北师大版七年级上数学知识点归纳总结

北师大版七年级(上)数学知识点归纳总结第一章丰富的图形世界七年级上册第1节生活中的立体图形一、生活中常见的几何体1、柱体:分为棱柱和圆柱(1)棱柱?相关概念(如图1-1-1所示)A、底面:两个互相平行的平面叫做棱柱的底面。B、侧面:两个底面之外的平面叫做棱柱的侧面。C、棱:相邻两个面的交线叫做棱柱的棱。D、侧棱:相邻两个侧面的交线叫做棱柱的侧棱。E、顶点:侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。F、高:两个底面的距离叫做棱柱的高。?分类A、按侧棱是否与底面边垂直分为:直棱柱和斜棱柱。(如图1-1-2所示)B、按底面图形的边数分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱„„(如图1-1-3所示)，它们的底面图形的形状依次是三角形、四边形、五边形、六边形„„【说明】长方体和正方体都是四棱柱。?性质A、棱柱的上、下底面形状相同。B、棱柱的侧面的形状都是平行四边形，直棱柱的侧面是长方形。C、棱柱的侧棱都平行且相等，直棱柱的侧棱都平行且与高相等。?元素间的关系A、底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱B、n棱柱有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，(n，2)个面，n个侧面。(2)圆柱相关概念(如图1-1-4所示)?以长方形的一边AB所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱。其中AB叫做圆柱的轴，AB的长叫做圆柱的高，所有平行于AB的线段，如DC，叫做圆柱的母线，AD与BC旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DC旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。?性质A、圆柱的上、下底面形状相同，是能够重合的两个圆。B、圆柱有无数条母线，它们都平行且与高相等。?圆柱与棱柱的异同A、相同点-1-a、都有上、下两个底面，且两个底面的大小、形状完全相同;b、它们的高都是上、下底面的距离;c、它们的体积都等于底面积乘以高，侧表面积都等于底面周长乘以高。B、不同点a、圆柱的底面是圆，而棱柱的底面是多边形;b、圆柱侧面是光滑的曲面，而棱柱侧面是有一条边互相重合的顺次相连的四边形。2、锥体:分为棱锥和圆锥(1)棱锥?相关概念(如图1-1-5所示)A、底面:棱锥的多边形叫做棱锥的底面，如四边形ABCD。B、侧面:棱锥除底面以外的各个面叫做棱锥的侧面，如?OAB、?OBC、?OCD、?ODA。C、侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。如OA、OB、OC、OD。D、顶点:棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，如点O。E、高:棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。?分类A、按底面是否为正多边形且顶点与底面中心的连线是否与底面垂直分为:正棱锥与斜棱锥。(如图1-1-6所示)B、按底面图形的边数分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥„„(如图1-1-7所示)，它们的底面图形的形状依次是三角形、四边形、五边形、六边形„„?正棱锥的性质A、正棱锥的底面是正多边形，侧面是等腰三角形且大小、形状完全相同。B、正棱锥的侧面都相等。?元素间的关系A、底面多边形的边数n确定该棱锥是n棱锥;B、n棱锥只有1个顶点，2n条棱，n条侧棱，(n，1)个面，n个侧面。(2)圆锥?相关概念(如图1-1-8所示)以直角三角形的一条直角边OA所在直线为旋转轴，其余两条边旋转形成的面所围成的-2-几何体叫做圆锥。其中OA叫做圆锥的轴;OA的长叫做圆锥的高;点O叫做圆锥的顶点;点O与底面圆周上任意一点的连线，如OB，叫做圆锥的母线;AB旋转形成的圆叫做圆锥的底面;OB旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。?圆锥与棱锥的异同A、相同点:都只有1个底面、1个顶点、1条高;体积都等于底面积乘以高的1/3。B、不同点:圆锥的底面是圆，棱锥的底面是多边形;圆锥的侧面是光滑的曲面，棱锥的侧面是有一条边互相重合的顺次相连的三角形。3、球体二、图形的构成1、图形是由点、线、面构成的，点动成线、线动成面、面动成体。2、面分平面与曲面，面与面相交得到线;线分直线和曲线，线与线得到点。第2节展开与折叠一、棱柱的表面展开图棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。沿棱柱表面不同的棱剪开，可得到不同组合方式的表面展开图。(以正方体为例)1、四个面连成一排的(如图1-2-1所示)2、三个连成一排的(如图1-2-2所示)3、两个面连成一排的(如图1-2-3所示)二、圆柱的展开图1、圆柱的侧面展开图是一个长方形，一条边长是底面圆的周长，另一条邻边是圆柱的高。2、圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成的。-3-三、圆锥的展开图1、圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径长是圆锥母线长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长。2、圆锥的表面展开图是由一个圆(底面)和一个扇形(侧面)组成。第3节截一个几何体一、截面1、概念:用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面。2、形状:截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关。二、截一个几何体所得截面的形状1、用一个平面去截一个正方体(1)平面经过正方体的三个相邻的面，则截面是三角形(如图1-3-1所示)(2)平面经过正方体的四个面，则截面是四边形?截面是正方形(如图1-3-2所示)?截面是长方形(如图1-3-3所示)?截面是平行四边形(如图1-3-4所示)?截面是梯形(如图1-3-5所示)(3)平面经过正方体的五个面，则截面是五边形(如图1-3-6所示)(4)平面经过正方体的六个面，则截面是六边形(如图1-3-7所示)-4-2、用一个平面去截一个圆柱(1)截面是圆(如图1-3-8所示)(2)截面是长方形(如图1-3-9所示)(3)截面是椭圆(如图1-3-10所示)(4)截面是梯形(如图1-3-11所示)(5)截面是拱形(如图1-3-12所示)3、用一个平面去截一个圆锥(1)截面是圆(如图1-3-13所示)(2)截面是椭圆(如图1-3-14所示)(3)截面是三角形(如图1-3-15所示)(4)截面是拱形(如图1-3-16所示)4、用一个平面去截球体，所得的截面都是圆。第4节从三个方向看物体的形状一、常见几何体的三种视图名称几何体从正面看从左面看从上面看正方体长方体圆柱圆锥正四棱锥球-5-【说明】,1,在所有几何体中～只有正方体和球的三种视图是完全相同的。,2,圆锥的俯视图中有一个点表示圆锥的顶点。二、由小正方体搭成的几何体的三视图1、根据俯视图的形状确定主视图和左视图(1)先根据俯视图摆出几何体，再画出主视图和左视图。(2)先根据俯视图确定主视图和左视图的列，再确定每列方块的个数2、根据三种视图判断几何体的形状(1)长、宽、高的关系主视图与俯视图的长相等;主视图与左视图高相等;左视图与俯视图的宽相等。(2)上下、前后、左右的关系?根据主视图分清几何体各部分上下和左右的关系;?根据俯视图分清几何体左右和前后的关系;?根据左视图分清几何体上下和前后的关系。第二章有理数及其运算第1节有理数一、正数和负数的概念1、正数:比0大的数叫做正数。在正数前面放上“，”表示正数，但“，”常省略不写。2、负数:比0小的数叫做负数。在正数前面放上“—”表示负数，而“—”不能省略。,0既不是正数～也不是负数～0是正数与负数的分界。【说明】,1,2,“，”可以省略～“—”不能省略。二、用正、负数表示具有相反意义的量1、用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，比如向东记作“，”，则向西记作“—”，如果向东记作“—”，则向西记作“，”，但习惯上把“前进”、“上升”、“收入”等具有向上趋势的量规定为正，而把“后退”、“下降”、“支出”等具有向下趋势的量规定为负。如下表所示:符号具有相反意义的量，收入额盈余额上升高度零上温度增加量前进路程海平面以上—支出额亏损额下降高度零下温度减少量后退路程海平面以下2、用正、负数表示具有相反意义的量时，一定不要忘记单位。三、有理数1、相关概念(1)正整数:正数中的整数叫做正整数。(2)负整数:负数中的整数叫做负整数。(3)整数:正整数和负整数还有零统称为整数。(4)正分数:正数中的分数叫做正分数。(5)负分数:负数中的分数叫做负分数。(6)分数:正分数和负分数统称分数。(7)有理数:整数和分数统称有理数。2、分类-6-【说明】,1,任意有限小数和无限循环小数都可以化成分数～所以属于分数。,2,通常把正数和零统称非负数～把负数和零统称非正数。正整数和零统称非负整数～又叫做自然数～负整数和零统称非正整数。第2节数轴一、数轴1、概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【说明】,1,数轴是一条直线～可以向两端无限延伸。,2,数轴的三要素,原点、正方向、单位长度,缺一不可。,3,原点的选定、正方向的取向和单位长度的确定～都是根据实际情况“规定”的。2、画法(1)画一条水平直线;(2)在直线上取一点作原点，表示O;(3)一般规定直线上向右的方向为正方向，用箭头表示出来;(4)选取某一长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1、2、3„„;从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为—1、—2、—3„„(如图2-2-1所示)。【说明】?单位长度可根据实际需要适当选取，但必须统一。?确定单位长度时，有时根据实际情况，也可以每隔两个(或更多)单位长度取一点，如图2-2-2所示。3、有理数与数轴上的点的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。,零用原点来表示。【说明】,1,2,正有理数都可以用原点右边的点表示。,3,负有理数都可以用原点左边的点表示。二、利用数轴比较有理数的大小数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。【说明】?正数大于0～负数小于0～正数大于负数。?右边的正数大于左边的正数～右边的负数大于左边的负数。?可以用a,0表示a是正数～反之～若a是正数～则a,0,同理～可以用a,0表示a是负数～反之～若a是负数～则a,0。第3节绝对值一、相反数1、相反数的定义(1)相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁，与原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。如图2-3-1所示，2与—2互为相反数。-7-(2)相反数的代数定义:如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。【说明】?在数轴上～表示相反数的两个点～位于原点的两侧～并且到原点的距离相等。?“0的相反数是0”是相反数定义的一部分～不能把它漏掉。?一个正数的相反数是一个负数～一个负数的相反数是一个正数。2、相反数的表示方法。如6的相反数是—6，—8的相反数是—(—8)。用a表示一个数，a的相反数是—a【说明】?若a表示一个正数～则,a表示一个负数～a与,a互为相反数。?如果a与b互为相反数～则有a，b,0或a,,b～反之亦成立。3、多重符号的化简(1)在一个数的前面添加一个“，”号，仍然与原数相同。如，5,5(2)在一个数的前面添加一个“—”号，就成为原数的相反数。如—(—3),3说明】?【多重符号化简～只需考虑负号的个数～而不必考虑正号的个数。?当负号的个数为偶数时～最后符号为正,当负号个数为奇数时～最后符号为负。二、绝对值1、绝对值的定义:在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。【说明】,1,绝对值的实质是距离～所以任何数的绝对值都是非负数～即|a|?0。,2,从数轴上看～离原点距离越远～绝对值越大,离原点距离越近～绝对值越小。,3,绝对值最小的数是02、绝对值的表示方法。用a表示一个数，a的绝对值记作“|a|”3、绝对值的性质(1)绝对值的非负性，即|a|?0(2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。(3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|,a|【说明】?求一个数的绝对值～应先判断这个数是正数、负数还是0,?如果两个数的绝对值相等～那么这两个数相等或互为相反数。4、利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小。第4节有理数的加法一、有理数加法法则1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。(1)两个正数相加和为正，并把它们的绝对值相加。如3，2,，(|3|，|2|),5(2)两个负数相加和为负，并把它们的绝对值相加。如,3，(—2),,(|—3|，|,2|),,52、异号两数相加，绝对值相等时和为0(即互为相反数的两个数相加和为0);绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。(1)当正加数的绝对值大于负加数的绝对值时，和为正，并用正加数的绝对值减去负加数的绝对值。如5，(,3),，(|5|,|,3|),2;(2)当负加数的绝对值大于正加数的绝对值时，和为负，并用负加数的绝对值减去正加数的绝对值。如5，(,8),,(|,8|,|5|),,(8,5),,3;3、一个数同0相加，仍得这个数。如2，0,2，,3，0,,3，0，0,0。二、有理数的加法运算律1、加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a，b,b，a-8-2、加法结合律:三个数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即a，b，c,(a，b)，c,a，(b，c)【说明】,1,加法交换律和结合律中“两个”和“三个”都是概数～对于两个以上或三个以上也适用。,2,加法结合律中的结合方法:?互为相反数的两个数,?同号的几个数,?能凑整的几个数,?同分母的几个数第5节有理数的减法一、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a,b,a，(,b)二、有理数减法运算的步骤1、把减号变为加号，把减数变为它的相反数。2、把变化后的式子按照有理数加法法则再结合加法运算律计算出结果。第6节有理数的加减混合运算一、有理数的加减混合运算的步骤1、运用减法法则将有理数加减混合运算统一为加法运算。2、将和式写成省略加号、括号的形式。3、运用加法法则、加法运算律进行简便运算。二、水位的变化解题时要注意分清以谁为0点，高的记为正数，低的记为负数，然后再求出两高度的差。第7节有理数的乘法一、有理数乘法法则1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。(1)两个正数相乘积为正，并把绝对值相乘。如3×2,，(|3|×|2|),6(2)两个负数相乘积为正，并把绝对值相乘。如,3×(,2),，(|,3|×|,2|),6(3)正数与负数相乘积为负，并把绝对值相乘。如2×(,3),,(|2|×|,3|),,62、任何数与0相乘，积仍为0。如6×0,0，—3×0,0，0×0,0。【说明】?几个不等于0的数相乘～积的符号由负因数的个数决定。A、当负因数的个数为奇数时～积为负,B、当负因数的个数为偶数时～积为正。?几个数相乘～只要有一个因数是0～则积为0。二、倒数1、倒数的概念如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。【说明】,1,如果a与b互为倒数～则有ab,1～反之亦成立。,2,倒数等于本身的数是1和,1。,3,乘积为,1的两个数互为负倒数。2、倒数的性质(2)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。(3)互为相反数的两个数的倒数也互为相反数。-9-三、有理数的乘法运算律1、乘法交换律:两数相乘，交换因数的位置，积不变。即a?b,b?a2、乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘，或者把后两个数相乘，积不变。即a?b?c,(a?b)c,a(b?c)3、乘法分配律:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b，c),ab，ac【说明】,1,乘法分配律可以推广为a(b，c，d，„n),ab，ac，ad，„，an,2,乘法分配律还可以逆用:ab，ac,a(b，c),3,乘法结合律中的结合方法:?互为倒数的,?能约分的,?能凑整的,?有共同因数的。第8节有理数的除法一、有理数除法法则1、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。2、0除以任何非0的数都得0。【说明】,1,0不能作除数～0作除数无意义。,2,一般来说～两数能整除时～应该选择法则1,两数不能整除或除数为分数时～应选择法则3。二、求一个数的倒数用1除以一个数，商就是这个数的倒数。【说明】,1,求一个整数的倒数～只要用1除以这个整数即可。,2,求一个分数的倒数～只要将这个分数的分子和分母颠倒位置即可。,3,求一个小数的倒数～要先把小数化成分数～再求该分数的倒数即可。第9节有理数的乘方n个a一、乘方的意义nn一般地，n个相同的因数a相乘，记作a，即a×a×a×aׄ×a,a，这种求n个相n同因数a的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，a读作a的n次幂(或a的n次方)。【说明】,1,一个数可以看作它本身的一次方～指数1通常省略不写。132,2,当底数是负数或分数时～必须用括号将底数括起来～例如(,2)～()。223,3,特别地～当n,2时～a读作“a的平方”,当n,3时～a读作“a的立方”。二、乘方的运算法则1、正数的任何次幂都是正数。2、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。3、0的正数次幂都是0。【说明】,1,1的任何次幂都是1。,2,,1的奇数次幂等于,1～,1的偶数次幂等于1。0,3,任何一个不为0的数的0次幂都等于1。即a,1,a?0,。1,pa,,4,(a?0，p?0)pa-10-第10节科学记数法n一、10的意义1231210,10，10,100，10,1000，即10等于1后面加1个0，10等于1后面加2个0，3nn10等于1的后面加3个0，所以10等于1的后面加n个0，即10,100„0(n为正整数)。n个0二、科学记数法n一般地，一个大于10的数可以表示成a×10的形式，其中1?a,10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。第11节有理数的混合运算一、有理数混合运算法则先算乘方，再算乘除，最后算加减;如果有括号，先算括号里面的。【说明】,1,有理数运算～加减法叫做第一级运算～乘除法叫做第二级运算～乘方和开方叫做第三级运算。一个式子中如果含有多级运算～先做第三级运算～再做第二级运算～最后做第一级运算。同一级运算按照从左往右的顺序进行运算。,2,有括号时～按小括号、中括号、大括号的顺序进行运算。,3,有理数混合运算可以以加减号为界～把式子分成几部分～每一部分单独运算。二、有理数混合运算律1、加法交换律:a，b,b，a2、加法结合律:a，b，c,(a，b)，c,a，(b，c)、乘法交换律:a?b?a3,b4、乘法结合律:a?b?c,(a?b)c,a(b?c)5、乘法分配律:a(b，c),ab，ac第12节用计算器进行运算一、计算器的认识1、计算器的特点:运算快、操作简便、体积小2、计算器面板由键盘和显示器两部分组成。3、功能键ON是开启计算器键DEL是清除键(清除当前显示的数与符号)，—×?,„„是运算键123„„是数字键SHIFT是第二功能键AC是清除键(清除所有显示的数与符号)二、计算器的使用使用计算器时要先开启计算器ON键，以接通计算器的电源，然后按照算式的书写顺序输入数据、按运算键，最后按,键，此时显示器上会显示出计算结果;停止使用计算器时，要先按SHIFT键，再AC按健，以切断计算器的电源。三、近似数及其精确度所谓近似数，就是与实际接近的数，使用近似数就有一个近似程度的问题，也就是精确度。一般地，求一个数的近似数按照四舍五入法，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如:结果取3，就叫做精确到个位(或精确到1)1结果取3.3，就叫做精确到十分位(或精确到0.1),3.333„33结果取3.33，就叫做精确到百分位(或精确到0.01)依次类推，精确到千分位、万分位„„(或精确到0.001，0.0001„„)-11-第三章整式及其加减第1节字母表示数一、用字母表示数的应用1、用字母表示运算律，bb，a(1)加法交换律:a,(2)加法结合律:a，b，c,(a，b)，c,a，(b，c)(3)乘法交换律:a?b,b?a(4)乘法结合律:a?b?c,(a?b)c,a(b?c)(5)乘法分配律:a(b，c),ab，ac2、用字母表示公式(1)用s表示路程，用t表示时间，用v表示速度，则有s,vt(2)用C表示周长，S表示面积，V表示体积?圆的周长:C,πd,2πr(d表示圆的直径，r表示圆的半径)2?圆的面积:S,πr(r表示圆的半径)?长方形的周长:C,2(a，b)(a、b分别表示长方形的长和宽)?长方形的面积:S,ab(a、b分别表示长方形的长和宽)?长方体的体积:V,Sh(S、h分别表示长方体的底面积和高)2?圆柱的体积:V,Sh,πrh(S表示底面圆的面积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱的高)112?圆锥体积:V,Sh,πrh33(S表示底面圆面积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱的高)3、用字母表示数量关系(1)“a与b的和”可以表示为:a，b(2)“a与b的差”可以表示为:a,b(3)“a与b的积”可以表示为:a×b或a?b或ab二、用字母表示数的注意事项1、字母可以表示任何数。2、用字母表示实际问题中的量时，字母的取值要保证使这个问题有意义，且符合实际意义。3、在同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示。4、表示数的字母往往具有抽象性和不具体性，如,a不一定代表负数。5、表示数的字母具有其表示的数的性质，如相反数、倒数、绝对值等。6、用字母表示数时要遵循规定的、约定俗成的表示习惯，如习惯用n表示自然数，用h表示高，用V表示体积，用S表示面积等等。7、特别地，π是数字，不是字母。第2节代数式一、代数式的概念用基本的运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。-12-【说明】,1,基本的运算符号包括加、减、乘、除、乘方及开方。,2,单独一个数或一个字母也是代数式。,3,代数式不含有“,”“?”“,”“,”“?”“?”等表示大小关系的符号。二、代数式的书写要求1、在代数式中，字母与字母、数字与字母相乘时，乘号通常简写作“?”或省略不写，一般把数字写在字母前面。例如a×b可以写作“a?b”或“ab”;a×4可以写作“4?a”或“4a”。2、在代数式中，数字与括号或字母与括号相乘时，乘号通常简写作“?”或省略不写，一般把数字或字母写在括号前面。例如3×(a，b)可以写作“3?(a，b)”或“3(a，b)”;又例如m×(a，b)可以写作“m?(a，b)”或“m(a，b))”。3、带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘，乘号通常简写作“?”4、数字与数字相乘，仍用“×”号。5、在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。例如，4?(a—4)可以写作6、在实际问题中，代数式往往是有单位的，如果代数式是积或商的形式，将单位写在代数式后面即可;如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式用括号括起来，再将单位写在代三、列代数式1、概念:列代数式，就是用代数式表示实际问题中的数量关系。2、步骤(1)认真审题，弄清问题中涉及哪些量，以及各数量之间的关系。(2)确定用什么运算，以及运算顺序。(3)按照代数式的书写要求，规范地写出代数式。四、代数式的值1、概念用具体的数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值。【说明】,1,代数式的值不是一个固定的量～它随着代数式中字母取值的变化而变化。,2,代数式中的字母可以取不同的数～但它所取的数必须使代数式有意义且符合实笔记本～则n必须是0或正整数～否则代数式不符合实际意义。2、求代数式的值(1)步骤?代入——用具体数值代替代数式里的字母。?计算——按照代数式指明的运算计算出结果。(2)注意事项?代入时，原式中的运算符号及数字不能改变。?如果代数式里省略乘号，那么字母用数代替后要添上“×”号。?代入负数和分数时要加括号。?计算时注意运算顺序，同时考虑运用运算律简化运算。-13-第3节整式一、单项式1、单项式的概念单项式与多项式统称整式。10π2像b、x、0.8(1，15%)a等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式。单916独一个数或一个字母也是单项式。【说明】,1,单项式中的数与字母之间必须是乘积关系～凡是字母出现在分母中的式子一定不是单项式。x+1,2,单项式中不能含有加减运算～如～2m,7都不是单项式。22、单项式的系数2单项式中的数字因数叫做单项式的系数。如0.31xy的系数是0.31，m的系数是1。、单项式的次数32一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。如1.5V的次数是1，3n的2次数是2，65xy的次数是3。【说明】,1,若单项式中的某个字母没有写指数～则它的指数是1～而不是0。,2,单独一个不为零的数的次数是0～数字0没有次数。如2的次数是0。223,3,单项式的次数仅与字母有关～而与系数的指数无关。如3xy的次数是5。二、多项式1、多项式的概念222几个单项式的和叫做多项式。例如，ab,ma，x，xy，y，,ab，1等都是多项式。2、多项式的项22在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。例如，多项式x,x，2可以看作是x、,x、222这三个单项式的和，所以我们把x、—x、2叫做多项式x,x，2的项。3、多项式的次数2在一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的项数。如，多项式x,3x，22的次数是2，多项式2ab，3b,1的次数是3。4、多项式的项数2多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。例如，多项式x，2的项数是2，项分别是222x、2;多项式4ab，3b,1的项数是3，项分别是4ab、3b、,1。【说明】,1,多项式中各单项式前面的“，”和“,”是这个单项式的性质符号～多项式中的“和”指的是省略加号的代数和～所以确定多项式的项时～不能忽略它的符号。2,2,一个多项式含有几项～最高次项是几次～就叫做几次几项式。如4ab，3b,1222的项分别是4ab、3b、,1～共3项～最高次项是4ab～它的次数是3次～所以4ab，3b,1是三次三项式。2,3,多项式中不含字母的项叫做常数项。如多项式4ab，3b,1的常数项是,1。-14-第4节整式的加减一、合并同类项1、同类项代数式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。例如，在多项式22222ab，3b,4ab，5b,1中，2ab与,4ab是同类项，3b与5b是同类项。【说明】,1,特别地～所有的常数项是同类项。22,2,同类项与项的系数无关～与项中字母的排列顺序无关。例如2mn与3nm是同类项。2、合并同类项222(1)概念:把同类项合并成一项叫做合并同类项。如4ab，7ab,11ab(2)法则:合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。(3)步骤?准确地找出同类项，确定其系数;?把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变;?写出合并后的结果。2222【说明】A、合并同类项的实质是乘法分配律的逆用。如4a，7a,(4，7)a,11aB、如果两个同类项的系数互为相反数～那么合并后的结果为0。C、不是同类项的不能合并～要保留下来。只要不再有同类项～就是最后结果。二、去括号1、去括号的意义:使运算得以顺利进行。例如，化简8a，2b，(5a,b)，括号内的5a和,b不是同类项，不能合并，同时我们又看到8a和5a，2b和—b是同类项，不去括号无法合并，所以必须先去括号才能合并同类项。2、去括号的法则(1)括号前是“，”号，把括号和它前面的“，”号去掉后，原括号里各项的符号都不改22变。例如3x,x，(2y,4m),3x,x，2y,4m。(2)括号前是“,”号，把括号和它前面的“,”号去掉后，原括号里各项的符号都要改22变。例如3x,x,(2y,4m),3x,x,2y，4m。【说明】?若括号前是数字因数时～应用乘法分配律先将该数与括号内的各项分别相乘～再去括号。例如8a，2b，3(5m,n)=8a，2b，(15m,3n)=8a，2b，15m,3n?括号内原有几项～去括号后仍有几项～不能丢项。三、多位数的表示方法用每个数位上的数字乘以它所在位数，再把所得的单项式相加。例如，若百位上的数字是a，十位上的数字为b，个数上的数字为c，则这个三位数可以表示为100a，10b，c。四、整式的加减整式的加减，实质就是将整式中的同类项进行合并，如果有括号，应先去括号，再合并同类项。第5节探索与表达规律1、从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律。2、由此及彼，合理联想，大胆猜想，总结规律。3、善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点。4、总结规律，作出结论，并验证结论是否正确。5、在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。-15-第四章基本平面图形第1节线段、射线、直线一、线段、射线、直线的概念1、线段线段是一个没有定义的原始概念。我们只能描述它是“一根绷紧的琴弦”或“一根拉得很紧的线”等。线段有两个端点。如图4-1-1所示。2、射线线段向一个方向无限延长就形成了射线。手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看做射线。射线有一个端点。如图4-1-2所示。3、直线将线段向两个方向无限延长就形成了直线。笔直的铁轨可以近似地看做直线。直线没有端点。如图4-1-3所示。二、线段、射线、直线的表示方法1、线段的表示方法(1)用两个大写字母表示一条线段上的两个端点，如图4-1-4所示，这条线段就可以表示为“线段AB”或“线段BA”。(2)用一个小写字母表示一条线段。如图4-1-5所示，这条线段可以表示为“线段a”，此时要在图中标出此小写字母。2、射线的表示方法用一个大写字母表示射线的端点，用另一个大写字母表示射线上除端点外的任意一点。如图4-1-6所示，这条射线就可以表示为“射线OM”。3、直线的表示方法(1)在直线上任取两点，用表示这两点的大写字母表示这条直线。如图4-1-7所示，这条直线可以表示为“直线AB”或“直线BA”。(2)用一个小写字母表示一条直线。如图4-1-8所示，这条直线可以表示为“直线l”，此时要在图中标出此小写字母。【说明】?表示线段、射线、直线时～都要在字母前面说明几何图形的名称～如“线段CD”、“射线EF”、“直线MN”、“线段b”、“直线m”等。?用两个大写字母表示直线、线段时～两个字母没有顺序～而表示射线的两个大写字母有顺序～必须把端点字母放在前面。如图4-1-4中所示的线段～表示为“线段AB”或“线段BA”皆可～如图4-1-7中所示的直线～表示为“直线AB”或“直线BA”皆可～而如图4-1-6所示的射线～只能表示为“射线OM”～却不能表示为“射线MO”。-16-三、直线的基本性质1、经过一点可以画无数条直线，或者说，经过一点的直线有无数条。2、经过两点有且只有一条直线，或者说，两点确定一条直线。四、线段、射线、直线的区别与联系区别名称联系图形表示方法界限端点长度?用两个大写字母?线段、射表示一条线段上的线、直线都线段两个端点;两方有界2个有是直的;?用一个小写字母?线段向一表示一条线段。个方向无限用一个大写字母表延长形成射示射线的端点，用线，线段向一方有界射线另一个大写字母表1个无两个方向无一方无限示射线上除端点外限延长形成的任意一点。直线;?在直线上任取两?射线、线点，用表示这两点段都是直线的大写字母表示这的一部分，直线两方无限0个无条直线;线段是射线?用一个小写字母的一部分。表示一条直线。第2节比较线段的长短一、线段的性质两点之间的所有连线中，线段最短。简称“两点之间，线段最短”。二、两点之间的距离两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。三、比较两条线段的长短1、叠合法:即从形的角度来比较比较两条线段AB、CD的长短，可以把它们移到同一条直线l上，使端点A与端点C重合，端点B与端点D位于点A(即点C)的同侧。(1)如果点D与点C重合，则线段AB与线段CD相等，记作AB,CD;(2)如果点D在线段AB内部，则线段AB大于线段CD，记作AB,CD;(3)如果点D在线段AB外部，则线段AB小于线段CD，记作AB,CD。2、度量法:即从数的角度来比较用刻度尺量出线段AB与线段CD的长度，再进行比较。【说明】?运用度量法比较线段的长短时～必须明确度量的单位～即度量单位要统一。?运用度量法比较线段的长短时～要尽量减小测量误差。-17-四、作一条线段等于已知线段(尺规作图)五、线段的中点1、线段的中点如图4-2-3所示，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，那么，点M叫做线1段AB的中点。此时AM,BM,AB。22、线段的三等分点如图4-2-4所示，点M与点N把线段AB分成相等的三条线段AM、MN、NB，那么，1点M与点N叫做线段AB的三等分点。此时AM,MN,NB,AB。3【说明】,1,依次类推～可以有线段的四等分点、五等分点、六等分点、……～n等分点。(2)线段的中点有1个～把线段分成相等的2条线段,线段的三等分点有2个～把线段分成相等的3条线段,线段的四等分点有3个～把线段分成相等的4条线段～……～线段的n等分点有,n—1,个～把线段分成相等的n条线段。第3节角一、角的定义1、角是由两条具有公共端点的射线组成的，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。如图4-3-1所示，角的顶点是点O，角的边是射线OA、OB。2、角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图4-3-2所示，这个角可以看成是射线AB绕着端点A旋转到AC的位置而成的图形。【说明】,1,角的两个基本要素:一是角的顶点～二是角的边。,2,一条射线绕它的端点旋转～当始边与终边成一条直线时～所成的角叫做平角。如图4-3-3所示～射线OA绕点O旋转～当终止位置OC和起始位置OA成一条直线时形成的角为平角,终边继续旋转～当终边与始边重合时～所成的角叫做周角～如图4-3-4所示～射线OA绕它的端点旋转一周所成的角为周角。,3,1平角,180?1周角,360?-18-二、角的表示1、用三个大写英文字母表示。如图4-3-5所示，图中的角记作?AOB或?BOA，其中O是角的顶点，写在中间;A和B分别是角的两边上的点，写在两边，可以交换位置。2、用一个大写英文字母表示。如图4-3-6所示，图中的角记作?O。3、用一个数字表示，并在靠近顶点处画上弧线。如图4-3-7所示，?AOC记作?1，?BOC记作?2。.4、用小写的希腊字母表示，并在靠近顶点处画上弧线。如图4-3-8所示，?AOB记作?α，?BOC记作?β，?BOC记作?γ。【说明】(1)用三个大写字母表示角～任何情况下都适用～但必须把顶点写在中间。(2)角的顶点处只有一个角时～才可以用一个大写字母表示～否则不能用这种方法表示。如图4-3-9所示～?AOC不能记作?O～因为此以O为顶点的角不止一个。三、角的度量1、工具——量角器2、方法:(1)对中——角的顶点对准量角器的中心(2)重合——角的一边与刻度尺的0刻线重合(3)读数——读出另一边所在线的刻度数四、角的单位换算【说明】度、分、秒之间是六十进制。即1?,60′,3600″第4节角的比较一、角的分类1、分类:锐角、直角、钝角、平角、周角-19-【说明】,1,锐角:0?,α,90?,,2,直角:α,90?,,3,钝角:90?,α,180?,,2,平角:α,180?,,5,周角:α,360?2、换算关系1周角,2平角,4直角1平角,2直角二、角的比较1、叠合法，比将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，然后比较大小。例如较?ABC与?DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA与边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(ED)的同侧。(1)如果EF与BC也重合，如图4-4-1所示，则?ABC与?DEF相等，记作?ABC,?DEF(2)如果EF落在?ABC的外部，如图4-4-2所示，则?ABC小于?DEF，记作?ABC,?DEF(3)如果EF落在?ABC的内部，如图4-4-3所示，则?ABC大于?DEF，记作?ABC,?DEF2、度量法:先用量角器量出各角的度数，再进行比较。三、角的平分线第5节多边形和圆的初步认识一、多边形的初步认识1、多边形的相关概念【说明】,1,如果一个多边形有四条边～就叫做四边形,有五条边就叫做五边形,有六条边就叫做六边形～……～有n条边～就叫做n边形。,2,n边形有n个顶点～n条边～n个内角。-20-,3,从n边形的每一个顶点～都能引出,n,3,条对角线～因为n边形共有n个n(n—3)顶点～但每条对角线都重复计算了一次～从而n边形的对角线共有条。2,4,从一个多边形的同一个顶点出发～分别连接这个顶点与其余各顶点～可以把这个多边形分割成若干个三角形。一个n边形从一个顶点出发～分别连接这个顶点与其余各顶点～可以将其分割成,n,2,个三角形。)n边形的边数每增加1时～对角线的条数就增加n,1。(52、正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。二、圆的初步认识【说明】,1,圆心确定圆的位置～半径确定圆的大小。,2,一个圆有无数条半径～所有的半径都相等。3,一个圆可以分割成若干个扇形～这些扇形的面积之和等于圆的面积。,,4,一个圆可以分割成若干个扇形～这些扇形的圆心角的度数之和等于360?。扇形的面积扇形的弧长,5,圆心角的度数,360?×,360?×圆的面积周长第五章一元一次方程第1节认识一元一次方程一、方程的相关概念21、方程:含有未知数的等式叫做方程，如2x+7x=5，8x+7=0等。2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。3、一元一次方程只含有一个未知数，且未知数的指数都是1的整式方程叫做一元一次方程。如3x,7,0，x，7,0等。【说明】,1,判断一个式子是不是方程必须看两点:一是等式～二是含有未知数。,2,“元”指“未知数”～“一元”就是“一个未知数”,“次”指“未知数的指数”～“一次”就是“未知数的指数是1”。,3,判断一个数是不是方程的解～只需把这个数代入方程～若方程的左边等于右边～则这个数是方程的解～否则不是。二、等式的基本性质基本性质1等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。基本性质2等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不等于0的数)，所得结果仍是等式。-21-三、利用等式的基本性质解一元一次方程利用等式的基本性质解一元一次方程，就是利用等式的基本性质把方程ax，b,0(a?0)第2节求解一元一次方程一、移项1、定义:方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。2、目的:为了使同类项之间能进行合并，使一元一次方程变成“ax,b(a?0)”的形式。3、原则:含有未知数的项一律向等号左边移，常数项一律向等号右边移。【说明】,1,移项的依据是等式的基本性质1。,2,移项时要变号～即正号变为负号～负号变为正号。二、解一元一次方程的基本步骤【说明】解一元一次方程时～表中变形步骤不一定全部都有～也不一定按照自上而下的顺序进行～要根据方程的特点～灵活安排解题步骤。-22-第3—6节应用一元一次方程一、列方程解应用题的一般步骤1、审:审题。分析题中已知什么，求什么。明确各数量之间的关系。2、设:设未知数。一般求什么，就设什么为x(其他未知数也可以)。3、找:找等量关系。找出能够表示应用题全部题意的一个等量关系。、列:列方程。根据所找的等量关系列出方程。45、解:解方程。解所列方程，求出未知数的值。6、答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位)。二、一元一次方程的应用1、水箱变高了(1)形状发生了变化，而体积没变，此时，等量关系为“变化前后体积相等”。【例1】要锻造一个直径为8cm～高为4cm的圆柱形零件～至少应截取半径为2cm的圆钢多长,解:设至少应截取半径2cm的圆钢xcm～由题意得822〃4,π〃2〃xπ〃,,2解得x,16答:至少应截取半径2cm的圆钢16cm。(2)形状、面积发生了变化，而周长没变，此时，等量关系为“变化前后周长相等”。【例2】用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和圆～正方形边长比圆的半径长2(π,2)米～求这两根等长的铁丝的长度～并通过计算比较谁的面积大。解:设圆的半径为r米～则正方形的边长为[r，2(π,2)]米～由题意得2πr,4[r，2(π,2)]解得r,4所以铁丝的长为2πr,8π,米,～正方形的边长为2π,米,2222222所以S,πr,π×4,16π,米,S,a,(2π),4π,米,圆正2因为16π,4π～所以圆的面积大。答:铁丝长为8π米～圆的面积大。(3)形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系。【例3】甲水池有水68升～乙水池有水36升～两个水池同时向外排水～每分钟排出4升～多少分钟后～甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的3倍,解:设x分钟后～甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的3倍～根据题意得68—4x,3(36—4x)解得x,5答:5分钟后～甲水池剩下的水正好是乙水池剩下水的3倍。2、打折销售,1,相关概念?成本价:即进价，指商品进货时的价格。?标价:即原价、定价，指在销售时标出的价格。?售价:即成交价、卖出价，指商品售价时实际价格。?利润:在销售商品的过程中的纯收入。?利润率:商品的利润与成本价的比值。?折扣:销售价占标价的百分比。-23-(2)相关公式?利润,售价,进价(成本价)利润售价进价,售价?利润率,×100%,×100%,,1进价进价进价?售价,进价，利润,进价×(1，利润率)?售价,标价×折数×0.13、“希望工程”义演(比例分配问题)(1)比例分配问题一般把其中一个量设为x，则另一个量可用含x的代数式表示出来。【例1】甲、乙两人共80元～甲、乙钱数之比为1:3～求甲、乙两人各有多少钱,解:设甲有x元钱～则乙有3x元钱～根据题意得x，3x,80解得x,20所以3x,3×20,60答:甲有20元钱～乙有60元钱。(2)在比例分配问题中通常利用表格寻求等量关系，列方程得到答案。【例2】在甲处工作的有21人～在乙处工作的有12人～现在调来18人分别派往甲、乙两处～使甲处工作的人数是乙处工作人数的2倍～应往甲、乙两处各派去多少人,解:设调派往甲处去x人～则调派往乙处去(18—x)人～根据题意得调派前的人数,人,调派去的人数,人,调派后的人数,人,甲处x2121，x乙处1218,x[12，(18,x)]根据表格可列方程为21，x,2[12，(18,x)]解得x,13所以18,x,18,13,5答:应该往甲、乙两处分别派去13人、5人。,3,设未知数的方法不同，方程的复杂程度也不同。因此，设未知数时要有选择。【例3】某团体为“希望工程”募捐组织了一场义演～共售出1000张票～筹得票款6950元～成人票与学生票各售出多少张,,成人票8元～学生票5元,解法1:设售出的学生票为x张～则售出的成人票为(1000,x)张～根据题意得5x，8(1000,x),6950解得x,350所以1000,x,1000,350,650答:售出成人票650张～学生票350张。解法2:设所得的学生票款为x元～则所得的成人票款为(6950,x)元～根据题意得6950,xx，,100085解得x,1750所以1750?5,350,张,(6950,1750)?8,650,张,答:售出成人票650张～学生票350张。【说明】本题存在两个等量关系:?学生票，成人票,1000张,?学生票款，成人票款,6950元～所以本题可以有以上两种设未知数的方法～但一般情况下～我们应该选择较为简单的解法1。-24-4、追赶小明(行程问题)(1)相遇问题:甲走的路程，乙走的路程,二者开始时相距的路程(2)追击问题:速度快的走的路程,速度慢的走的路程,二者开始时相距的路程(3)环形跑道问题?甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，再一次相遇时，两人所走路程之和正好是环形跑道一圈儿的长度，即甲走的路程，乙走的路程,环形跑道的周长。甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，再一次相遇时，速度快的比速度慢的?正好多走了环形跑道一圈儿的长度，即速度快的走的路程,速度慢的走的路程,环形跑道的周长。(4)航行问题:顺水速度,静水速度，水速逆水速度,静水速度,水速第六章数据的收集与整理第1节数据的收集一、收集数据的方式1、问卷调查2、查阅资料3、实地调查4、试验【例1】就以下统计目标～你认为选择何种方式收集数据比较合适,,1,班中15岁以上的学生人数,2,我国濒临灭绝的植物的数量,3,某种玉米种子的发芽率,4,七年级学生周日的睡眠时间解:,1,实地调查,2,查阅资料,3,试验,4,问卷调查二、收集数据的步骤1、明确调查问题2、确定调查对象3、选择调查方式4、展开调查5、记录结果6、得出结论【例2】为了更好地组织体育活动～体育委员调查一下班里同学喜欢哪些体育项目～以便活动前准备好器械。请说明应该经过哪些步骤,解:,1,明确调查问题——喜欢哪种体育项目,2,确定调查对象——全班每位同学,3,选择调查方式——问卷调查法,4,展开调查——对全班每一位同学展开问卷调查,5,记录结果——收集问卷～统计数据,6,得出结论——喜欢各种体育项目的各有多少人-25-第2节普查与抽样调查一、相关概念1、普查:为了某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查。2、总体:所要考察对象的全体称为总体。3、个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。、抽样调查:从总体中抽取部分个体，根据对这一部分个体的调查估计被考察对象的整体4情况，这种调查方式叫做抽样调查。5、样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。【说明】样本必须具有代表性和广泛性才能估计总体的情况。【例1】下列调查中哪些适合用普查的方式，哪些适合用抽样调查的方式,(1)了解我国近年来老年人的长寿情况(2)了解一批白雪修正液的使用寿命(3)了解我校有多少教师乘坐公交车上班(4)了解我班同学中有多少人喜欢数学解:,1,抽样调查,2,抽样调查,3,普查,4,普查【例2】指出下列抽样调查中的总体、个体和样本各是什么。(1)为了考察我校学生每天参加课外体育活动的时间，调查了其中20名学生每天参加课外体育活动的时间。(2)为了解一批灯泡的使用寿命，从中抽取10只进行试验。题号总体个体样本我校学生每天参加课外每个学生每天参加课外所调查20名学生每天参加课,1,体育活动的时间体育活动的时间外体育活动的时间,2,这批灯泡的使用寿命每个灯泡的使用寿命抽取的10只灯泡的使用寿命【例3】下列调查的样本是否缺乏代表性，请说明理由。(1)在大学生中调查我国青年人最崇拜的偶像(2)在深圳城镇居民中调查我国家庭拥有私家车的比例(3)省教育厅为了调查全省中小学乱收费情况，调查朝阳市所有中小学生(4)为调查某市中学生学习情况，在该市每所中学的每个班级选取1名同学进行问卷调查。解:,1,大学生是一个特殊的群体～不能代表我国青年人。,2,深圳的城镇居民比较富有～不能代表我国所有家庭的情况。,3,尽管样本足够大～但遗漏了其他城市这些群体～朝阳市不能代表全省。,4,选取的样本中个体太少～不具有代表性。二、比较“普查”与“抽样调查”调查方式优点缺点?有时总体中个体的数目较多，普查工作量较大;普查可以直接获取