2022年北京初二（下）期末数学试卷汇编：勾股定理

第1页/共1页2022北京初二（下）期末数学汇编勾股定理一、单选题1．（2022·北京八十中八年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1.点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）图1是第七届国际数学教育大会(ICME－7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（

）A． B． C． D．33．（2022·北京东城·八年级期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（

）A．19 B．44 C．52 D．764．（2022·北京朝阳·八年级期末）如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：①正方形ABCD的面积等于的一半；②正方形EFGH的面积等于的一半；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③5．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米二、填空题6．（2022·北京平谷·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，如果点A的坐标为(3，-4)，那么线段OA长度为________．7．（2022·北京丰台·八年级期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．8．（2022·北京朝阳·八年级期末）如图，数轴上点P表示的实数是________．三、解答题9．（2022·北京八十中八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5．(1)求点D到直线AB的距离；(2)求线段AC的长．10．（2022·北京市燕山教研中心八年级期末）绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．11．（2022·北京朝阳·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长．

参考答案1．C【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，在Rt△ACQ中，，∴BQ=CQ-BC=；如图2，当Q在BC延长线上时，在Rt△ACQ中，，∴BQ=CQ+BC=；∴BQ的长为或．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．2．C【分析】OA1=1，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算OA8的长．【详解】解：∵OA1=1，∴由勾股走理可得，，……，∴．故选：C．【点睛】本题考查了勾脸定理的灵活运用，本题中找到的规律是解题的关键．3．D【分析】根据勾股定理计算出BD即可求得周长．【详解】解：如下图所示，设AC延长一倍到D点，得，∴，∵，∴这个风车的外围周长，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出斜边的长．4．B【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出，，和，根据S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝即可判断①②，再由正方形ABCD，EFGH的面积相等得出，进而判断③．【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，则，，，，∴S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝，∴正方形ABCD的面积大于的一半；正方形EFGH的面积等于的一半；∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴，∴，∴，即，∴正确结论的序号是②③，故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题关键在于设出甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b．本题还可以根据正方形在正方形网格中占面积的比例进行求解．5．C【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设米，米，米，（米，米，在中，米，米，米，根据勾股定理得：，解得：，则秋千的长度是5米．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．6．5【分析】过A作AB⊥x轴于B，根据点A的坐标，得出OB、AB的长，再根据勾股定理求出OA即可．【详解】如图，过A作AB⊥x轴于B，点A（3，-4），即OB=3，AB=4，由勾股定理得，，故答案为：5．【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．7．16【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．【详解】解：由题意作出如下图，得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34，△ADC面积＝（5×3−2×3）＝，阴影部分的面积S＝34−4×＝16，

故答案为：16．【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．8．【分析】直接根据勾股定理即可求解．【详解】解：∴数轴上点P表示的实数是．故答案为：．【点睛】此题主要考查在数轴上表示无理数，正确理解实数与数轴上的点一一对应的关系是解题关键．9．(1)1.5(2)3【分析】（1）作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=CD=1.5，得到答案；（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AC=AE，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．(1)解：过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=1.5，∴点D到直线AB的距离为1.5；(2)解：在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE，在Rt△DEB中，BE=，在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+42，解得，AC=3．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．24m2【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答．【详解】解：如图，连接AC，∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，∴AC＝＝＝5m．∴SRt△ADC＝＝6m2．在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，∴，∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°，∴SRt△CAB＝＝30m2，∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24m2．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．11．3【分析】求出∠ABD=30°，得到AD=AB=，利用勾股定理求出BD，再