高中数学集合与函数概念知识点总结

第一章集合与函数概念

1.1.1集合的含义与表示

一、集合的含义

我们先看一些实例：

①1~20以内的所有质数（素数）；有限集

②到直线I的距离等于定长d的所有的点；

③全体自然数；无限集

④方程x2+3x+2=0的所有实数根；

⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.

分别归纳概括出它们具有什么共同特征？

一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的

总体叫做集合（简称为集）.

通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示集合，小写的拉丁

字母a,b,c，…表示集合中的元素.

常见的数集及其记法：

自然数集N正整数集N*或M

整数集Z有理数集Q

实数集R

注意：几种特殊的数集

常用数集简称记法

全体非负整数的集合非负整数集（或自然数集）N

非负整数内排除0的集合正整数集N*财+

全体整数的集合整数集Z

全体有理数的集合有理数集Q

全体实数的集合实数集R

问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做集合”，这些集合里的元素必须具

备什么特性？

二、集合中元素的特性

先思考以下两个问题：

①高一级身高较高的同学，能否构成集合？否

②高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合？能

③2,4,2这三个数能否组成一个集合？否

1.确定性：

集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的

元素也就确定了。（具有某种属性）

如：高一级身高160cm以上的同学组成的集合.

2.互异性：

集合中的元素是互异的。即集合元素是没有重复现象的。（互不相同）

如：2,4,2这三个数不能组成一个集合，但2,4可组成集合.

3.无序性：

集合中的元素是不讲”页序的。即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都

表示同一个集合。（不考虑M页序）

如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋组成的集合

集合B：印度洋，大西洋，太平洋组成的集合

集合相等：

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.

卑

三、元素与集合的关系

高一级所有的同学组成的集合记为A,a是高一⑺班的同学，b是高二⑺班的

同学，那么a与A,b与A之间各自有什么关系？

如果。是集合力的元素，就说。属于集合4记

作〃£4如果〃不是集合力的元素，就说。不属于

集合4记作〃CA；

漱

四、集合的表示

(1)自然语言表示法

1~20以内的质数组成的集合

(2)列举法

把集合中的元素一一列举出来，以逗号隔开，并用

花括号括起来的表示集合的方法叫做列举法.

｛2,3,5,7,11,13,17,19)

例如，地球上四大洋组成的集合：

｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

例1、用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合;

(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；

⑶由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自然数组成的集合.

解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,则

B={0,1}

(3)设所求集合为C,则

C={6,12,18}

集合的分类：

有限集，无限集

t

〜：你能用列举法表示不等式X-7<3的解集吗？

无限集

(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)

范围，再划一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素的共同特征.

例不等式x-7<3的解集

{xex-7<3}

例2

用描述法和列举法描述下列集合

⑴方程x2-2=0的所有实数根组成的集合

A={xeR|x2-2=0}=[41,-41}

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合

B={xeZ\10<x<20}

或3={11,12,13,14,15,16,17,18,19}

(3)由所有非负偶数组成的集合

C={x|x=2n9neN}

_________

IA={xeR|x<10}।

；.=U|x50}>所有描述的内

容都写在集合

[C=[xeZ|10^<20})符号内

写清楚元素写清楚元

的一般符号素的性质

有限集通常用列举法来表示

无限集通常用描述法来表示

(4)Venn图示法

如：“book中的字母”构成一个集合

b,o,k

本章节归纳小结：

1、集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性

2、元素与集合的关系£和公

元素与集合的关系是个体与总体的关系

3、集合的表示方法：

（1）自然语言表示法（2）字母法

（3）列举法（4）描述法

（5）图示法——Venn图

4、集合的分类：有限集，无限集

巩固练习：

1、用£、纪填空

⑴设/为所有亚洲国家组成的集合，则

中国£4美国史N

印度£4英国史N

(2)若4={x\x2=x),则一1生_A

(3)若/?={X|X2+X—6=0},39B

(4)若C={xwN11Kx410},8£C,9.1gC

2、试选用适当的方法表示下列集合

(1)方祗2_9=0的所有实数组成的集合；

(2)由小于8的所有素数组成的集合；

(3加二x+3与y=-2*+6的图象的交点组成的集合；

(4)不等式4x-5<3的解集

解：(1))={3,-3}

(2)7?={2,3,5,7)

y=x+3

(3)C={(x」)|*<}={(1,4)}

y=-2x+6

(4)D={x\x<2}

⑴所有偶数组成的集合：

{.V|x=2k、kGZ}数集

⑵不等式的解集：

2x-3<0不等式的解集

{x12x-3<0}

(3)函数1，=x+1的自变量的值组成的集合：

{X|J，=A+1)函数自变量构成的集合

(4)函数J，=x+1的因变触的值组成的集合：

{y\y=x+i}函数因变量构成的集合

⑸函数1=X+1图象上的点组成的集合：

{(x,y)\y=x+lfx、je/?)点集

(6)函数j，=x+1与^=1的图象交点组成的集合:

{(x,y)|j=x+L尸1，*、pwR}或{(0,1)}

3.已知集合力含有。-22r?+5兄12三个元素，且一3仁力，求。的值.

［解析］V-3G/1,则一3二。-2或一3=2/+%，

,3

-1或"-­£•

当”二—1时，。-2=—3,2。2+5“=-3,

不满足集合中元素的互异性，.••。二一1舍去.

当什一手寸，经检验，符合题意.故a=一右

集合间的基本关系

必修1.1.1.2集合间的基本关系

知识梳理

1.子集

如果集合A中的卷一个元素都是集合8中的元素，就是说这两个集合有

自然语言包含关系，

称集合4为集合6的子集

符号语言4U8（或-4）

图形语言

例如：A=10,1.21,B-（0.1.2,3},则A、B的关系是AUB或BQA.

2.真子集

如果集合AUB,但存在元素xCB,且短A,则称集合A是集合B的

自然语言

真子集

符号语言AB（或BA）

图形语言

例如：A={1.2）.B=|1,2,3）,则A、B的关系是48（或BA）.

3.相等

若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A=

B

例如：若人=@1,2),B=Ix.1,2),且A=B,RlJx=0.

4.空集

没有任何元素的集合叫空集，记为」.

例如：方程“+2*+3=0的实数解的集合为.

问题：空集中没有元素，为什么还是集合？

解析：产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通

过实例来体会.例如方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集，对于'=o,y

X

+4=0等方程来说，它们的解集中没有元索，也就是说确实存在没有任何元素的集合，

那么如何用数学符号来刻画没有任何元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任

何元素的集合叫空集.由此看出，空集的概念是一个规定.

例题讲解

题型一集合间关系的判断

(例1】下列各式正确的是________

(1){dCU]](2)(1,2.3)=13.2.1)；(3)^-(0)5(4)0G(0)j

(5)(1){x|x^5|；(6)|1,3|(3.4|.

分析：利用子集、真子集、集合相等的概念判断.

解析：

题号正误原因

(1)任何一个集合都是它本身的子集

⑵J两集合中的元素是一样的,符合集合相等的定义

(3)空集是任何非空集合的真子集

(4)X元素。是集合⑻中的一个元素，故应为0W9)

V1<5,.,.16|x|x<5}..,.{1)G{x|x^5}.又:(1)1{*|E5),

(5)J

.♦.{1}休{*"5}

VIC|1.3),但展[3.4),J.{1.3}不是{3.41的子集，更不是真子

(6)X

集

答案:⑴⑵⑶⑸

点评：两集合间关系的判断：

(1)用定义判断.

首先,判断一个集合4中的任意元素是否属于另一集合尻若是，则4U&否则，

不是8的子集；

其次，判断另一个集合8中的任意元素是否属于第一集合4若是，则的4否则8

不是4的子集；

若既有/U8,又有5C4则4=8

(2)数形结合判断.

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意

端点值的取舍.

(巩固】指出下列各对集合之间的关系：

⑴4=1.1),ff=(xGN|y=1|；

(2)/={*|*是等边三角形1,是三角形)；

⑶4={*|-1<x<4],B={x|jr—5<0).

答案：(1)BA:(2)A8:(3)AB

题型二子集关系的理解应用

（例2）写出满足仿，b,c,M的所有集合4

解析：满足彷，6|QAQ{a,b,c,M集合分别为：|a,Z>|；|a,b,c];（a,b,di；

（A,b,c,M.

点评：写满足条件的集合考虑问题要全面，元素c,d可都不考虑选取，可选取一个,

也可以选取两个.

（巩固1已知W?-1=0}U/U1-1,0,1）,试写出所有集合4

答案：[T.1};{-1,0.11.

题型三集合的表示法

（例31若（1.2}={x|/+a»+6=0],则a=.6=.

解析：由题意知，1和2为方程/+a*+6=0的两根，.・.-a=1+2,6=1X2.J.a=

-3,b=2.

答案：一32

点评：1若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除

与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.

2.若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元

素满足的条件是否一致.若均一致，则两集合相等.

3,证明两集合相等的常用思路是证4U8且“4

【巩固】设a.6WR,集合|1,ab,a）=|0,d）,则上炉.

a

答案：2

点评：若集合48为有限集，只要两集合中元素个数相同，对应元素分别相同，即

答案:

4.已知集合4=[1,2,x|,5=(1.2,力且4=8,求实数*的值.

解析：因为4=8,所以*=月

当*=1时/={1,2.1}不符合元素互异性，舍去;

当*=0时/=5=[1.2.0).故*=0.

5.写出满足{m,6|{4US|a,b,c,d,e)的所有集合4

解析：满足{a,6)依AU(a,b,c,d,e)的集合分别为：{%b,c}；|a,b,M；

b,e);(a,b,c,M;{%b,c,e}；{a,b,d,el；(a,b,c,d,e}.

6.(1)写出集合[1.2.3)的所有真子集.

答案:集合[1.2.3}的所有真子集分别是：*{1|；{2)；|3|；(1.2}{(1.3)512,31

⑵集合(1.2.3)的子集有：个，真子集有个.非空真子集有

____个.

答案：(2)876

C组

1.已知集合4=1'"一3'k\,B=x\x=k.4白则（）

6

A.4休8B.MM

C.A=BD.4与8关系不确定

解析：对8集合中.x』,kWZ,当〃=2m时，X=E,mEZ；当4=2/zr~1时，x=

63

mez,故按子集的定义，必有小8.

6

答案：A

2.已知集合*=（（*,。|*+必0,xy>0|,P={(x,y)|XO,X。},则“，。的关

是________.

x+.r<0,.v<0,

解析:.,..W=P.

用>0，_r<0,

答案：4P

3.集合4={1.3,a},"={『},且说求实数a的取值的集合.

解析：由于5=休4=[1.3,司，

.•.①J=1,得a=1（不合题意，舍去）或a=-1,

②/=3,得4=±\/5,“

③“2="彳¥"=1（舍去）或4=0，“

综上所述，实数”的取值集合为{-1,5一50}.

4.已知集合：4=-1<*W5],5=5W*W2/n+3）且4U8,求实数m的

值楚围.

2m+32m-5,

解析:<26+3N5,今lW/nW4.

jn-5W-1

集合间的基本关系练习题

【课程回顾】

1.子集与真子集的区别

⑴从定义上:集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和A与B相等两

种情况，真子集是子集的特殊形式.

⑵从性质上:空集是任何集合的子集,但不是任何集合的真子集;

空集是任何非空集合的真子集.

⑶从符号上:AUB指工B或A=B者R有可能.A=A,ACA,0=A都是正确的符号表

示,A星A,0/A是不正确的符号表示.

2.对空集的两点说明

(1)空集首先是集合，只不过空集中不含彳七可元素.

⑵规定空集是任何集合的子集，是任^非空集合的真子集.因此遇到诸如ACB.A

B的问题时,务必优先考虑A=。是否满足题意.

刷题：

一.集合关系的判断

1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1，。，1}，则M与T的关系是()

A.M.TB.M,TC.M=TD.M&T

2.指出下列各对集合之间的关系：

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.

(2)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.

(3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}.

(4)M={x|x=2n-1,nGN*),N={x|x=2n+1,nGN*}.

二.关于子集、真子集的个数问题

3.(2015•福州高一检测)集合{a,b}的子集个数为()

A.1B.2C.3D.4

4.若集合{1,2}£M.{1,2,3,4},试写出满足条件的所有的集合M.

5.已知集合M={x£Z|l4x4m},若集合M有4个子集，则实数m=()

A.1B.2C.3D.4

6.已知集合A.{xWN|-1<x<4},且A中至少有一个元素为奇数，则集合A共有多少

个？并用恰当的方法表示这些集合.

三、由集合间的包含关系求参数

7.由集合间的包含关系求参数已知集合A={x|-3<x<4},B={x|1<x<m}(m>1),H

BUA,则实数m的取值范围是t

8.(变换条件)本例若将集合旧=31<*的}付>1)”改为汨=凶1〈*〈01}”,其他条件

不变,则实数m的取值范围又是什么？

【解析与答案】

1.选A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以M.T.

2.⑴集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无

包含关系.

(2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示，由图可知A.B.

⑶等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角

形，故AB

(4)方法一:两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nWN*,因此集

合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N.M.

方法二:由列举法知M={1,3,5,7,...},N={3,5,7,9,…}，所以N.M.

3.选D.当子集不含元素时，即为当子集中含有一个元素时，其子集为{a},{b};当

子集中有两个元素时，其子集为{a,b},故子集个数为4.

4由于{1,2}UM,故1,2WM,又M,{1,2,3,4},所以符合条件的集合M

有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.

5.【解题指南】根据题意,由集合的子集与其元素数目的关系，可得M中有2个

元素，结合题意，由M中元素的特点，可得m的值,即可得答案.

【解析】选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M={x£

Z|1«x4m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m=2.

6.这样的集合A共有11个.因为{x£N|-1<x<4}={0,1,2,3},

又人.{0,1,2,3}且A中至少含有一个奇数.

故A中只含有一个元素时,A可以为{1},{3},A中含两个元素时,A可以为

{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2},A中含三个元素时,A可以为{1,0,2},{3,0,2},

{1,3,0},{1,3,2},

所以综上可知，满足条件的集合A为:{1},{3},{1,0},{1,2},{1,3},

{3,0},{3,2},{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.

7提示:对于两个连续数集可用数轴分析法通过画数轴来分析它们之间的包含

关系.

【解析】由于BUA,结合数轴分析可知,m“，

又m>1,所以1<m<4.

—4----1---1----1----61----k-O—4-----►

-3-2-10123加4x

答案

8.【解析】若mH,则B=0,满足BUA.若m>1,则由例题解析可知1<mv4.综上可

知m<4.

【方法技巧】

两集合间关系的判断步骤

(1)判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是，则AUB,否则A&B.

(2)判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是，则BGA,否则

B2A.

(3)若既有AUB,又有BUA,则A=B.

集合子集个数的规律及一个注意点

⑴规律:集合子集、真子集个数的规律是:含有n(n>1且nWN)个元素的集合的

子集有2n个，非空子集有2n-1个，真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.

⑵注意点:解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即。和集合本身.

由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

⑴注意点:不能忽视集合为。的情形.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨

论.

(2)常用方法:对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范

围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

【防范措施】

空集的特殊性

根据“AUB”条件，在求相关参数值时，不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况,

同时还要进行检验，看是否满足元素的互异性.如本例错解，忽视B=。的情况而漏

解.

集合的基本运算

1.1.3集合的基本运算

观察集合A.B,C元素间的关系:

(1)^(1.3.5J8=|2,4.6)C={1,2,3.4.5.6)

⑵年|x|x是有理数［B={x|x是无理数1Cbdx是实数}

你能说出集合C与集合48之间的关系吗？

【并集的定义】

一般地.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.

记作：AUB

读作：A井B

即：AU8={x|x€A,或x€B}

思考：怎样理解并集概念中的“或”字？对于4U8,能否认为是由4的所有元素和8的

所有元素所组成的集合？

例题讲解

例1.A=(4,5,6,8),B=(3,5,7,8),求AUB

解：AUB=(3,4,5,6,7,8]

注：求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次

AUB

例2.设集含A=(x|-1<x<2}.B=(X|1<X<3}.求AUB

解：AUB={x|-Kx<3}

1<1J<>>

-10।1234।

问题3:观察集合A.B.C元素间的关系：

A={4,5,6,8),B={3,5,7,8),C=l5,8)

思考1：集合4U.4,JU0分别等于什么？

提示：力11/=44U0=4

思考2:若.48,则JUB等于什么？反之成

立吗？

提示：AqBo/tUB=B

思考3:若A\JB=0，则说明什么？

提示：A=B=0

【交集的定义】

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集

合A与B的交集，记作：AAB读作：A交B

VennI冬I

即：AAB=(x|xWA,且xGB)AAB

(3)集合我示：C4=且城川.

.

(4)Venn图表示:

例题讲解

【例4】已知全集，集合彳=H.3.5,7},C4={2,4,6),[5={1.4.6},求集合区

解:解法一：4=[1.3,5.7),CA=(2.4,6),{1,2,3,4.5,6.7),又C—(1.4.6),

*IT

3,5.71

解法二：借助Venn图，如图所示，

由图可知6={2,3.5.71.

点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出补集，此类问题，当集合中元素个数

较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.

练习：已知全集QR,><=WX2),则[4等于()

A.Wx>2}B.(x|K2|

C.J|Q2}D.(x|K2}

【巩固提高】设全集为R,4={x|3WK7},«={x|2<K10|,求((/U功及(C4)f\B.

••

解：把全集R和集合48在敷轴上表示如下：

23710^

由图知，4U4]*|2a<1。),

.•.C=庐2或x>10),V(/=(*|K3或*N7),

A(C40人[*|20<3或7石点10}

【课堂总结】

(1).补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的,

不同的集合在同一个全集中的补集也不同.另外全集是一个相对概念.

(2)2.符号［a4存在的前提是这也是解有关朴集问题的一个隐含条件，充分利

用题目中的I®含条件是我们解题的一个突破口.

交集和并集知识点解析

并集

已知下列集合：

力=国/一1=0},5={x£N|lWxW4},c={-1,1,23,4).

问题1：集合力与集合5各有几个元素？

提小：力={-1,1},8={1,26,4},即集合力有2个元素，集合

B有4个元素.

问题2：若将集合4与集合笈的元素放在一起，构成一个新

的集合是什么？

提示：{-1,12,3,4}.

问题3：集合C中的元素与集合力，8有什么关系？

提小：集合C中元素属于集合4或属于集合民

并集的概念：

-•般地，由所有属于集合，4或属干集合外的元素组

文字

成的集合，称为集合4与5的并集，记作/u、读作

语言

“力并6”)

符号

AU或xG人｝

语言

图形

语言

并集的性质：

(1MU"夙J.4,即两个集合的并集满足交换律.

(2M54=_1，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身.

(3)/1U。=。U4=①任何集合与空集的并集等于这个集合本身.

(4)/三(/4UA),/7二(/1U8),即任何集合都是该集合与另一个集

合并集的子集.

(5)若4G5,则.4U4=二，反之也成立，即任何集合同它的子集

的并集，等于这个集合本身.

疑难解析：

理解并集应关注三点

(1MU8仍是一个集合，由所有属于/或属于8的元素组成.

(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：

或工日，

/毕、

®0»

①②③

第4,且超8美4且无8差从且XCA

(3)若集合力和6中有公共元素，根据集合元素的互异性，则

在/1U〃中仅出现一次.

交集

交集的概念

交集的性质：

疑难解析

理解交集的概念应关注四点

(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的

兀素■

⑵概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全

部找出.

(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A,B没有交集，而是AC1B

=0,

(4)定义中“XWA,且*£8”与4£供口8)”是等价的，即由既属于A,又属于B

的元素组成的集合为AC1B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于

AAB.

并集的运算

［例1］

⑴(广东高考)已知集合乂={-1,0,1},N={0,1,2},则MUN=()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2)

C.{-1,0,2}D.{0,1}

(2)若集合A={x［x>-1},B={x|-2<xv2},则AUB等于()

A.{x|x>-2}B.{x|x>-1}

C.{x|-2<x<-1}D.{x|-1<x<2}

［解析］

(1)MUN表示属于M或属于N的元素构成的集合，故MUN={-1,0,1,2}.

(2)画出数轴如图所示,故AUB={x|x>-2}.

-2-12%

［答案］(1)B(2)A

并集的运算技巧

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素

的互异性.

(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否

去掉端点值.

练习：

若集合A={1,4,x},B={1,x2},AUB={1,4,x},则满足条件的实数*有()

A.1B.2个C.3个D.4个

解析：从AUB={1,4,X}看它与集合A,B元素之间的关系，可以发现AUB

=A,从而B是A的子集，则x2=4或x2=x,解得x=±2或1或。.当X=±2

时，符合题意；当x=1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当X=0时，

符合题意.因此x=±2或0.

答案：C

交集的运算

[例2]⑴(北京高考)已知集合A={-1,0,1},B={x|-14X<1},则ACIB=

()

A.{0}B.{-1,0}

C.{0,1}D.{-1,0,1}

(2)设集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<4},则ADB等于()

A.{x|0<x<2}B.{x|1<x<2}

C.{x|0<x<4}D.{x|14x44}

［解析］(1)集合8含有整数一1,0,

故/in八{-1,0}.

(2)在数轴上表示出集合力与5,如下图.

-2-10123,

则由交集的定义，/n5={x|0Wx<2}.

［答案］(1)B(2)A

交集的运算技巧

求交集运算应关注两点：

(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.

⑵利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性.

交集、并集性质的应用

［例3］已知集合力二凶~3<x^4］,集合3={x|A+1WxW2A一

1},且4U方=力，试求A的取值范围.

［解|・••分6=。和5W0两种情况讨论.

①当8=0时，A+1>2A—1,：.k<2.

②当6W。，则根据题意如图所示：

__

-3fc+12*-14*

4+1・2土一1,

根据数轴可得一34+1,解得2WA〈.

2ATW4,

综合①②可得k的取值范围是k|AW：.

性质应用技巧

并集、交集的性质应用技巧：

对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性（即若AUB=A，则BUA,

反之也成立；若ACB=B，则BUA,反之也成立），转化为相关集合之间的关

系求解.

把本例中的条件“力口笈=力”换为，求A的取值范

围.

解：•:ACB=A,：.AQB.

又•・•/!=凶一3令W4},B={x\k+l^x^2k-l},可知8#。.

A+lW—3,

由数轴(如图所示)可知〃「一解得AC。，

2k1^^4,

*+1-342A-1x

即当力门方二力时，A的取值范围为。.

本节易错题：

预警：含字母的集合运算忽视空集或检验

［典例］

(1)已知M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},MDN={2,3},则a

的值是()

A.1或2B.2或4

C.2D.1

(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},若ADB=B,

则a的取值范围为.

［解析］

(1),/MnN={2,3},.-.a2-3a+5=3,：.a=1或2.当a=1时，N={1,5,3},M

={2,3,5}不合题意；当a=2时，N={1,2,3},M={2,3,5}符合题意.

(2)由题意，得A={1,2}・•••AnB=B,

・・・当B=。时，(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2;

当1WB时，1-2+a-1=0,解得a=2,且此时B={1},符合题意；

当2WB时，4-4+a-1=0,解得a=1,止匕时B={0,2},不合题意.综上所

述,a的取值范围是{a|a22}.

［答案］(1)C(2){a|a>2}

易错防范

1.本例⑴中的MAN={2,3}有两层含义：①2,3是集合M,N的元素；②集合

M,N只有这两个公共元素.因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一

点极易被忽视.

2.在本例⑵中，AAB=B=BUA,B可能为空集，极易被忽视.

交集和并集的运算练习题

集合的并集、交集

一'选择题

1.已知集合4=Jl*>0},g{x|-1WZ2},»MU^=()

A.云-1)B.(x|x^2]

C.(x|0<x^2)D.{x|-1W后2)

解析：选A借助数轴可知4US=[*|x云一H.

2.设s,r是两个非空集合，且它们互不包含，那么su(5n7)等于()

A.snrB.SC.0D.T

解析：选B•••(sn/jus,.*.su(sn7)=$

3.集合4={0.2,«).5={1,J),若AUQ(0.1.2.4.16},则a的值为《)

A.0B.1C.2D.4

解析：选D•.•XU5=[0,1,2,a,『),又4UQ9,1.2,4.16},,(a,«;)={4.16),

4.设集合4={*6},g{,+1.5),若/ng[2},则4U8等于()

A.(1.218.(1.51C.(2.5)0.(1,2.5)

解析：选Dvxn^=(2),

；.2WA.2W8,

.•.*+1=2,

•**>=1,6=2,

即4=[1.2},B={2.5).

5).

5.如图所示的Venn图中，若/={x|0WK2},S=(x|x>1),则阴影部分表示的集

A.(x|0<x<2)B.bt|l<K2}

C.或x》2}D.bdOWKI,或x>2}

解析：选D因为4US=bd*2O},阴影部分为/U8中除去4

ns的部分，即为{*|OW启1,或*>2}.

二、填空题

6.满足条件MJH1=(1.2.3)的集合”的个数为.

解析：:MJH}=11.2.3),.•.#=[1,2.3}或[2,3},即"的个数为2.

答案：2

7.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运

动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.

解析：设所求人数为x,则只喜爱乒乓球运动的人数为10—(15—x)="-5,故15

+x-5=30-8=»x=12.

答案：12

8.设集合4=-1<*<2),8={x|x<a),若4n8*0,则a的取值范围是

解析：由图可知，若/ns*。，则a>-1,即a的取值范围为3|&>一1}.

答案：

三、解答题

9.已知S=J|2/-px+q=0),7=br|6M+S+2)x4•什5=0},且SD「=U,求

S\JT.

解：•.•snr=4,;.：ws,且

22

因此有?TLl=。，#=-7,

L>+2Q+15=0l<7=-4.

F-J

从而5={X|2JI/+7X—4=0}=(2J.

r=(x|6j/-5x+1=0)=(2'J.

・•.SU/TuW£%31

10.集合/={*|-1G<1},B={x|Xa|.

(1)若“nx。，求a的取值随围；

(2)若4U8JIX1),求a的取值范围.

解:(1)如下图所示，><=(x|-1<K1J,g{x|x<M,且4n40,

*I»«

•••数轴上的点在腔=-1的左例(含点*=-1),

.,♦•W—1,即a的取值登围为{a|mW-1}.

(2)如下图所示，A=(xl-KXD,B={x\x<a\,且4UQ{*|K1],

..・敷轴上的点x=a在x=-1和*=1之间(含点*=1,但不含点L—1),

...一1<a这1,即a的取值范围为{川一近1}.

11.已知4=a+8],B=(x|z<-1,或x>5}.若/U4=R,求a的取值

ffi.

解:在数轴上标出集合人B,如图.

a+8^5,

要使彳U4R,则,.解得一3Ws<-1.

综上可知，a的取值/围为{a|-3Wa<-l}.

12.已知4={x|N-a*+J—19=0),B=(x|5x+6=0),C=[X\J^+2X-8=0

且。休an劭，4ng。，求a的值.

解：B={x|^-5x+6=0)={x\(x-2)(x-3)=0}={2.3},©={xM+2x-8=0)

{x|(JT-2)(JH-4)=0}={2,-4},VADff^e,Af\C=0,：.3GA,将x=3代入/

a*+J-19=0得：J-3a—10=0,解得a=5或-2.

当a=5时，A={x|y-5x+6=0}={2.3]与4nC=0矛盾；

当a=-2时，A={x|JZ+2X—15=0)={3,-5}符合题意.

综上a=-2.

补集及综合应用

全集

全集的定义及表示

⑴定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合

为全集.

⑵符号表示：全集通常记作U.

疑难解析：

对全集概念的理解

“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择

的.例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把

整数集Z看作全集.

补集

补集的概念和性质

疑难解析

理解补集应关注三点

⑴补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集

的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同彳导到的补集也是不同的，因此，

它们是互相依存、不可分割的两个概念.

(2)[UA包含三层意思：①AUU；②[UA是一个集合，且(UAGU；③[UA是由U中

所有不属于A的元素构成的集合.

(3)若XWU,则XWA或xW「UA,二者必居其一.

补集运算

[例1](1)(r^M^)B^aU=R,A={x|x<0},B={x|x>1},则集合[U(AU

B)=()

A.{x|x>0}B.{x|x<1}

C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<1}

(2)设U={x|-5<x<-2，或2<x<5,xeZ},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},

则［UA=,CUB=.

［解析］

(1)AUB={x|x<0,或XN1},

所以［11C1^)=仅［06<1}.

⑵法一：在集合U中，

•.xez,

则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,

.-.U={-5,-4,-3,3,4,5}.

又.A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},

.'.CUA={-5,-4,3,4},［UB={-5,-4,5}.

法二：可用Venn图表示.

则1/={-5,-4,3,4},CM={-5,-4,5}.

答案：(1)D(2){-5,-4,3,4}{-5,-4,5)

求补集的方法

求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A

的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集.

例题:已知全集U,集合A={1,3,5,7},(UA={2,4,6},[UB={已4,6},求集合

B.

解：〃={1,3,5,7},CUA={2,4,6),

.-.u=11,2,3,4,5,6,7}.又j[UB={1,4,6},

.•.B={2,3,5,7}.

集合的交、并、补综合运算

[例2]已知全集匕，=区*<4},集合力=3一2VxV3},B=

{x|-3WxW2},(£/)U5,[M4U5).

[解]如图所示.

—Lx..............土

-3-2-101234?x

VJ={x|-2<x<3},6={x|-3WxW2},U={*x<4},

•,.(〃={x|xW-2,或3WxW4},

[tB={x|x<-3,或2<rW4},

/G5={x|-2yW2},/U8={M-3WXV3}.

故(「P4)U5={X|XW2,或3<xW4},力0(口£)=32«<3},

Ca^UB)={x|x<-3,或3<xW4}.

解题技巧

解决集合交、并、补运算的技巧

⑴如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素——列举出来，然后结合交集、并

集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，

相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上,

然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

练习：

已知全集U={x|xv10,x£N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求

LU(AUB),CU(AnB),(CUA)n([UB),([UA)U(CUB).

解：・「AUB={123,4,5,8},

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

.•.CU(AUB)={6,7,9}.

•.AnB={5,8},

.,.[U(AnB)={1,2,3,4,6,7,9}.

••-CUA={1,3,6,7,9},CUB={2,4,679},

.-.(CUA)n(CUB)={6,7.9),

([UA)U([UB)={1,2,3,4,6,7,9}.

说明：作出Venn图，如图所示,由图形也可以直接观察出来结果.