黑龙江省齐齐哈尔市龙西北高中名校联盟2024届高三上学期期末联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省齐齐哈尔市龙西北高中名校联盟2024届高三上学期期末联合考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以．故选:A．2.设复数，则（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗，．故选:D．3.已知在特定的时期内某人在一个月内每天投入的体育锻炼时间（分钟）与一个月内减轻的体重（斤）的一组数据如表所示：3040506070一个月内减轻的体重与每天投入的体育锻炼时间之间具有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，据此模型估计当此人在一个月内每天投入的体育锻炼时间为90分钟时，该月内减轻的体重约为（）A.斤 B.斤 C.斤 D.斤〖答案〗A〖解析〗由表中数据可得，，将代入得，解得，即，则当时，.故选：A.4.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以．故选：B5.若，则（）A.40 B. C.80 D.〖答案〗C〖解析〗由，故，所以时，，即80.故选：C.6.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知得，所以，解得，又，所以.故选：D.7.已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令函数，，求导得，因此函数在上单调递减，不等式，即，解得，所以原不等式的解集为.故选：B.8.已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（）A.8 B.12 C.16 D.64〖答案〗A〖解析〗由题意得，，于，即为△的外心，以为直径的圆经过，于是，记，根据椭圆定义和勾股定理：，于是.故选：A.二、选择题9.设，，则（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由且，，即，则，当且仅当取等号，故取不到，所以，A错，B对；，且，所以，C对，D错.故选：BC.10.已知的三边长分别是，，，则（）A.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为B.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为C.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为D.以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为〖答案〗AD〖解析〗以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4圆锥，其侧面积为，体积为，故A正确，B错误；以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长分别为3和4的两个圆锥组合体，表面积为，体积为，故C错误，D正确．故选：AD．11.已知函数是定义在上的奇函数，，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为4 B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称 D.在内至少有5个零点〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为是定义在上的奇函数，且，所以，即，所以的周期为4，但的最小正周期不一定为4，如，满足为奇函数，且，而的最小正周期为，故A错误；对于B，因为为奇函数，且，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，由，及为奇函数可知，即的图象关于点对称，故C正确；对于D，因为是定义在上的奇函数，所以，又，，所以，故，所以在内至少有，，0，2，4这5个零点，故D正确．故选：BCD．12.“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则的最后一个数字为6 D.若，则从开始出现数字4〖答案〗AC〖解析〗对于A项，，即“2个2”，，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故A项正确；对于B项，，即“1个1，1个3”，，即“3个1，1个3”，故，即“1个3，2个1，1个3”，故，故B项错误；对于C项，，即“1个6”，，即“1个1，1个6”，，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；对于D项，因为，则，，，，若数列中，中为第一次出现数字4，则中必出现了4个连续的相同数字，如，则在的描述中必包含“1个1，1个1”，即，显然的描述应该是“2个1”，矛盾，不合乎题意，若或，同理可知均不合乎题意，故不包含数字4，故D项错误．故选:AC．三、填空题13.已知平面向量，，，则________．〖答案〗〖解析〗由，，，则，解得，则，可得，所以．故〖答案〗为：14.计算：________．〖答案〗〖解析〗．故〖答案〗为：.15.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则______.〖答案〗〖解析〗由题意，所以，则双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以.故〖答案〗为：.16.已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、，因为是棱的中点，所以，则为的四等分点且，由正四棱柱的性质可知且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以、、、四点共面，所以平面平面，连接交于点，因为是侧棱上的动点，直线交平面于点，所以线段即为点的轨迹，如图在平面中，过点作，交于点，因为，所以，所以，所以，设、，，依题意，，所以，要求动点的轨迹长度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，因为，所以，所以，当且仅当，即、时取等号，所以，所以，即动点的轨迹长度的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，又，，所以，解得，，所以的通项公式.（2）由（1）知，所以.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，（1）求角B的大小；（2）若的面积为，周长为3b，求AC边上的高.解：（1）由已知结合正弦定理边化角可得，又，代入整理可得，因为，所以，又，所以，（2）由及可得，，又周长为3b，则，所以，根据余弦定理可得，，整理可得，设AC边上的高为h，则，解得，所以AC边上的高为.19.如图，在四棱锥中，平面，平面平面，，．（1）证明：；（2）若，为的中点，求与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接，作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：由题意知，，两两垂直，以A为坐标原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，，所以．由（1）知，平面，所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．20.2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．参考数据：，．若，则．解：（1）．．（2）（ⅰ）由题知，，所以，．所以．（ⅱ）由（ⅰ）知，可得．．故的数学期望．21.在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离比点到轴的距离大1，设点的轨迹为.（1）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；（2）点在曲线上，求到直线的距离的最小值.解：（1）由题意可得点到点的距离等于点到的距离，所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹为的方程为，直线的方程为，设，联立，消得，恒成立，则，所以，解得，所以直线的方程为；（2）设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，联立，消得，则，解得，所以所求直线方程为，直线与直线间的距离，所