2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第1讲平面向量的概念及其线性运算课件

平面向量与复数考

情

探

究考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅰ，3平面向量数量积的应用由向量垂直求参数的值运算求解基础性数学运算2023新课标Ⅱ，13平面向量数量积的定义及夹角与模问题求模运算求解基础性数学运算2022新高考Ⅰ，3平面向量的概念及线性运算向量的线性运算运算求解基础性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅱ，4平面向量数量积的应用由夹角相等求参数值运算求解综合性数学运算2021新高考Ⅰ，10平面向量数量积的定义及夹角与模问题利用坐标运算求解向量的模、数量积运算求解综合性数学运算2021新高考Ⅱ，15平面向量数量积的定义及夹角与模问题平面向量的数量积运算求解基础性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2020新高考Ⅱ，3平面向量的概念及线性运算向量的线性运算运算求解基础性逻辑推理数学运算2020新高考Ⅰ，7平面向量数量积的应用求数量积的取值范围运算求解综合性数学运算逻辑推理直观想象2023新课标Ⅰ，2复数的运算复数的除法运算运算求解基础性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅱ，1复数的概念复数的几何意义运算求解基础性数学运算2022新高考Ⅰ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2022新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2021新高考Ⅰ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2021新高考Ⅱ，1复数的概念复数的几何意义运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅱ，2复数的运算复数的乘法运算运算求解基础性数学运算2020新高考Ⅰ，2复数的运算复数的除法运算运算求解基础性数学运算【命题规律与备考策略】本章内容分为两部分，第一部分平面向量、第二部分复数．高考对第一部分内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模．试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．高考对部分的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想．高考对第二部分内容的考查，一般出现在选择题前2题中，比较简单，分值为5分．高考命题主要集中于：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义及复数的模的最值问题；③复数的四则运算，常考查乘、除法运算；④虚数单位i的性质．备考时，要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力．第一讲平面向量的概念及其线性运算知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一向量的有关概念1．向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或称______)．2．零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的，零向量记作______.3．单位向量：长度等于______个单位的向量．4．平行向量：方向相同或________的________向量；平行向量又叫________向量．规定：0与任一向量________.大小方向长度模长度为0任意01相反非零共线平行5．相等向量：长度________且方向________的向量．6．相反向量：长度________且方向________的向量．相等相同相等相反知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算__________法则______________法则(1)交换律：a＋b＝__________；(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________________三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法向量a加上向量b的____________叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b__________法则a－b＝a＋(－b)相反向量三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘实数λ与向量a的积是一个________记作λa(1)模：|λa|＝|λ||a|；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向________；当λ<0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0设λ，μ是实数．(1)_________＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝______________(3)λ(a＋b)＝______________.向量相同相反λ(μa)λa＋μaλa＋λb知识点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使____________.b＝λa归

纳

拓

展1．零向量与任何向量共线．4．首尾相连的一组向量的和为0.6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(

)(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

)(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(

)√××√题组二走进教材BB4．(多选题)(必修2P15T4改编)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中()BC题组三走向高考A[解析]

∵D为△ABC的边AB的中点，6．(2015·新课标2,13,5分)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_______.[解析]

∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)·a＝(2m－1)b，考点突破·互动探究向量的基本概念——自主练透1.(多选题)(2023·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为()BCB．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量A．a＝b

B．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同D名师点拨：1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．向量的线性运算——多维探究角度1向量加、减法的几何意义

设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b

B．|a|＝|b|C．a∥b

D．|a|>|b|A[解析]

解法一：利用向量加法的平行四边形法则．从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.角度2向量的线性运算BA．3m－2n

B．－2m＋3nC．3m＋2n

D．2m＋3nB角度3根据向量线性运算求参数C[解析]

因为四边形ABCD是平行四边形，连接AF，在△AEF中，名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1．考查向量加法或减法的几何意义．2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式训练】1．(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb[解析]

因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．DD解法二：如图，连接BD，A共线向量定理及其应用——师生共研

设两个非零向量a与b不共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[分析]

(1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，[引申]

本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝________；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝______.[解析]

由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.－11名师点拨：平面向量共线的判定方法1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【变式训练】B[解析]

由题意知，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.故选B.2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．a B．b

C．c D．0D[解析]

解法一：∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故选D.解法二：①－②得a－c＝λ1c－λ2a∴λ1＝－1、λ2＝－1，∴a＋b＋c＝0.名师讲坛·素养提升易错警示——都是零向量“惹的祸”

下列命题正确的是