动后2023的坐标

是_______________

18.解方程：

(1)(x+4)(%-2)=3(尤-2)；

(2)x2-x-3=0.

19.已知关于尤的一元二次方程炉-4"ir+3nj2=o.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若相＞0,且该方程的两个实数根的差为2,求机的值.

20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是4(1,3),B(4,4),C(2,

1).

(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△AbBCi,请画出平移后的△AiBiCi；

(2)把△ABC绕原点。旋转180°后得到对应的282c2,请画出旋转后的△A2&C2；

(3)观察图形可知，△4B1C1与△A2&C2关于点(，)中心对称.

J'小

21.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，垂足为E,BC平分NABE,连接AC.

（1）求证：OE为OO的切线；

（2）若8E与圆交于点F,CE=4,EF=2

22.2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售,

玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）（元）的关系如图所示,

在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.

（1）求日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式；

（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？

23.在Rtz\ABC中，ZACB=90°,AB=5,将△ABC绕点2顺时针旋转得到△ABC,其

中点A,C.

（1）如图1,当点4落在AC的延长线上时，则AY的长为；

（2）如图2,当点。落在A8的延长线上时，连接CC,求8M的长；

(3)如图3,连接4V,CC,若AE=2,连接。E.在旋转过程中，请直接写出。E的

最小值：若不存在，请说明理由.

24.如图，抛物线y=x2+Zzr+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C,

8C,点尸是直线AC下方抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AP,CP,设尸点的横坐标为〃2,求S与机的函数关系式；

(3)试探究：过点尸作8c的平行线1,交线段AC于点。，在直线/上是否存在点E,

C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，若不存在，请说明理由.

备用图

参考答案

一.选择题（每小题3分，满分30分）

1.如图所示图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

AOQPB阂

©

【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.既是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

2.一元二次方程2x2-3尤+1=0化为（x+q）2=方的形式，正确的是（）

A.（x-y）=16B.2（乂口）

C.D.以上都不对

【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1,最后在等式的两边同时

加上一次项系数一半的平方，然后配方即可.

解：".,2x2-5x+l=0,

/.7x2-3x=-8,

,31

尤/------x=-----,

22

53^614

216216

(3、51

416

...一兀二次方程2X6-3尤+1=5化为（x+a）2=匕的形式是：（尤-亮）

16

故选：c.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤:

（1）把常数项移到等号的右边;

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2

的倍数.

3.函数y=a%2+2依+机（«<0）的图象过点（2,0）,则使函数值y<0成立的x的取值范

围是（）

A.x<-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2

【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的

另一个交点坐标为（-4,0）,然后利用函数图象写出抛物线在无轴下方所对应的自变

量的范围即可.

解：抛物线>=。尤2+2办+机的对称轴为直线：

3a

x-------

2a

=_L

抛物线与x轴的一个交点坐标为：（8,0）,

由二次函数图象性质可知，无轴的另一个交点与（2,

所以另外一个交点的坐标为：（-4,0）,

Vfl<0,

抛物线开口向下,

.•.当x<-2或x>2时，y<0.

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线与无轴的交点：把求二次函数y=ax2+6x+c（a,b,c是常数,

。#0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于尤的一元二次方程，也考查了二次函数的性

质.

4.如图，在。。中，是弦，/。。1=40。，则乙BOC的度数为()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【分析】根据等腰三角形的性质求出NO8A=N048=25°,/O4C=NOCA=40°,

再根据三角形内角和定理求出NAO8和NAOC,再求出答案即可.

解：；OA=OB,ZOAB=25°,

：.ZOBA=ZOAB=2.5°,

/.ZAOB=180°-ZOAB-130°,

'：OA=OC,ZOCA=40°,

：.ZOAC=ZOCA=40°,

ZAOC=180°-ZOAC-ZOCA=100°,

：.ZBOC^ZAOB-ZAOC^130°-100°=30°.

故选：B.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和

定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

5.已知二次函数y=3(x+1)2-8的图象上有三点A(1,yi),B(2,yi),C(-2,%),

则yi,”，>3的大小关系为()

A.yi>>2>y3B.yi>yi>yiC.yi>y\>yiD.》3>y2>yi

【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x=-1,图象开口向上，A、8两点在

对称轴右边，y随x的增大而增大，故力<》2；A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故

心最小.

解：由二次函数y=3(x+l)7-8可知，对称轴为x=-l,

可知，A(8,-)，B(2,>6)两点在对称轴右边,

y随x的增大而增大，由1<2得y8<”，

A、B、C三点中，故中最小.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数的增减性.当二次项系数a>0时，在对称轴的左边，y随

x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y

随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小.

6.在平面直角坐标系尤Oy中，已知点4(-4,-3),以点A为圆心，则坐标原点。与OA

的位置关系是()

A.点。在OA内B.点。在OA外

C.点。在OA上D.以上都有可能

【分析】先求出点A到圆心。的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得.

解：•圆心A(-4,-3)至!!原点。的是巨离。A=J(-7)2十(一3)7,

；.OA=5>，=4,

...点。在。A外,

故选：B.

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为广，点到圆心的距

离为d,则有：当厂时，点在圆外；当〃=厂时，点在圆上，当时，点在圆内.

7.如图，在△ABC中，ZCAB=65°,使CU//AB,则旋转角的度数为()

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得NACC'=NCAB,根据旋转的性质可得AC

=A。，然后利用等腰三角形两底角相等求NCAC,再根据/C4。、ZBAB'都是

旋转角解答.

解：,/CC//AB,

：.ZACC=ZCAB=65°,

「△ABC绕点A旋转得到△AB'C,

：.AC=AC,

：.ZCAC=180°-2ZACCr=180°-2X65°=50°,

：.ZCACr=/BAB'=50°.

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图

是解题的关键.

8.如图，一次函数》=依+力与二次函数了2二2乂2交于人(-1,1)和8(2,4),则当yi

>/时尤的取值范围是()

-l<x<2D.x<-1或x>2

【分析】解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标,比较两函数图象的上下位

置，时，y的图象在>2的上面，再判断自变量的取值范围.

解：•・,一次函数丁1=丘+人与二次函数交于A(-1,1)和3(2,

从图象上看出,

当-l<x<2时，>3的图象在丫2的图象的上方，即

当y\>yi时x的取值范围是-2cx<2.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关

键.

9.如图，等边三角形ABC的边长为4,OC的半径为遥，过点尸作。。的切线尸。切点

为Q()

A

p.

B\cI

A.£B.5/3C.2愿D.3

【分析】连接CQ、CP,过点C作于”，根据切线的性质得到CQ，P。，根据

勾股定理求出尸。，根据等边三角形的性质求出CH,根据垂线段最短解答即可.

解：连接C。、CP,

是OC的切线，

C.CQLPQ,

•••P2=1cp2_CQ2=JcP7s

当CPL48时，CP最小,

：△ABC为等边三角形，

.,./8=60°,

：.CH=BC-smB=2y/3>

52=5,

的最小值为：A/(2\/3)-(V3)

故选：D.

【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂

直于经过切点的半径是解题的关键.

10.已知二次函数y=〃N+Z?x+c(〃W0)的图象如图所示，有下列5个结论：

①abcVO；②9〃+3b+cV0；(3)2c<3Z?(tzm+/?)(mv£l)；⑤若方程IQN+^X+CL1有四个

根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有()

y

C.4个D.5个

【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则«<0,再结合对称轴x=l,有

小-=1，即6=-2a,则6>0.据二次函数图象与y轴正半轴相交得c>0；②由图象可

知，抛物线与X轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当x=3时，y<0,即可判断；

③—=1,得6=-2。，当尤=-1时，y<Q,BPa-b+c<0,所以2a-2b+2c<0,把。

2a

替换成6计算；④x=l时函数有最大值，所以当x=l时的y值大于当x=;w（机=1）时

的y值，即。+6+。>机（。加+6）+c,所以。+6>加（OMJ+6）（租HI）成立；⑤当。1+匕龙

1.

=1时，Wax2+ta+c-1=0,止匕时有x1+x=—,当以2+区+。=-1时，有〃%2+陵+。+1

1乙a

=0,止匕时有X2+x乩=""，则有xi+x0+xQ+Xd=/^1，即可判断.

解：・・,图象开口向下，

(2<0,

对称轴x=l,

b1

b=-2a,

/?>8,

抛物线交于y轴正半轴,

c>0,

abc<Of

故①正确；

由图象可知，抛物线与无轴正半轴交点的横坐标在8和3之间,

当尤=3时，y<2,

即9a+3b+c<6,

故②正确；

•・,根据图象可知，当％=-1时，

即〃-Z?+c<0,

la-2b+2c<7,

：.结合b=-2a,有-3Z?+5c<0,

/.2c<.6b,

故③正确；

Vx=l时，有y=a+b+c,

又•・”=根(m^=l)时，y=am2+bm+c,

；・〃+/?+<?>“序+/?帆+。,

a+b>m(am+b)(机W1)成立,

故④正确.

根据I办8+fex+c|=1有四个根，

可得ax2+bx+c=7和ax2+bx+c=-1各有两个根，

当4%5+法+0=1时，有依2+法+0-7=0,止匕时有x।+x6二一^，

1ba

当〃%2+法+0=_1时，有依8+bx+c+l=0,止匕时有Xo+X*―^，

84a

则有x1+x6+x3+x4=^

•.•--3--b--

a

即：|ax2+bx+c|=5的四个根和为4,

故⑤错误.

综上：①②③④正确，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作

用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系.会用数形结合的思想是解题关键.

二、填空题(每小题3分，满分21分)

11.设a,6是方程N+尤-2024=0的两个实数根，则。2+2°+6=2023.

【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2024、a+b=-1,将其

代入。2+2a+b=(a2+a)+(a+6)中即可求出结论.

解：：a,6是方程x2+x-2024=0的两个实数根，

.'.a3+a=2024,a+b=-1,

'.dr+ha+b—(居+。)+(。+6)=2024-1=2023.

故答案为：2023.

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及

根与系数的关系找出“2+”=2024、a+b=-1是解题的关键.

12.若等腰三角形的一边长为6,另两边的长是关于x的一元二次方程N-8X+机=0的两个

根，则根的值为12或16.

【分析】当等腰三角形的底边为6时，根据等腰三角形的性质得到关于龙的一元二次方

程x2-Sx+m=0有两个相等的实数根，利用根的判别式的意义得到A=(-8)2-4m=

0,解得机=16,再解方程求出两根，然后根据三角形三边的关系判断机=16符合题

意；当等腰三角形的腰为6时，根据等腰三角形的性质得到尤=6为关于x的一元二次方

程X?-8x+»i=0一个根，把x=6代入方程得36-48+加=0得优=12,然后解方程后根据

三角形三边的关系判断机=12符合题意.

解：当等腰三角形的底边为6时，则关于x的一元二次方程N-5x+机=0有两个相等的

实数根，

根据根的判别式的意义得△=(-8)4-4/??=0,

解得m=16,

此时方程为x4-8x+16=0,解方程得尤8=&=4,

因为2+4>6,

所以m=16符合题意；

当等腰三角形的腰为5时，则x=6为关于x的一元二次方程N-4x+m=0一个根，

把x—6代入方程得36-48+机=7,

解得m—12,

此时方程为N-8x+12=3,解方程得xi=2,无3=6,

因为6+2>2,

所以机=12符合题意；

综上所述,m的值为12或16.

故答案为：12或16.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax^+bx+c^O(aWO)的根与A=/-44c

有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关

系.

13.如图，在平面直角坐标系尤0y中，线段与线段关于点尸对称.若点A(a,b)

(5,1)、。(-3,-1),则点C的坐标为(2“，-6).(用含°、6的式子

表示)

【分析】运用中点坐标公式求答案.

解：设CGn,H),

•.♦线段A8与线段8关于点尸对称，点P为线段AC.

•.•a+m—5_6，b+n_-3_1，

2222

••3一a,n-■-b,

C(2-tz,-/?),

故答案为：(2-a,-b).

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，正确运用中点坐标公式是解题的关键.

14.将抛物线>=尤2-6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为y=-(x+3)

2+9.

【分析】当抛物线y=/-6x=(x-3)2-9绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(-

3,9),并且开口方向相反，于是根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式.

解：抛物线y=N-6x=(x-8)2-9的顶点坐标为(2,-9),

由于抛物线y=x2-8x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为(-3,9),

则所得抛物线解析式为y=-(x+8)2+9.

故答案为：y=-(尤+2)2+9.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故“不

变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点

平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出

解析式.

15.如图，在△A3C中，AB=W,BC=6,以边4B的中点O为圆心，点P、。分别是边

BC和半圆上的动点，连接尸。9.

【分析】如图，设O。与AC相切于点E,连接OE,作。尸垂足为P交O。于Qi,

此时垂线段OP最短，Pi©最小值为OPi-03,求出OPi,如图当Q在AB边上时,

P2与8重合时，？2。2最大值=5+3=8,由此不难解决问题.

解：如图，设。。与AC相切于点E,连接垂足为Pi交。。于。6,

此时垂线段OPi最短，P04最小值为OPi-OQi,

VAB=10,AC=6,

：.AB2=AC2+BC6,

.\ZC=90°,

VZOPiB=90°,

/.OPi//AC

\"AO=OB,

:.P£=PiB,

4

：.OPi=—AC=4,

2

.\P501最小值为OPl-。。4=1,

如图，当。2在AB边上时，P4与8重合时，尸2。2经过圆心，经过圆心的弦最长，

尸502最大值=5+3=8,

：.PQ长的最大值与最小值的和是9.

故答案为：2.

【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点尸。

取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型.

16.如图，ZXABC的内切圆与AB,BC,E,F,且AZ)=2,△ABC的周长为145.

【分析】根据切线长定理得到A尸=4。=2,BD=BE,CE=CF,由△ABC的周长为14,

可求3c的长.

解：V00AB,BC,E,F

；.AF=A£)=2,BD=BE,

：△ABC的周长为14,

：.AD+AF+BE+BD+CE+CF=14,

：.2(BE+CE)=10,

；.BC=2.

故答案为：5.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题

的关键.

17.如图，把RtZ^OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)(3,0),点P是

及△0AB内切圆的圆心.将RtZ\048沿无轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与

X轴重合1,第二次滚动后圆心为P2,…，依此规律，第2023次滚动后2023的坐标是

(8093,1)

y

【分析】依次求出前三次滚动后圆的内心的对应点的坐标，根据发现的规律即可解决问

题.

解：VA(0,4),7),

/.OA—4,OB—3.

则在RtAAOB中，

AB=V52+45=5-

根据直角三角形内切圆的半径公式可知，

r--3--+--5----5--=9弓.

2

则点尸坐标为(1,1).

根据切线长定理可知，

AF=AG=7-1=3,

OE=OF=7,

BE=BG=3-1=2.

第1次滚动后点Pi的横坐标为：2+2+2=8,

即点Pi的坐标为(5,8).

同理可得，

点P2的坐标为(lb1),

点Pi的坐标为(13,1).

..•每滚三次一个循环，

且2023+3=674余7,

...第2023次滚动后点P2023的横坐标为：674X(13-1)+5=8093.

则点尸2023的坐标为(8093,7).

故答案为：(8093,1).

y

【点评】本题考查点的坐标变化规律及三角形内切圆与内心，能根据所给图形的滚动方

式发现内心横坐标的变化规律是解题的关键.

三、解答题(本题共7道大题，满分69分)

18.解方程：

(1)(x+4)(x-2)=3(x-2)；

(2)x2-x-3=0.

【分析】(1)方程移项后用因式分解法解方程即可；

(2)方程运用公式法求解即可.

解：(1)(x+4)(x-2)=3(x-2),

(x+4)(x-8)-3(x-2)=3,

(x+4-3)(x-8)=0,

.*.x+l=4,x-2=0,

・・%8-1,X2~~3;

(2)x2-x-3=5,

这里a=l,b=-1,

.・・A=(-7)2-4X5X(-3)=13>0,

._6±^13_3±713

••X-------------1",

2X12

.3-713

22

【点评】本题考查的是解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟知解一元二次方程的

基本方法是解答此题的关键.

19.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若%>0,且该方程的两个实数根的差为2,求机的值.

【分析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式可得出△=4疗，利用偶次方的非负性

可得出4/三0,即A〉。，再利用“当ANO时，方程有两个实数根”即可证出结论；

(2)方法一：利用因式分解法求出无1=根，xi=3m.由题意得出机的方程，解方程则可

得出答案.

方法二：利用根与系数的关系可求出答案.

【解答】(1)证明：b--Airi1,

A=b2-4czc=(-6m)2-4X6X3m2=5m2.

:无论相取何值时，4源20,即A20,

原方程总有两个实数根.

(2)解：方法一：-4mx+3i-rfi—Q,即(尤-机)(x-3%)=7,

••X1^777,X2=5〃Z.

•：m>0,且该方程的两个实数根的差为2,

4m-m—2,

..机=1.

方法二：

设方程的两根为X7,%2,则为+X8=4根，X1・X3=3加，

*.,X2-X2—2,

(X5-X2)2=4,

(X1+X2)3-4X1X6=4,

(4m)5-4X3m8=4,

.\m=±1,

又m>3,

.,.m=1.

【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解

题的关键是：(1)牢记“当A20时，方程有实数根"；(2)利用因式分解法求出方程

的解.

20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是4(1,3),2(4,4),C(2,

1).

(1)把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△AiSCi,请画出平移后的△ALBIG；

(2)把△ABC绕原点。旋转180°后得到对应的△A2&C2,请画出旋转后的△A2&C2；

(3)观察图形可知，△4B1G与AA282c2关于点(-2,0)中心对称.

■>

X

【分析】(1)依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△481G；

(2)依据△ABC绕原点。旋转180°,即可画出旋转后的282c2；

(3)依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标.

(3)由图可得，△4B1C3与△A2&C7关于点(-2,0)中心对称.

故答案为：-8,0.

【点评】此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关

键.

21.如图，为。。的直径，C为O。上一点，垂足为aBC平分/ABE,连接AC.

(1)求证：DE为的切线；

(2)若BE与圆交于点RCE=4,EF=2

【分析】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质以及平行线的判断可得OCHBE,

再垂直的性质得出OCLDE,由切线的判断方法可得结论；

（2）连接CR根据tan/ECF=tan/C2R可得丝=坐，求出3E=8,根据勾股定理

CEBE

可得BC=4A/5,由cosZABC=cosZCBE,可得g要■,求出AB=10,进而可以解

决问题.

【解答】（1）证明：如图，连接OC,

「BC平分/ABE,

ZABC=ZCBE,

'：OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,

：.ZOCB=ZCBE,

：.OC//BE,

又；DE_LBE,

：.0C1DE,

：0C是。。的半径,

...DE是。。的切线;

:四边形ABPC是圆。的内接四边形,

：.ZEFC=ZCAB,

VZECF+ZEFC^9Q°,ZCAB+ZCBA^90°,

：.ZECF=ZCBAf

•：/CBA=NCBE,

:・NECF=/CBE,

*：CE=4,EF=2,

tanNECF—tanNCBF,

,EF=CE

，，CE-BE，

・7_4

••一，

4BE

：.BE=6,

•••BC=VCE2+BE2=V72+87=4A/5，

平分/ABE,

ZABC=ZCBE,

为。。的直径，

ZACB=ZCEB=90°,

cosZABC=cosZCBE,

•BC=BE

,•而一而‘

.8时8

AB5炳'

：.AB=10,

，圆的半径为5.

【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，掌握切线的判

断方法是解决问题的前提.

22.2022年冬奥会在北京顺利召开，某商店购进了一批以冬奥会为主题的玩具进行销售，

玩具的进价为每件30元，根据市场调查发现，日销售量y（件）（元）的关系如图所示，

在销售过程中每天还要支付其他费用共850元.

（1）求日销售量〉（件）与销售单价x（元）的函数关系式；

（2）求该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价无（元）的函数关系式；

（3）当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元？

y1件）

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量y（件）与销售单价无（元）

的函数关系式;

（2）根据题意和（1）中的结果，可以写出该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价

x（元）的函数关系式;

（3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，可

以求得当销售单价为多少元时，该批玩具的日销售利润最大，最大利润为多少元.

解：（1）设日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是〉=丘+6,

:点（40,180）,120）在该函数图象上,

,J40k+b=180

'160k+b=120,

k=-3

解得

b=300,

•••物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%,

...30WxW30+30X90%,

；.3OWxW57,

即日销售量》（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y=-3x+300（30WxW57）；

（2）由题意可得,

W=(x-30)(-2x+300)-850=-3x2+390x-9850,

即该批玩具的日销售利润W（元）与销售单价x（元）的函数关系式是W=-4N+390X

-9850；

(3)由(2)知：W=-3x3+390x-9850=-3(x-65)2+2825,

该函数的图象开口向下，对称轴为x=65,

：3OWxW57,

当尤=57时，W取得最大值,

答：当销售单价为57元时，该批玩具的日销售利润最大.

【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写

出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值.

23.在中，ZACB=90°,AB=5,将△ABC绕点8顺时针旋转得到△ABC,其

中点A,C.

(1)如图1,当点A落在AC的延长线上时，则AA'的长为8；

(2)如图2,当点C落在A8的延长线上时，连接CC,求的长；

(3)如图3,连接A4',CC,若AE=2,连接。E.在旋转过程中，请直接写出。E的

最小值：若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据题意利用勾股定理可求出AC长为4.再根据旋转的性质可知AB=A'B,

最后由等腰三角形的性质即可求出44'的长；

(2)作CD_LAC交AC于点。，作CE〃A;B交AC于点E.由旋转可得NABC=NABC,

8C=8C=3.再由平行线的性质可知/CEBu/A'BC,即可推出NABC,从而

间接求出CE=BC=BC=3,DE=DB.由三角形面积公式可求出CDT.再利用勾股

定理即可求出BE泻，进而求出c'最后利用平行线分线段成比例即可求出

55

的长.

(3)作AP〃AC且交CD延长线于点P,连接4c.由题意易证明N8CC=/BCC,Z

ACP=90°-ZBCC,ZA'C'£>=90°-ZBCC,即得出/ACP=NACD.再由平行线

性质可知/APC=/A'C'。，即得出/ACP=/APC,即可证明AP=AC=A'C,由此即

易证△入「/)丝△AC。(A4S),得出AD=A'D即点D为A4,中点.再由处或可知点E

是线段AC的中点，即。£为△ACA的中位线，即DE=^A'C.即要使QE最小，AC最

小即可.根据三角形三边关系可得当点A、C、B三点共线时A'C最小，且最小值即为

A'C=A'B-BC,由此即可求出DE的最小值.

解：（1）在RtZXABC中，AC=VABMC2=V32-35-

根据旋转性质可知AB=A'B,即AABA为等腰三角形.

VZACB=9Q°,BPBCLAA',

,

：.AC=AC=4f

：.AA'=S.

图2

由旋转可得NA8C=NA8C,BC=BC=5.

•:CEIINB,

:・/CEB=NA'BC,

；・NCEB=NABC,

：・CE=BC=BC=3,DE=DB.

,/SAABC^—AB•C£>=—,即8XCD=4X3,

82

CD耳

4

2-CD2=£

在RtZXBCD中,

D

；・BE*―

D

33

・・・C‘E=BE+BCy吟

o

U：CE//AB,