山西省吕梁市古洞道中学高二数学文期末试题含解析

山西省吕梁市古洞道中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示点P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为A.2V

B.3V C.

D.参考答案：D2..函数，则（）A.为函数f(x)的极大值点B.为函数f(x)的极小值点C.为函数f(x)的极大值点D.为函数f(x)的极小值点参考答案：A，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点．3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果=8，那么＝（

）

A.6

B.8

C.9

D.10参考答案：D4.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是（

）A．①

B．①②

C．①③

D．①②③参考答案：A略5.840和1764的最大公约数是（

）A．84

B．

12

C．

168

D．

252参考答案：A6.若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是

（）A．﹣1＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出函数的导数，根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．【解答】解：函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1所以函数f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×1×（a+2）＞0，解得：a＜﹣1或a＞2故选：B．7.如图，阴影部分的面积是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积.【详解】设阴影部分的面积为，则.选C【点睛】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.8.已知函数f（x）=6﹣x3，g（x）=ex﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）A．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=ex B．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex﹣1C．f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex D．f′（x）=6﹣3x2，g′（x）=ex﹣1参考答案：C【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：f′（x）=﹣3x2，g′（x）=ex，故选：C9.

参考答案：D略10.已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，且垂足为M（1，），则四边形ABCD面积的最大值为（）A．5 B．10 C．15 D．20参考答案：A【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=3，代入面积公式S=|AC||BD|，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．【解答】解：如图，连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA=OC=2，OM=，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OM2=3．四边形ABCD的面积为：S=?|AC|（|BM|+|MD|），从而：S=|AC||BD|=2≤8﹣（d12+d22）=5，当且仅当d12=d22时取等号，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，，，，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为____________．参考答案：16π试题分析：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．详解：如图，在△ABC中，由正弦定理得?sinC=，∵C＜B，∴C=30°，∴A=90°，又∵PA⊥平面ABC，AP，AC，AB两两垂直，故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，，2为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．易得外接球半径为2，故外接球表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12.已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为______________.参考答案：(1,]略13.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_____________.

参考答案：32略14.（原创）已知点在椭圆上运动，设，则的最小值为

参考答案：略15.已知函数f（x）=x3+ax2，曲线y=f（x）在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，则切线方程为．参考答案：3x+y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义和两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a，b，即可求出切线方程．【解答】解：函数的导数为y′=f′（x）=3x2+2ax，∵曲线在点P（﹣1，b）处的切线平行于直线3x+y=0，∴曲线在点P处的切线斜率k=﹣3，即k=f′（﹣1）=3﹣2a=﹣3，解得a=3，此时f（x）=x3+3x2，此时b=f（﹣1）=﹣1+3=2，即切点P（﹣1，2），则切线方程为y﹣2=﹣3（x+1），即3x+y+1=0故答案为：3x+y+1=0．16.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨?克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为__________．参考答案：10或64.【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值．【详解】如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64．所以正整数的值为10或64．故答案为：10或64．【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．17.=

。参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.观察下列等式：，，，，……（1）依照上述4个式子的规律，归纳出第n个等式；（2）用数学归纳法证明上述第n个等式.参考答案：(1)第个等式为（2）要证明的等式即（i）当时，等号显然成立（ii）假设时，等号成立，则当时，所以假设成立，综上，.19.解：19.(10分)在平面直角坐标系中，已知矩形的长为２，宽为１，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）.将矩形折叠，使点落在线段上.（1）若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；（2）当时，求折痕长的最大值；（3）当时，折痕为线段，设，试求的最大值.参考答案：解：(1)①当时,此时点与点重合,折痕所在的直线方程②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为折痕所在的直线方程，即由①②得折痕所在的直线方程为：

（2）当时，折痕的长为2;当时，折痕直线交于点，交轴于∵∴折痕长度的最大值为。ks5u

而,故折痕长度的最大值为

（3）当时，折痕直线交于，交轴于∵

∴∵

∴（当且仅当时取“=”号）∴当时，取最大值，的最大值是。

略20.（本小题满分12分）在△ABC中，已知AC＝3，三个内角A，B，C成等差数列.（1）若cosC＝，求AB；

（2）求△ABC的面积的最大值.参考答案：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝，∴B＝，由cosC＝，求得sinC＝，由正弦定理得：，∴AB＝2.（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：，∴≥2ac，∴ac≤9，∴＝ac·sinB≤，∴△ABC面积的最大值为.21.已知函数，是都不为零的常数． （1）若函数在上是单调函数，求满足的条件；（2）设函数，若有两个极值点，求实数的取值范围.参考答案：解（1），若函数是单调函数，则.------------5分（2）由，若有两个极值点，则是的两个根，又不是该方程的根，所以方程有两个根，设，求导得：①当时，，且，单调递减；②当时，，若，，单调递减；若，，单调递增；若方程有两个根，只需：，所以-----------12分

略22.已知直角△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），直角顶点B的坐标为（1，），顶点C在x轴上．（1）求边BC所在直线的方程；（2）求直线△ABC的斜边中线所在的直线的方程．参考答案：【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（2）利用直线与坐标轴相交可得C坐标，利用中点坐标公式可得斜边AC的中点，设直线OB：y=kx，