高等数学 课件 1.4函数的极限（二）

第一章函数、极限与连续1.4函数极限（二）目录二、函数极限的性质一、函数极限的概念三、两个重要极限四、无穷小量与无穷大量三、两个重要极限预备知识：三、两个重要极限

oABD

三、两个重要极限例1：求

解：原式=

例2：求

解：原式=

三、两个重要极限例3:求解:

原式=三、两个重要极限例4：求

解：原式=

三、两个重要极限例5：求

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限

主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限

主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限

主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限

主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限

主观题10分三、两个重要极限2.三、两个重要极限定理:记,得到数列{xn},可证得数列{xn}单调增加且小于3,由定理存在,记作e,即三、两个重要极限三、两个重要极限三、两个重要极限例7:求极限:(2)解:(1)

(1)原式=(2)原式=作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限主观题10分作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限主观题10分四、无穷小量与无穷大量是定义1:例如:所以是时的无穷小;所以时的无穷小;1.无穷小无穷小就是以零为极限的变量．如果当时,函数f(x)的极限为零,即那么称f(x)为时的无穷小.四、无穷小量与无穷大量1.无穷小是相对于自变量的某一变化过程而言的.时,是无穷小，时,2.无穷小不能理解为一个绝对值很小的常数.3.0是唯一可以看作无穷小的常数.注意：例如:当而当不是无穷小.例如:都不是无穷小.四、无穷小量与无穷大量性质2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小．性质1:有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小．推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2：无穷小的绝对值还是无穷小.无穷小的性质证略证略四、无穷小量与无穷大量例8:求解:因为,所以是有界函数.根据性质可知=0．又作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂求极限.主观题10分下列选项中哪些是无穷小量ABCD提交EFGH多选题1分四、无穷小量与无穷大量定义

:如果当时,函数f(x)的绝对值无限增大,即,则称f(x)为一个函数f(x)当则它的极限是不存在的.的极限为无穷大,记作时的无穷大.也称函数f(x)注意：时为无穷大,2.无穷大四、无穷小量与无穷大量函数f(x)趋于的叫做正无穷大，趋于的叫做负无穷大,分别记作例10:当时,为无穷大,即如图四、无穷小量与无穷大量例11:当时,为正无穷大,即同理:当时,例12:当时,为负无穷大,即为正无穷大.如图如图四、无穷小量与无穷大量1.无穷大与自变量的某一变化过程有关

.时,是无穷大，时,2.无穷大是绝对值无限增大的变量,不能将其与很大的常数相混淆.注意：例如:当而当就是无穷小了.例如:都不是无穷大.四、无穷小量与无穷大量若是无穷大,是无穷小;若是无穷小,且则是无穷大.则定理2:

在自变量同一变化过程中,无穷小与无穷大的关系证略四、无穷小量与无穷大量都是无穷小,引例.但对于无穷小趋于0的速度快慢比较有如下定义3、无穷小的比较四、无穷小量与无穷大量定义:设(1)若=0,则称是的高阶无穷小,(也称是(2)若(常数),则称和记作的低阶无穷小).是同阶无穷小.特别地,当c=1时,称与是等价无穷小，记作四、无穷小量与无穷大量(3)若(常数),则称是的k阶无穷小.例如:当是的无穷小;当时,是的无穷小;同阶3阶高阶时,低阶当时,是的无穷小;当时,是的无穷小.四、无穷小量与无穷大量是无穷小且存在,则证:无穷小等价代换:如果在同一极限的变化过程中，四、无穷小量与无穷大量此定理表明,当时,

当x换为任何一个函数时,只要则等价关系仍然成立.求两无穷小之比的极限时,分子和分母都可以用等价无穷小去替换.四、无穷小量与无穷大量例13:求解:当时,所以例14:求原式=解:当时,所以原式=四、无穷小量与无穷大量例15:求解:因为因为当时,所以原式=当时,所以原