27.2.3 相似三角形的判定（第二节）-2023-2024学年九年级数学下册同步课堂（人教版）

相似三角形的判定（二）1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理;2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算;(重点、难点)3.掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算.除定义外，我们学习了哪些判定两个三角形相似的方法？相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.由平行线获得相似常见的有两种基本图形：“A”字型和“X”字型.除定义外，我们学习了哪些判定两个三角形相似的方法？利用三边判定两个三角形相似的定理1：三边成比例的两个三角形相似.除定义外，我们学习了哪些判定两个三角形相似的方法？利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.两副三角尺，其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的.利用两组角判定两个三角形相似的定理3：两角分别相等的两个三角形相似.证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.可得△A′DE∽△A′B′C′.

∴∠A′DE=∠B′

又∠B=∠B′

∴∠A′DE=∠B

又A′D=AB，∠A=∠A′

∴△A′DE≌△ABC(ASA)

∴△ABC∽△A′B′C′例1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长.解：∵ED⊥AB∴∠EDA=90°又∠C=90°，∠A=∠A∴△AED∽△ABC∴∴由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.证明：(1)∵CD⊥AB∴∠ADC=∠ACB=90°又∠A=∠A∴△ACD∽△ABC(2)∵CD⊥AB∴∠CDB=∠ACB=90°又∠B=∠B∴△CBD∽△ABC我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°，.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证.若设，则只需证.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°，.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.证明：设，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由勾股定理，得，∴.∴∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.例2.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为

时，△ACB与△ADC相似．CABD【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论解：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC:AD＝AB:AC，即:2=AB:，解得AB=3；∴2(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝AB:AC，即:

=AB:，解得AB=．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．例2.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为

时，△ACB与△ADC相似．CABD【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论2如果Rt△ABC的两直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k是正整数)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？解：如图，∵，∴又∠C=∠C′=90°∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′

1.下列各组图形不一定相似的是()A.有一个角是60°的两个等腰三角形.B.有一个角是45°的两个等腰三角形C.有一个角是100°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形2.如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是()A.B.C.D.BA3.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,若想要得到CD2=BD·AD这个结论，则可证明()A.△ADC∽△ACBB.△BDC∽△BCAC.△ADC∽△CDBD.无法判断4.如图，已知∠ACB=∠D=90°，下列条件中不能判断△ABC和△BCD相似的是()A.AB∥CDB.BC平分∠ABDC.∠ABD=60°D.AB:BC=BC:BDCC5.如图，已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是()A.∠ACP=∠BB.∠APC=∠ACBC.AC2=AP·AB

D.AC·BC=AB·CPD6.如图，☉O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，连接AD，BD,BD与AC交于点E,请写出图中所有与△ADE相似的三角形:___________________.7.如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6，AD:AB=3:1，则点C的坐标为_________.△BCE、△BDA(2，7)8.如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似,.那么D点的位置最多有_____处.39.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.(1)∵∠B=∠C，∠E=∠F且∠B=∠E∴∠C=∠F∴△ABC∽△DEF

10.如图，弦AB和CD相交于00内一点P.求证:PA·PB=PC·PD.证明:连接AC、BD.∵∠A和∠D都是所对的圆周角∴∠A=∠