2022-2023学年新疆可克达拉市兵团地州学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆可克达拉市兵团地州学校高二（下）期末数

学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.书桌上有3本不同的数学书和4本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各1本，则不同

的取法有（）

A.6种B.7种C.12种D.21种

2.己知数列一6,66,-666,6666,-66666,则该数列的第2024项为（）

A.-|（102024_1）B.|（102024_1）Q-|（1O2024-1）D.|（102024-1）

3.某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相

同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是（）

A.C；6/oB.C会6。花力》C.^26-^10D.掰6#0掰

4.若数列5｝满足的=-35一六一一7=1,则＜1985=（）

un%+1anun+l

A.2B.C.-3D.1

5.（6x+号）9的展开式中按X的升塞排列的第4项为（）

A2440224112n224

A-方xB.—C.—%72D.—

6.流行性感冒，简称流感，是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病.已知4,B,。三个地区

分别有2%,6.5%,8.5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是4：7：9,现从这三个

地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（）

A.0.65B,0.45C.0.35D.0.2

7.某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相

邻，那么加工顺序的种数为（）

A.72B.144C.288D.156

8.已知直线y=kx+b与函数/（%）=?2+仇久的图象相切，贝i]k-b的最小值为（）

A.1B.\C.|D.1

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知两个随机变量X,y满足丫=5X—2,若X〜8（10,|）,则（）

A.E(X)=6B.D(X)=yC.E(Y)=30D.D(Y)=60

10.己知｛/J为等差数列，其前n项和为分,的+。3+&5=108,。2+。4+口6=1。2,则()

A.｛即｝的公差为一2

2

B.Sn=43n—n

C.的前50项和为1290

D{(时39)(1r39)}的前几项和为一悬

11.已知［0)为函数/O)的导函数，若函数y=/'(x)—1

的图象大致如图所示，贝1()

-4/\4

A.«x)有3个极值点二^oTTi-J

B.久=一4是/'(x)的极大值点\71—1\

C.x=0是/(%)的极大值点

D.〃久)在(0,4)上单调递增

12.为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环

境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对

这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为x(单位：

千克)，当季该种作物的亩产量为y(单位：百千克).

X1246111319

y1.93.24.04.45.25.35.4

现有两种模型可供选用，模型/为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到y关于x的经验回归

方程为y=0.17%+a，模型〃为非线性经验回归方程y=C+dQ，经计算可得此方程为y=

1.63+0.99Q,另外计算得到模型/的决定系数R2=0.75和模型〃的决定系数R2=0.88,则

()

A.a=2.84

B.模型〃的拟合效果比较好

C.在经验回归方程y=0.17%+a中，当解释变量X每增加1个单位时，响应变量y一定增加

0.17个单位

D.若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若=28,贝=

14.记5„为等差数列｛an｝的前n项和，公差为d,若的=190,S20>0,S24<0,则整数d的

一个值可以为

15.已知函数/(%)=cos3%—/,(0)sinx+2%,则/'(0)=,曲线y=/（久）在（兀,/（兀））

处的切线方程为

16.设等比数列5｝的前n项和为上,若爵=6,则需=

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否

有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表:

性别

体育锻炼合计

男生女生

喜欢280P280+p

不喜欢q120120+Q

合计280+q120+p400+p+q

在本次调查中，男生人数占总人数的;女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的|.

(1)求p,q的值;

（2）依据a=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关?

2

附：f=(a+b)黑鼠?c)(b+“n=a+b+c+d.

a0.050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

18.（本小题12.0分）

世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知4社区有20%的居民每周运

动总时间超过5小时，B社区有30%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有50%的居民每

周运动总时间超过5小时，且4B,C三个社区的居民人数之比为3：3：4.

（1）从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率;

(2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X〜N(4,02),现

从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.

19.(本小题12.0分)

学习强国是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内

容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.学习强国4PP提供权威、准确、详尽、丰富的

学习资源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的

学习.某校团委组织全体教职工参加“学习强国”竞赛.现从全校教职工中随机抽取100人，对

他们的分数(满分:100分)进行统计,按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),分

成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于90分的人数为X,求随机变量X的分布列

和期望.

(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数丫服从正态分布%(出。2),其中〃近

似为样本平均数，。2近似为样本方差.已知该校教职工共有1200人，估计该校这次竞赛分数不

低于87.61分的教职工人数(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

参考公式：若随机变量Z服从正态分布N(〃R2),则-cWZW〃+<r)仪0.6827,P(ji-

2a<Z<[i+2a)x0.9545,P(〃—3cr<Z</z+3。)«0.9973.

参考数据：<75«3.87.

f频率/组距

0.033-------------[―।

0.024..............j—

0.020...............................

0.015-------------------------

0.008-----厂

"5：%卜090100竟或分数

20.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=x3-ax2+'的一个极值点为1.

⑴求a；

(2)若过原点作直线与曲线y=f(x)相切，求切线方程.

21.(本小题12.0分)

设数列｛an｝满足的=-3,an+1=2an+3n-l,｛%｝的前n项和为小.

(1)证明：｛an+3n+2｝为等比数列.

(2)求数列｛S"中的最小项.

22.(本小题12.0分)

已知函数/Q)=x+?(aeR).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/'(x)与函数g(x)=ae*的图象有三个不同的交点，求a的取值范围.(参考数据：Zn2~

0.7)

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：第一步：从数学书中任取1本，有3种不同的取法.

第二步：从语文书中任取1本，有4种不同的取法.

故从中任取数学书和语文书各1本，不同的取法有3X4=12种.

故选：C.

根据分步乘法计数原理即可求解.

本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：一6,66,-666,6666,-66666,…的通项公式为(~l)nX9(10兀一1),

故该数列的第2024项为—式102。24一1).

故选：C.

由已知数列的规律先求出通项公式，进而可求.

本题主要考查了由数列的项的规律求解数列通项公式，属于基础

3.【答案】C

【解析】解：从26个英文字母选2个的排列有超6种.

从。到9,10个数字中选2个的排列有否。种，

则该密码可能的个数是心6斯o.

故选：C.

根据分步计数原理以及排列公式进行计算即可.

本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列公式进行计算是解决本题的关键，是

基础题.

4.【答案】C

【解析】解：依题意，由白一六一7^=1，

unttn+lunun+l

两边同时乘以a九与+i，可得与+i-a九一1=anan+1,

化简整理，可得与+1=粤，

1.1+an

则a…制i+=薪=_j_

-an

l-a九

l+%i+2__£n_

%i+31一%1+21+—。九+1'

an

1+笔I

1+&1+3

0+4a九，

九-a1恤-1

ln+31一而

数列｛an｝是以4为最小正周期的周期数列，

又•••9854-4=246……1,

,,,的85=%.=—3.

故选：C.

先根据题干递推公式进行转化推导可得即+1=警，再根据得到的递推公式进一步推导出与+「

an+2,an+3,即+4的表达式，即可发现数列｛厮｝是以4为最小正周期的周期数列，然后根据周期数

列的性质即可计算出口985的值.

本题主要考查周期数列的判定及性质运用.考查了整体思想，转化与化归思想，迭代法，周期数

列的性质应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

5.【答案】B

1113

9r_r

【解析】解：因为(6久+外)9的通项T.+1=C^(6x)-(|x2)=c\'69T.3-r,/-巴丁=0,1,2,.

••,9,

所以按X的升暴排列的第4项为76+1=X63x3-6=爷.

故选：B.

根据二项展开式的通项公式运算求解.

本题考查二项展开式的通项公式，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意，设任意选取1人来自A地区为事件Mi，任意选取1人来自B地区为事件用2,

任意选取1人来自C地区为事件M3，

选取的这人患了流感为事件N,

则P(Mi)=/=02P(“2)=高=0,35,P(%)=高=045，

P(N|Mi)=2%,P(N|M2)=6.5%,P(N|M3)=8.5%,

则P(N)=P(Mi)P(N]MQ+P(M2)P(NIM2)+P(M3)P(N|M3)=0.065,

若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率P(M21N)=岂丝湍出=0.35.

故选：C.

根据题意，设任意选取1人来自力地区为事件Mi，任意选取1人来自B地区为事件用2,任意选取1人

来自C地区为事件”3,选取的这人患了流感为事件N,由全概率公式求出P(N),结合贝叶斯公式

计算可得答案.

本题考查贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的计算，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：根据题意，设两道必须相邻的工序为a、b,不能相邻的工序为c、d,剩下的两道工

序为e、f,

先将a与b看成一个整体，与e、，进行全排列，排好后有4个空位可用，

在4个空位中任选2个，安排c和d,

则有四掰&=144种安排方法.

故选：B.

根据题意，设两道必须相邻的工序为a、b,不能相邻的工序为c、d,剩下的两道工序为e、f,先

用捆绑法分析a、b,将a、b整体与e、/进行全排列，再用插空法分析c和d,由分步计数原理计算

可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：设直线y-kx+6与函数/(%)=1x2+mx的图象切于(XO，M))，

由/(%)=2%2+得/(%)=%+7

119

•••/c=%+—,kx+b=-XQ+lnx,

0“0L0Q

11

则b=-XQ+lnx0—%Q—1=lnx0—-XQ—1,

仇&+1

可得k-b

令g(%)=%+1+21%2一仇1+1，

则“⑺=1+%V=可[XT=(X+I3XT),

当％e(。,1)时，g'(x)<0,当％G(L+8)时,g(x)>0,

g(x)在(0,+8)上的最小值为g(l)=

故选：B.

设切点坐标，把k与6用切点横坐标表示，再由导数求最值得答案.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：已知X:8(10,|),

所以E(X)=10xj=6,D(X)=10x|x(l-j)=y,

又丫=5X—2,

此时E(Y)=E(5X-2)=5E(X)-2=5x6-2=28,

D(y)=D(5X-2)=52D(X)=25x(12=60.

故选：ABD.

由题意，根据二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到E(X),O(X),再利用期望与方差的性

质求出E(Y),D(Y),结合选项进行逐一分析即可.

本题考查二项分布的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力.

10.【答案】AC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,等差数列｛%i｝中，a1+a3+a5-108,a2+a4+a6=102,则(a2—a[)+(a4—a3)+(a6—

CI5)=3d—6,

则其公差d=—2,A正确；

对于B,%+%+。5=108,贝!J的=36,又由d=-2,则有的=40,贝!JS九=nar+九(：，)d=41n—

n2,5错误；

对于C,由/、8的结论，的=40,d=-2,贝!J%,=42—2几，

当九<21时，an>0,当九>21时，an<0,

故｛|%|｝的前5。项和为2s2i-S50=2(21%+210d)-(50%+1225d)=1290,C正确；

i

对于>设｛(厮_39)(味1-39)｝的刖九项和,小

由干_______111_____=-(_1______--)

卬」(a九一39)(3+1-39)(3-2n)(l-2n)(2n-l)(2n-3)2v2n-32n-ly,

故7k=I[(A-7)+(1-今+0-J)+……+(57-3-=|(-1O错误.

故选：AC.

根据题意，由等差数列的性质可得A正确，由等差数列的前几项和可得8错误、C正确，由裂项相

消法可得。错误，综合可得答案.

本题考查数列的求和，涉及等差数列的性质，属于中档题.

H.【答案】ABD

【解析】解：将「。）-1的图象向上平移1个单位,

得广（久）的图像，结合图像:

xe(-8,-4)时，f(x)>0,/(x)递增,

xe(-4,0)时，f(x)<0,f(x)递减,

xe(0,4)时,f(x)>0,f(x)递增,

xe(4,+8)时，f'(x)<0,/(%)递减；

故久=-4和x=4是函数f（x）的极大值点，x=0是函数/（久）的极小值点,

故A正确，8正确，C错误，。正确.

故选：ABD.

根据导函数的符号，求出函数f(x)的单调区间，从而判断各个选项.

本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是基础题.

12.【答案】AB

—1.9+3.2+4.0+4.4+5.2+5.3+5.4.。

y=-----------------------------------=42，

把(8,4.2)代入丫=0.17万+口，得a=4.2-0.17x8=2.84，故A正确；

••・模型/的决定系数R2«0.75,模型〃的决定系数R2x0.88,且0.75<0.88,

模型〃的拟合效果比较好，故B正确；

在经验回归方程y=0,17x+a中，当解释变量%每增加1个单位时，响应变量y近似增加0.17个单

位，故C错误；

若7组数据对应七个点，可能任何一个点都不在经验回归直线上，故。错误.

故选：AB.

由己知数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a判断4由决定系数与拟合效果间

的关系判断B;由线性回归方程的性质判断C与。.

本题考查线性回归方程，考查决定系数与拟合效果间的关系，是基础题.

13.【答案】7

【解析】解：因为制胃=髭+i="*=28,

所以小+?!—56=(n-7)(n+8)=0,所以几=7或n=—8(舍去).

故答案为：7.

根据组合数性质得到关于n的方程，解出即可.

本题考查组合数公式，属于基础题.

14.【答案】-17(答案不唯一)

【解析】解：因为的=190,所以S20=20x190+190d>0,S24=24x190+xd<0,

所以-20<d<—

故d的整数解为一19,-18,-17.

故答案为：-17(答案不唯一).

利用等差数列前几项和的基本量计算可求得.

本题主要考查了等差数列的前几项和公式，属于中档题.

15.【答案】1y=3x-7T-1

【解析】解：由/1(x)=cos3K—/,(0)sinx+2x,得尸(x)——3cos2xsinx—f'(0')cosx+2,

取x=0,可得=(0)=一「(0)+2,则，(0)=1；

•••/(x)=cos3x—sinx+2x,f'(x)——3cos2xsinx—cosx+2,

则/(TT)=-1+2TT,f'(兀)=3,

二所求切线方程为y-(—1+2兀)=3(%—兀)，即y=3x-TT-1.

故答案为：1：y-3x-Tt-1.

求出原函数的导函数，取久=0求解，(0)；再求出f(兀)与，(兀)的值，利用直线方程的点斜式得答

案.

本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档

题.

16.【答案】156

【解析】解：设54=a,

3=6,

则58=6a,

•••数列｛an｝为等比数列，

S8-S4,S12—S8，S16—S12也为等比数列，

..$8-$4_r

,S4-，

•••S"—Ss=25a,S16—S12=125a,

S]6=156a,

.*=156.

故答案为：156.

根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解.

本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题.

280+q_4

40；+p+q§7,解得「=180,q=120.

{p+120—5

(2)零假设为％学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，

2

根据列联表及(1)中数据，经计算得到f=，皿鬻之。谭半0)〜7.609<10,828=%.

人460x240x400x30U0U0U011

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断为成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关

联.

【解析】(1)根据题设条件，建立p,q的方程组即可求出结果；

(2)通过计算出f=7.609<10.828即可判断出结果.

本题主要考查独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题.

18.【答案】解：(1)设从力，B,C三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别

为事件力，B,C,

-10-1

则PG4)=M(B)=2,P(C)J.

设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件M,

则事件M的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，

所以P(M)=1-P(Af)=1-(1一演1一书(1-3='，

故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为意.

(2)设4B,C三个社区的居民人数分别为3a,3a,4a,

则4社区每周运动总时间超过5小时的人数为3ax20%=0.6a,

B社区每周运动总时间超过5小时的人数为3ax30%=0.9a,

C社区每周运动总时间超过5小时的人数为4aX50%=2a,

0.6a+0.9a+2a

所以0.35,

P=3a+3a+4a

故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率尸=0.35.

(3)因为X〜N(4,02),所以P(X>4)=0.5.

因为P(X>5)=0.35,所以P(4<X<5)=0,5-0.35=0.15,

所以P(3<X<5)=2P(4<X<5)=0.3.

【解析】(1)根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过5小时的概率，由对

立事件的概率公式求解即可；

(2)由于4B,C三个社区的居民人数之比为3：3：4,设出三个社区的居民人数，计算出各社区

每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；

(3)由正态分布的性质结合条件求解即可.

本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知这100人中得分不低于90分的人数为100x0.15=15,

可得X的所有取值为0,1,2,

此时P(X=0)=黑=；-P(X=1)=常=爰p(x=2)=黑=&

则X的分布列为：

X012

119177

P

16566330

所以E(X)=0x盖+”券+2乂高=条

(2)易知1=55x0.08+65x0.24+75x0.33+85x0.2+95x0.15=76,

因为〃近似为样本平均数，

所以〃=76,

而s2=(55-76)2x0.08+(65-76)2X0.24+(75-76)2X0.33+(85-76)2X0.2+(95-

76)2X0.15=135,

又。2近似为样本方差，

所以M=135,

此时P(Y>87.61)=p(y2〃+a)=1-P(“-丁%+。)=0.15865,

故该校这次竞赛分数不低于87.6分的教职工人数为1200x0.15865~190.

【解析】(1)由题意，先求出100人中得分不低于90分的人数，得到X的所有取值，求出相对应的

概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解；

(2)结合平均数以及方差公式求出〃和小的值，得到P(YN87.61)的值，进而即可求解.

本题考查离散型随机变量的分布列和期望以及正态分布，考查了逻辑推理和运算能力.

20.【答案】解：⑴,•,/(%)=x3-ax2+%,.,・/'(%)=3%2-2ax+1,

•・•/(%)的一个极值点为1,・・・/'(l)=3—2a+l=0,.・.a=2,

•••/'(%)=3/—4x+1=(x—l)(3x-1),

令广(%)>0,解得久>1或久V最令((%)<0,解得：V%<1,

・•・/(%)在G，l)上单调递减，在(一8鼻),(1,+8)上单调递增，

・・•/(%)的极小值点为1，符合题意，

•*,CL—2.

(2)设切点为(g/(g))，

则/(%o)=XQ-2XQ+XQ,广(%。)=3%o-4x0+1，

故切线方程为y-(%o-2%o+%o)=(3%o-4%o+1)(%-%o)，

将点(0,0)代入得—(就-2%o+%o)=(3%o—4%o+1)(—XQ)F

整理得以(%o-1)=0,所以久°=。或第o=1,

当％°=0时，切线方程为y=x；

当%°=1时，切线方程为y=0.

【解析】(1)求出函数的导数，根据/(1)=0,求出@的值检验即可；

(2)设出切点坐标，表示出切线方程，代入点(0,0),求出切点的横坐标，从而求出切线方程.

本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中

档题.

21.［答案】证明：(1)。九+1+3(71+1)+2=2azi+371-1+3n+3+2=2(1n+6n+4=2(a九+

3九+2),

=一3,的+3+2=2,

・•・数列｛即+3几+2｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

n

解：(2)由(1)知，an+3n+2=2,

则%1=3九一3九一2,

_2(l-2n)n(3n+2+5)_2n+2-3n2-7n-4

J3n=7=?'

2九+3—3(TI+1)2—7(九+1)—42九+2—3九2—7TT.—4nn+lou

cc2

S九+1-sn=----------<~---------------2------=_3几_5，

，当九=1,2时,Sn+1-Sn<0,

当？i>3时，Sn+1—Sn>0,

•**S]>S?>S3<S4<S5<…，

二数列｛S｝中的最小项为S3=2-3x3-7x3-4=_

n3210

【解析】(1)由等比数列的定义即可证明；

⑵由⑴可求得数列｛即｝的通项公式,再由分组求和与公式法求出％,再作差比较%与%+1的大小,

从而求得.

本题考查已知数列递推式求数列的通项公式和前n项和，属于中档题.

22.【答案】解:(1)因为fO)=x+1,

所以[0)=1-三=亭，