2024年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编(安徽卷)04挑战压轴题(解答题二)(原卷版+解析)

2024年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（安徽考卷）04挑战压轴题（解答题二）1．(2023·全国）已知抛物线的对称轴为直线．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．2．（安徽省2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．判断点是否在直线上．并说明理由；求的值；平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．3．（安徽省2019年中考数学试题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.4．（安徽省2018年中考数学试题）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）（1）用含x的代数式分别表示W1，W2;（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?5．(2023·江苏·涟水县义兴中学）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x/(元/千克)506070销售量y/千克1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？1．(2023·陕西师大附中九年级期末）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．(1)求点B、D的坐标；(2)若点P是x轴上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，是否存在这样的P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在请求出，点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级开学考试）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，．(1)如图1，求m的值；(2)如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，E为PD中点，连接BE，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CE，F为CE上一点，连接PF，M为抛物线的顶点，连接PM，将射线PM绕点P逆时针旋转，交y轴于点G，交抛物线于点N，若，，求点N的坐标．3．(2023·四川凉山·九年级期末）某商场出售甲乙两种商品，出售甲种商品15件，乙种商品20件共获利390元，出售甲、乙两种商品各10件共获利220元．(1)求甲、乙两种商品每件的利润；(2)商场调研甲种商品发现：若按现在售价出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售价每上涨2元，则每周少卖10件，商场要求每周甲商品的销量不低于80件．设甲种商品每件价格上涨x（元），销售数量为y（件）①写出y（件）与x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；②每件甲商品的利润为多少元时，每周可获得最大利润？最大的利润是多少元？4．(2023·河南·模拟预测）已知二次函数y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）．(1)若该图象经过点A（1，0），B（2，4），求这个二次函数的解析式；(2)若（x1，y1），（4，y2）在该函数图象上，当y2＞y1时，求x1的取值范围；(3)该函数图象与x轴只有一个交点时，将该图象向上平移2个单位恰好经过点（4，8），当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．5．(2023·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）一天早晨，佳佳从家出发匀速步行去学校，妈妈发现佳佳忘带数学书了，于是立即下楼骑车沿佳佳行进路线匀速追赶，妈妈追上佳佳后，立即按原路线返回家中，由于路人渐多，妈妈返回时的速度只是去时的，佳佳则以原速度的1．5倍赶往学校妈妈与佳佳之间的路程y（米）与佳佳从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（佳佳与妈妈交接学习用品耽搁的时间忽略不计），结合图象信息解答下列问题：(1)佳佳步行速度是______，妈妈追佳佳时的速度是______；(2)求图象中线段DE所表示的y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)直接写出佳佳出发多长时间，佳佳与妈妈相距300米的时间．1．(2023·贵州遵义·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣x+4与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；(3)如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF//x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2023·河南省实验中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，，抛物线经过，，三点中的两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为（1）中所求抛物线上一点，且，求的取值范围；(3)一次函数（其中与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是和，且，请直接写出的取值范围．3．(2023·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0，﹣2)，点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQy轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．(1)求k，b的值．(2)当ABP的面积为3时，求点P的坐标．(3)设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．4．(2023·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为顶点P的坐标为，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作的切线，切点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C；(3)设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．5．(2023·福建省福州屏东中学九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．(1)求此抛物线解析式．(2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于，求k的值．(3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线．2024年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（安徽考卷）04挑战压轴题（解答题二）1．(2023·全国）已知抛物线的对称轴为直线．（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．【答案】（1）；（2），见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．当时，y1随x1的增大而减小，时，，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时，．

时，

（3）令

令AB与CD的比值为【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点2．（安徽省2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．判断点是否在直线上．并说明理由；求的值；平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．【详解】（1）点在直线上，理由如下：将A（1，2）代入得，解得m=1，∴直线解析式为，将B（2，3）代入，式子成立，∴点在直线上；（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A，C两点，将A，C两点坐标代入得，解得：a=-1，b=2；（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，∵顶点在直线上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．3．（安徽省2019年中考数学试题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）,W取得最小值7.【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.【详解】解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，∴一次函数解析式为：y=-2x+4又二次函数顶点横坐标为0，∴顶点坐标为（0,4）∴c=4把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，∴W=OA2+BC2=∴当m=1时，W取得最小值7【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.4．（安徽省2018年中考数学试题）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）（1）用含x的代数式分别表示W1，W2;（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少?【答案】（1）W1=-2x²+60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元.【解析】【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得.【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得W1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000，W2=19(50-x)=-19x+950；（2）W总=W1+W2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，∵-2＜0，=10.25，故当x=10时，W总最大，W总最大=-2×10²+41×10+8950=9160.【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键.5．(2023·江苏·涟水县义兴中学）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x/(元/千克)506070销售量y/千克1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)y＝－2x＋200(2)W＝－2x2＋280x－8000(3)售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元．【解析】【分析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式；（2）利用利润的定义，求与之间的函数表达式；（3）利用二次函数的性质求极值.【详解】解：(1)设，由题意，得，解得，∴所求函数表达式为.(2).(3)，其中，∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.考点：二次函数的实际应用.1．(2023·陕西师大附中九年级期末）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．(1)求点B、D的坐标；(2)若点P是x轴上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，是否存在这样的P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在请求出，点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点B（3，0），点D（1，-4）；(2)存在这样的P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，点P的坐标为（0，0）或（，0）或（，0）或（6，0）．【解析】【分析】（1）令y=0，解一元二次方程，将二次函数配方为顶点式即可；（2）存在这样的P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，过D作DE⊥y轴于E，先确定△COB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出BC=，∠OCB=∠OBC=45°，再确定△DCE为等腰直角三角形，CD=，∠ECD=∠EDC=45°，可证△BCD为直角三角形分以下四种情况点P在点A左侧，PQ为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似得出△PQA∽△CBD，当点P在点A右侧，对称轴与x轴交点左侧，PQ为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似得出△PQA∽△CBD，当点P在对称轴与x轴交点右侧，点B左侧，AP为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，得出△PAQ∽△CBD，当点P在点B右侧，AP为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，得出△PAQ∽△CBD，AP为短直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，得出△PQA∽△CBD，根据相似得出比例式，代入数据计算即可．(1)解：令y=0，，因式分解得：，转化为，解得，∵点A在点B左侧∴点B（3，0）∴点D（1，-4）；(2)解：存在这样的P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似过D作DE⊥y轴于E，∵OB=OC=3，∠COB=90°∴BC=，∠OCB=∠OBC=45°，∵点D（1，-4），DE⊥y轴∴点E（0，-4），∠CED=90°∴CE=-3-（-4）=1，DE=1-0=1，∴DE=CE，∴CD=，∠ECD=∠EDC=45°，∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCE=180°-45°-45°=90°，∵∠QPA=90°，PQ=，分以下四种情况设点P（x，0）则点Q的坐标为（x，）∴PQ=，，∴，，∴当，即或时，，∴当或时，，当时，点P在点A左侧，PQ为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似∴△PQA∽△CBD，∴，即解得x=-1,或x=0（舍去），点P（-1，0）点A，P，Q三点重合，不成三角形舍去，当点P在点A右侧，对称轴与x轴交点左侧，PQ为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似∴△PQA∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=0,点P（0，0），当点P在对称轴与x轴交点右侧，点B左侧，AP为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，∴△PAQ∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=,点P（，0），当点P在点B右侧，AP为长直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，∴△PAQ∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=,点P（，0），AP为短直角边，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，∴△PQA∽△CBD，∴，即解得x=-1(舍去)，x=6，点P（6，0），综合得出存在这样的P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，点P的坐标为（0，0）或（，0）或（，0）或（6，0）．【点睛】本题考查抛物线与两轴交点坐标，顶点坐标，配方为顶点式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定，三角形相似的性质，解一元二次方程，掌握抛物线与两轴交点坐标，顶点坐标，配方为顶点式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定，三角形相似的性质，解一元二次方程，分类思想的应用使问题得以完整全面解决．2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校九年级开学考试）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，．(1)如图1，求m的值；(2)如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，E为PD中点，连接BE，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，连接CE，F为CE上一点，连接PF，M为抛物线的顶点，连接PM，将射线PM绕点P逆时针旋转，交y轴于点G，交抛物线于点N，若，，求点N的坐标．【答案】(1)m=2(2)(3)【解析】【分析】（1）先求抛物线与y轴交点C，在根据，确定点B的坐标，从而利用待定系数法求出m的值（2）根据抛物线确定点P为（t，），再用待定系数法求出直线PA为，从而确定点D的坐标，最后根据中点确定点E的坐标表示出的面积为（3）根据坐标，利用待定系数法分别确定直线EC和直线PM，从而得出EC∥PM，∠DCE=∠PHC，然后根据得，四边形PFCH是等腰梯形，PF=CH=t，又因为所以，G（0，），从而得出直线PN为，最后根据得出（舍去），确定点N的坐标为(1)解：∵抛物线与y轴交于点C∴点C（0，3）∴OC=3∵∴OB=3∴点B（3，0）∵抛物线与x轴交于点B∴0=-9+3m+3即m=2(2)∵m=2∴抛物线为∴点A（-1，0）∴AB=4∵点P的横坐标为t，且点P在抛物线上∴点P为（t，）设直线PA为∴解得∴直线PA为∴点D为（0，3-t）∵E为PD中点∴∵点P在第四象限∴点E也在第四象限∴∴的面积为(3)如图，∵点M是抛物线的顶点∴M（1,4）设直线PM为∴解得∴直线PM为设直线CE为∴解得∴直线CE为∴CE∥PM∴∠DCE=∠PHC∵∴∴四边形PFCH是等腰梯形∴PF=CH∵C（0,3）,H（0,3+t）∴PF=CH=t∵∴∴G（0，）设直线PN为∴解得∴直线PN为∵抛物线与直线PN交于点N解得（舍去），当，所以，点N的坐标为【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，待定系数法求一次函数，坐标中点，一元二次方程以及两直线平行的条件，而解决本题的关键在正确的表示各点的坐标和利用待定系数法求函数.3．(2023·四川凉山·九年级期末）某商场出售甲乙两种商品，出售甲种商品15件，乙种商品20件共获利390元，出售甲、乙两种商品各10件共获利220元．(1)求甲、乙两种商品每件的利润；(2)商场调研甲种商品发现：若按现在售价出售，每周可出售商品100件，如果每件商品的售价每上涨2元，则每周少卖10件，商场要求每周甲商品的销量不低于80件．设甲种商品每件价格上涨x（元），销售数量为y（件）①写出y（件）与x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；②每件甲商品的利润为多少元时，每周可获得最大利润？最大的利润是多少元？【答案】(1)甲种商品每件的利润为10元，乙种商品每件的利润为12元(2)①；②每件甲商品的利润为14元时，每周可获得最大利润，最大的利润是1120元【解析】【分析】（1）设甲种商品每件的利润为元，乙种商品每件的利润为元，可得，即可解得答案；（2）①根据题意得，由每周甲商品的销量不低于80件，可得，即可得答案；②设甲商品的总利润为元，可得，由二次函数性质可得答案．(1)解：设甲种商品每件的利润为元，乙种商品每件的利润为元，根据题意得：，解得，答：甲种商品每件的利润为10元，乙种商品每件的利润为12元；(2)①根据题意得：，每周甲商品的销量不低于80件，，解得，（件与（元之间的函数关系式为；②设甲商品的总利润为元，根据题意得：，，在对称轴直线左侧，随的增大而增大，时，最大，最大值为，此时，答：每件甲商品的利润为14元时，每周可获得最大利润，最大的利润是1120元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程组和函数关系式，掌握二次函数的性质．4．(2023·河南·模拟预测）已知二次函数y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）．(1)若该图象经过点A（1，0），B（2，4），求这个二次函数的解析式；(2)若（x1，y1），（4，y2）在该函数图象上，当y2＞y1时，求x1的取值范围；(3)该函数图象与x轴只有一个交点时，将该图象向上平移2个单位恰好经过点（4，8），当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，求m﹣n的值．【答案】(1)y＝4x2﹣8x+4(2)﹣2＜x1＜4(3)-3【解析】【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)利用抛物线的解析式求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到点(4,y2)关于对称轴x=1的对称点为(−2,y2)，从而根据已知条件确定出点(x1,y1)的大致位置，结论可得；(3)利用待定系数法求得二次函数的解析式，根据抛物线的对称性，利用分类讨论的思想方法得到m，n的关系式，从而求出m，n的值，即可求得．(1)解：∵该图象经过点A（1，0），B（2，4），∴．解得：．∴这个二次函数的解析式为y＝4x2﹣8x+4．(2)解：∵x1，∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1．∴点（4，y2）关于对称轴x＝1的对称点为（﹣2，y2）．∵a＞0，∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）开口向上．∵点（x1，y1），（4，y2）在该函数图象上，且y2＞y1，∴点（x1，y1）在（4，y2）与（﹣2，y2）之间．∴﹣2＜x1＜4．∴x1的取值范围为：﹣2＜x1＜4．(3)解：∵将该图象向上平移2个单位恰好经过点（4，8），∴原抛物线一定经过点（4，6）．∴16a﹣8a+c＝6．∵该函数图象与x轴只有一个交点，∴该函数图象的顶点在x轴上．∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1，∴该函数图象的顶点为（1，﹣a+c）．∴﹣a+c＝0．∴．解得：．∴原抛物4线的解析式为，∴平移后的抛物线的解析式为，顶点为（1，2）．当m＜n＜1时，y随x的增大而减小，∵m＜n，∴2m＜2n．∵当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，∴，解得：无解．当1≤m＜n时，y随x的增大而增大，∵m＜n，∴2m＜2n．∵当m≤x≤n时，2m≤y≤2n，∴，解得：．∴m﹣n＝﹣3．【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，抛物线的平移的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题关键．5．(2023·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）一天早晨，佳佳从家出发匀速步行去学校，妈妈发现佳佳忘带数学书了，于是立即下楼骑车沿佳佳行进路线匀速追赶，妈妈追上佳佳后，立即按原路线返回家中，由于路人渐多，妈妈返回时的速度只是去时的，佳佳则以原速度的1．5倍赶往学校妈妈与佳佳之间的路程y（米）与佳佳从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（佳佳与妈妈交接学习用品耽搁的时间忽略不计），结合图象信息解答下列问题：(1)佳佳步行速度是______，妈妈追佳佳时的速度是______；(2)求图象中线段DE所表示的y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)直接写出佳佳出发多长时间，佳佳与妈妈相距300米的时间．【答案】(1)50米/分钟；150米/分钟；(2)（）；(3)6分钟或12分钟或分钟．【解析】【分析】（1）根据题意和图像，列出一元一次方程，解方程即可求出答案；（2）由题意，先求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出解析式；（3）根据题意，佳佳与妈妈相距300米可分为3种情况，分别求出每一种情况的时间即可(1)解：根据图像，设佳佳的速度为m米/分钟，则有，解得：；设妈妈追佳佳时的速度是n米/分钟，则，解得：；∴佳佳步行速度是50米/分钟；妈妈追佳佳的速度为150米/分钟；故答案为：50米/分钟；150米/分钟；(2)解：由图可知，点E表示妈妈已经回到家，则妈妈回家所用的时间为：（分钟），∴点E的横坐标为：，此时佳佳走过的路程为：（米），∴点E的纵坐标为1312.5；设线段DE的解析式为，则把点D（15，0），点E（22.5，1312.5）代入，得，解得，∴；∴自变量x的取值范围是；∴（）；(3)解：根据题意，①当佳佳出发300米，妈妈在家没有出发时，有（分钟）；②当妈妈追佳佳时相距300米，有，解得：；③当妈妈返回家途中，与佳佳相距300米，有，解得：，∴此时的时间是（分钟）；综合上述，佳佳与妈妈相距300米的时间为：6分钟或12分钟或分钟．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是能够理解函数图象各个拐点的实际意义求解．1．(2023·贵州遵义·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣x+4与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；(3)如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF//x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)P（,），最大面积为(3)M（2，8）或M（5，4）【解析】【分析】（1）将A（−1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，即可求解；（2）过点P作PG⊥x轴交直线CD于点G，设P（t，），则G（t，），由S△CDP＝S△PCG−S△PDG＝×PG×3＝−（t−）2＋，即可求解；（3）由题意可得FM＝5，设M（m，），则F（m−5，），再由F点在直线CD上，即可求m的值，进而确定M点的坐标．(1)解：将A（−1，0），B（6，0）代入y＝ax2＋bx＋4，∴，∴，∴(2)过点P作PG⊥x轴交直线CD于点G，设P（t，），则G（t，），，∴GP＝令y＝0，则x＝3，∴D（3，0），∵S△CDP＝S△PCG−S△PDG＝×PG×3＝−（t−）2＋，，∴当t＝时，S△CDP有最大值此时P（,）；(3)存在点M，使得△MEF≌△COD，理由如下：∵ME⊥CD，∴∠MEF＝90°，∵MF∥x轴，∴∠FME＝∠CDO，∵△MEF≌△COD，∴MF＝CD，∵OC＝4，OD＝3，∴CD＝5，∴FM＝5，设M（m，），则F（m−5，），∵F点在直线CD上，∴＝∴m＝2或m＝5，∴M（2，8）或M（5，4）．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键．2．(2023·河南省实验中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，，抛物线经过，，三点中的两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为（1）中所求抛物线上一点，且，求的取值范围；(3)一次函数（其中与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是和，且，请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线图象上点的坐标特征，即可求得；（3）根据一次函数和二次函数的性质即可求得．(1)解：由题意可知：抛物线经过，两点，．解得：，抛物线的表达式为：；(2)解：抛物线，顶点坐标为，当时，；当时，，当时，；(3)解：，抛物线开口向下，与轴的交点为，，一次函数，一次函数的图象经过点，一次函数（其中与（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是和，且，一次函数经过一、三、四象限，，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，一次函数、二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数的性质．3．(2023·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0，﹣2)，点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQy轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．(1)求k，b的值．(2)当ABP的面积为3时，求点P的坐标．(3)设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．【答案】(1)b=-2，k=3(2)(3)或【解析】【分析】(1)将点B代入y=x+b，求得b，进而求得y=x-2，将A点坐标代入求得n；(2)表示出PQ的长，根据PQ(xA-xB)=3求得t，进而得出点P的坐标；(3)分为BC为边点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线两种情况．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF=OF，从而求得t的值，另外情况类似方法求得．(1)解：∵直线y=x+b过点B(0，-2)，∴0+b=-2，∴b=-2；∵直线y=x-2过点A(3，n)，∴n=3-2=1，∴A(3，1)，∵y＝过点A(3，1)，∴k=xy=3×1=3．(2)解：设，Q(t，t-2)，A(3，1)，B(0，-2)，∴，∵，其中分别表示A、B、P三点的横坐标，∴，解得，经检验是原方程的解，∴．(3)解：，Q(t，t-2)，的中点，分类讨论：情况一：当BC为边且点D在x轴正半轴上，作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，如下图1所示：∴∠BFC=∠G=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°，∵∠BCD=90°，∴∠DCG+∠FCB=90°，∴∠FBC=∠DCG，∵BC=CD，∴△BFC≌△CGD（AAS），∴CF=DG，∵OF=DG，∴OF=CF，即，解得(舍去)，经检验，是原方程的解，∴此时P点坐标为；情况二：当BC为边且点D在x轴负半轴上，过B点作FG⊥y轴于B，作DF⊥GF于F，作CG⊥GF于点G，如下图2所示：同情况一中思路，同理可证：△DFB≌△BGC(AAS)，∴BG=DF=2，∴t=2，此时P点坐标为；情况三：当BC为对角线时，过D作FG⊥x轴，过C作CF⊥FG于F，过B作BG⊥FG于G，设PQ交x轴于N，如下图3所示：同理可证：△CFD≌△DGB(AAS),∴CF=DG=OB=DN=2，BG=DF=DO=CN=，又∵ON=DN-DO，∴，解出：，经检验，是原方程的解，∴此时P点坐标为；综上所述，P点坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，根据线段之间的和、差关系列出方程求解．4．(2023·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为顶点P的坐标为，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作的切线，切点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C；(3)设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的坐标．【答案】(1)；(2)见解析；(3)M点坐标为：，