2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.6 图形的位似变换【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析

2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.6图形的位似变换【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1位似图形的相关概念辨析】 1【题型2判断位似中心】 2【题型3求位似图形的相似比】 3【题型4求位似图形的长度】 4【题型5求位似图形的面积】 5【题型6求位似图形的周长】 6【题型7求位似图形的坐标】 8【题型8格点中作位似图形】 9【知识点1位似图形】1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；=3\*GB3③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为【题型1位似图形的相关概念辨析】【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A'B'C'中，ABA'B'=ACA'CA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（

）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（

）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2判断位似中心】【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）A．点E B．点F C．点G D．点D【题型3求位似图形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（

）．A．12 B．13 C．2【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO:OF的值为（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比为______．【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3, 6)、B(6, 2)、C(2, -1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1, 2)，B'(2, 23)，C(23【题型4求位似图形的长度】【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OF=3:2，若线段AC=9，则线段DE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，若点A（﹣1，0），点C（1【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6, 3)、B(6, 0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A'B'【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为_________．【题型5求位似图形的面积】【例5】（2022·河北·石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OA'=2AA'，△ABC的面积为9，则△A'B'C'面积为（

）A．4 B．6 C．92 D．【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG、DG．则△ADG【变式5-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB【题型6求位似图形的周长】【例6】（2022·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【变式6-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（

）A．12 B．16 C．20 D．24【变式6-2】（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．18【变式6-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（

A．6cm B．8cm C．10cm【题型7求位似图形的坐标】【例7】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为12，则点A的对应点A1【变式7-1】（2022·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E【变式7-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是-1,0．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是A．-12m+3 B．-12m+1【变式7-3】（2022·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．【题型8格点中作位似图形】【例8】（2022·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以坐标原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'(3)设△ABC与△△A'B'C'的周长分别为l1、l2，则l1【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C(2)证明△A'B【变式8-2】（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，9×9的方格都是由边长为1的小正方形组成．▱ABCD的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．(1)画出▱ABCD绕点A旋转得到的▱AB'C'D(2)请以A为位似中心，作与▱ABCD的面积比为14的位似图形▱AEFG【变式8-3】（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．(1)在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；(2)在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．专题6.6图形的位似变换【八大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1位似图形的相关概念辨析】 1【题型2判断位似中心】 4【题型3求位似图形的相似比】 7【题型4求位似图形的长度】 10【题型5求位似图形的面积】 12【题型6求位似图形的周长】 15【题型7求位似图形的坐标】 17【题型8格点中作位似图形】 21【知识点1位似图形】1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；=3\*GB3③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为【题型1位似图形的相关概念辨析】【例1】（2022·全国·九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A'B'C'中，ABA'B'=ACAA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据相似三角形的性质及位似比的概念解答即可．【详解】①正确，两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②正确，两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③正确，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：在△ABC与△A′B′C′中，ABA④错误，因为已知△ABC及位似中心O，能够作两个三角形与△ABC位似，且位似比为2．故选：C．【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及到相似三角形的性质和位似比的有关概念，熟记性质概念是解题的关键．【变式1-1】（2022·江苏·九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（

）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．【变式1-2】（2022·四川达州·九年级期末）下列说法中正确的有（

）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2:3，则周长比为4:9；④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2，那么这两个矩形一定相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断．【详解】解：①位似图形都相似，本选项说法正确；②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为2:④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误；∴正确的只有①；故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式1-3】（2022·山东青岛·九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．正确的个数()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；位似图形一定有位似中心，②正确；根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同一条直线上，③错误；反例如下图,△ABC∽△A1B1C1，并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点B1，但是这两个三角形不是位似图形.

位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误．故选A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．【题型2判断位似中心】【例2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点GA．(-2，0) B．(-1，0) C．【答案】A【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接DG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线DG解析式，即可求解．【详解】解；连接DG并延长交x轴于M，∵点D与点G是一对对应点，则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M，设直线DG解析式为；y=kx+b，将D2，22k+b=2b=1解得：k=1∴直线DG解析式为y=1令y=0，可得：x=-2，∴M(-2，即位似中心的坐标是(-2，故选A．【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．【变式2-1】（2022·北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【答案】A【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【详解】点P在对应点M和点N所在直线上，∴两个三角形的位似中心是：点P．故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．【变式2-2】（2022·全国·九年级单元测试）下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（）A．点E B．点F C．点G D．点D【答案】D【分析】利用位似图形的对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D．故选D．【点睛】本题考查了位似变换：两位似图形的对应点的连线都经过同一点；对应边平行．【变式2-3】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）【答案】B【分析】如图，连接BF交y轴于P，根据位似图形的定义可得点P为位似中心，根据点B、F坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求出点P的坐标．【详解】如图，连接BF交y轴于P，∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点，∴点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴GPPC＝GFBC＝12，PC=CG解得：GP＝1，∴OP=OG+GP=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．【点睛】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．【题型3求位似图形的相似比】【例3】（2022·湖北恩施·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的相似比为（

）．A．12 B．13 C．2【答案】D【分析】△ABC与△DEF是位似图形，所以△ABC∽△DEF，根据勾股定理求出AB和DE即可解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，由图可知AB=22+22=2∴AB∴△ABC与△DEF的相似比为2，故选：D．【点睛】本题考查位似图形的性质．【变式3-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO:OF的值为（

）A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4【答案】C【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，进而证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，∴ACDF∴△AOC∽△DOF，∴OCOF故选：C．【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式3-2】．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比为______．【答案】5:2【分析】根据位似变换的性质，三角形的相似比等于OBOD【详解】解：如图所示，D2,0∵把△AOB缩小后得到△COD，∴位似比为OBOD=52，则△AOB与故答案为：5:2．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k是解题的关键．【变式3-3】（2022·全国·九年级单元测试）△ABC三个顶点A(3, 6)、B(6, 2)、C(2, -1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A'B'C'三个顶点分别为A'(1, 2)，B'(2, 23)，C(23【答案】1:3【分析】由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C【详解】解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），∴△A′B′C故答案为1：3．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．【题型4求位似图形的长度】【例4】（2022·重庆·一模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB:OF=3:2，若线段AC=9，则线段DE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用位似图形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，进而求出ABDF【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，∴ABDF=OB∵AC=9，∴9DE=3故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，根据位似图形概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，是解题的关键．【变式4-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，若点A（﹣1，0），点C（1【答案】13【分析】根据位似图形的性质和已知求出A′、C′的坐标，根据两点间的距离公式求出A′C′即可．【详解】∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OAOA'=12，点A（﹣1，0），点C（12，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′=(-2-1)2故答案为13．【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、两点间的距离公式等知识点，求出点A′和C′的坐标是解答此题的关键．【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A(6, 3)、B(6, 0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，把线段AB缩小后得到线段A'B'【答案】1【分析】已知A（6，3）、B（6，0）两点则AB=3，以坐标原点O为位似中心，相似比为13，则A′B′：AB=1：3．即可得出A′B【详解】∵A（6，3）、B（6，0），∴AB=3．又∵相似比为13，∴A′B′：AB=1：3，∴A′B【点睛】本题主要考查位似的性质，位似比就是相似比．【变式4-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为_________．【答案】5【分析】连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，得AFAC=34，即可求出AF长，然后由CF=【详解】解：如图，连接AC，∵矩形ABCD，∴∠B=90°∴AC=AB∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，∴点F在AC上，∴AFAC=3∴AF=35，∴CF=AC-AF=45-35=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．【题型5求位似图形的面积】【例5】（2022·河北·石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（

）A．1:2 B．1:3 C．1:9 D．1:16【答案】C【分析】根据三角形面积比与位似比的关系求解．【详解】解：由题意得△ADE与△ABC的位似比为1：3，∴△ADE与△ABC面积之比为13故选C．【点睛】本题考查位似三角形的应用，熟练掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题关键．【变式5-1】（2022·重庆市巴川中学校八年级期末）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，OA'=2AA'，△ABC的面积为9，则△A'B'C'面积为（

）A．4 B．6 C．92 D．【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，可得△OAB∽△OA'B'，根据相似三角形的性质得到ABA【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A'B'，∴△OAB∽△OA'B'，∴ABA∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积＝9：4，∵△ABC的面积为9，∴△A'B'C'的面积为：4，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式5-2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG、DG．则△ADG【答案】4【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．【详解】延长EG交CD于点H，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，∴AD∥EG，∴四边形AEHD是平行四边形，∴S△ADG∵位似图形与原图形的位似比为23∴BE=2即AE=1∴S▱AEHD∴S△ADG故答案为：4．【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．【变式5-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB【答案】2【分析】根据位似图形的概念求出OA2，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：∵正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为12∴A1∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴OA∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面积=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面积=2×2=41，∵A3B3⊥x轴，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面积=4×4=16=42，……则正方形A2021B2021C2021A2022的面积为42021-1=42020=24040，故答案为：24040．【点睛】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，掌握位似图形的性质、相似多边形的性质是解题的关键．【题型6求位似图形的周长】【例6】（2022·浙江温州·二模）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，若OA＝2OD，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．6：1【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出AB：DE，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AB∴△ABC与△DEF的周长之比是2：1．故选A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．【变式6-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为1∶3，即可得解．【详解】解：由题知：OA∶OE＝1∶3∴3C故选A．【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关键．【变式6-2】（2022·重庆南岸·九年级期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3知△ABC与△DEF的位似比是1:3，从而得出△ABC周长：△DEF周长=1:3，由此即可解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3，∴△ABC与△DEF的位似比是1:3．则△ABC周长：△DEF周长=1:3，∵△ABC的周长为2，∴△DEF周长=2×3=6故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．【变式6-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF与△ABC的周长差为12cm，则△ABC的周长为（

A．6cm B．8cm C．10cm【答案】B【分析】根据：位似图形高、周长的比都等于相似比即可解答．求出△DEF与△ABC的相似比为5:2即可．【详解】∵OA:AD=2:3∴OA:OD=2:5∴△DEF与△ABC的周长比为5:2∵△DEF与△ABC的周长差为12∴△ABC的周长=12×2故选：B【点睛】本题主要考查了位似比，熟练的掌握位似图形高、周长的比都等于相似比是解题的关键．【题型7求位似图形的坐标】【例7】（2022·河北·泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-2，-2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△A1OB1与△AOB的位似比为12，则点A的对应点A1【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k计算，得到答案．【详解】解∶∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，△∴点A1的对应点的横纵坐标与点A的横纵坐标的比值为12或∵A（-4，2），∴A1的坐标为(-4×12故答案为∶(-2，1)或(2，-1)．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，如果相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解题的关键．【变式7-1】（2022·甘肃·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，若点A的坐标为（4，2），则AC的中点E【答案】（1，12【分析】根据位似变换的性质求出点C的坐标，根据线段中点的性质计算，求出点E的坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小为原来的12，得到△COD，点A∴点C的坐标为（4×（-12），2×（-1∴AC的中点E的坐标是（1，12故答案为：（1，12【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【变式7-2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是-1,0．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是A．-12m+3 B．-12m+1【答案】A【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=m，CF=m+1，CE=12（m+1），进而得出点B【详解】解：过点B’作B’F⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，∵点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．点B的对应点B′的横坐标是m，∴FO=m，CF=m+1，∴CE=12（m∴点B的横坐标是：-12（m+1）-1=-12（故选：A．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．【变式7-3】（2022·山东·胶州市初级实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是_____．【答案】（6，6）．【分析】利用位似变换的概念和相似三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴OAOD=解得，OD＝6，OF＝6，则点E的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．【点睛】本题考查了相似三角形、正方形的性质以及位似变换的概念，掌握位似和相似的区别与联系是解答本题的关键.【题型8格点中作位似图形】【例8】（2022·辽宁抚顺·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以坐标原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'位于位似中心两侧，请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'(3)设△ABC与△△A'B'C'的周长分别为l1、l2，则l1【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)2：1【分析】（1）按照要求作图即可，如图1；（2）按照要求作图即可，如图1；（3）根据周长比等于位似比计算求解即可．（1）解：由题意知，A,B,C关于x轴对称的点坐标分别为-2,-2，（2）解：由题意知，△ABC与△A∴A,B,C对应的位似点的点坐标分别为1,-1，（3）解：由题意知△ABC与△A∴l故答案为：2:1．【点睛】本题考查了画轴对称图形，位似图形，位似图形的性质等知识．解题的关键在于熟练掌握对称与位似的知识并灵活运用．【变式8-1】（2022·河南南阳·九年级期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A'B'C(2)证明△A'B【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据位似变换的性质画出图形即可；（2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论．（1）解：如图△A（2）证明：小正方形边长为1，∴BC=9，AB=62+32B'C'∵ABA'B'=∴ABA∴△A【点睛】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．【变式8-2】（2022·浙江宁波·九年级专题练习）如图，9×9的方格都是由边长为1的小正方形组成．▱ABCD的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．(1)画出▱ABCD绕点A旋转得到的▱AB'C'D(2)请以A为位似中心，作与▱ABCD的面积比为14的位似图形▱AEFG【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【详解】（1）如图1

（2）如图2，3【点睛】本题考查图形的旋转、位似，旋转时，找准旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）是关键，注意位似图形两种情况．【变式8-3】（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．(1)在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC相似的△DEF；(2)在图③中，以O为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2：1．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析【分析】（1）利用网格特点和相似的判定，画出DE=2（2）利用网格特点，延长AO到A1使A1O=2AO，延长BO到B1使B1O=2BO，延长CO到C1使C1O=2CO，从而得到△A1B1C1．(1)解：如图②，△DFE为所作；由题意可得：AB=1,BC=5而DE=2∴DE∴△ABC与△DEF相似．(2)如图③，△A1B1C1为所作．【点睛】本题考查了作图-位似变换：相似三角形的判定，掌握画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．专题6.7相似三角形的证明与计算专项训练（60道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！一．解答题（共30小题）1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ΔABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD.（1）求证：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的长.2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求证：△ACD∽△ABC．4．（2022·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．（1）求HD的长；（2）设△BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）5．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，∠1=∠2，ABAE8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD（2）如图3，在旋转过程中，PEPF（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似.9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽△DCE．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，连接BD，CE，求CEBD11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B．(1)证明：ΔADB∼(2)若AE=3，AD=5，求AB的长．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）证明：△ABC∽△ADE．（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：．13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、CE是△ABC的高．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB//EF//CD，E为AD与BC的交点，F在15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．①如图2，若PQ＝5，求AP长．②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为．16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求证：△DOE∽△COB．20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点．求证：△DEF∽△ABC．22．（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．23．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠D=∠DCE．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD为平行四边形，AB=6，EF=2AF，求FD的长度．27．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当CEEB=1（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12

28．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF=∠C求证：（1）BF⋅CE=AB2（2）AE29．（2022·山东泰安·中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB=6,CE=9，求AD的长．30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．32．（2022·全国·九年级课时练习）在①DP⋅PB=CP⋅PA，②∠BAP=∠CDP，③DP⋅AB=CD⋅PB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形ABCD的两条对角线交于P点，若（填序号）求证：△ABP∼△DCP．33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．34．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，过点C作CD(1)求证：四边形AFCD是平行四边形．(2)若GB=3，BC=6，35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．(1)求证：AFBE(2)已知AB=8,BC=12，求AF的长．36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．(1)求证：△DMN∽△BCN；(2)求BD的长；(3)若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．37．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E、F分别是边AB、AD上两点，满足AE=DF，BF与DE相交于点G．（1）如图1，连接BD．求证：△DAE≌△BDF；（2）如图2，连接CG．①求证：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求线段DG的长（用含m、n的代数式表示）．38．（2022·全国·九年级课时练习）将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．(1)求证：△AMD∽△CND；(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断AEAD39．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，（1）若BK＝73KC，求CD（2）联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝12AD时，猜想线段AB、BC、CD（3）试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝1nAD（n＞2）时，线段AB、BC，CD41．（2022·山东济宁·中考真题）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．42．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG43．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设AFFC①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．44．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．(1)求证：△BGC∽△DGF；(2)求证：GD⋅AB=DF⋅BG；(3)若点G是DC中点，求GFCE45．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为ts（t＞0）．(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代数式表示）(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？46．（2022·河南洛阳·九年级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD=13BC将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF

(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；(2)当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．47．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接AE.作BF⊥AE垂足为H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.求证：(1)CG=BH；(2)FC48．（2022·山东淄博·八年级期末）如图1，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一点，CE与BD相交于点F，连结OE．(1)若点E为AB的中点，求OFFB(2)如图2，若点F为OB中点，求证：AE＝2BE．(3)如图2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，请用k的代数式表示AC2．49．（2022·全国·九年级课时练习）【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．

50．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与B,C重合)．连接AE,过点E作EF⊥AE,交DC于点F．(1)求证：△ABE∼△ECF；(2)连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．51．（2022·全国·九年级课时练习）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．(1)操作发现：如图①，当AC=BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为______；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；(2)探究证明：如图2，当BC=2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；②若AC=2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．52．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF．(1)求证：△OCE∽△OFD．(2)当AE=7，BF=24时，求线段EF的长．53．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝22，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝12AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ（1）[问题发现]①当θ＝0°时，BECD＝；②当θ＝180°时，BECD＝（2）[拓展研究]试判断：当0°≤θ＜360°时，BECD（3）[问题解决]在旋转过程中，BE的最大值为．54．（2022·福建泉州·九年级期中）如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB=∠ACB+90°．（1）求证：∠CAD+∠CBD=90°；（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC，若AC•BD=AD•BC，①求证：△ACD∽△BCE；②求AB⋅CDAC⋅BD55．（2022·全国·九年级专题练习）所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是5-1(1)如图①，在△ABC中，∠A＝36°，AB=AC，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，AD>BD，AB=5+1，若点D是AB56．（2022·山东·淄博市临淄区教学研究室八年级期末）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD，如图（1），证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图（2），求证：AE⋅AB=DE⋅AP．57．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD．（1）求证：ΔABE∽ΔACD；（2）若BD=1，CD=2，求AEAD58．（2022·全国·九年级专题练习）[教材呈现]下面是华师大九年级上最数学教材第76页的部分内容．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．结合图①，完成解答过程．[拓展]（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为；（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连接EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB=4，AD=3，则EF的长为．59．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）(定义：长宽比为n∶1（n为正整数）的矩形称为n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为2矩形．(1)证明：四边形ABCD为2矩形；(2)点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求ON：OM的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求NB：CN的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝22，则DR的最小值＝60．（2022·四川广元·二模）（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则BEDF＝________；β（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出BEDF的值及β（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①BEDF②请直接写出α和β之间的关系式．专题6.7相似三角形的证明与计算专项训练（60道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！一．解答题（共60小题）1．（2021·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ΔABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD.（1）求证：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的长.【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=AB解得：AC=6.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型．2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．【答案】2.4【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，

∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB

∴ABFC∵BC=3，E是AD的中点，∴AE=1.5，∴BE=2.5，∴2FC=∴FC=2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求证：△ACD∽△ABC．【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：∵CD⊥AB于D．∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．4．（2021·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．（1）求HD的长；（2）设△BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）【答案】（1）2；（2）7a【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD//BC，根据相似三角形的判定得△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，由BE=EF=FD可得出BEED（2）由BE=EF可得△BEG与△EFG的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△AED与S△DFH的值，S△AED【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8，∴AD//BC，∴△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，∴BEED=BG∵BE=EF=FD，∴BEED=1∴BG=12AD=4，HD=1∴HD=2；（2）∵BE=EF，∴S△BEG∴S△BFG∵△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，BEED=1∴S△AED=4a，∴四边形AEFH的面积=S△AED-S△DFH=【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2021·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB．【答案】4【分析】由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C可证明△ADB∽△ABC，由相似三角形的性质可知ADAB=AB【详解】解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ADB∽△ABC．∴ADAB=AB解得：AB＝4（负值已舍去）．∴AB＝4．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，由相似三角形的性质得到2AB6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．【答案】见解析；【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知ABCB=BDBA，再由∠ABD＝∠CBA可得△【详解】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴ABCB又∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠1=∠2，ABAE【答案】见解析【分析】根据∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，结合ABAE【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，∴∠BAC=∠EAD，且ABAE∴△ABC∽△AED，由相似三角形对应角相等可知：∴∠C=∠D．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，属于基础题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP∽△PCD（2）如图3，在旋转过程中，PEPF（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE与△PEF相似.【答案】（1）见解析；（2）PEPF的值是定值，该定值为12；（3）当m=0或【分析】（1）因为在矩形中，所以只要再证明∠BAP=∠CPD即可；（2）证明边比为定值，考虑相似三角形，过点F作FG⊥BC于G，创造△PGF并证明其与△EBP相似；（3）使△BPE∽△PFE，那么BEPE【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=90°

∴∠BAP+∠BPA=90°∵∠MPN=90°

∴∠CPD+∠BPA=90°

∴∠BAP=∠CPD∴△ABP∽△PCD

（2）过点F作FG⊥BC于G

∴∠FGP=90°

∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°易知四边形ABGF是矩形，∴FG=AB=2∵∠MPN=90°

∴∠EPB+∠FPG=90°

∴∠EPB=∠FPG∴△EBP∽△PGF

∴PE∴PEPF的值是定值，该定值为1（3）∵AE=m

∴BE=2-m①当BEPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PFE∴BEBP∴2-m1∴m=②当BPPE∵∠B=∠EPF=90°

∴△BPE∽△PEF∴BPBE∴12-m∴m=0

综上，当m=0或32【点睛】本题考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等以及性质定理：对应角相等，对应边成比例.9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽△DCE．【答案】见解析【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，连接BD，CE，求CEBD【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性质可推出∠DAE=∠