2024年高考数学必考基础知识

2024年高考数学必考基础知识汇总

第一部分集合

(1)含n个元素的集合的子集数为2、真子集数为9—1；非空真子集的数为2n-2；

(2)A=8===注意：讨论的时候不要遗忘了A=0的情况。

(3)G(AU3)=⑹A)n(C,B);C,(ADB)=(C/A)U(C,B);

第二部分函数与导数

1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2.函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；

⑤换元法；⑥利用均值不等式向《白尹；⑦利用数形结合或几何意义(斜

率、距离、绝对值的意义等)；⑧利用函数有界性(优、sinx、cosx等)；⑨导数法

3.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为［a,b］,则复合函数f［g(x)］的定义域由不等式agg(x)Wb解出②

若f［g(x)］的定义域为［a,b］,求f(x)的定义域，相当于x£［a,b］时,求g(x)的值域。

(2)复合函数单调性的判定：

①首先将原函数y=〃g(x)］分解为基本函数：内函数“=g(x)与外函数y=f(u)；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减''来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数y=/(“)的定义域是内函数M=g(x)的值域。

4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5.函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必攀条件；

⑵/(X)是奇函数=/(-X)=-/(X)O/(-X)+/(X)=0<=>"―X)=_1;

/(X)

⑶/(X)是偶函数=/(-X)=y(x)=f(-x)-/(x)=0=与R=1；

/(X)

⑷奇函数/(X)在原点有定义，则/(0)=0;

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6.函数的单调性

⑴单调性的定义：

①/(%)在区间"上是增函数OVXMGM，当芯<£时有

/(%,)-f(x2)<0o(当一々)・[/(匹)-/(X2)]>0o.⑺-'⑺〉0.

七一々

②/(x)在区间〃上是减函数oVx./e",当为<々时有

/a)-/®)>。=a-为2)・"(再)-。(兀2)]<0=^^~<0；

X\~X2

⑵单调性的判定

①定义法：

注意：一般要将式子/(F)-“々)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法(见导数部分)；

③复合函数法(见2(2))；

④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性

(1)周期性的定义：

对定义域内的任意x，若有/(x+T)=/(x)(其中T为非零常数)，则称函数/(x)为周期

函数，T为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最

小正周期。

(2)三角函数的周期

①y=sinx:T=27;②y=cosx:T=2万;(3)=tan%:T-TT;

④y=Asin(tar+°),y=Acos(w+夕)：T==tantur:T=-^—；

l&l'㈤

⑶函数周期的判定

①定义法(试值)②图像法③公式法(利用(2)中结论)

⑷与周期有关的结论

①/(x+a)=/(工一4)或/*一2«)=/(x)(。>0)=>/(x)的周期为2a;

②y=/(%)的图象关于点(。,0),(。,0)中心对称nf(x)周期为期；

③丁=/(x)的图象关于直线x=a,x=Z?轴对称=>/'(X)周期为2,-4;

④V=/(x)的图象关于点3,0)中心对称，直线x=8轴对称=/(%)周期为4卜;

8.基本初等函数的图像与性质

⑴塞函数：y=x。(aeR)；⑵指数函数：y=ax(a>0,a^l);

⑶对数函数:y=log„x(a>0,”1)；⑷正弦函数:y=sinx;

⑸余弦函数：y=cosx；(6)正切函数：y=tanx；⑺一兀二次函数：ax2+bx+c=0；

⑻其它常用函数：

①正比例函数：y-kx(k0)；②反比例函数：y=—(k^Q)；特别的丁=工

xx

②函数y=x+—(a>0);

x

9.二次函数：

⑴解析式：

①一般式：,f(x)=af+^x+c;②顶点式：/⑴二/尤-人尸+人仇公为顶点；

③零点式：/(犬)=。(％-%)(％-々)o

⑵二次函数问题解决需考虑的因素:

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

10.函数图象:

⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：iy=/(x)->y=/(x±a),(a>0)-------"正左负右”

五y=/(x)fy=/(x)士仁伏>0)-------"正上负下”；

②伸缩变换：

iy==(<y>0)-------纵坐标不变,横坐标伸长为原来的‘倍；

CD

iiy=/(x)->y=A/(x),(A>0)-------横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍；

③对称变换：iy=/(x)也->y=-/(-x);iiy=/(x)―=—/(x)；

iiiy=--=0->y=/(-x)；ivy=/(%)v=t>y=f~'(x);

④翻转变换：

iy=/(x)->y=/(|x|)-------右不动，右向左翻(/(x)在y左侧图象去掉)；

五y=/(x)ry="(x)|-------上不动,下向上翻(|f(x)|在x下面无图象);

11.函数图象(曲线)对称性的证明

(1)证明函数y=/(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的

对称点仍在图像上；

(2)证明函数y=/(x)与y=g(x)图象的对称性，即证明y=/(x)图象上任意点关于对称

中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上，反之亦然；

注：

①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a—x,2b—y)=0;

②曲线Ci：f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a—x,y)=0;

③曲线G：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=—x+a)的对称曲线C2的方程为f(y—a,x+a)=0(或

f(—y+a,—x+a)=O);

④f(a+x)=f(b—x)(x£R)----->y=f(x)图像关于直线对称；

特别地：f(a+x)=f(a—x)(x£R)----->y=f(x)图像关于直线x=a对称；

⑤函数y=f(x—a)与y=f(b—x)的图像关于直线*=卓对称；

12.函数零点的求法：

⑴直接法(求/(幻=0的根)；⑵图象法；⑶二分法.

13.导数

⑴导数定义：f(x)在点X0处的导数记作此、/UoAr)-/(x).

X=r(Xo)=lim+o

।3AXTO八Y

⑵常见函数的导数公式:①C'=O;②(％〃)'=nx〃T；(3)(sinx),=cosx；

(4)(cosx)=-sinx；⑤(优)=a"lna；⑥(/)=";⑦(log〃x)=——；

xlna

(§)(lnx)=—o

x

⑶导数的四则运算法则：==八+W;(勺=空营;

vv

⑷《理祥)复合函数的导数：乂=工.心

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：i所给点是切点吗？五所求的是“在''还是“过”该点的切

线？

②利用导数判断函数单调性：

i.1(x)>0n/(x)是增函数；五._f(x)<On/(x)为减函数；

iii尸(x)三0=>/(x)为常数;

③利用导数求极值：i求导数r(x)；五求方程(。)=0的根；也列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：i求的极值；五求区间端点值(如果有)；出得最值。

14.(理科)定积分

⑴定积分的定义：f/(x)Jx=limY-~

⑵定积分的性质：①f七(x)dx=U"(xMx(女常数)；

JaJa

②["i(尤)±A(创公=[/*)dx(x)dx;

③1f(x)dx=[ef(x)dx+ff(x)dx(其中avcvb)。

JuJaJc、

⑶微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)：Cf(x)dx=F(x)\^=F(b)-F(a)

⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S=f"(x)-g(无)|公；

③求变速直线运动的路程：S=「v⑺力；③求变力做功：W=fF(x)Jxo

JaJa

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.⑴角度制与弧度制的互化：乃弧度=180。，1。=二弧度，1弧度=(图)。土57。18、

18071

⑵弧长公式：l=6R;扇形面积公式：$=[於=LRI。

22

2.三角函数定义：角a中边上任意一点P为(x,y),设10Pl=7•则：

x

sma=—y,cosa=—,tana=—y

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4.诱导公式记忆规律：“函数名不(改)变，符号看象限”；

5.⑴丁=Asin(w+夕)对称轴：%J九+2°：对称中心：也~——,0)(^GZ)；

co3

.71

,..,1.K7TH-----(p

(2)y=Acos&r+°)对称轴：x=k兀―①♦.对称中心：(---2---,0)(%£Z)；

COCD

6.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x==tanx;

cosx

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin(a±/?)=sinacosp±cosasin/?;

tana±tan(3

②cos@±=cosacos/7午sinasin/7;(§)tan(cr±/?)

1+tanatan/3

8.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa;

②cos2a=cos2a-sin2a-2cos2a-l=l-2sin2a③tan2gh2tane_。

1-tana

9.正、余弦定理：

⑴正弦定理：，-=―竺=」—=2R（2H是AABC外接圆直径）

sinAsinBsinC

注：①。：b:c=sinA:sin氏sinC;②。：27?sin=27?sinB,c=2/?sinC;

③a_b_c_a+b+c

sinAsinBsinCsinA+sin5+sinC

,222

⑵余弦定理：/=〃+,2一2加9054等三个；注：cosA」+C'一」等三个。

2bc

10o几个公式：

⑴三角形面积公式：SMfiC=；二〃=gabsinC=J/?（p-a）（p—b）（p_c）,（p=；（a+b+c））；

⑵内切圆半径匚2sMsc；外接圆直径2R=」==-二=三；

a+h+csinAsinBsinC

11.已知A时三角形解的个数的判定：

其中h=bsinA,（l）A为锐角时：①a<h时,无解；

②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角,

一钝角）；④aNb时，一解（一锐角）。

（2）A为直角或钝角时：①a«b时，无解；②a>b时，

一解（锐角）。

第四部分立体几何

1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为2后:1。

2.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S»+2SK；②侧面积：S恻=2"九；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=Siw+S底；②侧面积：Sw=m-l;③体积：V=gs底h：

⑶台体:①表面积：S=SW+S上底S下底;②侧面积:S侧”（r+rj/；③体积:V=；（S+府+S）

h；

⑷球体：①表面积：S5；②体积：v=E

3.位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行n线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义一两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注：理科还可用向量法。

4.求角：（步骤……Io找或作角；II。求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；

②②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。

注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比，

得sin0o

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

⑶二面角的求法：

①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；

②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理

或逆定理作出二面角的平面角，再求解；

③射影法：利用面积射影公式：S'=Seos。,其中。为平面角的大小；

注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；

理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。

5.求距离：（步骤……Io找或作垂线段；II。求距离）

⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；

⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；

⑶点到平面的距离：

①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；

③等体积法；

理科还可用向量法：4=国里。

I«1

⑷球面距离：（步骤）

（I）求线段AB的长；（II）求球心角NAOB的弧度数；（III）求劣弧AB的长。

6.结论：

⑴从一点。出发的三条射线OA、OB、OC,若NAOB=NAOC,则点A在平面NBOC

上的射影在NBOC的平分线上；

⑵立平斜公式（最小角定理公式）：COS。=COS。]cos%;

⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为则SfMCOSOnS底；

⑷长方体的性质

①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为/⑸则：

cos2a+cos2p+cos2/=1;sin2a+sin2+sin2/=2。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为a],7,则有

222222：

cosa+cosp+cos/=2；sina+sin>0+sin/=l。

⑸正四面体的性质：设棱长为a,则正四面体的：

①高：h=叵a;②对棱间距离：旦a；③相邻两面所成角余弦值：L④内切球半径:

323

外接球半径：

124

第五部分直线与圆

1.直线方程

（1）点斜式：y-y。=&（x-x。）；（2）斜截式：y=kx+b；（3）截品巨式：—+—=1；

ab

⑷两点式：——=—•——；⑸一般式：Ax+By+C=O,（A,B不全为0）。

y2f々一项

（直线的方向向量：（B-A）,法向量（A,B）

2.求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

3.两条直线的位置关系:_________________________________

直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注

/1：y=Z/+4

k\=k2,b\^b2氏1,氏2=—1z,,z2有斜率

q•y—Ze2入+“2

A,A+B,B=0

[1:4元+3]丁+G=0A2=42月，且22不可写成

B|C2HB2G(验症

,2:+B2y+C,2=0)分式

4.直线系

直线方程y-kx+bAx+By+C^0

平行直线系y=kx+mAx+By+m=0

垂直直线系y=——x+mBx-Ay+m=0

k

相交直线系Ax+耳y+G+4(A2]+B)y+C2)=0

5.几个公式

⑴设A(xi,yi)>B(X2,y2)、C(X3J3)，/ABC的重心G：(占+；+±,必+自+%)；

⑵点P(xo,yo)至I」直线Ax+By+C=O的距离：履空上空4;

J-'+/

⑶两条平行线Ax+By+Ci=O与Ax+By+C2=O的距离是公殳幺；

jT+炉

6.圆的方程：

222

⑴标准方程：①(x-a)2+(y-加2=/；(2)%+j=ro

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圆oA=CRO且B=0且D2+E2—4AF>0；

7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

8.圆系：

(1)x~+y~+Dix+_y+7^1+A(x~+y~+D,x+E2y+g)=0,(%A—1)；

注：当X=T时表示两圆交线。

(2)x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=O,(^^~l)。

9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)

⑴点与圆的位置关系：(。表示点到圆心的距离)

①^二氏。点在圆上；②4<R=点在圆内；③d>Ro点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：(d表示圆心到直线的距离)

①〃：/?0相切；②d<Ro相交；③d>Ho相离。

⑶圆与圆的位置关系：(d表示圆心距，H,/•表示两圆半径，且H〉r)

①d>R+ro相离；②d=R+ro外切；③R—r<d<R+ro相交；

@d=R—ro内切；⑤0<4<R—ro内含。

10.与圆有关的结论：

⑴过圆x?+y2=r2上的点M(xo,yo)的切线方程为：xox+yoy=r2；

过圆(x-a>+(y-b)2=r2上的点M(xo,yo)的切线方程为：(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2；

⑵以A(xi,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x-xi)(x—X2)+(y-yi)(y—y2)=0□

第六部分圆锥曲线

1.定义：⑴椭圆：IMF；|+|加工|=2a,(2a〉W工|)；

(2)双曲线:||MF{\-\MF2||=2a,(2a<|F,F；|)；⑶抛物线：略

2.结论

⑴焦半径：①椭圆：耳|=a+西--(e为离心率);(左"+"右

②抛物线：|P耳=%+]

7

⑵弦长公式：\AE\=71+I-|x2-x||=J(l+r)[(%+入2)2-4%々]

=J]_W=Ju+和KM+为)?—”跖]；

注：(I)焦点弦长：①椭圆：|A5|=2a±e(X|+%2)；②抛物线：(ABI=Xi+X2+p-2f；

sirra

(II)通径(最短弦)：①椭圆、双曲线：空；②抛物线：2p。

a

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：，"2+行2=1(人〃同时大于0时表示椭

圆，相〃<0时表示双曲线)；

⑷椭圆中的结论：

①内接矩形最大面积：2ab；

②P,Q为椭圆上任意两点，且OP10Q,则总产+总产=*+'；

③椭圆焦点三角形：<I>.S”转=/tan?,(6=NF/B)；<H>.点M是APGF2内心，

PM交RF,于点、N,则会；

④当点P与椭圆短轴顶点重合时NF；尸巴最大；

⑸双曲线中的结论：

①双曲线二一H=i(a>0,b>0)的渐近线：二一Zl=o；

a2b2a2b2

②共渐进线y=±，的双曲线标准方程为二一zi=孙为参数，羽0)；

aa2b2

③双曲线焦点三角形：<I>.5.=〃*,（。=/6根）；<n>.p是双曲线［一2=i（a

>0,。>0）的左（右）支上一点，F1、22分别为左、右焦点，则△尸F1F2的内切圆的圆心

横坐标为-a,⑷；

④双曲线为等轴双曲线oe=&。渐近线为y=±xo渐近线互相垂直；

（6）抛物线中的结论：

①抛物线y2=2px（p〉0）的焦点弦AB性质：<I>.xiX2=^l；yiy2=-p2；

4

<II>.—+—=-；以AB为直径的圆与准线相切；<W>.以AF（或BF）

|AF|\BF\p

2

为直径的圆与y轴相切；<V>.S^=-^—o

OB2sina

②抛物线y2=2px（p〉0）内结直角三角形OAB的性质：

<I>.x/2=4产,％力=-4严；<II>.兀恒过定点（2p,0）；

A,B中点轨迹方程：/=/?（%-2p）;<IV>.OMLAB,则M轨迹方程为：

（X-p）2+y2=p2；<V>.（S»°B）min=4p2。

③抛物线y2=2px（p〉0）,对称轴上一定点A（a,0）,贝lj：

<I>.当时，顶点到点A距离最小，最小值为a；<II>.当a>〃时，抛物线

上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为2年-〃2。

3.直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：

①联立的关于“X”还是关于“y”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③判别式验证了吗？

⑵设而不求（代点相减法）：-----处理弦中点问题

步骤如下：①设点A(xi,y。、B(x2,y2);②作差得％=&q=……；③解决问题。

Xj-X2

4.求轨迹的常用方法：(1)定义法：利用圆锥曲线的定义；(2)直接法(列等式);

(3)代入法(相关点法或转移法)；⑷待定系数法；(5)参数法；(6)交轨法。

第七部分平面向量

⑴设a=(xi,yi),b=(x2,y2),贝"：①a〃b(bWO)oa=>lb(2e/?)<^>xiy2—x?yi=0；

②a_Lb(a、b#))oa,b=0oxiX2+yiy2=0.

(2)a-b=|a||b|cos<a,b>=X2+yiy2；

注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;

④a-b的几何意义：a-b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。

(3)cos<a,b>=-".

\a\\b\

⑷三点共线的充要条件：P,A,B三点共线=加=工E+)，丽(由+丫=1)；

附：(理科)P,A,B,C四点共面=加=xE+y而+z天1(且x+y+z=l)。

第八部分数列

1.定义：

⑴等差数列{%}<=>-%="(d为常数)o2a“=att+l+an_x(n>2,neN*)

2

=an=kn+b=s“=An+Bn;

⑵等比数列{/}o-=q(#0)。(n>2,neN)

<=>an=cq"(c，4均为不为0的常数)=Sn=k-kq”(qw0,qwl,kw0);

2.等差、等比数列性质

等差数列等匕:数列

通项公式a=a1+(〃-l)d〃-1

nan=w

l.q=1时，Sn=;

前n项和=2户1时，s“J«W)

221-q

_a「a〃q

-----------------------------------------------------------------------―T-q-------------------------

性质①an=am+(n—m)d,①an=amqzm；

②m+n=p+q时am+an=ap+a<|②m+n=p+q时aman=apOq

③臬,邑《-SKS*-§2«,…成AP③S*,S21t-SRS*-§2«，…成GP

④4，4+,“，4+2,"，…成AP,d=md④4,4_,“，%+2,“，--成GP,q'=q'n

等差数列特有性质：

s

①项数为2n时.：S2n=n(an+an+i)=n(ai+a2n);-S^=nd；—=；

S偶an+l

②项数为2n-l时：S2n-i=(2n-l)a中；S奇-S偶=。中；&=」-；

S(禺n-1

③若a“=根，4”=〃,(机x〃)，则%+”=0；若S”=帆,S,“=〃,则5,“+.=-(一+”)；

若S.=S,”,(,〃H〃)，则s,,+,=o。

3.数列通项的求法：S1(n=l)

fS—Sn-i(n22)

⑴分析法；⑵定义法(利用AP,GP的定义而=(n1法(/川一%=小

⑷叠乘法&=%型);⑸构造法(*=3+)型);(6)迭代法;

a„

⑺间接法(例如:~an=^anan_x=>----—=4);⑻作商法(ag…=g型)；⑼待

定系数法；⑩(理科)数学归纳法。

注：当遇到―〃或念F时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

4.前〃项和的求法：

⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。

5.等差数列前n项和最值的求法：

⑴(或;⑵利用二次函数的图象与性质。

L4”弋%>oj

第九部分不等式

1.均值不等式：痣w审〈落手

注意：①一正二定三相等；②变形，必4(空鸟2

22

2.绝对值不等式：\\a\-\b\^a+b\<\a\+\b\

3.不等式的性质：

(l)a>bob<a;(2)a>b,h>c=>a>c；(^)a>b<^>a+c>b+c;a>h,c>d

=>a+c>b+d;a>b,c>0=>ac>bd;a>b,c<0=>ac<be;a>b>0,

c>d>O=>ac>bd;⑸a>。>0=>a">0">0(〃GN*)；(6)a>b>0=>

^[a>y/b(neN*)。

4.不等式等证明(主要)方法：

⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。

第十部分复数

1.概念：

6z=a+bi£Rob=0(a,b£R)=z=2oz2>0；

出2=@+由是虚数ob#)(a,b£R)；

闭2=2+由是纯虚数=a=0且b#0(a,b£R)=z+z=0(z#0)<=>z2<0；

⑷a+bi=c+dioa=c且c=d(a,b,c,d£R)；

2.复数的代数形式及其运算：设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R),贝!J：

(1)zi±Z2=(a+b)±(c+d)i；(2)zi.Z2=(a+bi>(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；(3)z1•z2

—(a+biXe-di)=ac+bdbe-ad.(z#0)♦

~(c+di)(c-di)~否彳+/T产)'

3.几个重要的结论:

222222

⑴卜]+Z2|+|Z,-Z2|=2(|z/+|Z2|)；(2)Z.z=|z|=|z|；⑶(1±0=±2i；⑷二=i；二=T；

1-iI+z

4n+,4n+2

(5)i性质：T=4；严=1,/=i,z=-1,严+3=t；产+产用+产2+严+3=0.

(6)(V=——±i以3为周期，且0°=1,〃=&⑷3=1；1+69+692—0；

22

(7)|z|=l<^>zz=l<^>z=­o

Z

4.运算律：(1)z”・z〃=zm+〃;(2)(z")〃=z〃”';(3XZ|・Z2：r=z「Z2〃l",〃€N);

J

5.共朝的性质：(DCZj±z2)=Zj±z2；(2)ZZ2=zt-Z2;⑶(五)=刍；(4)Z=ZO

Z2z2

ZZ

6.模的性质：⑴||zj-1Z2IISZ]±z2|<|Z1|+|2|；(2)|-|=|z/|z?|;(3)|五|=同；(4)|z"|=|z|"；

Z

Z2I2I

第十一部分概率

1.事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作A=8；

⑵事件A与事件B相等：若A==则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AuB（或A+3）；

⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作Ac3（或A3）

⑸事件A与事件B互斥：若Acb为不可能事件（AcB=0）,则事件A与互斥；

（6）对立事件：Ac3为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。

2.概率公式:

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P（A+B）=P（A）+P（B）；

⑵古典概型：尸⑷.迪解等

⑶H何概刑P（A}=构成事件A的区域长度（面积或体积等）

:（）一试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）；

第十二部分统计与统计案例

1.抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一

个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为2；

N

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号/;

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体

的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层

抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数X2

N

2.总体特征数的估计：

⑴样本平均数彳」出+匕

〃n曰

2222

⑵样本方差S=l[(x,-x)+(X,")2+…+(x„-S)]=-!-f(xf-x)；

(3)样本标准差s=+(4―幻2+…+(匕一兽(4一幻?；

_

Z(WT)(M-切

3.相关系数(判定两个变量线性相关性)：r=「_“_

J£(x,.-%)2^(y,.-y)2

Vi=li=l

注：⑴r〉0时，变量正相关；r<0时，变量负相关；

⑵①⑺越接近于1,两个变量的线性相关性越强；②⑺接近于。时，两个变量之间

几乎不存在线性相关关系。

4.回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：£(%-JO)⑵残差：e,.=%;⑶残差平方和：^(yi-yi)2;⑷回归

/=1/=1

〃A

“nf(M-y)2

平方和：-y)2(yi-yi)2;⑸相关指数炉=1--------。

，=，,£(%—万

i=l

注：①朋得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好;

②改越接近于1,,则回归效果越好。

5.独立性检验(分类变量关系)：

随机变量片越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十四部分常用逻辑用语与推理证明

1.四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若则」q；⑷逆否命题：若」q则」p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

2.充要条件的判断：

(1)定义法--正、反方向推理;

(2)利用集合间的包含关系：例如：若AqB,则A是B的充分条件或B是A的必

要条件；若人=8,则A是B的充要条件；

3.逻辑连接词：

⑴且(and)：命题形式pAq；PqPACPvq「P

⑵或(or)：命题形式pvq；真真真真假

豆

⑶非(not)：命题形式-1P.真假真假

假真假真真

假假假假真

4.全称量词与存在量词

⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用V表示；

全称命题p：V%eM,p{x);

全称命题p的否定「p：3xeM,->p(x)o

⑵存在量词----“存在一个”、“至少有一个”等，用三表示；

特称命题p：3%eM,p(x);

特称命题p的否定->p：VxeM,->/?(%);

第十五部分推理与证明

1.推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，

在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这

些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也

具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

⑴大前提-----已知的一般结论；

⑵小前提-----所研究的特殊情况；

⑶结论-----根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二.证明

1.直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后

推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果

法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的

结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方

法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2.间接证明---反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从

而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

附：数学归纳法(仅限理科)

一般的证明一个与正整数“有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当〃取第一个值〃。是命题成立；

⑵假设当n=k(k>n0,keN*)命题成立，证明当"=Z+1时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从〃。开始所有的正