2019-2020学年人教A版广东省湛江市高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知集合4={1,2,3,4},B=[y\y=3x-2,xG川，贝()

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

2.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（）

A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4

3.直线曲■ByHnO的倾斜角为（）

A.150°B.120°C.30°D.60°

4.函数f（x）—3-3一*的定义域为()

A.[-1,+8)B.[-1,0)U(0,+8)

C.(-8,-1)D.(-1,0)U(0,+8)

5.有一组实验数据如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

则体现这些数据的最佳函数模型是（）

11xIo

A._2B.y=IogxC.y=—«2D.y=­x

y=x232

6.已知圆C的圆心是直线妙妙1=0和直线x-y-1=0的交点，直线3A+4y-11=0与圆C

相交的弦长为6,则圆C的方程为（）

A.x+(yH)2=18B.Y+(y-1)五

C.(%-1)2+y=18D.(x-1)2+/=3&

7.过半径为2的球。（0为球心）表面上一点4作球0的截面，若。（与该截面所成的角是

30°,则该截面的面积为（）

A.nB.2nC.3nD.2«TT

8.设。、"是两条不同直线，a、B是两个不同的平面，下列命题中正确的是（)

A.若m//a,a_LB,则ml.BB.若m//a,n//a,则m//n

C.若ml.a,m//B,则a〃BD.若m//n,ml.a,则n±a

9.若圆C:（x-d）2+（JH-5）2=才被直线/.产尸2=0分成的两段弧长之比为1：3,则

满足条件的圆（）

A.有一个B.有两个C.有三个D.有四个

10.已知函数A(x)是定义域为R的偶函数，f(-1)=3,且当x》0时，f(x)=2*+A+C

(c为常数)，则不等式A(x-1)V6的解集是()

A.(-3,1)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-1,3)

11.若点(m,n)在直线4A+3y-10=0上，贝4/+一的最小值是(

A.2B.2血D.2正

12.定义在区间(1,+oo)上的函数,(必满足两个条件：(1)对任意的*£(1,+oo),

恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)当(1,2］时，f(x)=2-x.若函数g(x)=

f(x)-k(x-1)恰有两个零点，则实数〃的取值范围是()

A.[1,2)B.[1,2]C.4.2)D.4，2)

OO

二、填空题

13.函数f(x)=2/3,g(妙2)=/(x),则g(x)=.

14.已知直线/与直线尸*平行，且被圆V+夕-4x-4片7=0所截得的弦长为则直

线/的方程为.

15.过点P(1,-3)且和圆x+y+2x-2y-2=0相切的直线方程为.

16.如图，在直角梯形/脑中，BCLDC,AEA.DC,M、N分别是40、5E的中点，将三角形

/应■沿4F折起，则下列说法正确的是.

(1)不论〃折至何位置(不在平面48c内)，都有腑〃平面

(2)不论。折至何位置，都有做■!?!£■;

(3)不论〃折至何位置(不在平面48c内)，都有制〃4B：

(4)在折起过程中，一定存在某个位置，使ECL4O.

DEC

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知△48C的顶点4(4,3),48边上的高所在直线为x-y-3=0,〃为4C中点，且

劭所在直线方程为3妙y-7=0.

(1)求顶点8的坐标；

(2)求仍边所在的直线方程.

18.如图，在三棱锥P-4仇?中，AP=CP,0是4c的中点，PO=1,OB=2,

(1)证明：平面外CJ"平面4SC；

19.某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为

t+200<t<25,t€N*，.

P=〈，该商品在30天内日销售量。(件)与

-t+10025<t<30,t€N*.

时间t(天)之间满足一次函数关系，具体数据如表：

第t天5152030

Q35252010

(I)根据表中提供的数据，求出日销售量。关于时间方的函数表达式；

(II)求该商品在这30天中的第几天的日销售金额最大，最大值是多少？

20.已知函数f(x)=x-1"(x手0).

x

(I)用定义法证明；函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增；

(II)若对任意xG[-2,0)都有2(x)>己恒成立，求实数a的取值范围.

21.如图，直方体/脑-48G〃中，。是/C中点.

(I)证明：0G〃平面4区4；

(II)求直线与平面44%所成的角的值.

22.已知圆心为C的圆过点(愿，3),且与直线y=2相切于点(0,2).

(1)求圆C的方程；

(2)已知点4/(-3,4),且对于圆C上任一点P,线段照C上存在异于点"的一点N,

使得|阂=入|力|(人为常数)，试判断使△力”的面积等于4的点。有几个，并说明

理由.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.请把正确答案的代号填入下面的表格内.

1.已知集合4={1,2,3,4),3={y\y=3x-2,xG4},贝"{DQ()

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

【分析】把/中元素代入y=3x-2中计算求出y的值，确定出8,找出/与夕的交集即

可.

解：把x=1,2,3,4分别代入y=3x-2得：y=1,4,7,10,即8={1,4,7,10),

2,3,4),

：.AC\B={y,4},

故选：D.

2.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是()

A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4

【分析】利用圆柱的轴截面为正方形，即h=2r,由此即可求出其侧面积与全面积，即

可求解.

解：由于圆柱的轴截面为正方形，即方=2广；

所以圆柱的侧面积为：2nr・A=4nr;全面积为：TT/X2+2nh=6nr；

即圆柱的侧面积与全面积的比为：4nr2：6nr2=2:3.

故选：B.

3.直线小+3yH=0的倾斜角为()

A.150°B.120°C.30°D.60°

【分析】求出直线的斜率，即可求出直线的倾斜角.

解：直线心+3齐1=0的斜率是-瓜，倾斜角是器，

36

故选：A.

4.函数A(x)=/〃|x|+J3一、的定义域为()

A.[-1,+8)B.[-1,0)U(0,+8)

C.-1)D.(-1,0)U(0,+8)

【分析】根据函数A（X）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

解：函数尸（x）=/〃|X|+43-3~X，

Ixl^Ox卉0

解得

3-3~x>0,x>-1

所以/（x）的定义域为［-1,0）U（0,+8）.

故选：B.

5.有一组实验数据如表:

X23456

y1.402.565.311121.30

则体现这些数据的最佳函数模型是（）

11„1?

A._万B.y=logxC.y=­-2D.y=­x

y=x232

【分析】把（t,y）的值分别代入4B,C,〃中，能够找到最佳体现这些数据关系的函

数模型.

解：把（x,y）的值分别代入y=/中，不成立，故4不能最佳体现这些数据关系；

x

把（x,。的值分别代入y=log2X中，不成立，故夕不能最佳体现这些数据关系；

把（x,y）的值分别代入7=士・2'中，基本成立，故C能最佳体现这些数据关系；

O

把（X,y）的值分别代入y=gx2中，不成立，故。不能最佳体现这些数据关系.

故选：C.

6.已知圆C的圆心是直线A+yt-1=0和直线x-y-1=0的交点，直线3^+4y-11=0与圆C

相交的弦长为6,则圆C的方程为（）

A.x+（yH）2=18B.X+（y-1）2=3../2

C.（x-1）2+y=18D.（x-1）2+炉=3我

【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据相交弦的弦长公式求解半径即可.

解：直线妙尸1=0与直线x-y-1=0的交点为（0,-1）,

二所以圆C的圆心为C（0,-1）,

设半径为r,

2

2792

由题意可得732+42+3=r,

即解得r=18,

故圆C的方程为x+(>+1)2=18.

故选：A.

7.过半径为2的球0(0为球心)表面上一点/作球0的截面，若04与该截面所成的角是

30°,则该截面的面积为()

A.nB.2nC.3nD.2«n

【分析】充分利用球的半径力、球心与截面圆心的连线、以在截面圆上的射影构成的直

角三角形解决即可.

解：解：设截面的圆心为Q,0A=2,

由题意得：N0k7=3O°,QA=M

/.5=n•(«)2=3n.

故选：C.

8.设久"是两条不同直线，a、B是两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A.若〃〃a,a_LB,则BB.若〃〃a,n//a,则m〃"

C.若加_La,m//3,则a〃BD.若加〃〃，ml.a,则"_La

【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合面面垂直的判定定

理即可找出正确选项.

解：A.错误，若aJ_0,ml.a,则m//B或gB,故力错误；

B.错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；

C.错误，ml.a,m//B=a_LB；

D.正确，由ml.a,m//n便得"_La.

故选：D.

9.若圆C:(x-a)2+(y+a)?=才被直线/:妙尸2=0分成的两段弧长之比为1:3,则

满足条件的圆()

A.有一个B.有两个C.有三个D.有四个

【分析】直接利用直线把圆分的两段弧为1:3,故圆心到直线的距离等于半径的一半，

进一步利用点到直线的距离求出a的值.进一步确定圆的个数.

解：圆C-.(.x-a)2+(y+a)2=a,

该圆是以(a,-a)为圆心，|a|为半径的圆，

被直线/:/六2=0分成的两端弧长之比是1：3,

则圆心到直线的距离勺上空畔］_上

V22

解得：a=±2-/2>

所以：满足条件的圆有两个.

故选：B.

10.已知函数5(x)是定义域为R的偶函数，f(-1)=3,且当x》0时，5(x)=2*+A+C

(c为常数)，则不等式A(x-1)V6的解集是()

A.(-3,1)B.(-2,3)C.(-2,2)D.(-1,3)

【分析】因为函数尸(x)是定义域为R的偶函数，f(-1)=3,所以f(1)=3,由题

意求出c的值，进而求出6=5(2),由偶函数的对称性可得x的范围.

解：因为尸(x)是偶函数，所以2(-1)=f(1)=2+1+c=3,所以c=0.

所以当x》0时，f(x)=T+x,是增函数，又因为5(2)=6,

所以当x-1》0时，0WX-1V2;

因为f(%)是偶函数，所以当xVO时f(x)是减函数，且2(-2)=6,

所以当X-1V0时，-2VX-1V0.

所以解得-1VxV3.

故选：D.

11.若点Qm,ri)在直线4A+3y-10=0上，则锵方的最小值是()

A.2B.242C.4D.2a

【分析】由题意知点(勿，")为直线上到原点最近的点，直角三角形A48中，0A=^9

0B=—,斜边上的高力即为所求/+//的算术平方根，由此能求出演+才的最小值.

O

解：由题意知点(加，ri)为直线上到原点最近的点，

直线与两轴交于44，0),B(0,¥),

直角三角形048中，创吾，但学斜边g’,)'+(¥)2=*,

斜边上的高〃即为所求/+〃?的算术平方根,

•.•△048面积h,

..OAXOB

••n---------

AB

12芈3-

25'

V

:.m+n的最小值=斤=4,

故选：C.

12.定义在区间(1,+8)上的函数A(x)满足两个条件：(1)对任意的xG(1,+8),

恒有f(2x)=2f(.x)成立；(2)当xG(1,2]时，f(x)=2-x.若函数g(x)=

f(x)~k(x-1)恰有两个零点，则实数々的取值范围是()

A.[1,2)B.[1,2]C.仔，2)D.得，2)

OO

【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：fCx)=-妙24xG(仇26],又因为

A(x)=k(x-1)的函数图象是过定点(1,0)的直线，再结合函数的图象根据题意求

出参数的范围即可

解：因为对任意的xG(1,+8)恒有f(2x)=2f(x)成立，且当xG(1,2]时，f

(x)=2-x

所以/'(x)=-x^2b,xG(.b,2b\.

由题意得尸(x)=k(x-1)的函数图象是过定点(1,0)的直线，

如图所示红色的直线与线段48相交即可(可以与8点重合但不能与/点重合)

所以可得々的范围为]<k<2

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.函数/'(x)=2A+3,g(A+2)=f(x),则g(x)=2x-1

【分析】先由尸(X)=2/3,g(A+2)=A(X)求得g(妙2)再利用换元法将/2=t

求得g(t),再令x=t即得g(x).

【解答】解根据题意：f(x)=2/3,g(A+2)=f3,

g(A+2)=2/3,

令妙2=下，贝iJx=£-2

：.g(t)=2t-1

令x=t

'.g(x)=2x-1

故答案为：2x-1

14.已知直线/与直线7=乂平行，且被圆f+夕-4x-4尸7=0所截得的弦长为J],则直

线/的方程为y=x±1.

【分析】根据题意，设直线/的方程为尸户仇即x-八6=0,由直线与圆的位置关系

可得圆心到直线的距离d,结合点到直线的距离公式可得"=甲"=返，解可得6的值,

V22

即可得答案.

解：根据题意，直线/与直线尸x平行，设直线/的方程为尸产仇即x-j/+6=0

圆f+/-4x-4尸7=0,即(x-2)2+(y-2)2=1,圆心为(1,1),半径r=1,

若直线/被圆f+/-4x-4尸7=0所截得的弦长为我，则圆心到直线的距离

=返

2，

则有占取■=返，解可得6=±1,

V22

故直线/的方程为y=x±1;

故答案为：y=x±1.

15.过点户(1,-3)且和圆x+y+2x-2y-2=0相切的直线方程为*=1或3A+4尸9=0.

【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，由直线与圆相切的性质可得圆心到直线的距

离&分直线的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案.

解：根据题意，圆f+/+2x-2y-2=0,即(/1)2+(y-1)2=4,圆心为(-1,1),

半径r=2;

若直线与圆f+/+2x-2y-2=0相切，则圆心到直线的距离d=2,

若切线的斜率不存在，则直线的方程为x=1,直线与圆相切，符合条件；

若切线的斜率存在，设直线的方程为y+3=〃(x-1),即〃x-y-/r-3=0,

|-k-1一『3]'二1

此时有---/]卜2—=2，解可得〃=-j,

q

此时直线的方程为y+3=-E(x-1),即3A+4y+9=0;

4

综合可得:直线的方程为：x=1或3A+4J/+9=0;

故答案为：x=1或3A+4齐9=0.

16.如图，在直角梯形四缈中，BCLDC,AE2.DC,M、〃分别是血、BE的中点、,将三角形

4?£沿〃■折起，则下列说法正确的是(1)(2)(4).

(D不论〃折至何位置(不在平面/宓内)，都有腑〃平面比a

(2)不论〃折至何位置，都有做J_4£;

(3)不论〃折至何位置(不在平面Z8C内)，都有腑/〃48；

(4)在折起过程中，一定存在某个位置，使ECL4O.

【分析】利用直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理、性质定理，结合反例、反

证法的思想方法，逐一判断得出答案.

解：由已知，在未折叠的原梯形中，AB//DE,BE//AD.所以四边形/(以力为平行四边形，

：.DA=EB.折叠后得出图形如下：

(1)过M〃分别作8C的平行线，交切，EC于F,H.连接FH

则1njH—N=—EN,—FM■=—DM

CBEBEADA

由平行公理得〃%

'：DA=EB,：.HN=FM,

二四边形M〃力是平行四边形.

：.MN//FH

M幅面CED,HFu曲CED....M/〃平面DEC.①正确

(2)由已知，AELED,AES.EC,

.,"EL面CED,HFu面CEDJ.AE1.HF,:.MNLAE;②正确

(3)MN与AB异面.假若MN//AB,则腑与48确定平面MNAB,

从而BEu平面MNAB,Ag平面MNAB.与跖和47是异面直线矛盾.③错误.

(4)当绥_L£»时，EC2-AD.

这是因为，由于C£L£4,EACED=E,

所以CEL面AED,ADa面AED.得出ECLAD.④正确.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知△48C的顶点4(4,3),48边上的高所在直线为x-v-3=0,〃为4?中点，且

劭所在直线方程为3A+/-7=0.

(1)求顶点8的坐标；

(2)求8c边所在的直线方程.

【分析】(1)由点力及48边上的高所在直线求得直线48的方程，再与他所在直线方

程联立求出点夕的坐标；

(2)根据题意列方程求出点，的坐标，再利用两点式求出直线8C的方程.

解：(1)由4(4,3)及/夕边上的高所在直线为x-y-3=0,

得48所在直线方程的斜率为-1,

则直线四的方程为y-3=-(x-4),

即为x+y-7=0;

又劭所在直线方程为3A+X-7=0,

,(3x+y-7=0

由1，

[x+y-7=0

求得点B(0,7)；

(2)设C(〃，〃)，又4(4,3),。为47中点，

则D号，哈，

QXm+4n+3

由已知得《32270,

m-n-3=0

解得cc1,-1)；

又8(0,7),

化简得直线6c的方程为19A+X-7=0.

18.如图，在三棱锥P-4SC中，AP=CP,0是4?的中点，PO=1,OB=2,

(1)证明：平面融CJ•平面48C;

(2)若ACLBC,BC=V3，求点4到平面南C的距离.

【分析】(1)利用"0MC,印+曲=翻，gpPO1.OB.可证明印上面48C,即可得平面

ZMC_L平面ABG-,

(2)设0到平面阳C的距离为♦.由加胞=%-则可得占逅，又点4到平面阳C的

4

距离为2d,即可求解.

解：(1)证明：'：AP=CP,0是4c的中点，:.POLAC,

'：PO=\,OB=2,PB=y/s.：.OP+(^=P3,奥POLOB.

<ACnOB=O,:.POL面ABC,

•：Pg面PAC,：.平面PAC1.平面ABC-,

(2)设。到平面阳C的距离为d.

.平面2ICJ"平面48C,平面PACC平面ABC=AC,ACA.BC,:.BCL面PAC,BC±PC

则有VP-BCO=VO-PBC,即有^'S^BCO'P°=['SATBC"d，

oo

VSABC0亭AABCVXjAC-BC=-1,^=yBC-PC=j乂炳X后^^.

:.d=回

4

TO是47的中点，.•.点4到平面PBC的距离为24®.

2

19.某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系为

t+200<t<25,tCN*,

P=《，该商品在30天内日销售量。（件）与

-t+100254t<30,tEN*.

时间t（天）之间满足一次函数关系，具体数据如表：

第t大5152030

Q35252010

（I）根据表中提供的数据，求出日销售量。关于时间t的函数表达式；

（II）求该商品在这30天中的第几天的日销售金额最大，最大值是多少？

【分析】（I）设日销售量。关于时间t的函数表达式为Q=kt^b,依题意列出方程组,

能求出日销售量。关于时间大的函数表达式.

（II）设商品的日销售金额为y（元），依题意：y=PQ,列方程组，得到

'-t2+20t+8000<t<25,t€N*,»

y=〈由此能求出该商品在这30天

[t2-140t+400025<t<30,t€N*.

中的第25天的日销售金额最大，为1125元.

解：（I）设日销售量0关于时间t的函数表达式为Q=kt^b,依题意得：

[35=5k+b,解之得“k=-l,

I10=30k+blb=40

所以日销售量。关于时间大的函数表达式为4-t+40（te（0,30],tsN*,）.

（II）设商品的日销售金额为y（元），依题意：y=PQ,

'(t+20)(-t+40)0<t<25,t€N*

所以y=<

(-t+100)(-t+40)254t430,t€N*.

-t2+20t+8000<t<25,t€N*

即：y=<

t2-140t+400025430,t€N*.

当te(0,25),tGN*时，y=-(t-10)2+900,当t=10时，%*=900,

当te[25,30],tWN*时，y=(t-70)2-900,当t=25时，虫=1125,

所以该商品在这30天中的第25天的日销售金额最大，为1125元.

20.已知函数f（x）=乂-工（x*0）.

(I)用定义法证明；函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增；

(II)若对任意xG［-2,0)都有r(x)>且恒成立，求实数a的取值范围.

【分析】(I)用定义法证明函数的单调性的步骤要熟记，直接用定义证明即可；

(II)由(I)函数的单调性及函数为奇函数，进而知在［-2,0］上的单调性，求出

的取值范围.

解：(I)任取X、x2e(0,+8),且*VM,

-

f(xJ-f(X2)=(x<-)-(xn-^)=(X,-X2)-~~~)

1z12X*x

21XiX212

(xj-x2)(XJX2+1)

xlx2'

因为OVM〈及，

所以X-x2<0,xix2>0,xix2+1>0,

(X.-Xn)(X<Xo+l))

所以■—i-———-<0,即f(%)-f(死)<0,即f(*)<f(A2),

xlx2

所以函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增；

(II)因为函数尸(x)的定义域是(-8,0)U(0,+8),

对定义域内的每一个X都有f(-x)=-X-*^=-f(X)>

X

所以函数f(X)是奇函数，

由(I)知函数f(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以函数A(X)在区间(-8,0)上单调递增，

所以函数2(x)在区间(-2,0)上单调递增，

所以f(x)1nl^式-2)=得，

所以a<-T-,

即实数a的取值范围是(-8,-反).

21.如图，直方体必-48GU中，。是/C中点.

(I)证明：0G〃平面454；

(II)求直线与平面447C所成的角的值.

D\A

I,*'

----Jc

一二或LtZ

A-------------B

【分析】(I)设4CD8U=Q,连结Aa,推导出四边形及也，是平行四边形，从而

AC//A^,4C=AC,推导出04〃aG,OA=OyCy,从而四边形47GQ是平行四边形，进而

oa//Aa,由此能证明例〃平面眼U.

(II)推导出"JL平面48G4AAJ孙推导出841■平面44心，垂足为Q,则N

ZMQ为直线ZM与平面4/笫所成的角.由此能求出直线ZM与平面44%所成的角的大

小.

解：(I)证明：设4CD84=a,连结4Q,

因为714〃%且44=GG,所以四边形44心C是平行四边形，

所以/勿4G,AC=AG,

又因为0、。分别4c和4G的中点，

所以0A//aa,0A=aa,

所以四边形加是平行四边形，所以例〃加，

因为OtGBtOi,所以4Qu平面/区4，

又因为aw平面的U,所以仅〃平面圈儿

(II)解：因为44

4Uu平面48GU,48u平面48G4,-S-44n45=4,

所以/44_L平面48G4,所以

又因为G4~1~8U,G4u平面AA\Gy,AA-iC平面AA\C\,且^^nG4=4,

所以平面44。，垂足为a,

所以N4/ia为直线与平面44笫所成的角.

因为DIOI=]BIDI=[ADI，所以N/via=3o°•

所以直线ZM与平面4/券所成的角的大小是30°.

22.已知圆心为C的圆过点(«,3),且与直线y=2相切于点(0,2).

(1)求圆C的方程；

(2)已知点4/(-3,4),且对于圆C上任一点P,线段掰?上存在异于点"的一点N,

使得|掰|=入|外|(人为常数)，试判断使△0W的面积等于4的点户有几个，并说明

理由.

【分析】(1)依题意可设圆心C