江苏省南京市六校2024届高三下学期期初联合调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校2024届高三下学期期初联合调研数学试题一、单项选择题1.复数z满足则复数z对应点位于第（）象限.A.一 B.二 C.三 D.四〖答案〗A〖解析〗由题意得：由，可得，对应点，在第一象限．故选：A.2.在数列中，已知，，则的前11项的和为（）A.2045 B.2046 C.4093 D.4094〖答案〗C〖解析〗由，得，而，解得，所以的前11项的和.故选：C.3.已知平面向量，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，所以，所以，又，所以向量与的夹角为．故选：A．4.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗由已知条件可知，且，蒙日圆方程为，蒙日圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，则或，又因为，所以，或，解得或，故选：B.5.有5个人到南京、镇江、扬州三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）A.300 B.360 C.390 D.420〖答案〗C〖解析〗(1)当5人中有三人被录取，则不同的录取情况数为;(2)当5人中有四人被录取，则不同的录取情况数为；(3)当5人全部被录取，则不同的录取情况数为；综上不同的录取情况数共有.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，设，则，在上单调递减，，即，；令，则是增函数，所以，即，则，综上所述：.故选：A.7.某中学校园内红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗D〖解析〗依题意可得如下图形：在中，，，，，所以由正弦定理得：，解得：，在，，所以，则红豆树的高度为米.故选：D8.斜率为的直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左，右两支分别交于A，B两点，以双曲线右焦点为圆心的圆经过A，B，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取的中点，连接，由题意可知：，则，设，则，即，因为，则，可得，，又因为直线的斜率为，即，且为锐角，则，可得或（舍去），则，且，即，整理得，所以双曲线的离心率.故选：D.二、多项选择题9.已知样本数据的平均数为，则数据（）A.与原数据的极差相同 B.与原数据的众数相同C.与原数据的方差相同 D.与原数据的平均数相同〖答案〗AD〖解析〗不妨设，则，对A，样本数据的极差为，数据的极差也为，A正确；对B，如数据1,1,2，2,4的众数为1和2，平均数为2，数据1,1,2，2,4，2众数为2，B错误；对C，原数据的方差为，新数据的方差为，所以新数据与原数据方差不同，C错误；对D，原数据的平均数为，新数据的平均数为，D正确；故选:AD.10.已知函数，给出下列四个选项，正确的有（）A.函数的最小正周期是B.函数在区间上是减函数C.函数的图象关于点对称D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到〖答案〗ABD〖解析〗，所以函数的最小正周期是，故A正确；当，，又在上单调递减，所以函数在区间上是减函数，故B正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，故C错误；将的图象向左平移个单位得到，再将向下平移个单位得到，故D正确．故选：ABD．11.如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）A.不存在点，使得平面B.存在点，使得平面平面C.存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为D.不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为〖答案〗BCD〖解析〗由题意，可将几何体补全为一个正方体，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2，则，，设.对于A选项，假设存在点，使得平面，因为，，，则，可得，因为，则，即当点与点重合时，平面，故A选项错误；对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为，假设存在点，使得平面平面，则，，，则，可得，又因为，解得，即当点为的中点时，平面平面，故B选项正确；对于C选项，若存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，则直线与平面所成角的正弦值为，，所以，整理可得，因为函数在时的图象是连续的，且，，所以存在，使得，所以，存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，C选项正确；对于D选项，设平面的法向量为，，则，取，则，可得，假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，则，可得，即可得或，因为，则则，所以，故当时，方程和均无解，综上所述，不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，故D选项正确.故选：BCD三、填空题12.已知的展开式中的系数为80，则m的值为________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，，在的展开式中，由，令，得无解，即的展开式中没有的项；在的展开式中，由，令，解得，即的展开式中的项的系数为，所以的展开式中的系数为，又因为的展开式中的系数为80，所以，解得.所以m的值为.故〖答案〗为：.13.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为________.〖答案〗5〖解析〗对于函数，令，可得，可知，若点在直线上，则，即，则，且，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5.故〖答案〗为：5.14.已知实数m，n满足，则________.〖答案〗〖解析〗由可得，由得，记，因为，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数性质知在上在单调递减，所以在上单调递增，由可得，又，因此，由可得，所以，可得，故〖答案〗为：四、解答题15.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，，则，而，所以曲线在点处的切线方程为；（2），由，得，设，则，令，得，则时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，故，故,即实数a的取值范围为.16.某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2，⋯，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，.（1）求关于的经验回归方程；（2）该公司要用与两套设备同时生产该种新药，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产药品的不合格率为0.009，设备生产药品的不合格率为0.006，且设备与生产的药品是否合格相互独立.①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率.参考公式：，.解：（1），，所以，，所以关于的经验回归方程为.（2）设事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“所抽药品为不合格品”，①因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，，，，所以，②，所以三件不合格品中至少有两件是设备生产的概率为.17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、分别为、上的点，且.（1）证明：平面；（2）若平面，为的中点，，，求二面角的正切值.（1）证明：如图，在上取一点，使得，连接、，因为，且是平行四边形，所以，故，又因为平面，平面，所以平面，因为四边形是平行四边形，则且，所以四边形是平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面，因为，且、平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解：当点为的中点，平面，，时，连接，则为等边三角形，所以，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，.设平面与平面的法向量分别为，，则，取，可得，，取，可得，所以，，则。所以，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的正切值为.18.已知，，动点Z满足.（1）求动点Z的轨迹曲线的标准方程；（2）四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是，且.（i）记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上；（ii）证明：.（1）解：因为所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其长轴长，焦距为，，所以曲线的标准方程为.（2）证明：由题意作出图形如图所示（i）设点，因为，所以，因为，所以，因为，所以，整理得，因为为四边形，所以，所以点在定直线上；（ii）由题知,直线，设，直线，将代入得，所以，所以，所以，，解得，所以.19.设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以.（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立.令，则，所以当时，；