2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第2讲常用逻辑用语课件

第二讲常用逻辑用语知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要知识点二全称量词与存在量词1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题．2．全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示．含有____________的命题，叫做全称量词命题．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示．含有___________的命题，叫做存在量词命题．判断真假∀全称量词∃存在量词3．全称量词命题和存在量词命题的否定量词命题量词命题的否定结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是__________命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是__________命题全称量词存在量词归

纳

拓

展1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A

B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A

B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．4．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．5．命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．××××√AC3．(必修1P22习题T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件[解析]

当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b

ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．B4．(必修1P23T5改编)使－2<x<2成立的一个充分条件是(

)A．x<2 B．0<x<2C．－2≤x≤2 D．x>0B题组三走向高考5．(2023·天津，2,5分)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件[解析]由a2＝b2得|a|＝|b|；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，∴a＝b.a＝b⇒|a|＝|b|，而由|a|＝|b|不能推出a＝b.∴“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件，故选B.B6．(2023·全国甲理，7,5分)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则(

)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B[解析]

充分性：当sin2α＋sin2β＝1时，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cos2β，∴sinα＝±cosβ，即sinα＋cosβ＝0或sinα－cosβ＝0，所以充分性不成立；必要性：当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＝cos2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以必要性成立．∴甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B.7．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(

)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2[解析]

根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.

D考点突破·互动探究全称量词命题与存在量词命题——自主练透1.(多选题)下列命题的否定中，是真命题的有()A．某些平行四边形是菱形B．∃x∈R，x2－3x＋3<0C．∀x∈R，|x|＋x2≥0D．∀x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解BD[解析]

根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解．对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，Δ＝9－12＝－3<0，则原命题是假命题；对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题．故选BD.2．(2023·武汉模拟)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(

)A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0[解析]

含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0”，故选C.C3．(多选题)下列存在量词命题中，为真命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|<0D．有些自然数是偶数[解析]

因为方程x2－2x－3＝0的两根为3和－1，所以x∈Z，故A正确；因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|<0，故C错误；2,4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选ABD.ABD4．已知命题“∃x∈R，ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是____________.名师点拨：1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真2.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.充分条件与必要条件的判断——多维探究方法1：定义法判断1.已知x，y为正实数，则“x＋y>4”是“lnx＋lny>2ln2”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件BC当n≥2时，an－1＝a1＋2(n－2)d′，∴an－an－1＝a1＋2(n－1)d′－a1－2(n－2)d′＝2d′，∴{an}是以a1为首项，2d′为公差的等差数列，综上，甲是乙的充要条件，故选C.B方法3等价转化法判断1.给定两个条件p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]

因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p，但綈p

q，其等价命题为p⇒綈q，但綈q

p，所以p是綈q的充分不必要条件．A[解析]

解法一(集合法)：设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然C

D，所以B

A，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．解法二(等价转化法)：x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosy

x＝y，故“x＝y”是“cosx＝cosy”的充分不必要条件，故“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法1．根据定义判断：(1)弄清条件p和结论q分别是什么；(2)尝试p⇒q，q⇒p.若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件；若p⇒q，q

p，则p是q的充分不必要条件；若p

q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2．利用集合判断3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断綈q是綈p的什么条件．记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系A

BB

AA＝BA⃘B且B⃘A结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件【变式训练】1．设a，b∈R，则“a3>b3”是“a2>b2”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]

取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案．当a＝－1，b＝－2时，a3>b3不能推出a2>b2，当a＝－1，b＝0时，a2>b2不能推出a3>b3，所以“a3>b3”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．故选D.DB[解析]

选项A，当a＝1时，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，f(－x)＝f(x)⇒x2－(1－a2)(－x)＋3＝x2－(1－a2)x＋3⇒1－a2＝0，可得a＝±1，故P是Q的充分不必要条件；选项B，在△ABC中，△ABC是等边三角形，可得sinA＝sinB＝sinC，当sinA＝sinB＝sinC时，因为A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，所以有A＝B＝C，△ABC是等边三角形，所以P和Q互为充要条件；充分、必要条件的应用——师生共研(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是_________.(2)在(1)中若把条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是__________.[0,3][0,3]名师点拨：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．【变式训练】1．已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为______.2．已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．1名师讲坛·素养提升一、抽象命题间充要条件的判定

已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件