2024年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学模拟试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学模拟试卷一、选择题：本题共7小题，每小题2分，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为(

)A.0.778×105 B.7.78×1042.下列计算正确的是(

)A.x2+x3=x5 B.3.比2大，比5小的整数是(

)A.1 B.2 C.3 D.44.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是(

)A.14 B.13 C.125.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d=0，则下列结论正确的是(

)A.b+c>0 B.ac>6.如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为s12，B课程成绩的方差为s22，则s12A.s12<s22 B.s7.如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②A.24 B.12 C.18 D.21二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。8.某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了

米．9.如图所示，围棋盘放置在某个平面直角坐标系中，白棋②的坐标为(−7,−4)，黑棋④的坐标为(−10.已知一元二次方程x2+x=5x+6的两根为x111.如图，在6×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠

12.已知x=2y=1是方程ax+by=3的一组解(a≠13.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=8，

14.图中的小正方形的边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q

15.初三(9)班同学在“2021义卖”活动中表现特别突出，他们设计了两款特别的产品.第一是“人分纪念品”套装，销售一件此产品可获利16%；第二是“一路向北”手提袋，销售一件此产品可获利24%；当销售量的比为3：2时，总获利为18%.当销售量的比为1：三、计算题：本大题共2小题，共10分。16.计算：38+(17.已知x2+2x−四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题5分)

解不等式式：2(x−19.(本小题5分)

已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC．

求作：点P，使得AP=AB，且∠APC=∠BAC．

作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；

②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点D(异于点C)；

③连接DA并延长交⊙A于点P．

所以点P就是所求作的点．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明．

证明：连接PC．

∵A20.(本小题6分)

如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B=90°．

(1)若AB=4，BC=3，

①求Rt△ABC21.(本小题5分)

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=722.(本小题5分)

某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识.为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩(百分制)，并对数

据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．

a.这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如图：

b.这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差讲座前72.071.599.7讲座后86.8m88.4c.结合讲座后成绩x，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”(x<80)，有7人获得“优秀奖”(80≤x<90)，有8人获得“环保达人奖”(90≤x≤100)，其中成绩在80≤x<90这一组的是：

80 82 83 23.(本小题6分)

如图1是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分.经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．

(1)在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；

(2)结合(1)中所画图象，求出该抛物线的表达式；

(3)现有一游船(截面为矩形)宽度为424.(本小题6分)

如图，矩形AOBC的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是(5,4)，D为BC边上一点，将矩形沿AD折叠，点C落在x轴上的点E处，AD的延长线与x轴相交于点F．

(1)如图1，求点D的坐标；

(2)如图2，若P是AF上一动点，PM⊥AC交AC于M，PN⊥CF交CF于25.(本小题6分)

为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2

(1)是否存在x26.(本小题7分)

如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，且DE=DA．

(1)求证：∠BAD=∠EDC；

(2)点E关于直线B27.(本小题7分)

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

(1)求证：EF

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：77800=7.78×104，

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<2.【答案】C

【解析】解：A.x2和x3不能合并，故本选项不符合题意；

B.x2⋅x3=x5，故本选项不符合题意；

C.x3÷x3.【答案】B

【解析】解：∵1<2<2，2<5<3，

∴比2大，比5小的整数是2．

故选：B4.【答案】A

【解析】【分析】

列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

【解答】

解：列表如下：红绿红(红，红)(绿，红)绿(红，绿)(绿，绿)所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，

所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为14，

故选：A5.【答案】D

【解析】解：

由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a<b<0<c<d，

A、∵b+d=0，

∴b+c<0，

故A不符合题意；

B、ac<0，

故B不符合题意；

C、ad<bc<6.【答案】A

【解析】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，

由图可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩的波动小，

∴s12<s22；

7.【答案】A

【解析】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，

水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s−24s=18(s)，

这段高度为：14−11=3(cm)，

设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18⋅x=30×3，

解得x=5，

即匀速注水的水流速度为5cm3/s；

“几何体”下方圆柱的高为a，则a⋅(30−15)=18×58.【答案】9

【解析】解：根据题意得：

−18−(−27)=9(米)，

9.【答案】(−【解析】【分析】本题考查了坐标确定位置，利用点的平移规律：右加左减，上加下减是解题关键．

根据点的平移规律，可得答案．

【解答】

解：黑棋④的坐标为(−6,−8)，右移3个单位，再上移1个单位，得黑棋①的坐标10.【答案】−2【解析】解：一元二次方程x2+x=5x+6整理得，

x2−4x−6=0．

根据题意得x1+x2=4，x1x2=−6，11.【答案】5【解析】解：如图，利用格点作AD⊥BC交BC的延长线于点D，

∵△ABD是直角三角形，

∴AB=AD12.【答案】1

1

【解析】解：把x=2y=1代入方程ax+by=3可得：2a+b=3

∴13.【答案】103【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=8，∠ADC=90°，AB/​/CD，

∵AD=6，

∴AC=AD2+CD2=62+82=10，

∵点E是AB的中点，

14.【答案】D

【解析】解：∵△MNP≌△MEQ，

∴点Q应是图中的D点，如图，

故答案为：15.【答案】23.5%【解析】解：设一件“人分纪念品”套装卖x元，一件“一路向北”手提袋卖y元，则一件此产品可获利16%x元，一件“一路向北”手提袋可获利24%y元，令“人分纪念品”的销售量为3a，则“一路向北”的销售量为2a，由销售量的比为3：2时，总获利为18%，得：

16%x⋅3a+24%⋅2ax⋅3a+y⋅2a=18%，

解得x=0.2y，

设销售量的比为1：3时，令“人分纪念品”的销售量为b，则“一路向北”的销售量为16.【答案】解：原式=2+3−2×3【解析】根据立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值计算即可．

本题考查了实数的运算，立方根，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．17.【答案】解：原式=2(x2−2x+1)−x2【解析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：2(x−3)≤x−8①1+x2>x−1【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．

本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】(1)解：图形如图所示：

(2)同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；【解析】【解答】

(1)见答案；

(2)证明：连接PC．

∵AB=AC，

∴点C在⊙A上．

∵DC=DC，

∴∠DPC=12∠DAC(同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半20.【答案】解：(1)①如图1，取AC的中点H，

∵∠B=90°，

∴点H是Rt△ABC的外接圆圆心，

∵AB=4，BC=3，∠B=90°，

∴AC=5，

∴AH=12AC=52，

∴Rt△ABC的外接圆半径为52．

②如图2，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，则∠OFB=∠OEB=90°，

∵∠B=90°，

∴四边形OEBF是正方形，

设半径为r，则BF=【解析】(1)①先求得线段AC的长度，然后取AC的中点H，得到AH的长即为△ABC的外接圆半径；

②过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，然后可得四边形OEBF是正方形，设半径为r，结合点O是△ABC的内心可得21.【答案】解：(1)作DE⊥AB于E，设AE=a．

在Rt△ADE中，∵∠A=60°，AE=a，

∴∠ADE=30°，

∴AD=2a，DE=3a，

∵AD：AB=2：3，

∴AB=3a，EB=2a，

在Rt△【解析】(1)作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F.设AE=a.在Rt△B22.【答案】64

【解析】解：(1)如图所示：

(2)讲座后成绩的中位数是第10和第11个数的平均数，所以m=87+882=87.5；

(3)估计能获得“环保达人奖”的有160×820=64(人)．

故答案为：6423.【答案】解：(1)以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

(2)根据题意得：A(0,0)，B(12,0)，

根据交点式，设抛物线的表达式为y=a(x−0)(x−12)=ax2−12ax，

代入点C(6,4)【解析】(1)过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系即可；

(2)待定系数法求抛物线的表达式即可；

(3)游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为x−6.游船也关于直线x=24.【答案】解：(1)在矩形AOBC中，C(5,4)，

∴AC=5，OA=BC=4，

设D(5,a)，则BD=a，CD=ED=4−a，

∵AE=AC=5，

在Rt△AOE中，OE=AE2−OA2=52−42=3，

∴BE=OB−OE=5−3=2，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2=BD2+BE2，

∴(4−a)2=22+a2，

∴a>0，

∴a=32，

∴D(4,32)；

(2)如图2，延长MP交OF于N′，则PN′⊥OF，

∵AC/​/BF，

∴∠PAM=∠DFB，

∵∠ACD=∠FBD=90°，

∴△ADC∽△FDB，

∴ACBF=CDBD，

由(1)知：BD=32，

∴CD=4−32=52，又AC=5，

∴5BF=5232，

∴BF=3，OF=8，

∴AF=AO2+OF2=42+82=45，

在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=32+42=5，

∵AC【解析】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．