2023人教版新教材高中数学B必修第一册同步练习-第三章　函数复习提升

2023人教版新教材高中数学B必修第一册

第三章函数

本章复习提升

易混易错练

易错点1忽略函数的定义域致错

1.(2021天津第二南开学校期中)已知f(x)是定义域为(T,1)的奇函数，而且f(x)

是减函数,如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围是()

AOI)B.(-8,|)C.(l,3)D.(|,+8)

2.(2021北京八中期中)给出下列三个函数:①y至手;②丫二头;③yj逗.

x-2xz+l

其中与函数f(x)=x表示同一个函数的序号是.

3.(2020河南洛阳一高月考)函数f(x)=V%2+x-6的单调递增区间是.

易错点2不能正确运用函数的单调性解题

4.(2021河南重点高中阶段性测试)已知函数f(x)=三在区间(-1,+8)上单调递

%+1

增,则实数a的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+°°)C.(-1,+°°)D.(-°°,-1)U(1,+°0)

1%>0,

5.设函数f(x)=0,%=0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递增区间

rl,x<0,

为.

6.(2021陕西渭南尚德中学第一次月考)已知函数f(x)=-t.

1+%

(1)判断函数在区间(0,+8)上的单调性,并用定义证明；

⑵求该函数在区间［1,4］上的最大值与最小值.

易错点3忽视参数的取值范围致错

7.若函数二的定义域是R,则a的取值范围是

y，a*+Jax+l

8.(2020河北承德一中月考)已知函数f(x)-x2+2x-3.

⑴求f(x)在区间［a,a+1］上的最大值g(a);

(2)若(1)中的g(a)=-3,求a的值.

思想方法练

一、数形结合思想在函数中的应用

1.已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是(-2,2),它们在［0,2］上的图像如

图所示,则使不等式f(x)-g(x)<0成立的x的取值范围为()

A.(-2,-1)U(1,2)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(-1,0)U(1,2)

D.(-2,-1)U(0,1)

2.若关于x的方程|x2-2x-2|-m=0有三个不相等的实数根,则实数m的值

为.

3.已知函数f(x)=X2-2Ix-3.

(1)作出函数f(x)的图像,并根据图像写出函数f(x)的单调区间以及在各单调区

间上的增减性；

⑵求函数f(x)在x£［-2,4］上的最值.

4.已知函数f(x)是定义在R上的函数,且f(x)的图像关于y轴对称,当x20时,

f(x)=x2-4x.

⑴画出f(x)的图像；

⑵求出f(x)的解析式；

(3)若函数y=f(x)的图像与直线y=m有四个交点,求实数m的取值范围.

二、转化与化归思想在函数中的应用

5.若函数f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间[a,b]cD(其中a〈b),使得

当x£[a,b]时,f(x)的取值范围恰为[a,b],则称函数f(x)是D上的正函数.若函

数g(x)=x2+m是(-8,0)上的正函数,则实数m的取值范围为()

6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x20时，f(x)=x；若对任意的

xe[a,a+2],不等式f(x+a)N2f(x)恒成立,则实数a的取值范围是_______.

7.已知函数f(x)支等,x—,+8).

(1)当时,求函数f(x)的最小值；

⑵若对任意x£[1,+8),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.

三、方程思想在函数中的应用

8.(2。2。江西临川一中月考)已知函数f(x)满足2f(x)=xf&片,则f(3)=()

1

3艮c

29一

23一

A.99D.3-

9.(2020黑龙江哈尔滨四校期中联考)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,并

且满足f(x+y)=f(x)+f(y),fO=L

⑴求f(0)的值；

(2)若f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.

四、分类讨论思想在函数中的应用

10.(多选)(2020辽宁期末)已知函数汽9=空在区间(-2,+8)上单调递增,则a、

ax+Z

b的取值可以是()

A.a=l,b>|B.0<a<l,b=2

1

C.a=T,b=2D.a=-,b=l

+x+］XVt

11.已知函数f(x)=J、二一’若f(x)在定义域上是单调函数,则t的取

(t,

vX+-o.X>

值范围为.

12.(2022四川绵阳东辰国际学校月考)已知函数f

方程f(x)=x+a在区间［-4,8］上有三个不等实根,实数a的取值范围

为

答案与分层梯度式解析

第三章函数

本章复习提升

易混易错1练

l.A是定义域为(-1,1)的奇函数，

.,.-1<X<1,f(-x)=-f(x),f(m-2)+f(2m-3)>0可转化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-

2m+3).

.「f(x)是减函数，

-K2m-3<1,Km<故选A.

.m-2<-2m+3,

易错警示

解题时如果仅考虑单调性,而忽视函数的定义域,只能得到m<|,错选B,导致

解题错误.

2.答案②

解柿易知f(x)=x的定义域为R.

①广争的定义域为收IxW2},定义域不同,与f(x)=x不是同一个函数；

②y=笠=x的定义域为R,与f(x)=x表示同一个函数；

③丫=m=|x|,对应关系不同,与f(x)=x不是同一^函数.

易错警示

研究两个函数是不是同一个函数时,应先求定义域,看定义域是否相同,若定

义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,则再判断对应关系是否相同.忽视

对定义域的判断,可能会导致判断错误.

3.答案［2,+8)

解析由x2+x-6^0得x22或x<-3,设t=x2+x-6,则g(t)=』(t20)在［0,+°°)

上单调递增,t=x?+x-6在(-8,—3］上单调递减，在［2,+8)上单调递增,所以

f仪)=标飞的单调递增区间是［2,+8).

4.B要使函数—二m在区间(T，+8)上单调递增，只需「a〈0,解得a>l,所以

实数a的取值范围是(1,+8).

5.答案(一8,0］,(1,+8)

%2X>］

0,x=1：作出函数g(X)的图像如图所示,

(-x2,x<1.

故函数g(x)的递增区间为(-8,0],(1,+8).

6.解析(l)f(x)在(0,+8)上是增函数.

证明：任取Xi,X2e(0,+8),且Xi<x2,则Xi-x2<0,l+xi>0,l+x2>0,

...f(X1)-f(X2)=Y-+-<0,即f(Xi)<f(x),

l+%2(1+久l)(l+%2)2

在(0,+8)上是增函数.

(2)由⑴知f(x)在［1,4］为增函数,

•••函数的最大值为f⑷=-告=-|,最小值为f(1)=-备=7

易错警示

⑴利用图像写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.

⑵单调性法求最值勿忘求定义域.

⑶单调性法求最值,尤其是求闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值

代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.

7.答案［0,4)

解析由题意可得ax2+ax+l>0在R上恒成立.

当a=0时,1>0恒成立；

当a#0时，需满足器20解得0<a<4,

综上,0<a<4.

•••实数a的取值范围为［0,4).

8.解析⑴(X)=T+2X-3的图像开口向下,对称轴为直线x=l,

...当a21时,f(x)在区间［a,a+1］上单调递减,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;

当0<a<l时,f(x)在区间［a,a+1］上先增后减,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2;

当a+l<l,即a<0时,f(x)在区间［a,a+1］上单调递增,g(a)=f(a+l)=-

(a+1)2+2(a+1)-3=-a?-2.

、、-a22a<0,

综上所述,g(a)=r2,0<a<1,

-a2+2a-3,a>1.

(2)g(a)=-3,

当g(a)=—a2-2=-3(aWO)时,a=—1或a=l(舍去);

当g(a)=—a2+2a-3=-3(aNl)时,a=2或a=0(舍去);

当g(a)=-2(0〈a〈l)时,不符合题意.

综上可得,a的值为-1或2.

易错警示

象含参数的二次函数在闭区间上的最大(小)值,关键是要对图像的对称轴与

所给区间的关系进行讨论，解题时防止忽视对参数的讨论导致解题错误.

思想方法练

1.C由题图可知，当O〈X〈1时，f(x)>O,g(x)>O,f(x)-g(x)>0;当l〈x<2

时,f(x)>0,g(x)<0,f(x)•g(x)<0.故当x>0时,f(x)•g(x)<0的解集为

{x|Kx<2}.Vy=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数，

Af(x)•g(x)是奇函数,由奇函数图像的对称性可得当x<0时,f(x)・g(x)<0的

解集为3-16〈01.综上,不等式1?(*),g(x)<0的解集是{x1T〈x<0或Kx<2},

故选C.

由函数的奇偶性和图像特征求不等式的解集，体现了数形结合思想.

2.答案3

解布令f(x)=x2-2x-2,由题意可得函数y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点.

画出函数f(x)=X2-2X-2的图像如图所示，

结合图像可得,m=3.

将方程解的问题转化为函数图像的交点问题，体现了数形结合思想.

3：解析作出函数囹像如图.由囹像得手ST在3上单调递减在

(T,0),(1,+8)上单调递增.

⑵结合图像可知f(X)在［-2,4］上的最小值为f(l)=f(-D=-4,最大值为f(4)=5.

画出函数图像，通过分析图像性质得出最值，体现了数形结合思想.

“解析(T)?(X)的囹像如ii.

由x20时f(x)的解析式作出函数f(x)在y轴右侧的图像再由f(x)的图像关于

娟由对何可得出KJtl3的囱像体总数开缰合思凰

(2)当x<0时，-x>0,f(-x)=X2+4X,

•二函数f(x)的定义域关于原点对称,图像关于y轴对称,Jf(x)为偶函数，

/.f(x)=f(-x)=x2+4x,

...f(X)4x；4x,x20,

{x2+4x,x<0.

(3)y=f(x)的最小值为f(-2)=f(2)=-4,

由⑴中图像可知函数y=f(x)的图像与直线y=m有四个交点时,-4〈m〈0.

思想方法

在解决函数问题时要注意数形结合,利用函数图像直观地研究函数有关性质,

可避免复杂的计算和推理,实现解题快速准确.

5.C因为函数g(x)=x2+m是(-8,0)上的正函数，所以a<b<0,

所以当xe[a,b]时,函数单调递减，

贝Ug(a)=b,g(b)=a,即a2+m=b,b2+m=a,

两式相减得a2-b2=b-a,即b=-(a+1),

代入a2+m=b得a2+a+m+l=0,

因为a<b<0,且b=-(a+l),

所以a<-(a+l)<0,

即《<—(Z-lj”一天解得-1代〈意

2

故关于a的方程a+a+m+l=0在区间(-1,劣内有实数解.

由函数g(x)=x2+ni是(-8,0)上的正函数得g(a)=b,g(b)=a,建立方程组，消去b,

求出a的取值范围，转化为关于a的方程a2+a+ni+l=0在区间(Q一

行求解:

，([)2]।jyj।0

记hlaha'a+m+l,则h(-l)>0,h(-1)<0,即(苧i+m+1<0

解得即T〈m〈-|.

6.答案[企,+8)

解析由题意知f(x)=F？U

<0,

则2f(x)=f(V2x),

所以f(x+a)22f(x)恒成立等价于f(x+a)(迎x)恒成立.

由题意得f(x)在R上是增函数，

所以x+aN&x恒成立，

利用函数单调性将f(x+a)W2f(X)恒成立转化为x+a6&x恒成立.

即aN(奁-l)x恒成立.

又因为xe[a,a+2],所以当x=a+2时,y=(V2-1)x取得最大值(近T)(a+2),

所以a2(夜T)(a+2),解得a三

故实数a的取值范围是[传+8).

7.解析⑴当a三时，f(x)=x+a+2,x£[1,+8).任取xi,X2$[1,+8),且xi〈X2,

则f(x2)-f(X1)=(x2+3++上+2)

二(%2-%1)(2%1%2・1)

2%I%2■

,.TWXI〈X2S.•.X2—Xi〉0,且XiX2〉l,

...2X1X2-1>0,

f(x2)-f(X!)>0,即f(x2)>f(X1),

；.f(x)在[l,+8)上是增函数

f(x)在[1,+8)上的最小值是f(l)=|.

⑵：对任意f[1,+8),f(x)>0恒成立，

.,.x2+2x+a>0恒成立.

设g(x)=x2+2x+a,

Vg(x)=x2+2x+a=(x+1)2+(aT)在[1,+8)上是增函数，

••・当x=l时,g(x)min=3+a>0,解得a>-3,

实数a的取值范围为(-3,+8).

将恒成立问题转化为最值问题求解.

思想方法

「”在函数中，利用函数、方程、不等式三者的联系，通过解方程(组)等解决函

数中的相关问题,是解决函数问题最基本的方法.

8.13在2f(x)=xfG)+抻,分别令x=3和x=［得2f⑶=3f朋①,

2f(i)=1f⑶+3②，

对变量进行赋值,构成方程(组)，通过解方程(组)得到问题的解.

联立①②消去fg),解得f⑶卷故选B.

9.解析⑴令x=y=O,得f(0)=f(0)+f(0),

对变量进行赋值，构成方程,通过解方程得到问题的解.

即f(0)=0.

(2)由题意知f(x)+f(2+x)=f(2x+2),fg)+fg)=f(|)=2,所以由f(x)+f(2+x)<2,可

得f(2x+2)〈f(|),

又f(x)在R上单调递增，

2x+2<|,

x<-|,

••.X的取值范围是S一I).

思想方法

八'在函数中，利用函数、方程、不等式三者的联系，通过解方程(组)等解决函

数中的相关问题,是解决函数问题最基本的方法.

10.ABP由题意知,不等式ax+2#0对任意的XQ(-2,+8)恒成立.

①当a=0时,f(x)卷+|在区间(-2,+8)上单调递增,则»0,解得b>0;

②当a>0时,由ax+2W0,可得xW-|,则-2,解得0〈aWl,

则f(x)—bx+3_：(ax+2)+3-。—3->+8

入ax+2ax+2ax+2a'

v该函数在区间(-2,+8)上单调递增，

a2

当a=l时,b>|a=|符合题意；

当0〈aWl时,b=2>|a恒成立,符合题意；

当时,b=l>|a恒成立,符合题意；

③当a<0时,一20,函数y=f(x)在x=-1没有定义,C选项不符合题意.

故选ABD.

ii.答案(一8,臼

解析因为当x>t时,y=x+：为增函数，

所以当xWt时,y=tx2+x+l也为增函数.

由于y=tx2+x+l(xWt)中的二次项系数含有参数，因此需对参数分类讨论.

当t=0时,y=tx2+x+l=x+l为增函数，但0+1=1>^,不符合题意；

当two时,函数y=tx2+x+l图像的对称轴为直线x=W，结合二次函数的性质，有

((tr<ot,7

［t3+t+i<t+-,

解得

12.