2019-2020学年人教A版广东省东莞市高二第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高二第一学期数学期末考试试卷

一、选择题

1.在△48C中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且6=2,^=45°,<7=120°,则边

c=（）

A.V2B.«C.2D•收

x》0

2.已知实数x,y满足，y>0,则目标函数z=x-y的最大值是（）

x+y"<2

A.2B.1C.-1D.-2

糖的质量b克

3.糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为（a>b）,向糖水（不饱和）

♦糖水的质量a克

中再加入〃克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）

A.2〉上也B.2〈互也C,互>上也D,2（旦也

aa+maa+maaaa

22

4.已知双曲线工5-工5=1（a>0,b>0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程

azt/

为（）

A.y=±yxB.y=±V2xC.y=±2xD.y=

5.已知数列｛aj是等差数列，且为+如=50,36=19,则金=（）

A.3B.4C.7D.8

6.已知a,6为实数，贝寸“0<a&V2”是“a<2”的（）

b

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：”三百七十八里关，初步健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意

为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天

的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（）

A.96里B.48里C.24里D.12里

8.如图，已知三棱锥。-48C,点黑〃分别是。1,8c的中点，点G为线段做上一点，且

MG=2GN,若记丞=；,QB=b,0C=o则而=（）

O

M

A-4亭卓B-壬亭卓

c-台亭卓D-系本卓

9.已知实数a>0,b>0,且工26=2,则旦的最大值为（）

aa

A，9B.—C

2-1

22

10.已知双曲线02__工一=1的左、右焦点分别为6、Fi,P为双曲线C上一点，直线/

,169

分别与以内为圆心、片?为半径的圆和以月为圆心、月?为半径的圆相切于点4,B,则|48|

=（）

A.2A/7B.6C.8D.10

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得。分.请把正

确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

11.四边形/脑内接于圆0,AB=CD=5,47=3,NBCD=60°,下列结论正确的有（）

A.四边形483为梯形

B.圆0的直径为1

C.四边形曲的面积为竺返.

4

D.△/1劭的三边长度可以构成一个等差数列

12.我们通常称离心率为'亘的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆

2

22

C：¥，^l（a>b〉0）,4,Ai,8,8为顶点，石，Q为焦点，P为椭圆上一点，

满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（）

A.|4月，|£引，为等比数列

B."84=90°

C.历_Lx轴，且。0〃48

D.四边形4848的内切圆过焦点石，F2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

13.抛物线寸="上的一点"到焦点的距离为2,则点"的纵坐标是.

14.如图，以长方体/夕曲-48G〃的顶点〃为坐标原点，过〃的三条棱所在的直线为坐标

轴，建立空间直角坐标系，若函的坐标为（2,3,4）,则记的坐标为.

15.已知命题“VxG[1,3],不等式f-aK4》0”为真命题，则a的取值范围为.

16.斐波那契数列（Fibonaccisequence,又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那

契（LeonardodaFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列".它是这

样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……在数学上，斐波那契数列以如下

递推的方法定义：a,=1,&=1,a„=a„.i+a„.2（n^3,"GN*）,记其前"项和为£,设

52019=i■（大为常数），则S017+S0I6-$015-S<）14=（用t表示）,St>17-题119=（用

常数表示）.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区

域内，超出指定区域的答案无效.

17.已知0:x-x-6^0,q-.x-（2M1）x+m+nf^Q.

(1)若m=2,且pAg为真，求实数x的取值范围；

(2)若g是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

18.已知等比数列｛&｝满足级=4,^=128,数列｛a£｝是首项为1公差为1的等差数列.

(1)求数列｛a〃｝和｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛&｝的前〃项和£.

19.在中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,JELbsinB=as\nA-(/H-c)sir\C.

(1)求角力的大小.

(2)若外边上的中线AD=2«,ASAABC=2A/3,求的周长.

20.如图，已知斜三棱柱45G中，NBCA=9Q°,AC=BC=2,4在底面45c上的射

影恰为4?的中点。，且A[D=F.

(1)求证：48_L加;

(2)求直线46与平面48G所成角的正弦值；

(3)在线段GC上是否存在点肌使得二面角照-45-G的平面角为90°?若存在，确

定点"的位置；若不存在，请说明理由.

21.在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东

莞第一高楼民盈・国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶，随着最后一方

混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了

东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师

提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，

两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.

第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的4点测得

国贸中心顶部的仰角为a,正对国贸中心前进了s米后，到达8点，在8点测得国贸中

心顶部的仰角为B,然后计算出国贸中心的高度(如图1).

第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸

中心处于同一水平面，每层约3米)楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于

天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a,

米；②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为生

米.然后计算出国贸中心的高度(如图2).

实际操作中，第一小组测得s=90米，a=42",(3=48°,最终算得国贸中心高度为

〃；第二小组测得a=1.45米，a=12米，鱼=1.4米，最终算得国贸中心高度为假

设他们测量者的“眼高hn都为1.6

米.

图1困2

(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据：tan42°«0.9,

tan48°=——答案保留整数结果)；

tan42

(2)你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.

22.设圆寸+/-2x-15=0的圆心为M直线/过点及(-1,0)且与x轴不重合，/交圆

附于4,8两点，过点心作4"的平行线交网于点C.

(1)证明|西+|御|为定值，并写出点C的轨迹方程；

(2)设点C的轨迹为曲线£直线/,:与曲线£交于？。两点，点/?为椭圆G

上一点，若△即?是以。。为底边的等腰三角形，求4%?面积的最小值.

参考答案

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1.在△45C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且6=2,ff=45°,C=120°,则边

c=()

A.A/2B.遮C.2D.76

【分析】由已知利用正弦定理即可求解.

解：'：b=2,8=45°,餐120°,

2c

由正弦定理［三一"，可得五=石，

sinosint——T-

22

：•解得Vs,

故选：D.

2.已知实数x,y满足<y>0,则目标函数z=x-p的最大值是()

x+yC2

A.2B.1C.-1D.-2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优

解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.

’x>0

解：由约束条件足、y>0作出可行域如图，

Lx+y^2

化目标函数z=x-v为y=x-z,

由图可知，当直线y=x-n过4(2,0)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2;

故选：A.

糖的质量b克

糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为（a>b）,向糖水（不饱和）

3.♦糖水的质量a克

中再加入加克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）

A上典B.电<文也C,文>立也D.?〈文也

aa+maatmaaaa

【分析】向糖水（不饱和）中再加入〃克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓

度变大，即可得出.

解：向糖水（不饱和）中再加入〃克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓度变

大.

由题意可得：—.

aa+m

故选：B.

22

4.已知双曲线七-上5=1（a>0,b>0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程

为（）

A.y=±yXB.y=±V2xC.y=±2xD.y=±依x

【分析】由题意可得a=26,再由双曲线的渐近线方程尸土2x可得所求.

a

22

解：双曲线%-%=1（a>0,6>0）的实轴长是虚轴长的两倍，

a2/

可得a=2b,

它的渐近线方程为y=±—X,即y=±—X.

a2

故选：4

5.已知数列｛当｝是等差数列，且设各3=50,56=19,则4=（）

A.3B.4C.7D.8

【分析】利用等差数列的通项公式即可得出.

解：设等差数列｛d｝的公差为&・.・a+43=50,a6=19,

；・2e+14d=50,ai+5t/=19,

解得句=4,d=3,

则生=4+3=7.

故选：C.

6.已知a,6为实数，则“0VabV2”是“a<2”的（）

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】“0Va6V2”n“2<a<0或a<—u,“aV?”=»uQ<ab<2或aWO,b

bbb

>0或aVO,ab>2u,由此能求出结果.

解：a,6为实数，

uQ<ab<2n0<。或a<—“，

bb

“aV=（（0<ab<2或aWO,b>0或aVO,ab>2"，

i,Q<ab<2n是“a<2”的既不充分也不必要条件.

b

故选：D.

7.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为

难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意

为：”有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天

的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（）

A.96里B.48里C.24里D.12里

【分析】根据题意，可知此人每天所走的路程形成等比数列，且公比为3，前六项和为

378,所以可以可以解得首项，第4天走的路程为第4项可求.

【解答】解析：根据题意，可得此人所走的路程形成等比数列{4},其中q=^,S6=378,

6]

则--------------=378,

1---

2

解得a=192,

所以a4=192X-^-=24.

故选：C.

8.如图，已知三棱锥0-48C,点黑〃分别是以，勿的中点，点G为线段砌上一点，且

MG=2GN,若记祢=:，OB=b,灰=3则沃=（）

O

M

A-4亭卓B-壬亭卓

c-台亭卓D-系本卓

【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出.

解:营证而MG=-|M而=祈一而,OM=yOA="1^ON=y<OB+OC)制

(b+C),

可得：0G=

ooo

故选：C.

9.已知实数a>0,b>0,且工'26=2,则土的最大值为()

aa

A102D.亨

BC.3

,9-f

【分析】先根据工'26=2得到工=2-26>0=0V6V1;再代入所求结合二次函数的性

aa

质即可求解.

解：因为实数a>0,b>Q,且工2。=2,

a

所以：—=2-2/>>0=>0<6<1,

a

'：—=b(2-26)=-2(A-4-)2+4；

a22

所以当6=占时，工的最大值为士

2a2

故选：B.

10.已知双曲线C.生_2_=1的左、右焦点分别为石、F,户为双曲线c上一点，直线/

,1692

分别与以石为圆心、月户为半径的圆和以鸟为圆心、AP为半径的圆相切于点4B,则|48|

=()

A.277B.6C.8D.10

【分析】求得双曲线的a,b,c,运用直线和圆相切的性质和双曲线的定义、直角三角

形的勾股定理，解方程可得所求值.

22____

解：双曲线J_=1的a=4,b=3,C=J16+9=5,

-169

可得A(-5,0),A(5,0),

由直线/与圆E,圆Q相切于4,B,

可得/A_L/,BF21.I,

过6作月垂足为“,

可得|KM=|48|,

设1所1=〃，\PFi\=n,可得m-〃=2a=8,

\F,H\=\AFy\-|防|=8,

在直角三角形片打〃中，可得|A//|=J|FIF2|2-|FIH|2=/I()2_82=6,

故选：B.

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得。分.请把正

确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

11.四边形步内接于圆0,AB=CD=5,AD=3,NBCD=60°,下列结论正确的有（）

A.四边形48微为梯形

B.圆。的直径为7

C.四边形ABCD的面积为55遮

4

D.△?!被的三边长度可以构成一个等差数列

【分析】直接利用余弦定理三角形的面积公式的应用和圆的内接四边形的应用求出结果.

解：四边形4坑步内接于圆0,AB=CD=5,AD=3,ZBCD=60°,

所以NZW8=120°.

如图所示：

连接4aBD,

在故中，利用余弦定理初AD*cos120°=9+25+15=49,

解得BD=7.

在△脑中，利用余弦定理用=5+初-2・CD*BOcos60°,

整理得49=BC?+25-2X5XBCX/,整理得：80=8或-3(负值舍去).

由于四边形483内接于圆0,

设N4DC=0,所以n-6,

在△/缈中，利用余弦定理A>C>cos0,

在中，利用余弦定理4?=/4+由-2・Ocos(n-6),

所以9+25-30cos0=25+64+2X5X8cos6,整理得cos0=-p

所以6=120°,即N47，=120°,

所以AD//BC,且48不平行CD.

则四边形A5必为梯形.故4正确.

RD

设△/劭的外接圆直径为2/?=.，<。-3,故8错误.

sinl20--

2_

S四边形ABCD?•皿•研"sinl20°+^-CD-CB-sin60°—故C正确.

△/做的三边长度分别为3,5,7可以构成一个等差数列，故〃正确.

故选：ACD.

12.我们通常称离心率为逅二的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆

2

22

C：¥，^l（a〉b〉O）,4,4,R,8为顶点，F“Q为焦点，户为椭圆上一点，

满足下列条件能使椭圆。为“黄金椭圆”的有（）

PR

A

A.|4引，出引，|Q4|为等比数列

B.NAS4=90°

C.M_Lx轴，且。

D.四边形4845的内切圆过焦点片，F2

【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可.

解：/中若成等比数列则（2c）2=（a-c）（a-c）,即2c=a-c或2c=c-a（舍），

解得：£=二手近二L所以4不正确；

a32

夕若NA84=90°,则由射影定理可得：OB^=FOOAz,即8=ca,c+ac-a=0,

即J+e-1=0,eG（0,1）,解得e=1二1;所以8正确；

2

,2止b

C若历_Lx轴，所以。（（-c,旦_）,又々〃4区，则斜率相等，所以丁=旦，即

a--------a

-c

b=c,所以e=£=~?=^=^=—,所以C不正确；

aVc2+c22

D,因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，

圆心到直线4笈的距离等于c,

因为直线48的方程为：三十工=1,即bx^ay-ab=0,所以原点到直线的距离d=

ab

ab

ab

由题意知：I"2~2=c,又斤=3-。2,整理得：a(a2-c)=c(2a-c),e-3e+1

Va'+b'

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

13.抛物线/=%上的一点解到焦点的距离为2,则点附的纵坐标是—学

【分析】利用抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.

解：由抛物线方程x2jy,设"(x,力,准线方程为x=-4,焦点,(0,J),

2488

可得册鼻广(1二？，y=115

ooo

1R

故点〃的纵坐标为.1.

故答案为：学.

14.如图，以长方体/脑-48G4的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标

轴，建立空间直角坐标系，若函的坐标为(2,3,4),则记的坐标为(-2,3,

【分析】DB]=(2,3,4),可得8(2,3,4).进而得到4G坐标.

解：DB]=(2,3,4),:.反(2,3,4).

：.A(2,0,0),G(0,3,4),

；.hC1=(0,3,4)-(2,0,0)=(-2,3,4),

故答案为：(-2,3,4),

15.已知命题“VxG[1,3],不等式f-a/4'0”为真命题，则a的取值范围为(-

°°,4].

【分析】命题“VxG[1,3],x2-aA+4^0w是真命题oaWx+9(1W「3)恒成立，

X

令g(x)=A+—(1/A<3),利用基本不等式易求g(X)加〃=4,从而可得a的取值范

x

围.

解：•・•当x£[1,3]时，4-初+420恒成立，

/.(1W后3)恒成立，令g(x)=A+—(1,

XX

则aWg(X)min,

4

VA+—^2jx*—=(当且仅当X=2时取“=”),

xVx

:•g(x)而〃=4,

:.司W4.

故答案为：(-8,4].

16.斐波那契数列(Fibonaccisequenc耳，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那

契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列",它是这

样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……在数学上，斐波那契数列以如下

递推的方法定义：3i=1,a=1,d=a〃-i+a〃-2("23,〃£N*),记其前"项和为S,设

52019=t(亡为常数)，贝I5O17+Soi6-5015-S()14=t(用力表不)，$017一瓯19=一1

(用常数表示).

【分析】根据斐波那契数列｛d｝满足条件,利用数列的前"项和的定义，即可得出S017+&16

一S015一S()14的值；

根据a〃=a〃_i+a〃-2可得an-2=an-an-\9求出前"项和留+/+…+d=痴-%由此求得So”

一生019的值.

解：斐波那契数列｛d｝满足：51=1,52=1,a〃=a〃T+a〃一2(〃，3,〃£N*),设4019=亡，

贝”：SO17+SO16一S()15-Soi4

=S()17一S()15+Soi6一S()14

=(a017+4016)+(生106+/015)

=^2018+52017

=/019

=t；

根据a〃=a"-i+a〃-2可得an-i=a„-an-\,

所以4+也+…+a〃=(a一级)+(a&-备)+…+(a^2-)=a^2~32=3^1-1,

所以&J17一色019=(漱2-鱼)-32019=-金=-1.

故答案为：t；-1.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区

域内，超出指定区域的答案无效.

17.已知p:x-x-6^0,q:x-(2»1)x+ni+nf^O.

(1)若榕2,且pAg为真，求实数x的取值范围；

(2)若g是p的充分不必要条件，求实数加的取值范围.

【分析】(1)分别求出。与g为真命题的x的取值范围，取交集得答案；

(2)求解一元二次不等式化简命题q,把g是p的充分不必要条件转化为集合端点值间

的关系求解.

解：(1)p:(.x-3)(jt+2)20得；-2或x》3,

当k2时，由q:X2-5A+6W0为真，得2WA<3,

pAq为真，即。，q都为真，

即[x<-2或x>3

[2^^^x3

...X的取值范围为｛3｝;

(2)q:x-(2M1)x^m+n^Q,即g:(x-m)(x-m-1)WO,

q:,即q:[m,Ml].

是O的充分不必要条件，

.,.m1W-2或mN3,即-3或

综上：q是p的充分不必要条件时，加的取值范围为(-8,-3]U[3,+8).

18.已知等比数列｛aj满足金=4,5334=128,数列｛a〃2｝是首项为1公差为1的等差数列.

(1)求数列｛a〃｝和｛&｝的通项公式；

(2)求数列｛扇的前〃项和£.

【分析】(1)设等比数列的首项为a,公比为q,运用等比数列的通项公式解方程可得

首项和公比，进而得到所求通项公式a〃；由等差数列的通项公式可得

(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和.

【解答】解(1)因为数列｛a〃｝是等比数列，故设首项为a“公比为q,

因为&=4,急a,=128所以@2口.@2口2=128,

所以4=8,解得q=2,所以a=2,

n

所以数列｛a.｝的通项公式为an=2,

因为｛a£｝是首项为1、公差为1的等差数列,

所以a£=1+(n-1)=/7,

-n

因为an=2"，所以

23n

⑵由(1)^Sn=l^+2<y)+3<y)+……+n-(y),

234

同乘5得:ySn=l*(-1-)+2*(-1-)+3-(y)++n・g严I

作差得:‘Sn卷+g)2+g)'……+©)n-n吗严I

即/£=1-

n+2

所以S=2-

n2n,

19.在△48C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,JLbsinB=as\nA-(ZH-c)sinC.

(1)求角力的大小.

(2)若打边上的中线AD=2«,ASAABC=273,求△48C的周长.

【分析】(1)由正弦定理化简已知等式得：t｝=a-bc-c,由余弦定理得cos4的值，

结合范围/G(0,n),可求4的值.

(2)方法一：由三角形的面积公式可求6c=8,在劭中，△47C中，由余弦定理得

2

2

b2+c2=^+24j联立方程可求a=8,6+C=56,6C=8,即可解得加c的值，从而可

求△4%的周长的值.方法二：利用三角形的面积公式可求历=8,由(1)知6+d=3

-8,利用平面向量的运算可得

AD2=^(AB+AC)2,得48=3+3-bc=(ZH-c)2-3bc,联立方程即可解得△4仇7的周

长，方法三：利用三角形的面积公式可求6c=8,由(1)知〃+c2=a2-8②，延长4?到

E,使/£=247,由余弦定理得斤+。2-儿=48,联立方程可求△48C的周长的值.

解：(1)由已知Asinb=asin/-(/H-c)sinC,

由正弦定理得：t)=a-bc-c,

b2+02-a21

由余弦定理得:cosA-

2bc2

在中，因为4G(0,n),

所以A片二

o

,

(2)方法-：djSAABC=ybcsinA=-^-bc=2V3得6c=8①,

由(1)t)=a-be-c9即〃+，=才一8②，

222

在△/劭中，由余弦定理得：c=(y)+(2V3)-2-2V3-1-COSZADB,

在中，由余弦定理得：b2=(*1)2+(2炳)2-2・2的mcos/ADC,

2

0cosZADB=-cosAADC,所以b2+c2=色+24③，

由①②③，得a=8,Z»2+C=56,bc=8,

^r«b+c=V(b+c)2=Vb2+c2+2bc=V72=6V2»

所以的周长a+b+c=8+6&,

:>

方法二：SAABC|-bcsinA=2V3»得6c=8①，

由(1)知N+cLaZ-g②，

75"昔(疝+正)2得48=斤+02-。。=(ZH-c)2-3bc®,

由①②③得b+c=6加，a=8,

所以的周长a+b+c=8+6

>

方法三：SAABC^■bcsinA=2V3得6c=8①，

由(1)知及92=3-8②，

延长47到£便4E=240,

在AABE中NABE=60°,AE=2AD=4«,

余弦定理得b2+c2-2bccos60°=(4/3)2»即的^-历=48③,

由①②③得b+c=6，^,a=8,

所以的周长a+b+c=8+6我，

BD

E

20.如图，已知斜三棱柱48C-4SG中，ZBCA=9Q°,AC=BC=2,4在底面4SC上的射

影恰为4c的中点。，且A1D=V3.

(1)求证：46>L4G;

(2)求直线43与平面48G所成角的正弦值；

(3)在线段GC上是否存在点用使得二面角"-45-G的平面角为90°?若存在，确

定点"的位置；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)方法一：作废■■L4C交四于点£分别以DC,以所在直线为x,y,

z轴通过向量的数量积求解证明AB±AG.

方法二：证明/1G>L4C.证明8c_L47,BCLA'D,然后证明8CJ■面4第4,推出

即可证明/GJ■面ABC,推出4BLAa.

(2)方法一：求出面48G的一个法向量，结合不=(2,1,-V3),利用空间向量

的数量积求解直线45与平面48G所成角的正弦函数值即可；

方法二：说明N4故即为所要求，在RtZk4被中，转化求解即可.

(3)方法一：不存在，设而=入西=(0,入，加入)，(0W入W1)求出面MAB

的一个法向量，利用向量的数量积为：0,转化求解判断即可.

方法二：面48，L面48G,推出第与面48〃的交点人为必与4。的交点，且栏-耳,

NL]N

所以在线段笫上不存在点照满足要求.

【解答】证明：(1)方法一：作DELAC交AB于点、E,分别以巫，DC,ZM,所在直线为

x,y,z轴建系

A(0,-1,0),C(O,1,0),B⑵1,0),Ai(0,0,收，C/0,2,圾),

所以，A1B=(2,1,-百)，AC^=(0,3,5/3),

ApB'AC^=0+3-3=0,所以48_L4G.

方法二：在中，AD=1,A业=仃得44=2,N44?=60°

所以四边形4第4为菱形，得/G-L4G.

大BCLAC,BCL4D,ACC\A,D=D,AC,4/fc面/比14,所以6CJ■面加G4,

因为4Gu面ACC\A\,所以AC\-LBC,

又因为401坑=6,4aB纪面ABC

所以4G，面48C,因为4氏面48a所以4艮L4G.

(2)方法一：因为面48G〃面四C,所以面48G的一个法向量为需(0,0,1),

因为A1B=（2,1,一百），所以A1B'm=-V3>IA1B|=M4+l+3=2五,

cos〈率,、〉-1点呼,

设线48与平面48G所成角为a,sinCl=|cos<B.m>1=^-

方法二：因为面486〃面/8C,所以线48与平面48c所成的角等于48与面48c所成

的角，所以N4故即为所栗求.

在RS4劭中，A^=73,A[B=2&,sin/A/D=嘉黑,

线46与平面48G所成角的正弦值为返.

4

（3）方法一：不存在，设CM=、CC1=（O,入，向入），（0W入W1）

A1B；=AB=（2,2,0）,AjJ=A^C+CM=（0）入+1,如人-如）,

设面题4出的一个法向量为W=（x,y,z）

有

x=-y

AjBj•n=0J2x+2y=0

=((入+l)y+(«入M)z=0(X+l)y

AjMen=0

X+1*-♦fX+1

n=(l»"1(),m,n=r--7=-=0,得人=T.

正入-孤V3人-V3

所以不存在点照满足要求.

方法二：面48„面45G,

第与面48。的交点〃为约与4〃的交点,

21.在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东

莞第一高楼民盈・国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方

混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了

东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师

提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，

两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.

第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的4点测得

国贸中心顶部的仰角为a,正对国贸中心前进了s米后，到达8点，在8点测得国贸中

心顶部的仰角为B,然后计算出国贸中心的高度（如图1）.

第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸

中心处于同一水平面，每层约3米)楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于

天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为a,

米；②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为&

米.然后计算出国贸中心的高度(如图2).

实际操作中，第一小组测得s=90米，a=42°,B=48°,最终算得国贸中心高度为

〃；第二小组测得当=1.45米，a=12米，生=1.4米，最终算得国贸中心高度为假

设他们测量者的“眼高hn都为1.6

米.

a132

(1)请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据：tan42°七0.9,

tan48°=一答案保留整数结果)；

tan42

(2)你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.

【分析】(1)第一小组：在N4BCD,RtZk/曲中求得BC,AC,由AC-BC=s,可得

吗一组一=s,可求解3的值，可得”的值，第二小组：先求得星，FQ,由R?

tanatanp

(ai-aJ，PQ

-FQ=a,得—\_2-----=可求用，进而可求〃的值.

h

(2)逐一分析两种方案的优点和不足