2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-第四章　对数运算与对数函数

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第四章对数运算与对数函数

(全卷满分150分，考试用时120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列等式正确的是()

A.lg(xy)=lgx+lgyB.2m+2n=2m+n

C.2m-2n=2m+nD.lnx2=2lnx

2.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，

若f(m)=-l厕m的值是()

A.-eB.--C.eD.-

ee

3.已知函数y=f(39的定义域为[-1,1],则函数y=f(log3x)的定义域为()

C.[l,2]D.[V3,27]

m

4.已知函数f(x)=(2m-l)x(mER)是幕函数则函数g(x)=loga(x+m)+2(a>0,且

a/1)的图象所过定点P的坐标是()

A.(0,2)B.(l,2)

C.(2,2)D.(-l,2)

5.已知函数f(x)=x2+e叫若a=f(2Q),b=f(logii),c=f(log2¥)，则a,b,c的大小关

系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

6.已知函数f(x)=，;。；2、若f(gl,则a的取值范围是()

z

Uog3(%-l),x>2,

A.[l,2)B.[l,+oo)

C.[2,4-00)D.(-oo,-l)U[1,+OO)

7.已知f(x)=a\g(x)=logax(a>0,Hawl),若f⑶g⑶<0厕f(x)与g(x)在同一坐标

系内的图象可能是()JJ

AR

Xo%q(15

CD

8.已知函数f(x)=m(x-4三)+2,g(x)=ln|^nxiG[0,l],vX2£[0,4],都有

g(X1)<f(X2)厕实数m的取值范围是()

A.[-|,l]B.Qln3-|,l-|ln3)

C•(吃1)D.pn3一0|1词

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0

分)

9.已知函数6)=｛肾”>2则()

A.f(e+2)=1B.f(f(e+2))=1

C.f(3)=eD.f(f(3))=|

10.已知函数f(x)]呷叫‘°?::若北工互不相等，且f(a)=f(b)=f(c«abc

的值可能是()

A?B.|C.||D,3

1L若10=4,10=25,5。=4厕下列结论正确的有()

A.a+b=2B.b-a=l

C.ab<l

ac2

12.定义"正对数"：ln+x=若a>0,b>0,则下列结论中正确的是

()

A.ln+(ab)=bln+a

B.ln+(ab)=ln+a+ln+b

C.ln+(a+b)>ln+a+ln+b

D.ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知y=f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时,f(x)=ex+L则f(-ln2)的值

为.

14.若定义在(0,+8)上的函数f(x)满足:①对于任意的x,y£R,都有

f(xy)=f(x)+f(y);②当xi>x2>0Ht(xi-x2)-[f(xi)-f(x2)]<0.lJliJf(x)的解析式可以是

f(x)=.(写出一个即可)

15.某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年

(记为第1年)全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资

金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份

是年.(参考数据：|g1.08-0.033,lg7Ho.845,1g5.3-0.724)

16.已知函数f(x)已Iog2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间

[m2,n]上的最大值为2厕n+m=.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

17.(10分)计算下列各式的值：

3

(l)(-^)+log3618+(log93)x(|Og62)-(-i)°;

5

(2)(lg5)2+0.252x0.5-4+(lg5)x(|g2)+lg20.

18.(12分)在①f(x+l)=f(x)+2x号②f(x+l)=f(l-x),且f(0)=3;@f(x)>2恒成立,

且f(0)=3这三个条件中选择一个,补充在下面的问题中，并作答.

已知一元二次函数的图象经过点Q,2),.

⑴求f(x)的解析式；

(2)若g(x)=log2(6-x)+log2(6+x),求g(f(x))在x£[0,2]上的值域

注:若选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

19.(12分)已知函数f(x)=lg(a/xB2x+2),awR.

⑴若a=L求函数y=f(x)的定义域

⑵当x£(-8口时，函数y=f(x)有意义，求实数a的取值范围.

20.Q2分)目前，我国一些高耗低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能

过剩严重影响了生态文明建设，"去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年

开始，每年的年产能比上一年减少的百分比为x(0<x<l).

⑴设第n年(2018年记为第1年)的年产能为2017年的a倍，请用a,n表示x;

(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?(参考数

据:lg2Ho.301,1g3-0.477)

21.(12分)已知函数f(x)=log2x,g(x)=ax2-4x+l.

⑴若函数y=f(g(x))的值域为R,求实数a的取值范围；

(2)函数h(x)=［f(x)F-f(x2),若对于任意的x£［Q］都存在t曰-LU,使得不等式

h(x)>k-2t-2成立,求实数k的取值范围.

22.(12分)已知函数f(x)=log2(x+a).

⑴当a=l时,f(x)+f(x-l)>0成立，求x的取值范围；

(2)若定义在R上的奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当04x41时,g(x)=f(x),求

g(x)在区间［-3,-1］上的解析式,并写出g(x)在区间卜3,3］上的单调性(不必证明)；

⑶对于(2)中的g(x),若关于X的不等式g6击)在R上恒成立,求实数t

的取值范围.

答案与解析

第四章对数运算与对数函数

ir对于A,D,若x,y为非正数，则不正确;对于B,C,根据指数幕的运算性质知C

正确,B错误.故选C.

2.P由题意得f(x)=lnm=-L解得m=方

3.P由xw［-1JL得朋,所以Iog3xw朋,所以xw用2刀.

4.A因为函数f(x)=(2m-l)xm(m£R)是幕函数，所以2m-l=L解得m=l,所以

g(x)=loga(x+m)+2=loga(x+l)+2,Sloga(x+l)=0可得x=0厕g(0)=2,所以定

点P的坐标是(0,2)."“

5.C易知XWR,由f(-x)=(-x)2+ekx|=x2+e冈=f(x)知函数f(x)为偶函数易知f(x)

在@+8)上为增函数且a=f(2*fQ),b=f(㈣*f⑵,c=f(1唯亨户f(-|)=f⑨所

以f(2)>f⑴>f(3即b>a>c.

60Mx)唱»2f⑶。

心"哪就2一g即。言或吐3,

解得14a<2或的取值范围是［L+8).故选B.

1.C由指数函数和对数函数的单调性知，函数f(x)="与g(x)=logax(a>0,H

awl)在(0,+8)上的单调性相同,可排除B,D,再由关系式f⑶・g⑶<0可排除A,故

选C.

8.C由mX1G［O,1］,VX2£［0,4］,都有g(Xl)<f(X2),可得g(X)min<f(X)min.

易知g(x)=ln芸=ln(-i-⑨在［0,1］上递增/.g(x)min=g(0)=0.

当m=0时,f(x)=2>0恒成立；

当m>0时,f(x)在［0,4］上递增,」.f(x)min=f(0)=-2m+2油-2m+2>0,解得

m<l,/.0<m<l;

当m<0时,f(x)在［0,4］上递减,「.f(x)min=K4)=4m+2油4m+2>0,解得m>一然

3m<0.综上，实数m的取值范围是(-Q).故选C.

9.ABP因为f(x)弋(黑？2,所以的+2)一兄+2-2)=1,故A正

确;f(f(e+2))=f(l)=eo=L故B正确;f⑶=ln(3-2)=0,故C不正确;f(f⑶)=f(0)=e-

1三，故口正确.故选人8口.

10.13C令f(a)=f(b)=f(c)=t,根据已知作出函数f(x)的图象和直线y=t.

不妨设a<b<c/「f(a)=f(b)=f(c),」.-log2a=log2b〃」og2(ab)=0,

解得ab=L由底1可如2<c<3,「.t<abc<3.故选BC.

11.ACP若10a=4j()b=25,5c=4厕a=lg4,b=lg25,c=log54,所以a+b=lg

4+|g25=lg100=2,A正确;b-a=lg25-lg4=lg"LB错误;易知ab<^)2=l,

当且仅当a=b时取等号，又a=lg4,b=lg25,所以等号不成立，即ab<l,C正确去

户专-高=1°9410-1。945=1。942巧口正确・

12.AP对于A,当0<a<l,b>0时，有0<ab<l,JArfoIn+(ab)=O,bln+a=bxO=O,

所以In+Qb)=bln+a;当a>l,b>0时，有a哙L从而In+(ab)=lnab=bln

a,bln+a=blna,所以In+(a。=bln+a.所以当a>0,b>0时,ln+(ab)=bln+a,所以A

正确.

对于B,当a=pb=2时满足a>0,b>0,rfoIn+(ab)=ln+|=O,ln+a+ln+b=ln+；+ln

+2=ln2,所以In+(ab)，ln+a+ln+b,所以B错误.

对于C,令a=2,b=4厕In+(2+4)=ln6,In+2+ln+4=ln2+ln4=ln8,显然In

6<In8,所以C错误.

对于D,由"正对数”的定义知，当0<XKX2时，有In+x逐ln+X2.

当0<a<L0<b<l时，有0<a+b<2,

从而In+(a+b)<ln+2=ln2,In+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2,

所以In+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2;

当aNLO<b<l时，有a+b>L

从而In+(a+b)=ln(a+b)<ln(a+a)=ln(2a),ln+a+ln+b+ln2=lna+O+ln

2=ln(2a),所以ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2;

当0<a<l,b之1时，有a+b>L

从而ln+(a+b)=ln(a+b)<ln(b+b)=ln(2b),ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln

1=ln(2b),所以ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2;

当a>l,b>l社In+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln(2ab),

因为2ab-(a+b)=a6-a+ab-b=a(b-l)+b(a-l)之0,所以2ab2a+b,所以In

+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2.

综上所述，当a>O,b>O0tln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln2,所以D正确.

故选AD.

13答案-3

解岸因为f(x)为奇函数所以f(-ln2)=-f(ln2)=-(e'^+l)=-(2+l)=-3.

14.答案logjx(答案不唯

解析由②知f(x)为(0,+8)上的减函数而①知f(x)可以为对数函数，故f(X)=loglX

符合题意.

15答案2024

信息提取①2020年投入研发资金5300万元;②以后每年投入的研发资金比

上一年增长8%;③求该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份.

数学建模以新能源汽车公司研发资金投入问题为背景，将问题转化为指数运算

与对数运算问题.

解析设第n年投入的研发资金超过7000万元，

则5300x(l+8%)nl>7000,gp(n-l)lg1.08>lg7-lg5.3,

所以取n-l=4,此时2020+n-l=2024,

Igl.Uo

所以该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是2024年.

16.答案|

解析作出函数f(x)=|log2X出勺图氨如图所示面图象知所以

0<m2<m<L根据图象易知，当x=m2时，函数f(x)在区间何斯］上取得最大值所

以1:(1712)二||0921712|=2,解得m=士缄m=±2.又0<m<L所以m与又f(m)=f(n),

所以n=2,所以n+m=|.

17.解析⑴(弓y+log3618+(log93)x(log62)｛；)

=(-27)3+iog6218+(iog323)x(Ioge2)-1(2分)

=-3+|log618+jlog62-l(3分)

=-3+ilog6(18x2)-l(4分)

=-3+l-l=-3.(5分)

5

(2)(lg5)2+0.252x0.5-4+(lg5)x(|g2)+lg20

=(lg5)2+(0.52)2x0.5-4+(lg5)x(|g2)+lg20(6分)

=(lg5)x(|g5+lg2)+lg20+0.55-4(8分)

=lg5+lg20+1

=lg(5x20)+i

=2+少.(10分)

18.解析⑴选①:设f(x)=ax2+bx+c(aw0),

则f(x+l)=a(x+l)2+b(x+l)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),(l分)

由f(x+l)=f(x)+2x-l=ax2+(b+2)x+c-l,可得/V二”：

解得右：4(2分)

则f(x)=x2-2x+c,由f(l)=c-l=2可得c=3,(3分)

/.f(x)=x2-2x+3.(4分j

选②:因为f(x+l)=f(l-x),所以f(x)的图象关于直线x=l对称,Q分)

因为f(l)=2,所以可设f(x)=a(x-l)2+2(aw0),(2分)

则f(0)=a+2=3,解得a=l,(3分)

所以f(x)=(x-l)2+2=x2-2x+3.(4分)

选③:因为f(x)>2恒成立且f(l)=2,

所以可设f(x)=a(x-l)2+2,其中a>0,(2分)

则f(0)=a+2=3,解得a=L(3分)

所以f(x)=(x-l)2+2=x2-2x+3.(4分)

(2)当xG[0,2]H^t,f(x)=(x-1)2+2G[2,3],(5分)

令u=f(x)厕u£[2,3],(6分)

g(x)=log2(6-x)+log2(6+x)=log2(36-x2),

2

g(f(x))=g(u)=log2(36-u).(8分)

令t=36-u2,uw[2,3]，则te[27,32],(9分)

又函数y=log2t在te[27,32]上单调递增,Q0分)

因此函数y=log2t(tw[27,32])的值域为⑶og23,5].(ll分)

所以g(f(x))在xw[0,2]上的值域为[3log23,5].(12分)

19.解析⑴当a=l时,f(x)=lg(4x-3・2x+2),(l分)

令4x-32+2>0,则2x<l或2乂>2,所以x<0或x>l.(3分)

所以函数y=f(x)的定义域为{x|x<0,或x>l}.(4分)

(2)令t=2\当xG(-oo,l]0vt,tG(O,2].(5分)

由y=lg(at2-3t+2)有意义得at2-3t+2>0在(0,2]上恒成立，

即a>-2/3•挺(0,2]上恒成立.(7分)

因为-2•卡1-2(泞)飞当在(0,2]时闫海),所以-21)WW，(1O分)

所以a吗故实数a的取值范围是厚+8).(12分)

20.解析Q)依题意得(l-x)n=a,(2分)

,.-0<X<l,/.l-X=Va,/.X=l-Va(nEN+).(4分)

(2)设第m(m£N+)年的年产能不超过2017年的25%,

贝心10%)m«25%,(6分)

即今解得m之系之翳,(8分)

..13<翳<14,且m£N+/.m的最小值为14,(10分)

X2017+14=203LQ1分)

•••至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.(12分)

21.解析⑴当a<0时,g(x)有最大值，故g(x)的函数值不可能取到全体正数，不符

合题意;(2分)

当a=0时,g(x)是一元一次函数，故g(x)的函数值可以取遍全体正数厕y=f(g(x))

的值域是R符合题意;(4分)

当a>0时，要使g(x)的函数值可以取遍全体正数，只需要函数的最小值小于或等

于0,则A=(-4)2-4a“解得a<4,/.0<a<4.

综上，实数a的取值范围为。4].(6分)

(2)h(x)=(log2X)2-2log2X=(log2X-l)2-l,

•・X回刊〃.log2X曰-Ll]二h(x)£[-L3].(8分)

由题意可得存在t曰-L1],使得k