2024年高考数学重难点题型突破 数列通项公式大题型（解析版）

重难点专题25数列通项公式二十三大题型汇总

题型1公式法....................................................................1

题型2累加法....................................................................6

题型3累乘法...................................................................12

题型4已知前n项和Sn消Sn型....................................................16

题型5已知前n项和Sn消an型....................................................22

题型6待定系数法...............................................................26

题型7与概率结合问题...........................................................30

题型8倒数法...................................................................36

题型9同除型...................................................................41

题型10因式分解型..............................................................45

题型11新数列前n项和型........................................................50

题型12取对数型................................................................58

题型13三阶递推型..............................................................62

题型14前n项积求通项..........................................................70

题型15函数递推型..............................................................75

题型16周期数列型..............................................................81

题型17奇偶讨论型..............................................................84

题型18不动点法................................................................91

题型19重新组合新数列型........................................................92

题型20重新排序型..............................................................95

题型21整除相关................................................................99

题型22斐波那契数列...........................................................104

题型23数学文化相关...........................................................109

题型1公式法

5^^

f壬・占、、、

公式法:根据等差数列或等比数列的通项公式为=%+(n-l)d，或a”=%qnT进行求解；

【例题11(2023秋湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习)已知％是等比数列

n

{an}的前几项和，且%=2+i+a,则ag+a2a3+…+aio«ii=()

223-8213-8220-l225—8

A.B.c.D.

3333

【答案】A

【分析】由an与Sn的关系求出数列｛an｝的通项公式，推导出数列｛a/n+J为等比数列，确定

其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.

【详解】因为S”=2n+1+a，所以%=Si=4+a"2=S2-Si=(23+a)-(22+a)=4,

43

a3=S3-S2=(2+a)-(2+a)=8,

又｛时｝是等比数列，所以谖=,即42=8(4+a),解得a=-2,所以%=2"+1-2.

n+1nnn

当n22时，即=Sn-Sn^=(2-2)-(2-2)=2,又如=2满足a”=2,

所以，3"=皿=磬=4,故数列｛an+】an｝是公比为4,首项为a】。？=2x4=8的等

an+iananz

比数列，

ecri...8(1-41。)223-8

所以。通2+a2a3+…+=,，=-

1-43

故选：A.

【变式1-1】1.(2023•河北秦皇岛•统考模拟预测)北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首

创的"隙积术"，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层

有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物

的个数为即，则使得a”>2n+2成立的n的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由题设及累加可得即-%=2+3+…+n,应用等差数列前n项和公式及已知不

等关系求n范围，即可得结果.

。2-Qi=2

二.=3,n22,ncN,且a1=1,

(与一«n-l=n

累加可得。九一Q1=2+3+…+n,所以册=1+2+…+九=竺42,

..•竺衿>2n+2,得zi>4,即nmm=5.

故选：C.

【变式1-1]2,(2023秋•江苏南通•高三统考开学考试)已知数列5｝满足的=1，且即+1=

斯+2,数列｛小｝满足瓦=1,bn+1-bn=0n+i,则第的最小值为().

A.-3B.5C.4V2D3.-

【答案】D

【分析】利用等差数列通项公式可求得公差d和即，采用累加法可求得bn,再判断产单调

性即可计算作答.

【详解】由数列｛an｝满足=1，Qn+l-Qn=2,

根据等差数列的定义知，数列｛即｝是首项为1,公差为2的等差数列，

所以an=1+(〃-1)x2=271—1,an+1=1+2〃=2几+1,6n+1—=2n4-1

二当71N2时,勾=(%—bn_i)+(%_]—bn_2)+(匕-2-bn_3)d---b(b3-ZJ2)+

n2

(b2—瓦)+儿=(2n—1)+(2n—3)H---F3+1=“包*"=,

22

又人=1满足bn=n,Abn=n,neN,

匚UI'|bn+8712+8.8

所以丁=k=n+7

设/(x)=x+5，

根据对勾函数的性质可知，当0<X<2/时J(x)单调递减；当x>2/时J(x)单调递

增.

又/⑵=2+；6,/⑶=3+|=5,

所以，当n=3时，审有最小值为茎

故选：D.

【变式1-1]3.(2023・四川校联考模拟预测)在数列｛即｝中，VneN*,即+i=需，且

2<的<3,则下列结论成立的是()

A-。2022Va2020B.CL2020+@2022>a2021+a2023

C•a2Q22+a2023<2a2021D.。2023>。2021

【答案】C

【分析】根据a』=多高，可得限1+1=警等,喉1-1=-詈3,两式相除即可求

得数列｛册｝通项,再逐一分析各个选项即可.

【详解】因为与+1=剧，所以即+1+1=翳等，与+1—1=一安《，

Z-Uji1X4Lt?iTX'-L

两式相除，得31=一3.血斗，

fln+1-l厮-1

又2<%<3,所以笔丰0,

1

所以｛署｝是以-3为公比的等比数列，

所以匣号=笔.(—3尸-1,

an-1。1-1

记泞=a，则aW(2,3),所以泞=a•(-3厂】，所以an=1+-,

a1一1an-1一切"-1

a20192O192021>0

所以口2022-2020=Q.(-3)2。21T.fl.(-3)-l=6Z-3+1-a-3+l，

即。2022>。20201故A错误；

因为册=1+而F，所以即-1=赤—，

所以g020-1=Q.(_3^。】9TV°，

同理。2022-1<°/。2021—1>°,。202311>°,

所以。2020-1+@2022—IV。2021-1+。2023一1/

即J2020+。2022Va2021+a20231故B错误；

2,24

+

°2022+02023一2a2021=。.(-3)2021_1a.(-3)2022_1~a.(-3)2020_

=______?_+-^<0

2021

a-3+l《32022-1a.32020-l，

所以。2022+02023<2a2021，故C正确；

a2023-a2021=.32。22_1一.32。20_1<。,所以。2023<a2021'故D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据即+1=普,可得即+1+1=誓等,与+1-1=-劈《，两

十i./an十，/a八十J.

式相除得出｛署｝是以-3为公比的等比数列，是解决本题得关键.

【变式1-U4..(2023•全国•高三专题练习)数列｛an｝的前n项和为外,满足S』-2Sn=

1一九，且Si=3,则｛an｝的通项公式是

【答案】。…甚"：：”

【分析】由题意可证得｛Sn-n｝是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求出Sn,再由Sn与

册的关系求出｛an｝的通项公式

【详解】5n+1-2Sn=1-n,Sn+1-(n+1)=2(Sn-n),且S[一1=2N0,

近产2=2,[Sn-TI｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

n

Sn-

nnn

:.Sn-n=2-2t=2,Sn=n+2.

n-1n-1

•••n>2时，an=Sn-Sn_]=n+2〃一(九一1+2)=2+1,

且a1=3不满足上式，所以即=2•

3,n=1

故答案为：即=2"T+l,n>2

【变式1-1】5.(2023•新疆喀什统考模拟预测)已知等比数列｛即｝的前n项和为%，且%=

A-3n-1,则a$=()

A.54B.93C.153D.162

【答案】D

【分析】先求出的=3"1,根据工与斯的关系得出当n>2时，厮=2,3入】.又根据等

比数列，可知的=2Z列出方程，即可求出油勺值，再利用通项公式求能.

【详解】当兀=1时,则S]=%=34-1.

nn1

当7122时，a”=S.-Sn_i=A(3-3-')=2A-3"T.

又因为｛6｝是等比数列，所以臼=2A,

所以的=2,=34-1,解得：4=1,

n

所以an=2-3t,所以as=162.

故选：D.

【变式L1】7.(2023河南校联考模拟预测)若&-2n提等比数列，且%=54=89,

则笔为=()

A.3"-2B.3"-1C.3"+2D.3"+1

【答案】D

【分析】先由下标关系求等比数列公比，即可写出通项公式求值.

【详解】设b=a-2n,等比数列｛斯一2"｝的公比为q,则=，=分=?=27,

nn。1一N§

则q=3,

n-1n71

所以bn=an-2n=@-2)q=3,an=3+2九，

4-^100-099_3100-399+2=399+]

口X2-2—0

故选：D.

题型2累加法

C，*

划重点

累加法：当数列｛斯｝中有即-an-i=/(n),即第n项与第n-1项的差是个有规律的数列，

就可以利用这种方法；

【例题212023•全国•高三专题练习圮知数列｛an｝满足a?=2fl2n=a2n_x+3n(nGN*),

n+1

a2n+1=a2n+(-l)(nGN*),则数列｛an｝第2023项为()

A31012-5031012-3

A•2D.2

C31011-5D310】1-3

,2,2

【答案】B

【分析】根据题意得到。2"+1-=3"+(-1)计1,再利用累加法计算得到答案.

【详解】由&2=2,则有=%+3】，得4=-1,

n+1nnn+1

又。271+1=a2n+(-l),a2n=a2n-i+3,贝！Jazn+i-«2n-i=3+(-l)(neN,),

2334a

所以。3—%=31+(—1)2,a5-a3=3+(—l),a7—a5=3+(—l),1••,a2023—202i=

31011+,

2310121011

相力口得a2023=%+(-1)+(-1)+-(-1)+3+32+33+-+3=-1+1+

3X(l-31011)_31012-3

1-3-2,

故选：B.

【变式2-1]1.(2023秋•辽宁沈阳•高三沈阳二中校考开学考试)已知数列｛an｝中，的=1,

22

%1一;=(1+3an,neN*.若对于任意的t6[1,2],不等式手<-2t-(a+l)t+a-

a+2恒成立，则实数a可能为()

A.-4B.-1C.0D.2

【答案】A

【分析】对易知数列递推式变形为岩一詈=；一W，然后利用累加法求出拳<2,从而原

恒成立问题转化为2t2+屹+l)t-a?+aW0在tG[1,2]恒成立，构造函数，利用二次函数

及一元二次不等式的解法即可求出a的范围，结合选项判断即可.

【详解】因为a“+i-：=(1+3M，所以即+1一；=(岸)与，

即％1_Mi=_J—=1_

n+1nn(n+l)nn+1

所以当nN2时，月=程一寰)+(誓一器)+.••+(1—？)+%=(£一)+

(力一£)

+…+(1-3+1=2V<2，而第=1<2,

因为不等式V—2严—(Q+1)亡+。2―。+2在tG[1,2]怛成立i

所以一2t2-(a+l)t+Q2一。+222在tE[1,2]恒成立，

即2t2+(a+l)t—a24-a<0在tG[1,2]恒成立,

设/(t)=2t2+(a+l)t+a?-Q,tG[1,2],

则思?-即Ia2~la一m，解得aW-2或a>5,

结合选项，a=-4.

故选：A

【变式2-1]2.(2023秋•江西宜春•高三江西省宜丰中学校考阶段练习)已知定义数列

｛an+i-册｝为数列Sn｝的"差数列"，若%=2,｛即｝的"差数列"的第n项为2",则数列｛每｝

的前2023项和S2023=()

A.22022_1B.22022C.22024D.22024_2

【答案】D

【分析】根据给定条件可得即+1-an=2",利用累加法求出数列&｝的通项，再利用等比

数列前n项和公式求解作答.

n

【详解】依题意,cin+i-an=2,当?i>2时,an=aj+(a2-%)+(a3-a2)+…+(an-

=2+2+22+…+2'T=2+==)=2n,而%=2满足上式,因此即=2n,

1—2

12

所以S2023=2+2+-+22023=2。-273)=22024_2

1—2

故选：D

【变式2-1】3.(2023•全国•高三专题练习)北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙

积术"，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个

货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数

为an,则数列｛篝｝的前2023项和为（）

A.2卜-熊）[B.2[1一（康升

C-巾-岛升D,4[1—岛

【答案】D

【分析】由累加法可得斯，利用裂项相消求和法求出治,即可得解.

【详解】由题意知-Q1=2,-=3,…，an-an_!=n,n>2,nEN*且%=1,

则由累加法可知，11n—%=2+3+…+n,

所以a=14-2H-----pn=n+n(n-l)_n(n+l)2n+l_4(2n+l)=4导/],

n2n2(n+l)2

,.$023=4[1-岛)]

故选：D

1,九=1,2

【变式2-1】412023•全国♦高三专题练习）已知数列｛册｝满足：斯=

fln-l+«n-2,n>3'

若%。=瑞+谴+谖+…+%，则捞=（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【分析】利用已知可以推出4=am-am+1-am・am-i用累加法可得即1+1=竭+再返+.+残

am

再和已知作比较可得答案.

【详解】-Qi=。2=1，•，

.「斯=Qn-1+«n-2，即即-1=册一«n-2，

=aaaa

.‘避=a2'a2=ct2'（a3-Qi）23~2'i!

aj=a3-a3=a3-(a4-a2)=a3-a4-a3-a2r

am=am'am=am(.am+l—am-l)=am,am+l~am'am-l/

a

累加得：a?+ai+…+哈=&・&i+(2•@3-02,Qi)++(a3-a4-a3-a2)+…+

(am•Qm+1-am'am-l)=am'am+l•

.八_al+al+al+-+a'fn

，a

•m+l—a~m/

._al+al+al+-+a^

a~

•10~um，

•.m4-1=10,..m=9.

故选：B.

【变式2-1]5.(2023•全国•高三专题练习)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法

通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前

后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,

在杨辉之后一般称为“垛积术"现有高阶等差数列，其前7项分别为1,4,8,14,23,

36,54,则该数列的第19项为()

(注：U+22+32+-+n2=n(n+l)(2n+l))

6

A.1624B.1198C.1024D.1560

【答案】C

【分析】设该数列为｛即｝,令%=an+1-an,设也｝的前几项和为反，又令cn=bn+1-bn,

则金=n,依次用累加法，可求解.

【详解】设该数列为小｝，令bn=an+1-即，设回｝的前几项和为8n,又令％=bn+1-bn,

则&=n,依次用累加法，可求解.

设该数列为｛即｝，令b=an+l-«n，设｛勾｝的前n项和为治,又令q=bn+1-bn,

设｛7｝的前n项和为Cn,易得cn=n,Cn=cn++♦,♦+3=(bn+1-bn)+-+

H--------H（b2—瓦）

与匕,进而得与+i=3+C=3+,

-'-Cn=bn+1-br,=a2-ar=3,Cn=n

O,n(n-l)n2«

•也=3-1------=-----"+3

222

222

Bn=\(l+2+-+n)-|(l+2+-+n)+3n=如+3n,

a

同理：Bn=%+----F劣=(an+1—Qn)+(an—an-i)H---F(a2-i)/8n=an+1-

aii

.,.an+1=1+Bn,「.@19=1024.

故选:c.

【变式2-1]6.（2023・全国•高三专题练习）如图，有一列曲线Po,Pl,P2，…已知Po所围

成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+i是对外进行如下操作得到：将外的每条边三等分，

以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去揖k=0,1,2X

记立为曲线匕所围成图形的面积。则数列｛Sn｝的通项公式

【答案】SLM|X（丁

【分析】可设P。图形的边长为a,边数为3,P1的边长为％边长的1,边数是P。每一条边都扩

大4倍，并且每一条都增加了一个小的等边三角形，由此规律可知匕的边长为余，边数为3x

4n，而曲线片所围成图形的面积立等于曲线七_]所围成的面积加上每一条边增加的小等边三

角形的面积，再利用累加法即可求出城房的通项公式.

【详解】设办图形的边长为a,由题意可知，9a?=1,边数是3；

根据图形规律，匕图形边长为方，边数为P。每一条边都扩大4倍，即3x4；

P2图形边长为矣，边数为3X42;

以此类推，图形边长为余T，边数为3X4-1；

治图形边长为白，边数为3X4”；

而根据图形规律可知曲线匕所围成图形的面积Sn等于曲线匕_】所围成的面积加上每一条边

增加的小等边三角形的面积，

每一个边增加的小等边三角形面积为fx(竟)2,

则Sn=+(3X4”T)XfX(款,整理后得Sn=SnT+：X夕T,

又Pl图形的面积Si=1+3xfx(|)2='

由累加法可知,s2=s1+1x◎1,S3=S2+1x02.........Sn=Sn_i+ix(y-1,

得%=s1+(x小=：|x(3，

9

故答案为：Sn=g_gxC)"

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到数列的递推公式，进

而求出数列通项,常见的方法有：(1)由即和分的关系求通项公式；(2)累乘法，累加法，

构造等差数列和等比数列法.

题型3累乘法

一串F划t点

累乘法：当数列｛斯｝中有2=/(n),即第n项与第n-1项商是个有规律的数列，就可以

an-i

利用这种方法；

【例题3】(2023河南模拟预测)已知数列｛即｝满足皿玛=2n,%=1,则。2。23=()

由1+1一%

A.2023B.2024C.4045D.4047

【答案】C

【分析】根据递推关系化简后，由累乘法直接求。2023-

【详解】•.•酗3=2n,

即+1一%1

@n+i+Qn=2n(an+1-0).

即(1-2n)0n+i=(-2n-l)an,

可得乎271+1

2n-l

a2023-a2022-a2021一、/a2、,

劭023=-----X------X------X...X---X---X%

a2022a2021a2020a2al

40454043404153.

=----X----X----...X-X-X1=4045.

40434041403931

故选：c.

【变式3-1】1.(2023・全国•高三专题练习)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了

高阶等差数列的问题，即一个数列｛即｝本身不是等差数列，但从心工数列中的第二项开始,

每一项与前一项的差构成等差数列也｝(则称数列&｝为一阶等差数列)，或者｛“｝仍旧不是

等差数列，但从｛%｝数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列｛cn｝(则称数

列｛时｝为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，

我们亦可定义高阶等比数列，设数列1,128,64,…是一阶等比数列,则该数列的第8项是()

A.2sB.2C.221D.228

【答案】C

【分析】根据数列特征可知数列｛bn｝为等比数列，进而得到心,利用累乘法可求得即，代入

n=8即可.

【详解】记数列LL2864,…为｛即｝,设b=皿，

an

则为=1,/?2=2,%=4,%=8,

•••数列｛九｝是以1为首项，2为公比的等比数列，bn=,

/、(n-i)(n-2)7X6

21

•，•an=bn_i・bn_2•……瓦•%=21+2+3+・+(n-2)_?i，:.a8=2~=2.

故选：c.

【变式3-1]2.(2023•河南驻马店•统考模拟预测)设数列｛%｝的前n项和为%,a3=4,

且a』=(1+去)an,若2Sn+12>ka”恒成立，则k的最大值是()

A.2^10+1B.-C.-D.8

32

【答案】B

【分析】根据递推公式构造数列｛含｝，结合=4可得数列｛a“｝的通项公式，然后参变分离，

利用对勾函数性质可解.

【详解】因为*1=(1+，所以翟=含，所以数列｛含｝是常数列，

又C13=4,所以含=枭=1,从而an=n+1,

所以数列｛a,J是以2为首项，1为公差的等差数列，故S”=手.

因为2Sn+12>人即恒成立，所以/+3n+12>k(n+1)恒成立，即k<胃詈恒成立.

'/T..(m||.d11^r-n2+3n+12(t-l)2+3(t-1)+12..10

设2=几+1,贝旧=£一1,从而——--=------=£+丁+1・

n+1tt

记/(t)=t+y+i,由对勾函数性质可知，f(t)在(0,VT6)上单调递减，在(，而,+8)上单

调递增，

又t€N,tN2J(3)=3+g+l=g,"4)=4+与+1=弓，目弓<弓,

所以t+7+1的最小值鹫,所以k<f.

故选：B

【变式3-1】3.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛即｝满足a】=1,71何=

(n-l)V^(nN2,7ieN*),且a7Al=sin等(neN*),则数列｛5｝的前18项和为()

A.—3B.—54C.—3V3D.-54>/3

【答案】D

【分析】利用数列｛册｝的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算,

求得数列卜in等｝的周期，整理数列｛%｝的通项公式，利用分组求和，可得答案.

【详解】由人师=5-1)Van-l，则詈=~T~，

即除生••…工=lx号X可X…X-

Q]a2an-i2Z3Znzn2

显然的=*=1,满足公式，即时=*,

当九=1时,siny=y；当九=2时，siny=-y；当n=3时,sin2n=0；

当ri=4时,sin詈=4，当几=5时,sin詈=一曰:当九=6时,sin4n=0；

2

则数列[in等｝是以3为周期的数列，由an%=sin誓，则b=nsin^,

设数列｛%｝的前n项和为Sn,S18=bt+b2+b3+…+b19

,,V3,

=l2x—+22x+32x0+42x—+52x+62x0+-

+162x+182x0

=Y(l2-22+42-52+…+162-172)=y[(1-2)(1+2)+(4-5)(4+5)+-••+

(16-17)(16+17)]

=-日(3+9+15+…+33)=-yX(3+^)x6=-54V3.

故选：D.

【变式3-1]4.(2023秋・湖北•高三校联考阶段练习)定义：在数列5｝中，皿一皿=

an+ian

d(nGN*),其中d为常数，则称数列5｝为"等比差"数列.已知"等比差"数列｛即｝中，

%=。2=1,。3=3,则%=()

a22

A.1763B.1935C.2125D.2303

【答案】B

【分析】运用累和法和累积法进行求解即可.

【详解】因为数列小｝是"等比差"数列，

所以皿一%1=d(n€N*),

On+l即'"

因为a1—Q?=1/Q3—31

所以4=也_9=2,

所以有久出一皿=2,%•-上=2,…=2,

an+lananan-ia2ai

累和，得皿一"=2M=皿=2n+l=工=2n-3(n22,neN*),

an+lal^n+l%1-1

因此有区=2n-3,—=2n-5j“,"=1,

an-lan-2ai

累积，得失=(2n-3)(2n-5)-1=>a„=1x3x5x-x(2n-3),

fl

crri'l241X3X5X•­-41x43x451yc9c3l5

所以豆=1X3X5X71=，

故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是运用累和法和累积法

题型4已知前n项和打消Sn型

木划重点

治与斯的关系式法：由配与斯的关系式，类比出LT与斯_】的关系式，然后两式作差，最

后检验出％,是否满足用上面的方法求出的通项；

【例题4】(2023秋•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列｛5｝的前n项和为

Sn,若的=1,an+i=2Sn(neN*),则有()

A.｛即｝为等差数列B.｛即｝为等比数列

C.｛Sn｝为等差数列D.｛S"为等比数列

【答案】D

【分析】根据±—Sn-i=即得到%=L…即可判断AB选项根据%=Jan+1,

%=1得到%=3—即可判断CD选项.

【详解】由题意，数列｛册｝的前〃项和满足加+1=2Sn(neN*),

当?！22时,an=2Sn_i,两式相减/可得QTi+i—。九=2(Sn—Sn_i)=2,an,

可得册+i=3册，即誓1=3(n>2),又由％=1,当n=1时，心=2S1=2,所以言=2,

所以数列5｝的通项公式为即=｛2.2，故数列—既不是等差数列也不是等比数

列，所以AB错.

n

当n>2时，Sn=|an+1=3t,又由几=1时，S[=%=1,适合上式,

所以数列｛册｝的前几项和为5n=3九t；又由2=3,所以数列｛S"为公比为3的等比数列，

故D正确，C错.

故选：D.

【变式4-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知正项数列5｝的前律项和为二，且%=2,

Sn+i(Sn+i-3n)=Sn(Sn+3n),则S2023=()

A.32。23-IB.32023+1C.2_tlD.-~-

22

【答案】C

【分析】将%+i(Sn+i-3")=Sn(Sn+3")化简为Sn+1-Sn=3",再利用和与项的关系可得

an+1=3n,从而确定数列｛an｝从第二项起，构成以a?=3为首项，公比q=3的等比数列，

根据等比数列的前n项和公式即可求解.

n

【详解】因为Sn+i(S.+i-3)=S心n+3"),

222n

所以S-+I-3«Sn+1=Sn+3«S„,BPSn+i-Sn=3Sn+1+3$,

n

所以(S"i+SB)(Sn+i-SQ=3(Sn+1+Sn),

因为数列的各项都是正项，即%+i+Sn>0,

所以Sn+i-S”=3",即即+i=3n,

所以当"22时，皿=W=3,

an3

所以数列｛%｝从第二项起，构成以=3为首项，公比q=3的等比数列.

202220222023

Ef-picc,a2(l-q)-,3x(l-3)3+1

所以52023=%+———=2+———=---.

故选：C

【变式4-1】2.(2023春•湖南长沙•高三校联考阶段练习)数列｛册｝的前n项和为分,满足

Sn+1+S"_i=2S"-嫌(n22),%e6,1),则下列结论中错误的是()

1

A.0<an+1<a„B.221成<

\-^n11

C.7iV/---V2nD.d>—

/,二il—ciinn+2

【答案】D

【分析】对于A,S”一S“_1=an(n>2)化简即可判断；

对于B,磷=-册+i，2Mt=2匕3-%+1)=%-册+1化简即可判断；

对于C,由A得:<1—即<1,1<户<2化简即可判断；

21-an

对于D,通过求出即可判断.

【详解】Sn+1+sn-i=2Sn-a^(n>2)得a^+i=-吗+an(n6N+)；%6Q,1)".an+1-

«n=-«n<0,«n+l<即,

a

又：«n+l=~(n-i)+；>°，选项A正确;W=an-即+1，2：=1后=£之式由一七+1)=

«1-an+1<aj<1,选项B正确；

由A彳导—<1—dn<1,1<---<2n<''---<2n,ijfclSCIE石角；

2i-an

由。2=—(。1—：)+；，%e&1)，得。<。2<1,选项D吴.

故选：D.

【变式4-1]3.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛an｝的前n项和%满足%+i+Sn=n,

有结论：

①右的=—1,则$2023=10101,

②数列｛册+】+即｝是常数列.

关于以上两个结论，正确的判断是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

c.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【答案】B

【分析】利用已知数列即与上的关系，转化为即+1+an=l,n>2,再利用分组求和判断

①，以及讨论由+后，判断②.

【详解】由Sn+i+S"=n，得八N2时，Sn+Sx=7i-1,

两式相减得：郁+1+与=1,

aa

52023=%+(a2+a3)+(a4+。5)+…+(2022+2023)

=-1+1X粤二=1010,故①成立，

由以上可知，当n>2时，an+1+an=1,

a

当n=1时，52+S]=1,即a1+a2+i=1<即%+。2=1-%，

只有当%=0时，%+=1，此时数列｛即+i+即｝是常数列，

当田*0时，的+a2力1,此时数列｛即+i+即｝不是常数列，故②不成立,

故选：B

【变式4-1]4.(2023•甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测)已知数列｛即｝的前n项和

为S",右a12,SnSn+i3斯—2,S?。()

A,^B.321-20C—史D.空一纪

22222

【答案】D

【分析】由%=S“+i-3%-2,可得演+i=3an+2,由此得到数列｛“+1｝为等比数列，

求出即,再求出S20即可.

【详解】由S"=5n+1-30n-2,得%+1-Sn=3即+2,

所以“+1=3%+2,所以即+1+1=3(an+1),

因为为+1=24-1=3,

所以｛即+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以即+1=3",所以a”=3n-1,

所以S20=3+32+•­•+320-20=%（讨°）-20=---.

1—322

故选：D

【变式4-1】5.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知Sn是各项均为正

数的数列5｝的前n项和,Sn+i=2（5+2）,a3a5=64,^Aan-S2n-65<。对?iGN*

恒成立，则实数4的最大值为（）

A.8V2B.16C.16V2D.32

【答案】D

【分析】根据即+i=Sn+i-Sn=2an,求出｛an｝和右的通项公式，代入不等式计算，再根

据基本不等式即可求解得出.

【详解】Sn+i=2（an+-S^,an+i=Sn+i—Sn=2an,an>0,

•••数列｛an｝是首项为由、公比为2的等比数列，

Q3a3=64Q；—64,解得Q1==—1（,