2023年新高考数学创新题型02 函数与导数（新定义）（解析版）

专题02函数与导数(新定义)

一、单选题

1.(2023♦河南•洛阳市第三中学校联考一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数

学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用[可表示不超过X的最大整数，则y=[x]称为“高

斯函数”，例如：[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知函数〃力=1二1,则函数[〃切的值域是()

A.{-1,1}B.{-l,θ}C.(-1,1)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；

方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；

【详解】方法一：函数/(X)=鼻二|=1-三，

e+11+e

因为ev>0,所以l+e]>l,

12

所以0<<l.所以一2<-;~~-<0.

1+er1+e

所以-1<1-已<1,即τ<∕(x)<l.

当—l<f(x)<0时，["χ)]=-l;

当0≤∕(x)<l时，[/(x)]≈0.

故口(切的值域为{T,0}.

故选：B.

方法二：由/(x)=∣⅛'得e'=F瑞•

/(x)+l/、

因为e'>0,所以;，儿)>0,解得T<∕(x)<L

当—l<∕(x)<0时，[/(x)]=-l;

当0≤∕(x)<l时，[/(x)]=0.

所以卜(切的值域为{TO}.

故选：B.

2.(2019秋•安徽芜湖・高一芜湖一中校考阶段练习)在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质:

①对任意m8∈R,a*b=b*a；

②对任意QER,a*O=a；

③对任意α,bwR,(q*0)*c=c*(而)+(O*C)+0*c)-2c.

则函数〃*)=、*；卜€卜2,2])的值域是()

91「9、

A.(-oo,5)B.--,5C.—,+00D.[-5,5]

_oJLθ)

【答案】B

【分析】注意新定义的运算方式即可.

【详解】在③中，令C=O,则。*人=。〃+。+〃，所以/(χ)=χ*'=Z+良=J/X9

v72222(28,

QQ

函数f(x)在X=-?时取最小值，最小值为-5：在X=2时取最大值，最大值为5,所以函数

28

「9一

/(耳=/式v工«—2,2])的值域是一于5.

故选：B.

a∆b<CNd

3.(2023・上海•统考模拟预测)设无V>=x+y+k-y∣,xAy=x+yTx-y∣,若正实数”,Aa。满足：，QC<尔”,

⅛∆c,<cNd

则下列选项一定正确的是()

A.d>bB.b>c

C.Mc>aD.cΓ∖7c>a

【答案】D

,一[a≥b∖a≥b[a<b[a<b

【分析】对新定义进行化简，分别在条件、’,「「、’下化简αM<GW,

[c≥d[c<d[c<d[c≥d

结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.

【详解】因为XVy=X+y+∣χ-y∣=E*x-),

{2y,x<y

(2y,x≥y

x∕∖y=x+y-∖x-y∖

∖2x,x<y

Clbb<CNd

又，aVc<bVd9

⅛∆c<cNd

a+b-∖a-b∖<c+d-∖c-d∖

所以a+c+∖a-c∖<h+d+∖b-d∖9

8+C-忸-c∣<α+d+∣〃-M

(1)若αNb,c≥d则，不等式a+b—,一闿<c+d—上一4

可化为2Z?v2J,则匕<d,所以c≥d>b,

①若a≥c≥d>b,贝IJQ+c+∣α-c∣V力+d+∣b-d∣可化为q<d,矛盾,

②若c>a≥d>b,则α+c+h—d<b+d+Q-M可化为CVd，矛盾，

③若c≥”>α≥Z?,则α+c+∣α-c∣<人+1+心一⑷可化为c<d,矛盾，

⑵若a≥b,c<d则，不等式〃+匕Ta—@<c+d—卜一M

可化为匕<c,所以d>c>b,

①若a≥d>c>b,则o+c+∣α-dvb+d+也一"|可化为α<d,矛盾,

②若d>a≥c>b,则4+c+∣4—d<b+d+R-MuJ化为α<d,满足，

b+c-∖h-c∖<a+d+∖a-d∖可化为,满足，

③若d>c>a≥b,则α+c+∣α—c|vb+d+M-d∣可化为c<d,满足，

b+c-∖b-c∖<a+d+∖a-d∖UJ化为bvd,满足，

(3)若a<byc<d则,不等式〃+/?—,一可VC+d—匕―d|

可化为“<c,所以d>c>α

①若b≥d>c>a,则4+c+∣4—d<b+d+M-4可化为cvb，满足，

Z?+c」M-c|<α+d+∣α—M可化为c<d,满足，

②若d>b≥c>a,贝∣Jα+c+∣α-c∣<h+d+M-M可化为c<d,满足，

b-^-c-∖b-c∖<a+d+∖a-d∖可化为c<d,满足,

③若d>c>b>a,则α+c+k—d<h+d+M—4可化为Cyd,满足,

方+。一卜一4<。+〃+,一0可化为〃<4,满足，

(4)若αv。,c'≥d则，不等式Q+/?Ta_闿<c+d_卜_4

可化为a<d.所以c≥d>α,

①若h≥c≥d>α,则4+c∙+∣α—d<b+d+∣b-d∣可化为c<Z?,满足,

b+c-^-(∖<a+d+∖a-d∖可化为CVd,矛盾,

②若c≥b≥d>a,贝IJQ+c+∣α-c∣vb+d+∣b-4可化为CV人，矛盾，

③若c≥d≥b>a,则α+c+h—d<b+d+M-4可化为cvd，矛盾，

综匕b≥d>c>a^Ld>b≥c>a^d>c>b>a^d>a≥c>b^d>c>a≥b,

由匕≥d>c>α知，A错误；

山d>c>8>。知，B4昔误；

当d>α≥c>b时，b^c=b+c-∖b-c∖=b+c-c-i-b=2b,

取d=7,a=6,c=2,/?=1可得，满足条件但⅛∆c=2<af

C错误；

当82d>c>α时,dVc=d-]-c+∖d-c∖=2d>a,

当d>b≥c>α时,d∖7c=d+c+∖d-c∖=2d>a

当d>c>b>α时，dVc=d+c+∣d—d=2J>a,

当d>α2c>b时，dVc=d+c+∖d-c∖=2d>a,

当d>c>α≥b时，cNc=dΛ-c+∖d-c∖=2d>a,

故选：D.

【点睛>'新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去

解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解,但是，透过现象看

本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是"难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜

法宝.

4.(2022秋・江苏常州・高一华罗庚中学校考阶段练习)对于函数y=∕(x),若存在％,使f(毛)=-，(-4)),

(ɔ

则称点■，/(%))与点(TOJ(Tn))是函数“X)的一对“隐对称点”.若函数/(X)=WI二2；>0的图象存在

“隐对称点''，则实数”的取值范围是()

A.[2-2√2,θ)B.(-∞,2-2√2]

C.(-∞,-2-2√2]D.((),2+2√2]

【答案】C

【分析】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化

为方程m+2=-x2-2x(X>0)的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数m的取值范围.

【详解】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，

设g(x)的图象与函数"x)=χJ2x(x<0)的图象关于原点对称，

令x>0,则一x<0,/(-X)=(-x)2-2(-Λ)=X2+2x,

所以g(x)=-f(-力=-ɪ2-2x(X>0),

因为/(X)=FT),又〃0)=2W-/⑼，

"7X+2,X≥0

2

所以原题义等价于g(x)与/(X)在(O,+8)上有交点，即方程蛆+2=-X2-2x(X>0)有零点，则S=TG-2,

又因为-x-2-2≤-2jr∙2-2=-2-2及，当且仅当T=2，即X=夜时，等号成立，

XV-X-X

所以机≤-2-2√∑,即Seboo,-2-2√Σ].

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点'’的定义，将问题转化为g(x)与/W在(。,+R)上有交点的

问题，从而得解.

5.(2023・高二单元测试)能够把椭圆上+V=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可

4

分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为()

A./(X)=4X3+XB./(x)=ln∣-

C.f(χ)=sinxD./(x)=e*+e-*

【答案】D

【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.

【详解】对选项A：/(x)=4d+x,/(—X)=YX3_》=_/(力，函数为奇函数，满足；

对选项B：f(x)=ln手，函数定义域满足F>0,解得-5<x<5,目J(T)=In手=-"x),函数为

'5+x5+x5-x

奇函数，满足；

对选项C：/(x)=SinX为奇函数，满足；

对选项D：/(x)=e'+e-χ,"τ)=eτ+e'="x),函数为偶函数，且/(0)=2w0,不满足.

故选：D

6.(2023秋.江苏无锡•高一统考期末)设XeR,计算机程序中用INT(X)表示不超过X的最大整数，则

y=INT(x)称为取整函数.例如；INT(-2.1)=-3,INT(1.2)=1.已知函数〃x)=；x(log2x『+logz9+4,

其中0<x<16,则函数y=NT(∕(x))的值域为()

A.{-l,0,l}B.{-1,0,1,2)

c∙d∙{。』,2}

【答案】B

【分析】化简"X),令"log?*,〃f)=52-3f+4,/e(；,4),山：次函数的性质求出函数〃力的值域，

根据定义求函数N=INT(f(x))的值域.

1911ʌ

【详解】因为/(X)=/×(log2X)"+Iog2p-+4=ɪ×(log2x)-+Iog2X-3+4

2

=→(log2%)-31og2x+4,

令f=k>g2X,因为0<χ<16,所以fe(g,g,

所以/(f)=$2-3f+4,re(g,4),

因为/(r)的对称轴为f=3,所以/⑺在(；,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增，

当"3时，f(r)*="3)=-g,

当f=g时，/(z),nax=≠[lj=y∙

"121A

所以f(χ)的值域为

Zo/

当一g4∕(x)<0时，y=INT(∕(X))=T,

当O≤∕(x)<l时，y=INT(∕(X))=0,

当l≤∕(x)<2时，y=INT(∕(x))=l,

O1

当2≤∕(x)<W时，y=INT(∕(x))=2,

O

所以函数y=!Nτ("χ))的值域为{-1,O,1,2},

故选：B.

7.(2023•山东荷泽・统考一模)定义在实数集R上的函数y=∕(x),如果天°eR,使得/(毛)=毛，则称与为

函数f(x)的不动点.给定函数/(x)=COg(x)=sinx,已知函数/(x),/(g(x)),g(∕(X))在(0,1)上均

存在唯一不动点，分别记为由62，七，则()

A.x3>xi>x2B.x2>x3>x1C.¾>x1>x3D.x3>x2>xi

【答案】C

【分析】由已知可得CoSxl=X],则CoSXI-Xl=0,Sin(CoSXI)-SinXl=O.然后证明X>sinx在(0,1)上恒成立.

令F(X)=Sin(CoSX)-sinx,根据复合函数的单调性可知RX)在(0,1)上单调递减，即可得出演<礼令

G(X)=COSX-x,根据导函数可得G(X)在(0,1)上单调递减，即可推得Λ⅛>X一

【详解】由已知可得，COSXl=Xl,则CoSXl-Xl=O,

Flsin(cosx∣)=sinxl,所以Sin(CoS玉)一sinx∣=0.

又CoS(SinW)=X2,sin(cosx3)=Λ⅛.

令∕?(X)=X-SinX,Λ∈(0,1),则“(X)=I-CoSX>0恒成立，

所以，MX)在(0,1)上单调递增,所以MX)>〃(0)=0,所以x>sinx.

所以，sin(cos¾)=x,>sinx3,即Sin(CoSX3)-SinW>0.

令尸(X)=Sin(COSX)-SinX,Xe(0,1),

因为函数y=sinx在(0,1)上单调递增，y=8SX在(0,1)上单调递减，且0<cosx<l,

根据复合函数的单调性可知，函数y=Sin(COsx)在((U)上单调递减，

所以尸(x)在(0,1)上单调递减.

又尸(Λ⅛)=0,F(X,)>0=F(X1),所以匕<占.

因为y=8sx在(0,1)上单调递减，SinX2<X2,所以COS(SinW)>cosx2.

又CoS(SinX2)=毛，所以X2>cos%,BPcos¾-x2<θ∙

令G(X)=COsx-x,x∈(0,l),则G'(x)=—SinX-I<0恒成立，

所以，G(X)在(0,1)上单调递减.

又G(XI)=CoSXl-xλ=O,G(W)=CoSW-x2<O=G(xl),

所以Λ⅛>x∣.

综上可得，X2>xt>x}.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：证明X>sinx在(0,1)上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调

性得出大小关系.

8.(2022秋•河北邢台•高一统考期末)在定义域内存在西,毛(百，々)，使得/(xj=∙√(W)成立的基函数称

为'‘亲基函数”，则下列函数是“亲塞函数''的是()

A./(x)=√xB./(x)=2v

C∙/(X)=J3D∙/(X)=X^2

【答案】C

【分析】根据函数的范围即可判断A、D项；B项不是幕函数；求出x)=-"x)即可判断C项.

【详解】对于A项，/(x)=4≥0恒成立，故A项错误；

对于B项，f(力=2*不是幕函数，故B项错误；

对于C项，因为〃_X)=(_X)T=_J3=_/(X)，只要玉=-々即可，故C项正确；

对于D项，/(x)=χ-2=5>0恒成立，故D项错误.

故选：C.

∖a,a-b<∖

9.(2022秋・广东深圳•高一深圳外国语学校校考期末)对实数〃与儿定义新运算g:ɑ③6=,八「设

[b,a-b>l

函数f(x)=，-2)θ(x-χ2),若函数y=∕(χ卜C的图象与X轴恰有两个公共点,则实数C的取值范围是()

【答案】A

【分析】先化简函数f(x)的解析式，再作出函数f(x)的图象，转化为直线》=C与函数/*)的图象有两个

交点，数形结合分析即得解.

【详解】令(9-2)-(x-f)<i,解得-l≤χ≤',

χ-χ2,XE

所以AX)=,

X2-2,ɪ∈

a31

当X=G时，X-X2X2-2=-；

244

当％=-1时，χ-χ2=-2,X2-2=-1;

作出函数f(x)的图象，如图,

若V=f(X)-C的图象与X轴恰有两个公共点，

即直线y=C与函数/(X)的图象有两个交点，数形结合可得(-8,-2卜卜1,一；

故选：A

l,x>O,

10.(2022秋・山东日照・高一统考期末)已知符号函数Sgn(X)=<0,x=0,贝『飞gn(α)=SgnS)”是“">0”的

—1,X<0,

()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可.

【详解】若sgn(α)=sgn(b),则昉≥0;

若〃>0,则“/同号，所以sgn(α)=sgn(b).

故"sgn(α)=Sgn”是“〃>0”的必要不充分条件.

故选：c.

11.(2023秋•山东潍坊♦高一统考期末)已知函数〃x)的定义域为。，若∀x∣eD,3x2∈D,满足*十",

则称函数/(x)具有性质P(α).已知定义在(0,+向上的函数侬—3具有性质尸(；)，则实数，”的

取值范围是()

A.(-∞,2]B.(-∞,4]C.[2,-HX>)D.[4,+∞)

【答案】D

【分析】根据函数新定义可推得Xe(O,+/),叫«0,+8),/(々)=1-%恒成立，即〃X)=T2+/nr-3,

x∈(0,m)的值域M,满足(-∞,1)=M,求出M,列出不等式，即可求得答案.

【详解】由题意得定义在(。,+8)上的函数〃力=-/+如_3具有性质尸1}

即WAi∈(0,+8),3x2∈(0,÷0?),满足「十；(”?)二；,

即VXl∈(0,+OO),3X2∈(0,+<X>),/(J⅛)=1-X1恒成立；

记函数/(x)=-χ2+mx-3,xe(0,+∞)的值域为M,I-Xle(-∞,1),

则由题意得(-∞,l)qM,

当∙^≤0,即机≤0时，/(x)=-χ2+∕nr-3在Xe(O,+∞)单调递减，

贝∣J"x)<∕(0)=-3,即M=(YO,-3),此时不满足(TO,l)uM,舍去；

当£>0,即加>0时，/(x)=-χ2+λnr-3,Xe(O,+8)在X=£时取得最大值，

即f(x)max=一(92+合一3=?-3,即M=(→0,^-3],

要满足(→≈,DuM,需至-3≥1,解得m≥4或w≤Y,

4

而相>0,故即，〃的取值范围为[4,+8),

故选：D

【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出％∈(0,+"),3⅛e(0,+8),f(9)=l-∙V恒成立，继而将

问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数/(x)=f2+,nr-3的值域，根据集合的包含关系列不等

式求解即可.

12.(2023秋•青海西宁•高一统考期末)定义：对于/(x)定义域内的任意一个自变量的值为，都存在唯一一

个々使得“a)〃W)=l成立，则称函数/(x)为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是()

A.f(x)=InXB.f(x)=e*C./(x)=e"n"D./(x)=∞sx

【答案】B

【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.

【详解】对于A,"x)=lnx,

由ʌ/ʃ(-ɪi)/(ʃɪ)=JlnXIln%=I=InXIlnΛ2=1,

当巧=1时，则不存在々满足情况，故A不是正积函数：

对于B,/(x)=et,

,xλ2

由λ∕∕(^∣)∕(⅞)=Je*e%=1=>e'e'=1=>xl+x2=0,

则任意一个自变量的值玉，都存在唯一一个演满足％+士=o,

故B是正积函数；

对于C,/(x)=esi"∖

由"(x∣)f(w)=J?频酝=1=>esinx'esinx2=1=esin∙r'+sin∙ti=1,

得sinx1+sinx2=O,

当x∣=O时∙，则SinX2=0,x1=kπ,ZeZ,则々不唯一，故C不是正积函数；

对于D,/(x)=Cosx,

由Jf(Xj/(x2)=JCoSXlCOSX2=ɪ=cosxlcosX2=1,

当COSXle[(),1)时，则不存在々满足情况，故D不是正积函数.

故选:B.

13.(2023♦全国•高三专题练习)定义：在区间/上，若函数y=∕(χ)是减函数，且y=4(x)是增函数，则

称y=∕(χ)在区间/上是“弱减函数”.若f(X)=(在(肛E)上是“弱减函数”，则机的取值范围是()

A.(0,e]B.(0,e)C.[e,+∞)D.(e,+∞)

【答案】C

【分析】依题意只需〃X)=F在(九+∞)上是减函数，利用导数说明“X)的单调性，即可得到

(∕n,+∞)⊂(e,+∞),从而求出参数的取值范围.

【详解】解：对于f])=(,则T=口(X)=InX在(0,m)上单调递增,

易知m≥0,

/(x)=(在(见+8)上是“弱减函数”，

InY

/(x)=—在(，",+8)上是减函数，月.y=4∙(x)=InX在(，",+8)上是增函数，

易知y=∙√(x)=InX在(m,y)上是增函数显然成立，

1n丫

故只需“同=T在⑺+8)上是减函数，

0,/、I-Inx

/(X)=­L，

x^

故当O<x<e时，f'(x)>O,当龙>e时，/'(x)<0,

故〃X)=平在(e,+8)上单调递减，

⅛(∕n,+∞)⊂(e,+∞),

故zn≥e,即∕n∈[e,+∞);

故选：C

14.(2022秋•山东青岛•高三统考期末)已知定义域为［05的“类康托尔函数”/(x)满足：①yθ≤x∣<z≤l,

/(XI)≤∕(Λ2):②“X)=2∕/}③"χ)+"iτ)=∣.则/[康)=()

A.—B.—C.D,------

3264128256

【答案】C

【分析】根据函数的定义分别赋值得到∕d)=l,∕(∣)=^,然后再利用/(X)=2∕(J导到/(%)=2"∙倬，

再次赋值，利用V0≤x∣<X24l,/(Λ,)≤∕(Λ2)即可求解.

【详解】因为早0。<。1,外力=2/e)，令X=O可得：/(0)=0,

又因为/(x)+∕(l-x)=l,令X=O可得：/(ɪ)=ɪ,令X=；可得：/(ɪ)-ɪ,

由"x)=2f(;)可得：/(x)=2∕φ=22√φ==2"√ψ,

令x=l,n=7,则有Al)=2"(∕)=128f(焉)，所以f(焉)=2，

JZlo/Zlo/IZo

1111

令A相〃=6,则有吗)=26碌=64/(急T所以勺萨西

Zj142>oZ

因为」一<二一<」一，所以/(」一”/(」一)</(」一)，

218720231458218720231458

也即~~≤f(--ɪ)≤--，所以/(---)=——，

12820231282023128

故选：C.

15.(2016∙辽宁沈阳•东北育才学校校考一模)定义两种运算：α㊉8=√7N7,a0h=^a-h)2,则函数

/(X)=湍三的解析式为()

A./(x)=-^ΞZ,x∈[-2,0)(0,2]

B./(X)="――4-,x∈(-∞,-2)(2,+∞)

C./(χ)=———,x∈(→≈o,-2)(2,+∞)

D.〃X)="二¥,xe[-2,0)(0,2]

【答案】A

【分析】根据已知的定义可化简得到/(x)=*⅛⅛,根据函数定义域的求法可求得2,0)(0,2],结

∖x―2-2

合定义域再次化简函数解析式即可得到结果.

2

£(、2㊉X∖∣4-xy∣4-x'^

【详解】由题意知：二*_2

4-χ2≥0

⅛-∖x-2∖-2≠0^-2≤x<0或0<x≤2,即定义域为[-2,0)U(0,2],

.∙√(Λ-)=^ΞZ=-^ΞZ,X∈[-2,0)(0,2].

故选：A.

ac/、x-∖2/、

16.(2023•全国•高三对口高考)定义，=〃/-反，若函数/(χ)=。在(-∞,“。上单调递减，则

DCl-XX+ɔ

实数机的取值范围是()

A.(-2,+8)B.[-2,+cc)C.(-∞,-2)D.(-∞,-2]

【答案】D

【分析】利用给定的定义求出函数/(x),再求出其单调递减区间即可求解作答.

【详解】由给定的定义知/(x)=(X-I)(X+3)+2x=d+4x-3=(x+2f-7,

显然函数/(x)的单调递减区间是(-8,-2),而函数/(x)在(-∞,m)上单调递减，

于是得U(-GO,-2),因此≤—2,

所以实数m的取值范围是(-∞,-2].

故选：D

17.(2022秋・广西河池•高一校联考阶段练习)定义在(0,+8)上的函数/(χ),若对于任意的王≠々，恒有

2

"",'""""’(O'则称函数f(x)为“纯函数”，给出下列四个函数(D/(x)=l+X;(2)/(x)≈xi

(3)/(x)=√7,(4)/(x)=2JX,则下列函数中纯函数个数是()

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【分析】设±>±>0,由乜吗空®<0得X2∕(%)<XJ(Λ2),即史>即以立为(0,+8)

X]—ʌɔXlX?X

上的减函数，逐个判断即可.

【详解】由题知，

设为>Z>0,由」/&)：%♦(包)<0得Λ2∕(XJ<XJ(Λ2),即止)<山

^~∙^2∙^∣

X

对于(1),因为函数上=1+1为(0,+8)上的减函数，所以“X)为纯函数；

XX

对于(3),因为函数上包=XT在(0,+⑹上为减函数，所以“x)是纯函数；

X

对于(2),因为函数∕5=x为(0,+8)上的增函数，所以/(x)不是纯函数；

X

对于(4),因为函数犯=2*为(0,+8)上的增函数，所以f(x)不是纯函数，

X

故选：C.

18.(2021秋•上海黄浦•高三上海市大同中学校考期中)对于函数/3,若集合｛x∣x>0J'(τ)=-∕(x)｝中恰

llg(x-l)∣,x>O

有&个元素，则称函数/(X)是二阶准奇函数工若函数/(幻=G7|,则/(X)是“()阶准奇函数工

sinx,x<O

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据“％阶准奇函数”的定义，可将问题转化为N=sin(r)与y=-∣lg(x-l)∣的图象交点个数的问题,

作出两个函数图象可得结果.

【详解】由X>O时，/S)=-I(X),得sin(-x)=-∣lg(x-l)∣,

下图为y=sin(-x)与y=fg(χT)∣的图象，

由图可知，当x>0时，两个函数图象有4个交点，即A=4.

故选：D.

19.(2022秋・上海徐汇・高一位育中学校考阶段练习)定义{x}为不小于X的最小整数(例如：{5.5}=6,

{f=-4),则不等式{x}2-5{x}+6≤0的解集为()

A.[2,31B.[2,4)C.(1,3]D.(1,4]

【答案】C

【分析】先根据已知二次不等式求出{x},进而可求X的范围

【详解】{x}2-5{x}+6≤0解得2≤{x}≤3,{x}为不小于X的最小整数，所以l<x≤3∙

故选：C

20.(2022秋•浙江杭州•高一杭州四中校考期中)设"x),g(x)∕(x)是R上的任意实值函数.如下定义两个函

数(7g)3和(∕∙g)(x),对任意xeR,(∕g)(x)=f(g(x)),(∕∙g)(x)=∕3g(x),则下列等式不恒成立的

是()

A.((/g)∙∕ι)(x)=((6九)(g∙∕Z))(X)B.((f∙g)Λ)(x)=((/∕z)∙(gΛ))(x)

C.((/g)Λ)(x)=((/〃)(gΛ))(x)D.((∕∙g)•〃)*)=((f∙∕!)∙(g∕))(x)

【答案】B

【分析】根据定义两个函数(/g)。)和((∙Λg)(χ)对任意xeR,(/g)(χ)=∕(g(χ));(f∙g)(x)=∕(x)g(x),然

后逐个验证即可找到答案.

【详解】对于A,(/g)(χ)=Ag(X)),(ʃ-g)(χ)=f(χ)g(χ),

∙,∙((/g)∙C)(x)=(f^)(x)A(x)=/(1g(x))Λ(x)；

而((ʃ•〃)(g•〃))(%)=(/∙〃)((g∙∕z)(x))=f(g(x)h(x))h(g(x)h(x))；

・•.((/^)∙Λ)(x)≠((/-A)(g∙∕z))(x),

对于B,((7•g)h)(x)=(∕∙g)(MX))=/(∕7(x))g(%(x)),

((/人)∙(gI))(X)=(/〃A(x)(g/?)(%)=/(〃(X))g("x)),

∙∙∙((∕∙g)A)ω=((∕力)∙(g初J),

对于C,((∕g)Λ)U)=((/g)(∕7(χ))=/(g(∕KX))),

((/〃)(g1(X)=/Wg①(X)))),

「.((/g)Λ)(x)≠((/h)(g∕z))(x)；

对于D,((∕∙g)∙O)(X)=/(x)g(x)g),

((/∙h)∙(g∙A))(x)=f(x)h(x)g(x)h(x),

∙∙∙((∕∙g)∙人)(χ)≠((f∕)∙(g»))()).

故选：B.

21.(2021秋.上海徐汇.高一上海中学校考期末)已知/(x),g(x)是定义在[f,+∞)上的严格增函数，

/(f)=g(f)=M,若对任意k>M,存在再<马，使得/(x∣)=g(X2)=%成立，则称g(x)是/S)在[，,”)上的

“追逐函数己知F(X)=W,则下列四个函数中是/(X)在[l,yo)上的“追逐函数”的个数为()个.

2

①g(x)=2x-l;^)g(x)=lx+l.③g(x)=仔]；④g(x)=2-L

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据“追逐函数”的定义对4个函数进行分析，结合差比较法确定正确答案.

【详解】由题意，需满足：/3)=*2与8。)在[1,"0)上的值域都是口,内)，

且对任意的X∈(1,+∞),/(χ)的图象恒的g(χ)上方，

当x>l时:

①g(x)的值域符合题意，S∕(x)-g(x)=x2-2x+l=(X-I)2>0,符合题意.

②g(x)的值域符合题意，且/(力-g(x)=g(χ2-l)>0,符合题意.

③f(χ)-g(χ)=f-]丁，指数函数比二次函数增长快，比如：

…图]喀也<。，不符合题意.

④由于g(x)=2」<2,所以g(x)=2-^不符合题意.

XX

综上所述，正确的有2个.

故选：B

22.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高一校考期中)如果函数Ax)的定义域为值向，且值域为"(α)JS)],则称/⑺

5x,0≤x≤2

为“。函数.已知函数f(x)={,“C,〃是”。函数，则，"的取值范围是()

x^-4x+m,2<x≤4

A.[4,10]B.[4,14]C.[10,14]D.[14,4^)

【答案】C

【分析】由题意可得“x)的值域为[0,利,又因为当0≤x≤2时，/U)的值域为[0,10],当2<x≤4时，/(X)

的值域为[吁4M,所以有心H),求解即可.

【详解】解:由题意可知/3的定义域为[0,4],

又因为/(x)是“。函数，

所以/(X)的值域为"(0),f(4)],

又因为/(0)=0J(4)=∕n,

所以/(x)的值域为[0,汨，

又因为当0≤x≤2时，fM=5x,单调递增，此时值域为[0,10],

当2<x≤4时，f(x)=x1-4x+m,开口向上,对称轴为x=2,

此时函数单调递增，值域为M-4,∕n],

[0≤∕π-4≤10

所以、S，解得10≤帆≤14,

["7≥10

所以，”的取值范围为【10,14].

故选：C.

23.(2022秋.河南周口.高一校考期中)对于函数/(x),若对任意的x∣,巧，J⅞eR,/(χ∣)>/(々)，/(三)

为某一三角形的三边长，则称/(x)为“可构成三角形的函数”，己知，(X)=亨是可构成三角形的函数，则

X2+1

实数，的取值范围是()

A.[0,1]B.[ɪ2]C.[1,2]D.(0,+∞)

【答案】B

【分析】先判断了(x)的奇偶性，然后对r进行分类讨论，结合/(x)的单调性、最值求得，的取值范围.

【详解】/(x)=4='"+I=1+F-,/(O)=Z,

Λ+1X+1X+1

当E时,/(x)=l,

/(χ)的定义域为R,"-χ)=M="χ),所以F(X)是偶函数,

/(X)为偶函数，..・只需考虑ʃ(ɪ)在[0,+∞)上的范围，

当，>1时，F(X)在[0,+8)单调递减，/(x)∈(l,r].

对Vx∣,巧，XJeR,/(西)+/(々)>，。3)恒成立，

需2f(x)mi">∕(x)mw,.∙1≤2,.ll<f≤2.

当f<l,/(X)在［0,+∞)上单调递增，/(x)∈R,l),

对Vx∣,x2,x3∈R,/(%l)+f(x2)>/(%3)恒成立,

(X)M<2∕(x)nι,n,[<2t,.∙.∣<r<l,

综上：re[∣,2].

故选：B

24.(2021秋•浙江嘉兴•高一校联考期中)定义max{α,6}=f'”泊，如max{3,2}=3.则函数

[b,a<b

/(x)=max{∣2x-l∣,x}的最小值为()

A.—B.1C.2D.4

3

【答案】A

【分析】作出函数F(X)的图象，数形结合可得出函数/(X)的最小值.

【详解】当x≤0时，∣2x-l∣≥x,此时f(x)=∣2x-1=l-2x;

1—2x,0<x≤—

当OeX≤5时，∣2x-1|—X=l-2x-x=l-3x此时,/W='

1,1

X,一<X≤-

32

Xy~<X≤∖

当x>2时，∣2x-1|—x=2x-1—x=x-1,此时，f(ɪ)=*2

2x-l,x>l

F(X)=τ,g<x≤l,作出函数/(x)的图象如下图所示(实线部分)：

所以,

2x-l,x>1

因为"I)=】,因此,/(A,in=∕[∣]=∣∙

故选：A.

25.（2023•高一课时练习）函数/*）满足在定义域内存在非零实数X,使得/（-工）=/*）,则称函数/*）为

x-l,x≥0,

“有偶函数”.若函数"X）二,1八是在R上的“有偶函数”，则实数〃的取值范围是（）

æe一一x,x<0

2

A.O<—B.0<。<—C.—D.a≤—

16161616

【答案】D

【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围.

【详解】因为/*）为R上的“有偶函数''，故存在非零实数X,使得/（-x）=f（x）,

若x<0,则r>0,故方程T-I=五-gx有解，

[,⅛a=——-----7在（-8,0）k彳亍解，∣f[∫y-：—?-----ɪ=-fɪ+^+ɪ.

2xX2y2xX2U4J16

而1<0,故y=J-L的值域为[-∞,J],故α≤J.

XIxX-∖16J16

若x>0,贝∣J-x<O,故方程1=五+*有解，

故Q=“一7在（。,+⑹上有解,而y=（—^"=一+ɪ»

而，>0,故y=——^的值域为1-8,上，故α≤J.

X2xX2I16J16

故选：D.

26.（2020秋・北京顺义・高一牛栏山一中校考期中）存在两个常数，"和M,设函数的定义域为

/,Vx∈Λ∕n≤∕（x）≤M,则称函数/（x）在/上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为（）

①十）=碧

②“加舒

'∣2x-l∣,x<0

③（）

/x=-U-Λ>0

√x+l

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案.

【详解】对于①，/(Λ)=⅛≥0-

`x~+∖

〃久)二2凶二2V2

又因为")「

'2+1-2^,当且仅当W=GP即x=±l时取等;

H+Ħ

所以04/(χ)=⅛≤].

J')eA+lex+lev+l

I2

eA>0,et+l>l,0<------<l,0<------<2,

eA+let+l

T<l-,<1'所以/(力=鬲£(一1，1)

对于③，因为当x≤0时，/(x)=∣2T∣,

所以x≤0时，0<2'≤1，-l<2,-l≤O-O≤2-v-l<1,

因为当x>0时，"X)=在[，

所以x>0时，√x>O,√x+l>l,O<-^X-y<l,

所以f(x)∈[0,l).

故在其定义域上有界的函数为①.

故选：B.

27.（2022秋•江苏连云港•高一校考阶段练习）对于函数yW（x）,如果存在区间加,〃］,同时满足下列条件:

①〃x）在［加同内是单调的；②当定义域是［〃?,〃］时，“X）的值域也是［，%〃］,则称网”］是该函数的“和谐

区间”•若函数/（x）=l-,α>0）存在“和谐区间”，贝IJa的取值范围是（）

A.（0,2）B.（0,4）C.（1,£）D∙（。，£）

【答案】D

【分析】函数在区间［%〃］是单调的，由/■（机）=机，/（〃）="可得加、"是方程χ2-χ+α=o的两个同号的

不等实数根，由A=F-4">