2020-2021学年柳州二中高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年柳州二中高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合Af={(1y)|%+y=2},M={(x,y)|x-y=4},那么集合"八八为()

A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.{3,-1}D.{(3,-1))

2.复数z=白的共加复数是()

A.-1+iB.1+iC.1-iD.-1-i

2

3.设全集是R,集合4={x|y=lg(l-x)},={x|(x-i)<0},则4CCRB=()

A.(-oo,l)B.(-0o,i)

C.(1,1)D.

4.若G是AABC的重心，且探=4而+〃近（九〃为实数），贝以+〃=（）

A.|B.1C.iD.|

5.己知角a的终边经过点（一V5,zn）（zn#0）,且sina=gm,则cosa的值为（）

A.-恒B.一渔2VsD

510-±v

y<x,

6.若变量％,y满足的约束条件是x+yW4,且z=2x+y的最小值为一6,则k=()

y>k,

A.0B.-2C.2D.14

7.在等差数列弧j中，若雁=翦，则国』的前名项和弱=（）

A.«B.MC.晦D.B

8.己知/'(无)=X3,则1(2)=()

A.4B.6C.8D.12

9.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，其中甲||乙

甲成绩的中位数为15,极差为12；乙成绩的众数为13,低，场分908

别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，si，S2分别表示6§x；1；"

甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）

A.>%29S]vs?B.%1—%2，S]vs?

C・%]=%2，S]=S?D.=%2，S]>S?

10.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作一个机械零件模型，该零件模型是由两个相同的正

四棱柱镶嵌而成的几何体，其三视图如图所示.这个几何体的体积为（）

A.16B.vC.16D.v

333

11.执行如图所示的程序框图，输出5=黑.那么判断框内应填（）

A./c<2015B./c<2016C.k>2015D.k>2016

/V2L

12.己知双曲线二一彳=1（4>0.8>0）的一条渐近线过点（2.、；3），且双曲线的一个焦点在抛物

（Th

线j，2=4bx的准线上，则双曲线的方程为（）

AX'/1RX’/1cxly11Dy1-i

212828213443

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在正项等比数列｛即｝中，a=—,=3.则满足的+。2+…+a»t>的。2…0n的最大正整

5鬟一

数。的值为.

14.若等边△4"的边长为2、回，平面内一点M满足CA4=-CB+-CA＞则布•砺=

63

15.过抛物线y2=2x的焦点作一条倾斜角为锐角a,长度不超过4的弦，且弦所在的直线与圆/+

y2=?有公共点，则角a的最大值与最小值之和是.

16

16.已知直四棱柱的4BCD-力iBiGDi所有棱长均为2,E,F,G分别为棱AD,DC,aG的中点，

S.ABAD=60°,则异面直线4G与FG所成的角的余弦值为,三棱锥&一EFG的体积为

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知cosa=一；,aG(0,TT).

(1)求cos?]的值；

(2)若cos(a+0)=-夕€(],兀)，求cos/7的值.

18.为了增强消防意识，某部门从男职工中随机抽取了50人，从女职工中随机抽取了40人参加消防

知识测试，按优秀程度制作了如下2x2列联表：

优秀非优秀总计

男职工35

女职工

总计50

(1)完成2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；

(2)为参加市里举办的消防知识竞赛，该部门举行了预选赛，已知在消防知识测试中优秀的职工

通过预选赛的概率为|,现从消防知识测试中优秀的职工中选3人参加预选赛，设随机变量X表示

这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望.

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

19.如图，已知为圆柱OOi底面圆。的直径，C为触的中点，点P为圆柱上

底面圆。［上一点，P4L平面ABC,PA=AB,过4作4E1PC,交PC于

点E.

(1)求证：AE1PB-,

(2)若点C到平面P4B的距离为1,求圆柱。3的表面积.

20.己知函数/'(x)=(/+ax+a%-*,(a为常数，e为自然对数的底).

(1)当。=0时，求((2)；

(口)若/0)在乂=0时取得极小值，试确定a的取值范围；

(W)在(口)的条件下，设由f(x)的极大值构成的函数为g(a),将a换元为x,试判断曲线y=g(x)是

否能与直线3尤-2y+m=为确定的常数)相切，并说明理由.

21.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C；\+忘=l(a>b>0)的离心

率为日，4是椭圆的左顶点，M,N是椭圆上的两个动点，直线4M交y

轴于点P.

(1)若布=：宿，求直线4M的斜率；

O

(2)若a-b=l,圆Ci：x2+(y-I)2=r2(0<r<1),直线4M和直线AN

都与圆G相切，当r变化时，试问直线MN是否过某个定点？若是，求

出该定点；若不是，请说明理由.

22.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为E二1cos9(。为参数)，在以原点。为极点，

(V—乙SITI。

以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系有相同的长度单位的极坐标系中，直线I的方程为psin(。+

；)=2V2.

(1)求曲线C的普通方程和直线，的直角坐标方程；

(3)求直线/被曲线C截得的弦长.

23.己知函数就呦=峭一例小，寺懒，

(/)当解=口时，求曲线加施磷在点殷蔚；璇处的切线方程；

(〃)在区间做用内至少存在一个实数蟒，使得施磷礴成立，求实数於的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

本题考查集合的交集及其运算，属基础题.

掌握集合的含义是关键.

解:由“={(-y)|%+y=2}，M={(%,y)|x-y=4}

所以"nN={(x,y)|I：}；［3={(x，y)lzip={(3,-1)),

故选D

2.答案：B

解析.解.z=—=2(1~0-=1-i,

则共加复数5=1+i,

故选：B.

根据复数运算法则进行化简，结合复数共朝复数的定义进行求解即可.

本题主要考查复数共舸复数的求解，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键.比较基础.

3.答案：D

解析：解：A={x|x<1］,B=

CRB={x\x打},

.•MncRB=(-oo,i)u(1,l).

故选：D.

可以求出集合A,B,然后进行交集和补集的运算即可.

本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于

基础题.

4.答案：A

解析：解：若G是△ABC的重心，木

如图所示/\

根据中线向量，/I\

所以而=［荏+［前，/I\

BDC

由于而=弓出，

所以i4G

即入=〃=1.

故a+a=|.

故选：A.

直接利用向量的线性运算和中线向量的应用求出结果.

本题考查的知识要点：向量的线性运算，中线向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能

力，属于基础题型.

5.答案：C

解析：解：已知角终边上一点P（-低m）（m。0），且sina=|m=^==,

・・2

•m=4

-\fs2Vs

・•・cosa=-f==------

辰5•

故选：c.

由条件利用任意角的三角函数的定义，并结合sina=|zn,求得的值，可得cosa的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

6.答案：B

解析：

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得

最优解的坐标，代入目标函数得答案.

y<x

解：由约束条件卜+yw4作出可行域如图：

y>k

y

化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,

由图可知，当直线y=-2%+z过4时丁直线在、轴上的截距最小，z有最小值为2/c+/c=3/c=-6,

二k=—2.

故选&

7.答案：B

解析：试题分析：/=豫嗨=瞬.

考点：等差数列及其前密项和.

8.答案：D

解析：解：/(x)=X3,

则f(x)=3x2,

则1(2)=3x4=12,

故选：D.

先求导，再代值计算即可.

本题考查了导数的运算和导数值的求法，属于基础题

9.答案：B

解析：解：根据题意，得

20+y—9=12,y=1,x=5,z=3；

••・甲测试成绩的平均数是有=9+14+15：15+16+21=15,

乙测试成绩的平均数是%=8+13+1375+19+224，...羽=耘；

O

又•.•甲的测试成绩数据极差小，且数据比较集中，.••标准差小，

乙的测试成绩数据极差相对大，且数据比较分散，.•・标准差大，，Si<S2；

故选:B.

根据题意，得出y、x、z的值;求出甲、乙测试成绩的平均数，得出五=莅;由标准差的意义得出si<S2.

本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图提供的数据计算出平均值与标准差，是基础题.

10.答案：B

解析：解：由三视图知I：该几何体为这两个相同的正四棱柱的底面边长为鱼，高为4,

设每一个四棱柱的体积为匕，

所以匕=(V2)2X4=8.

设两个几何体的重合部分为吃，

所以U=2匕一%，

重合部分由一个八面体分前后两个四棱锥体.

四棱锥体的底面为正方形，边长为2,

所以%=2x1x22xl=|.

所以V"=2匕—V2~

故选：B.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体地体积.

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于中档题.

11.答案：A

解析：

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，属于基础题.

模拟执行程序框图，根据程序的功能进行求解即可.

解：本程序的功能是计算S=^+*+“-+法匕

/XS~rLJ

1,11..1111

=4--------------------H•••-]---------------=1-----------.

223kfc+1k+1

由1一」_=些，得

k+12016fc+12016

即k+1=2016,即k=2015,

即k=2016不成立，k=2015成立,

故断框内可填入的条件k<2015,

故选：A.

12.答案：D

解析：

本题考查了双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得

双曲线的左焦点，再根据焦点在支轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，

求出a、b,即可得到双曲线的标准方程.

解：由题意得色=更，

a2

•••抛物线y2=4bx的准线方程为x=-V7,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4夕x的准线上，

.•・c=V7，

:.a2+b2=c2=7,

Q=2,b-，

.•.双曲线的方程为三-"=1.

43

故选。.

13.答案：12

ns

解析：由已知条件得L+乙/=3,即q2+_6=0,解得q=2,或q=-3(舍去)，an=asq~=

罢罢

,,sj_m，

nn5-4-3n6

—x2-5=2"-6,Q]+g+…+an=--(2—1),a1a2...an=2-22...2~=2-......-，

罢累名

由的+。2+-+加>。仅2...即，可知2时5—2-5>2玄?避，由2"-5>2喊：邛,可求得n的

念罢

最大值为12,而当?1=13时，28-2-5<213,所以n的最大值为12.

14.答案：一2

------1—,2—,

解析：解法一：由于CW=—CB+—C4,那么

63

—>—,---------—11—>2—'1—•1—■

MA=CA-CM=CA-(-CB+-CA\=-CA--CB

6336

-----—■------——-1—.2—•2—■5——•

MB=CB-CM=CB-(-CB+-CA\=--CA--CB,

6336

则有

----1--1—.2—■5--2—*25—*27—•--

MA»MB=(^-CA--CB)»(r-CA+-CB')=--CA--CB+—CA»CB

363693618

257

=-1x(2与2-5X(2后)2+点X(273)2X(2-73)2xcos60°=-2.

解法二：本题如果采用建立直角坐标系，运用向量数量积的坐标运算较为简单，建立如图所示的直

角坐标系，根据题设条件即可知4(0,3),B(_£,0),M(0,2),.•.M4=(0,l)>MB=(-3-2)--

解析：解：设所作直线4B的方程为：y=/c(x-1),(/c>0),4(%i，yi),B(x2,y2')-

•••弦4B所在的直线与圆炉+V=令有公共点，...担vV5,化为/<3.

16V1+P—4

联立O=fc(X_5，化为_(1+2〃+=0,

ly2=2x4

k?+2

A+%2=~~k2~"

*|48|=今+刀2+1=鲁+1W4,化为lWl.

综上可得：1WY33,k>0.

1</c<V3>

・・・1<tana<V3»aE(0,71),

7r

•兀••『,7丹

•••角a的最大值与最小值之和是工.

故答案为：费.

设所作直线AB的方程为：y=/c(x-1),(k>0),A(x“i),BQ2,%)•根据弦AB所在的直线与圆产+

2

y=5有公共点，可得/<3.与抛物线方程联立化为Ze?/一(炉+2〃+/2=0(利用根与系数的

164

关系可得|4B|=/+&+1W4,化为1<1.综上可得：1skw0，即1式tana<V3,aG(0,兀)，

解出即可.

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根

与系数的关系、点到直线的距离公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

16.答案：0遮

6

解析：解：连接4C,EF,由41c"/AC,EFIIAC,可得&CJ/EF,

所以NEFG是异面直线41cl与FG所成的角(或补角)，如图，

取BC中点H,连接GH,FH,易知AGHF是以尸G为斜边的直角三角形，

根据题意可得FH=LGH=2,所以尸6=遮，又AC=2限,所以EF=B，

连接EG,GE=2V2.所以EG?=£7〃+FG2,所以EF1FG,即AGlFG,

故异面直线与FG所成角的余弦值为0.

如上图，取必当的中点M,连接ME,MG,显然MG〃EF,且MG=EF,

所以四边形EFGM是平行四边形，

=XXX

所以以i-EFG=%i-EMG=^E-ArMG1（11V3XS比150°）X2=/，

故答案为：0；—.

6

①连接AC,FF,可证ZEFG是异面直线4C1与尸G所成的角（或补角），在尸G中，可证得EF工/G,

即&G1FG；

②取41当的中点M,连接ME,MG,可证四边形ErGM是平行四边形，所以以「EFG=二

4T】MG，进而可得结果.

本题考查了空间中异面直线之间的夹角计算，考查了三棱锥体积的求法，属于中档题.

17.答案：解：(1)由cosa=2cos21-1得：cos2^=1+c^sa=|

(2)vcosa=—aE(0,7r),

••・aE(p7r).Asina=V1-cos2a=军

又•・,/?6(p7T),a+e(7T,2兀),

・•・sin(a+/?)=—y/1—cos2(a+/?)=一日，

・••cosp=cos[(a+夕)-a]=cos(a4-(i)cosa+sin(a+°)sina=(一｝(-卞+(一当)竽11

14

解析：（1）结合二倍角公式及半角公式即可求解;

（2）结合同角基本关系及和差角公式即可求解.

本题主要考查了和差角公式，半角公式及同角平方关系在三角求值中的应用，属于基础试题.

18.答案：解：（1）2x2列联表如图:

优秀非优秀总计

男职工351550

女职工152540

总计504090

90(35X25-15X15)2

x9.506<10.828.

50x40x50x40

・•・没有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关;

(2)X的可能取值是0,1,2,3.

P(X=o)=(Up(x=1)=0彳.削=：,

P(X=2)=或•(|)2-i=iP(X=3)=(|)3=卷.

X的分布列为：

H刑相

E(X)=3x|2=2.

解析：本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列及其求法，是中档题.

(1)由题意填写2x2列联表，求得K?的观测值，结合临界值表得结论；

(2)求出X的所有可能取值，分别求其概率，即可得分布列和期望.

19.答案：解：(1)TAB为圆柱0。1底面圆。的直径，C为翁的中点，

BC1AC,

■：PA_L平面ABC,BCu平面48C,

•••PA1BC,

又nAC=4,

BC，平面PAC,

vAEu平面P4C,

BCLAE,

XvAE1PC,UPCOBC=C,

AE，平面PBC,

.•.由PBu平面PBC,可证力EJ.PB；

⑵•••点C到平面P4B的距离为1,

••・PA=AB=2,

工圆柱0。1的表面积S=2xyrxM+2兀x1x2=6TT.

解析：(1)由题意通过证明BC_L平面PAC,可证进而利用线面垂直的判定定理证明平

面PBC,利用线面垂直的性质可证4E1PB；

(2)由题意可求PA=AB=2,即可计算得解圆柱。。1的表面积.

本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，圆柱的表面积求法，考查了转化思想和数

形结合思想，属于中档题.

20.答案：解：(1)当。=0时，/(x)=x2e~x,/z(x)=2xe~x—x2e~x=xe~x(2—x).

所以r(2)=0.

(H)//(x)=(2%+a)e"x—e"x(x2+ax+Q)=e"x[—x2+(2—a)x]=—e~x-x[x—(2—a)].

令f'(x)=0,得x=0或％=2—a.

若2—a=0,即a=2时，f，(x)=—%2e-x<0恒成立，

此时/(%)在区间(-8,+8)上单调递减，没有极小值；

当2—Q>0,即Q<2时，

若％V0,则((%)<0・

若0V%<2—a,则r(x)>0.

所以无=0是函数f(x)的极小值点.

当2—Q<0,即Q>2时，

若久>0,则

若2—a<%V0,则((%)>0.

此时％=0是函数f(x)的极大值点.

综上所述，使函数/(%)在X=。时取得极小值的Q的取值范围是Q<2.

(DI)由(H)知当aV2,且％>2-。时，/'(%)<0,

因此％=2-a是/(%)的极大值点，极大值为“2-Q)=(4-a)ea-2.

所以g(%)=(4—x)ex~2(x<2).

g'(x)=-ex~2+e*-2(4—%)=(3—x)ex~2.

令九(x)=(3—x)ex-2(x<2).

则”(%)=(2-x}ex~2>0恒成立，即九(%)在区间(一8,2)上是增函数.

所以当口<2时,九(%)<九(2)=(3-2)e2-2=1,即恒有g'(%)<1.

又直线3x-2y+m=。的斜率为|,

所以曲线y=g(x)不能与直线3x-2y+m=0相切.

解析：(I)把a=0代入函数解析式，求导后直接把x=2代入导函数解析式计算：

(U)求出原函数的导函数，解出导函数的零点为0或2-a,分2-a=0、2-a>0、2-a<0三种

情况讨论导函数在不同区间内的符号，判出极小值点，从而得到使/"(X)在x=0时取得极小值的a的

取值范围；

(HI)由(II)中的条件，能够得到x=2-a是/(%)的极大值点，求出f(2-a),得到g(©,两次求导得

到函数

g(x)的导数值小于1,而直线3久-2y+m=0的斜率为I，说明曲线y=g(x)与直线3%-2y+m=0

不可能相切.

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数模型的选择，考查了函数存在极值点的条件，

需要注意的是，函数在极值点处的导数一定等于0,但导数为0的点不一定是极值点，此题有一定难

度.

21.答案：解：(1)因为椭圆的离心率为遗，=3又，:a2=b2+c2,所以。=2b.

2a2

椭圆C的方程可设为：y2+4x2=4&2.

设直线4M的方程为：y=k(x+b'),代入椭圆方程得(炉+4)尤2+2/c2bx+(1-4)/J2=0.

222

(fc-4)b.v_(k-4)Z>

XAXMM+4'=%

AP=-0-(xM-xA),b=[I-4言匕+b),解得1=3.

即直线AM的斜率为土值.

(2)直线MN过定点(I，0)理由如下：

由(1)知a=2b,又a—b=1,；.a=2,b=1

椭圆C的方程可为：y2+4x2=4.

设切线方程为y=t(x+l),由圆心到其距离为r,得(l-r2)t2—2t+l-r2=0.

设4M\AN的斜率分别为t2，贝肚遥2=1

叱I之可得M然晶)

用(换5得N(寝，器)一••直线MN的斜率为k“N=一煞，

直线MN的方程：y-悬=一券■(%-公)

1•jIT1JLfC](•]1"什

今V—0

8£^l+£f4-£?-_5

々y—U,X-£?+4X3J+片+43,

直线MN过定点(|,0).

解析：本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，及直线过定点问题，属于压轴题.

(1)因为椭圆的离心率为苧，得a=2b,椭圆C的方程可设为：y2+4%2=4炉.

设直线AM的方程为：y=k(x+b),代入椭圆方程得(1+4)x2+2k2bx+(fc2—4)£>2=0.

AP=^AM,0-xA=^(xM-xA),b=区-％曹+b),解得k

(2)由(1)知Q=2b,又a—b=l,，Q=2,b=1

椭圆C的方程可为：y2+4x2=4.

设切线方程为y=t(x+1),由圆心到其距离为r得(1-r2)t2-2t+l-r2=0.

设4M\4N的斜率分别为ti，t2，则£住2=1

求出“、N坐标，得直线MN的斜率为/CMN=一篇，

直线MN的方程：=令"0,“於x黑+舒!1,直线MN过定点•

22.答案：解：⑴•••曲线C的参数方程为匕二为参数)，

曲线C的普通方程为o-2)2+y2=4,

•••直线I的方程为psin(0+3=2V2,

^psin6cos^+pcosdsin^=当(psin。+pcosd｝—2V2>

•••直线l的直角坐标方程为％+y-4=0.

⑵联立=匕得｛二阪［JK，

・••直线1与曲线。的交点坐标为(2,2),(4,0),

・・・直线/被曲线C截得的弦长为：

J(4-2)2+