2020-2021学年江苏省徐州一中高三（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年江苏省徐州一中高三（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（）

A./倍B.1倍C.亨倍D.4倍

2.满足条件|z-1|=|3+的的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

3.在二项式（1+x）1。的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）

.2„4„5「6

A.—B.-C.-----D.----

5111111

4.化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的

状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化SG）的热力学公式Gibbs-X劭泌方程和

Van'tHoff方程,可以得到温度（T）与可逆反应的平衡常数（K）的关系式：

-TAS=AG=-RTlnK

式中△以为焰变（在一定温度变化范围内视为定值），为焙变，R为气体常数.利用

上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已

知当温度为Ti时，可逆反应的平衡常数为K；当温度为公时，可逆反应的平衡常数为

△H（T,-Tn）AHdn-TJ

A--------------------B----------.......-

'RT/2'RT/2

△sd，-TJASdn-TJ

C.---------i——D.-----------2——!—

RR

5.已知Z，4是非零向量且满足（之-2芯）±7-<b-2则之与己的夹角是（）

6.在2022年北京冬奥会筹办工作汇报会上指出，建设体育强国是全面建设社会主义现代化

国家的一个重要目标.某学校为贯彻落实教育部新时代体育教育精神，面向全体学生开

设了体育校本课程.该校学生小烷选完课程后，其他三位同学根据小烷的兴趣爱好对他

选择的课程进行猜测.

甲说：“小烷选的不是足球，选的是篮球.”

乙说：“小烷选的不是篮球，选的是羽毛球.

丙说：“小烷选的不是篮球，也不是乒乓球.”

已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由

此推断小烷选择的课程()

A.可能是乒乓球B.可能是足球

C.可能是羽毛球D.一定是篮球

7.已知平面a与0所成的二面角为80°,尸为a、0外一定点，过点尸的一条直线与a、0

所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

8.已知函数/(x)在(0,1)上恒有(无)>2f(x),其中/(%)为函数/(x)的导

数，若a,0为一个锐角三角形的两个内角，则()

A.sin2|3/,(sina)>sin2q/(sin0)

B.cos2|3f(sina)>sin2^(cos0)

C.cos?9(cosa)>cos2a/'(cosp)

D.sin?叩(cosa)>sin2a/'(cos0)

二、选择题(共4小题).

9.对任意A,BCR,记xiAHB],并称A㊉B为集合A,B的对称差.例

如，若4={1,2,3},B={2,3,4),则A㊉2={1,4},下列命题中，为真命题的是

()

A.若A,8UR且A㊉8=8,则A=0

B.若A,BUR且4㊉8=0,则A=B

C.若A,8UR且A㊉8UA,贝!)418

D.存在A,B£R,使得A㊉3=CRA㊉CRB

10.已知抛物线炉=2*(p>0)上三点A(xi,yi),8(1,2),C(x2,y2),尸为抛物

线的焦点，则()

A.抛物线的准线方程为x=-1

B.FA+FB+FC=0-则1而1，|FBI，|而I成等差数列

C.若A,F,C三点共线，贝打1》2=-1

D.若14cl=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2

sinJix

11.设函数f(x)=一^-----,则()

X-x+1

4

A.f（x）的最大值为年

o

B.，（x）|W5|x|

C.曲线＞=/（无）存在对称轴

D.曲线y=/（x）存在对称中心

12.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易

传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华

传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生

过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,

40,50,…….记大衍数列为｛斯｝,其前〃项和为S”,nGN*,则（）

e

太极

用M

*.N少总+R走楫

TTTTITTV

A.420=220

111,,1505

B----p----F--+…H-------------

a3a5a7@20211011

C.523=2156

D.。2+〃4+〃6+—，+448=9800

三、填空题（共4小题）.

13.若一个圆锥的轴截面是面积为第的等边三角形，则该圆锥的表面积为.

14.函数/（x）满足以下条件：

①/（无）的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线；

@f（x）是偶函数；

@f（%）在（0,+°°）不是单调函数；

@f（无）恰有2个零点.

请写出函数/（尤）的一个解析式.

15.2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫

苗已获国家药监局批准附条件上市.在新冠病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小

鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对某种新冠病毒疫苗进行实验，得到

如下2X2列联表（部分数据缺失）：

被新冠病毒感染未被新冠病毒感染总计

注射疫苗1050

未注射疫苗30

总计a100

表中a的值为；计算可知，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认

为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果”.

心_______n(ad-bc)2

参考公式:几=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

P(K2^0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22

16.已知E,尸2分别为双曲线E：4-号l（a〉O,b>0）的两个焦点，E上的点P到

原点的距离为b,且sin/PF2尸i=3sin/PBF2,则双曲线E的渐近线方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的两边AB,AC互相垂直，则AF+AC2nBC2.”

拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,

可以得出的正确结论是：“设三棱锥P-A8C中的三个侧面PAB,PBC,尸AC两两相互

垂直，则—.”

请将上述结论补充完整，并给出证明.

18.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70,100）.已

知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.

（I）试问此次参赛学生总数约为多少人？

（II）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可

共查阅的（部分）标准正态分布表①（xo）—P（尤<无0）

X00123456789

1.20.88490.88690.8880.890770.89250.89440.89620.89800.89970.9015

1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177

1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.9316

1.90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.9767

2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817

2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857

19.如图，在正四棱柱中，AB=1,AAi=2,点E为CCi中点，点F为

BD\中点.

（1）求异面直线BDi与CCi的距离；

（2）求直线BA与平面ME所成角的正弦值;

（3）求点尸到平面8DE的距离.

20.地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公

转扫过椭圆内区域的面积相同.我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十

四节气，将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为24个节气，规则是：任意2个相邻节

气地球与太阳的连线成15°.地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到

达远日点.

（1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长？并说明理由.

（2）以立春为始，排在偶数位的12个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为

闰月.经统计，1931年至2050年间，闰月最多的3个月份是：闰4月7次，闰5月9

次，闰6月8次；闰月最少的3个月份是：闰11月1次，闰12月0次，闰1月0次.为

什么会出现这种现象？请说明理由.

21.设数列｛斯｝,｛仇｝是公比不相等的两个等比数列,数列｛Cn｝满足Cn=a〃+瓦，"6N*.

（1）若斯=2",为=3",是否存在常数也使得数列｛C“+1-日”为等比数列？若存在，求

上的值；若不存在，说明理由；

(2)证明：｛Cn｝不是等比数列.

22.已知函数/(x)=ax-elogaX-e,其中a>l.

(1)讨论/(x)的极值点的个数；

(2)当eWa〈e2时，证明：f(x)20.

参考答案

一、选择题（共8小题）.

1.采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（)

A.a倍B.1倍C.亨倍D.呼■倍

解：水平放置的平面图形的面积与斜二测画法所得直观图的面积之比是2、历，

所以用斜二测画法作一个五边形的直观图，其直观图的面积是原来五边形面积的1]

倍，

即g倍.

4

故选：D.

2.满足条件|z-1|=|3+4，|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

解：z=x+yi,由|z-1|=|3+4力,

可得I（x-1）+yi|=|3+4i|,即J）2+y2=V32+42'

两边同平方可得（x-1）2+y占25,

所以复数z在复平面上对应点的轨迹是以（1,0）为圆心，5为半径的圆.

故选：B.

3.在二项式（1+x）1。的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）

2口4「5「6

AA.—B.----C.----D.----

5111111

【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（X+1）1°的展开式中任取一项有11

种结果，1和X系数都为1,只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1,10,45,120,

210,252,210,120,45,10,1得到奇数4个，得到概率.

解：有题意知本题是一个等可能事件的概率，

在二项式（x+1）1。的展开式中任取一项有11种结果，

1和尤系数都为1,我们只考虑二项式系数即可.

二项式系数为1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1得到奇数4个，

...任取一项，该项的系数为奇数的概率〃=宣

故选：B.

4.化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的

状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化（AG）的热力学公式Gibbs-Helmholtz方程和

Van'tHoff方程,可以得到温度（T）与可逆反应的平衡常数（K）的关系式：

△H-TAS=AG=-RTlnK

式中△以为焰变（在一定温度变化范围内视为定值），为崎变，R为气体常数.利用

上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已

知当温度为Ti时，可逆反应的平衡常数为K；当温度为公时，可逆反应的平衡常数为

△H（Ti-T。△H（T2-TI）

A--------------------B--------------------

'RT—2'RT/2

△sd,-Tn）AS（T?-TJ

RR

解：温度（T）与可逆反应的平衡常数（K）的关系式：AH-TAS=AG=-RTlnK,

'T^S-AH

，lnK1=

AH-T1AS=-RT1lnK1—布

由题意可得△『△­啊皿’则有T2AS-AH-

K,TiAS-AHT9AS-AHAHCTI-TJ

则有lnK7=lnKl-lnK2=Rf；RT^=~RTJ2-

故选：A.

5.已知W，E是非零向量且满足（之-2台±7-<b-2a）则之与式的夹角是（）

兀兀「空5兀

ABD.

T--336

解：:（a-2b）-L（b-2a）

（a-2b），a=a-2a*b=0,

（b-2a）*b=b2-2a,b=0>a2=b2=2a・b，设Z与式的夹角为6-

a・ba，ba・b_1

则由两个向量的夹角公式得cose-*2_,•n

IaI-IbIa2a*b2

.•.0=60°，

故选:B.

6.在2022年北京冬奥会筹办工作汇报会上指出，建设体育强国是全面建设社会主义现代化

国家的一个重要目标.某学校为贯彻落实教育部新时代体育教育精神，面向全体学生开

设了体育校本课程.该校学生小烷选完课程后，其他三位同学根据小烷的兴趣爱好对他

选择的课程进行猜测.

甲说：“小烷选的不是足球，选的是篮球.”

乙说：“小烷选的不是篮球，选的是羽毛球.”

丙说：“小烷选的不是篮球，也不是乒乓球.”

已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由

此推断小烷选择的课程（）

A.可能是乒乓球B.可能是足球

C.可能是羽毛球D.一定是篮球

【分析】依次假定小烷的选择，逐一验证得到答案.

解：若小烷选的是乒乓球，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不符合题意；

若小烷选的是足球，则甲全不对，乙对一半，丙全对，符合题意；

若小烷选的是羽毛球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；

若小烷选的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，符合题意，

故小烷选择的课程可能是足球和篮球，

故选：B.

7.已知平面a与0所成的二面角为80°,P为a、0外一定点，过点尸的一条直线与a、0

所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【分析】过尸作平面A垂直于a、0的交线/,并且交/于点0,连接尸。，则P。垂直于

I,过点尸在A内做。尸的垂线，，以尸。为轴在垂直于尸。的平面内转动L',根据三垂

线定理可得有两条直线满足题意.以尸点为轴在平面A内前后转动根据三垂线定理

可得也有两条直线满足题意.

解：首先给出下面两个结论

①两条平行线与同一个平面所成的角相等.

②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上.

(1)如图1,过二面角a--0内任一点作棱/的垂面AOS交棱于点。，与两半平面

于。4,0B,则NAOB为二面角a-/-0的平面角，ZAOB=80°

设。Pi为/AO8的平分线，则NPiOA=NPO8=40°,与平面a,0所成的角都是30°,

此时过P且与OPi平行的直线符合要求，当OP以。为轴心，在二面角a-/-p的平分

面上转动时，OPi与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形.

(2)如图2,设。P2为/A08的补角/AO夕的平分线，则/己。4=/尸2。3=50°,

与平面a,0所成的角都是50°.当。尸2以。为轴心，在二面角a-/-0'的平分面上

转动时，

0P2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条.此时过P且

与。尸2平行的直线符合要求，有两条.

综上所述，直线的条数共有4条.

8.已知函数/(无)在(0,1)上恒有对7(x)>2f(x),其中/(%)为函数/(x)的导

数，若a,0为一个锐角三角形的两个内角，则()

A.sin?k(sina)>sin2a/'(sinp)

B.cos2P/(sina)>sin2a/'(cos0)

C.cos2Pf(cosa)>cos2af(cos0)

D.sin2[3/*(cosa)>sin2a/?(cos0)

f()

【分析】根据题意，设g(X)=「x一，求出其导数，分析可得函数g(X)在(0,1)

X

上为增函数，分析a、P的关系可得sina>cos[3以及cosaVsinB，结合g(x)的单调性

分析可得答案.

f(x)

解：根据题意，设g(x)=「一，

X

甘且®r，r、f'(x)-x2-(x2)yf(x)Xf'(x)-2f(x)

其导数(x)--------------7------------=3，

XX

又由在区间(0,1)上恒有城(x)>2f(x),

即城(x)-2f(x)>0,则有g'(无)>0,

则函数g(x)在(0,1)上为增函数，

又由a,0为锐角三角形的两个内角，则a+0>；,变形可得

7T兀

则有sina>sin-0)=cos0以及cosaVcos(”--B)=sin0,

若sina>cos0,则有g(sina)>g(cosp),

f(sinCL)f(cosP)*,.

即；~2>2"D-'变形可得cos?9(sina)>sin2a/,(cosp),8正确,

sinacosP

若cosaVsin0,则有g(cosa)Vg(sin0),

f(cosQ.)f(sinB)

即2V；~-'变形可得sir?旷(cosa)<sin2a/,(cosp),£>错误,

cosasinp

无法判断A、C是否正确，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.对任意A,BCR,记A㊉3={X|XEAU3,xgAHB),并称A㊉3为集合A,5的对称差.例

如，若4={1,2,3},B={2,3,4},则4},下列命题中，为真命题的是

()

A.若A,8UR且A㊉3=3,则A=0

B.若A,BUR且A㊉8=0,则A=3

C.若A,BUR且A㊉8UA,贝(

D.存在A,BCR,使得A㊉5=CRA㊉CR5

【分析】理解集合的新定义，然后结合韦恩图逐一判断A、B、C选项；对于。选项，举

出特例，例如R={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4),然后分别算出A㊉8

和CRA㊉CRB,即可得解.

解：对于A选项，因为A㊉8=8,所以8={x|xeAUB,xCAHB},所以AuB,且8中的

元素不能出现在ACB中，因此A=0,即选项A正确；

对于3选项，因为A㊉2=0,所以0={x|xeAU8,x^AdB],即AUB与是相同的，

所以A=B,即选项B正确；

对于C选项，因为A㊉8UA,所以{x|xeAUB,x^A^B]^A,所以814,即选项C错误；

对于。选项，设尺={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={2,3,4},则4研8={1,

4},CRA={4,5,6},CRB={1,5,6),

所以CR4㊉CR8={1,4},因此A㊉8=CRA㊉CR3即。正确.

故选：ABD.

10.已知抛物线俨=2px(p>0)上三点ACxi,yi),8(1,2),C(检，”)，尸为抛物

线的焦点，则()

A.抛物线的准线方程为x=-1

B.FA+FB+FC=0-则lEl，|FBI，|前I成等差数列

C.若A,F,C三点共线，贝仃1》2=-1

D.若|AC|=6,则AC的中点到y轴距离的最小值为2

【分析】将点B的坐标代入抛物线方程可求出p的值，从而得抛物线的方程为炉=4尤.

A,由抛物线准线的定义即可判断；

B,由题可知，尸为△ABC的重心，由重心坐标公式可得的+尤2=2,再结合抛物线的定义，

分别求出|FB|W|FA1+lFCb观察结果即可判断；

C,设直线AC的方程为x="+l,将其与抛物线的方程联立，消去x,再结合韦达定理即

可得解；

D,\AF]+\CF\^\AC\^6,当且仅当A、C、尸三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可

知，\AF\+\CF\—XI+X2+2^6,即无I+尤224,再结合中点坐标公式即可得解.

解：把B(1,2)代入抛物线俨=2"得，4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=

4x.

选项A,准线方程为x=^=-l，即A正确；

X1+X9+1

—=1

选项B,因为前+而+标=3，所以F为△ABC的重心，所以，,解得

Yi+y+2

X[+X2=2

丫1+丫2=-2‘

由抛物线的定义可知，|荏|+|而|=X]+xz+p=2+2=4,IFB|=1+^-=1+1=2,

所以2|而|=|而|+|箴|，即8正确；

x=ty+l

选项C,因为A,F,C三点共线，所以可设直线AC的方程为无=。+1,联立《,

Ly=4x

得y2-4/y-4=0,

所以yU2=-4,即C错误；

选项。，由题可知，\AF]+\CF]^\AC\=6,当且仅当A、C、尸三点共线时，等号成立,

由抛物线的定义可知，|AF|+|CF|=xi+X2+p=xi+X2+2,所以尤1+及+226,即阳+垃24,

所以AC的中点到y轴距离为^^号=2，即。正确.

故选：ABD.

sj'Jix

11.设函数f(x)=‘-------,则()

X-x+1

4

A.f(x)的最大值为£

o

B.\f(x)|<5|R

C.曲线y=f(x)存在对称轴

D.曲线y=/(x)存在对称中心

【分析】利用当■时，函数表达式的分子取得最大值的同时分母取得最小值，即可判

断选项A,构造|号-|，判断I号-|与5的大小即可判断选项B,利用分子和分母

对应的函数都关于x=^•对称，即可判断选项C,假设/(x)存在对称中心，则判断了(x)

是否是周期函数，即可判断选项D

解：对于A,因为当x=，•时，函数y=simtx取得最大值1,同时函数y=

x2-x+l=(xT)2+・取得最小值条所以/(X)的最大值为母，故选项A正确；

f(x)।l=i|­sin冗x几_isin^x।兀A

对于3,考虑-7-^rFT旨下=1邛孑＜4八v,

故，（x）151，故选项8正确;

对于C,函数y=sirmx的图象关于对称，且函数y=x2-x+Y（x［）•的图象

-224

也关于X=，■对称，所以曲线y=/（尤）存在对称轴x=/,故选项C正确；

对于。，若/（尤）存在对称中心，则结合C可知，/（%）为周期函数，而原函数了（无）

的分母在■时递增至+8,而分子是有界的，故不是周期函数，所以/（x）不存在对

称中心，故选项D错误.

故选：ABC.

12.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易

传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华

传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生

过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为。，2,4,8,12,18,24,32,

40,50,…….记大衍数列为｛斯｝,其前〃项和为S”"6N*,则（）

A.420=220

B--1--F-1---F-1--,+、-,-H---1------5-0-5--

a3a5a7@20211011

C.&3=2156

D.42+。4+〃6+—+448=9800

【分析】根据数列中的项，分n为奇数和偶数，归纳出数列｛板｝的通项公式，将〃=20

代入通项公式即可判断选项4利用裂项相消法求和即可判断选项B,利用分组求和即可

判断选项C,利用偶数项的通项公式进行求和即可判断选项D

解：数列｛斯｝的奇数项为0,4,12,24,40,

即lizl,32-l52-l72Ig2-i

-

2222"I

2_1

所以a=二3（"为正奇数），

n2

,2426282102

数列｛3｝的偶数项为2,8,18,32,50,…，即上一,---，---，---，----

22222

2

所以a=—"为正偶数），

n2

2

n-l1

n为正奇数

2

故a”

2

n

n为正偶数

I2

2

对于A,20—二200，故选项A错误;

a20=-2

21

对于B因为当〃为正奇数时,n-l

an"-2-

所以4=—2211

ann2_](n+1)(n-l)n-ln+1)

:1

所以—+'…+

7a2021

11

+•••+()

20202022

11505

,故选项8正确;

220221011

121n2Q2H232

对于C，S23=(-^^)干+(~3-节)+…+(•

2

loo9

=y(l+2+-+23)-12Xy

23X24X47

x-6=2156-故选项C正确;

i6

对于〃2+〃4+〃6+…+。48

22424821

X(22+42+---+482)

222

48X25X49

=9800，故选项。正确.

7X3

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若一个圆锥的轴截面是面积为以他的等边三角形，则该圆锥的表面积为127r.

【分析】设等边三角形的边长为m根据三角形的面积求出。的值，再计算该圆锥的表面

积.

解：设等边三角形的边长为a,

则等边三角形的面积为之Xa2xsin60。=华七2=4近，解得。=4,

所以该圆锥的底面圆半径为r=2,母线长为/=4,

所以圆锥的表面积为S—S底面+S恻=n•产+Ti〃=n><22+7tX2X4=12n.

故答案为：12m

14.函数/(x)满足以下条件：

①/'(无)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线；

@f(x)是偶函数；

③/(尤)在(0,+8)不是单调函数；

◎(x)恰有2个零点.

请写出函数/G)的一个解析式f(x)=N-2国-3(答案不唯一).

【分析】根据题意，分析可得则/(x)可以由二次函数变换得到，由此可得答案.

解：根据题意，要求函数/(x)满足4个条件，

则/(无)可以由二次函数变换得到，比如/(x)=N-2|X|-3,

故答案为：/(x)=N-2|x|-3(答案不唯一)

15.2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫

苗已获国家药监局批准附条件上市.在新冠病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小

鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对某种新冠病毒疫苗进行实验，得到

如下2X2列联表(部分数据缺失)：

被新冠病毒感染未被新冠病毒感染总计

注射疫苗1050

未注射疫苗30

总计a100

表中。的值为30；计算可知，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认为

“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果”.

参考公式：蜉=「zn=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：

P(烂2依)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【分析】根据题意补充列联表，求出表中。的值，计算蜉，对照附表得出结论.

解：根据题意，补充2X2列联表如下：

被新冠病毒感染未被新冠病毒感染总计

注射疫苗104050

未注射疫苗203050

总计3070100

所以表中a的值为10+20=30；

计算号二迎X&0X哲理X皿=罂乂762>3.841,

50X50X30X7021

所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗

能起到预防新冠病毒感染的效果”.

故答案为：30,0.05.

22

16.已知£分别为双曲线E：々-牙l(a〉0,b>0)的两个焦点，E上的点P到

原点的距离为b,且sinZPF2Fi=3sinZPFiF2,则双曲线E的渐近线方程为y=±

叵

2-,

【分析】通过sin/PBB=3sin/PAF2,得至！］|尸人|=3|陛2|,结合双曲线的定义求出1PBi

=3a,|PFz|=a,利用|OP|=6,设P(加，n),求出尸的坐标，把尸点的坐标代入双曲

线方程转化求解渐近线方程.

22

VFi,仍分别为双曲线七-勺l(a>0,b>0)的两个焦点，

不妨设双曲线的焦点坐标为Q(0,-c)、B(0,c),

sinZPF2Fi=3sinZPFiF2,所以|PB|=3|PB|,\PFi\-\PF2\=2a,

|PFi|=3a,\PF^a,双曲线上的点尸到原点的距离为6,所以|。尸|=6,

'.\OFT\=C,c2—a2+b2,

：.ZOPF2=90°,

过尸作/WLOF2,垂足为H,

,22,22

：.\PH\=^-,|O//|=Jb-^-=--

cVc2c

_1.i2

设尸(m,〃),.\\m\=---,n----,

cc

,42,2,4_4,2_2

把P点的坐标代入双曲线方程可得:=1,

cacbcaa

即b=\[2a,

.•.该双曲线的渐近线方程y=土乌.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在平面几何中，有勾股定理：“设AABC的两边A8,AC互相垂直，则入所+人^二^。.”

拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，

可以得出的正确结论是：“设三棱锥P-ABC中的三个侧面PAB,PBC,PAC两两相互

垂直，则—.”

请将上述结论补充完整，并给出证明.

【分析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于

三个直角面的面积的平方和，边对应着面.

解：线的关系类比到面的关系，猜测：SABCD2=SAABC2+>S'AACD2+SAAD52.

证明如下：

如图作AE1.CD连BE,则BE±CD.

A

E

C

SABCD2=—CD2•=-CD-(.AB-+AE2)

44

=—(AC2+AD2)(A¥+A¥)

4

=—(AC^AB^+AD2AB^ACAe+AIyAE2)

4

=—(AC^AB^+AD^AB^+CD^AE2)

4

=SAABC2+SAACD2+5AADB2,

故答案为：SABCD2—SAABC2+SAACD2+SAADB2.

18.在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已

知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.

(I)试问此次参赛学生总数约为多少人？

(II)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可

共查阅的(部分)标准正态分布表中(xo)=P(x<xo)

xo0123456789

1.20.88490.88690.8880.890770.89250.89440.89620.89800.89970.9015

1.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.9177

1.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.9316

1.90.977130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.9767

2.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817

2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857

【分析】(/)设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，根据成绩在90分以上(含

90分)的学生有12名，列出大于90分的学生的概率，成绩在90分以上(含90分)的

学生人数约占全体参赛人数的2.28%,列出比例式，得到参赛的总人数.

(〃)设出设奖的分数，根据获奖的人数和总体的人数得到获奖的概率，在标准正态分布

表中查出0.9049对应的x