中国人民解放军军队院校招生考试复习资料数学部分

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军队院校招生考试复习资料

数学部分

基本知识•基本思想•基本方法

第一章集合与简易逻辑

1.集合的概念

一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其

中各事物叫做集合的元素或简称元.如：全体英文大写字母,任何集合是它自身的子集.

2.元素与集合的关系：

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。如：xGA；

3.集合的分类：

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作AUB

（或BUA）,读作“A并B”（或“B并A”），即AUB={x|xeA,或xWB}

交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作AAB

（或BDA）,读作“A交B”（或“B交A”），即ADB={xkdA且xGB}

例如，全集U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,5},那么因为A和B

中都有1,5,所以AnB={l,5}o再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，

不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说AUB={1,2,3,5}o图中的阴

影部分就是APBo

无限集：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集

4.空集：包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”

5.补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作

CuA,即CuA={xlWU,且x不属于A}

空集也被认为是有限集合。

例如，全集U={I,2,3,4,5}而人={1,2,5）那么全集有而A中没有的

3,4就是CuA,是A的补集。CuA={3,4）.

6.某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个

元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做①。空集是任何集合的子集，是任何

非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有传递性。

7.如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A

UB。若A是B的子集，且A不等于B,则A称作是B的真子集，写作AUB。

8.集合元素的性质：

1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能

成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于

判断一个集合是否能形成集合。

2.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2),等同于

{1,2}.互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，

只能算作这个集合的一个元素。

3.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

9.集合有以下性质：若A包含于B,则ACB=A,AUB=B

10.集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。

(1)列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，

写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}

(2)描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符

号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{xIP}

(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于n

的正实数组成的集合表示为：{X|O<X<7T}

(3)图式法(Venn图)：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭曲线(或者

说圆圈)，用它的内部表示一个集合。

11.常用数集的符号：

(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N

(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+(或N*)

(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z

(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q

(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R

(6)复数集合计作C

12.集合的运算:

集合交换律

AAB=BnA

AUB=BUA

集合结合律

(AnB)nc=An(Bnc)

(AUB)UC=AU(BUC)

集合分配律

An(Buc)=(Are)uQnc)

AU®nc>(AuB)n(Auc)

13.集合吸收律

AU(APB)=A

AA(AUB>A

集合求补律

AUCuA=S

ADCuA=«l)

设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幕集

德摩根律A-(BUC)=(A-B)CI(A-C)

A-(BnC)=(A-B)U(A-C)

14.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦

恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想

方法解决；

15.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与

其否命题是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑

判断其等价命题的真假；

16.含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集(非空子集)个数为2n-l;非空真子

集2n—2；”是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

17.三种命题

(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论

和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命

题叫做原命题的逆命题。

(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件

的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，

另外一个命题叫做原命题的否命题。

(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的

否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命

题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。

18.四种命题的相互关系

1.四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题

与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否

命题与否命题互逆。

2.四种命题的真假关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。(2)

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系

19.简单命题之间的关系

1、能够判断真假的陈述句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫

做假命题。

2、“若p,则q”形式的命题中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。

3、命题的分类：

①原命题：一个命题的本身称之为原命题，如：若x>L则f(x)=(x-l)A2

单调递增。

②逆命题：将原命题的条件和结论颠倒的新命题，如：若f(x)=(x-lr2单

调递增，则x>l。

③否命题：将原命题的条件和结论全否定的新命题，但不改变条件和结论的

顺序，如：若x《1,贝Ijf(x)=(x-l)0不单调递增。

④逆否命题：将原命题的条件和结论颠倒，然后再将条件和结论全否定的新

命题，如：若f(x)=(x-l'2不单调递增，则x《l。

4、命题的否定

命题的否定是只将命题的结论否定的新命题，这与否命题不同。

5、4种命题及命题的否定的真假性关系

20.充分条件与必要条原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题等价，命题的否定与原

命题的真假性相反。

21.充分条件与必要条件

1、“若p,则q"为真命题，叫做由p推出q,记作p=>q,并且说p是q的

充分条件，q是p的必要条件。

2、”若p,则q”为假命题，叫做由p推不出q,记作p卢*q,并且说p不是

q的充分条件(或p是q的非充分条件)，q不是p的必要条件(或q是p的非必

要条件)。

22.充要条件

如果既有p=>q，又有q=>p，就记作p<=>q,并且说p是q的充分必要条件

(或q是p的充分必要条件)，简称充要条件。

原命题和逆否命题等价，否命题和逆命题等价，命题的否定与原命题的真假性相

反。

23.几种常见的逻辑连接词

(1)且

1、用联结词“且”把p与q联结起来称为一个新命题，记作pCq,读作“p且

q”。

2、命题pAq的真假的判定：

当两个命题p和q都是真命题时，形成的新命题p且q就是真命题。如果

两个命题p和q其中有一个是假命题，形成的新命题p且q就是假命题。

(2)或

1、用联结词“或”把p与q联结起来称为一个新命题，记作pUq,读作“p

或q”。

2、命题pvq的真假的判定：

当两个命题p和q其中有一个是真命题时，形成的新命题p或q就是真命

题。当两个命题p和q都是假命题时，形成的新命题p或q就是假命题。

(3)非

1、对于一个命题p如果仅将它的结论否定，就得到一个新命题，记作ip,

读作“非P”。

2、命题1P的真假的判定：

在命题和他的非命题中，有一个且只有一个是真命题。

例

P：平面内垂直于同一条直线的的两条直线平行，q：平面内垂直于同一条直

线的的两条直线不平行。

其中，p是真命题，q是假命题。

注：1.注意区分集合中元素的形式.如：{wy=igx}一函数的定义域；{yiy=igx}-

函数的值域；

{(x,y)ly=lgx}-函数图象上的点集.

2.集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集，记为4aA.

②空集是任何集合的子集，记为0GA.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为4=8,在讨论的时候不要遗忘

了A=0的情况

如：A={xlM-2x-1=0},如果An/?+=0,求。的取值.（答：a<0）

@Q.（AA«）-CyAUQ.B,C（y（AUBAAC,.B.Qn®）nc=/1ABAC.

（4U6）UC=AUBUC.

⑤

Ar\B=A<^>A\JB=BAcB<=>Ct.BcCt,A<=>AACyB=0oCVA\JB=R

⑥AU8元素的个数：card{AU=cardA+cardB-card（AAB）_

⑦含〃个元素的集合的子集个数为2"；真子集（非空子集）个数为2"-1；非空

真子集个数为2"-2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数/（x）=4/_2（p_2）x_2p2-p+l在区间上至少存在一

个实数0,使

/⑹>。,求实数P的取值范围.（答：（T2））

4.原命题：0=4；逆命题：“no；否命题：「Pn「叫逆否命题：f=「P；

互为逆否的两

个命题是等价的.如："Sina‘sin4”是“a#£”的条件.（答：充分非

必要条件）

5.若P=彳且"公P,则P是《的充分非必要条件（或'/是P的必要非充分条件）.

6.注意命题pnq的否定与它的否命题的区别：命题p=g的否定是pnrq；否

命题是R=F.

命题，，0或4”的否定是“「P且「9”；“〃且4”的否定是“rp或.

如：“若a和b都是偶数，则”+b是偶数”的否命题是“若口和匕不都是偶数,

则a+b是奇数”

否定是“若。和人都是偶数，则&+”是奇数”.

7.常见结论的否定形式

原结论否定原结论否定

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有1个

小于不小于至多有〃个至少有〃+1个

对所有X,成立存在某X,不成立p我q且一)“

对任何X,不成立存在某X,成立p且q-、P或一\Q

8.四种命题：

⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若「p则->q；⑷逆否命题：若「q则「p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

9.充要条件的判断：

(1)定义法•…正、反方向推理；

(2)利用集合间的包含关系：例如：若A=B,则A是B的充分条件或B是A

的必要条件；若人=15,则A是B的充要条件；

10.逻辑连接词：

⑴且(and)：命题形式pAq；PqPAqpvq-1]>

⑵或(or)：命题形式pvq；真真真真假

⑶非(not)：命题形式-ip.真假假真假

假真假真真

假假假假真

11.全称量词与存在量词

⑴全称量词……“所有的”、“任意一个”等，用V表示;

全称命题p：VxcM,p(x)；全称命题p的否定「p：

⑵存在量词.....“存在一个”、“至少有一个”等，用三表示；

特称命题p：3xeM,p(x),特称命题p的否定「p：

VxGM.

第二章函数

1.①映射/：A->8是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有

象且A中不

同元素在B中可以有相同的象；集合8中的元素不一定有原象（即象集=3）.

②一一映射⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,8

中元素都有原象.

2.函数/：4-8是特殊的映射.特殊在定义域力和值域6都是非空数集！据此可

知函数图像与x轴

的垂线至多有一个公共点,但与）’轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原

则.

4.求定义域:使函数解析式有意义（如:分母7°;偶次根式被开方数非负;对数真数

>0,底数〉0

且*1;零指数幕的底数W0）;实际问题有意义；若"X）定义域为值切，复合

函数/［g（x）］定义

域由a4g（x）4b解出；若〃g（x）］定义域为S，■，则人划定义域相当于［”向

时g（x）的值域.

5.求值域常用方法：①配方法（二次函数类）；②逆求法（反函数法）；③换元法（特别

注意新元的范围）.

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的

方法来求值域；

⑧判别式法（慎用）：⑨导数法（一般适用于高次多项式函数）.

6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法（已知所求函数的类型）；⑵代换（配凑）

法；

⑶方程的思想-…对已知等式进行赋值，从而得到关于〃幻及另外一个函数

的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法

有定义法、图像法等；

⑵若f（x）是偶函数，那么〃x）=/（-x）=/（bD;定义域含零的奇函数必过原

点（/（°）=°）;

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式："x）±/（-x）=°或

---=±l（/（x）*O）

/（X）.»

⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶

的函数有无数个

（如内幻二°定义域关于原点对称即可）.

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内

有相反的单调性；

⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法（用于小题）等.

⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.（提醒：求单调区间时注意定义域）

y=log,（-x2+2x）

如：函数3的单调递增区间是--------------.（答：（L2））

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移......“左加右减”（注意是针

对x而言）；

上下平移一…“上加下减”（注意是针对"X）而言）.⑵翻折变换：/（x）T/（x）l；

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心（轴）

的对称点仍在图像上.

②证明图像G与C?的对称性，即证G上任意点关于对称中心（轴）的对称点仍

在《?上，反之亦然.

③函数与y=/（r）的图像关于直线x=0（y轴）对称；函数、=/（》）

与函数

>=/（-x）的图像关于直线y=O（.r轴）对称；

④若函数y=对xwR时，〃a+x）=〃a-x）或/（x）=/（2"-x）恒成立，则

y=/（x）图像关

于直线x=a对称；

⑤若y=/（x）对xe/?时,/（a+x）=/3_x）恒成立，则y=/（x）图像关于直线

a+b

X=

2对称；

b-a

⑥函数了=/（"+幻，）'=/'（"一刈的图像关于直线.2对称（由a+x=b-x

确定）;

a+b

⑦函数y="x_.）与）'=/（"一幻的图像关于直线.—一丁对称；

,=£，=〃x）+A-/（x）

⑧函数y=/（x）,y=A-/（x）的图像关于直线•'一万对称（由•'一2

确定）；

⑨函数y=/（x）与y=-/（-x）的图像关于原点成中心对称；函数

y=/（x）y=n-f（m-x）

的图像关于点22对称；

⑩函数y=/a）与函数）'=厂’。）的图像关于直线》=x对称；曲线G：

〃x,y）=O,关于

y=x+a,）'=-x+a的对称曲线G的方程为〃y_a，x+a）=°（或

f（-y+a,-x+a）=O^

曲线G：〃x，y）=°关于点色力）的对称曲线c?方程为：

f（2a-x,2h-y）=0

9.函数的周期性：⑴若y=〃x）对尤€氏时〃x+a）=/（x—a）恒成立，贝|j的周

期为2141：

⑵若＞'=/（x）是偶函数淇图像又关于直线x=a对称,则/（x）的周期为21。1；

⑶若卜=/（外奇函数，其图像又关于直线x=。对称，则/（X）的周期为41环；

⑷若/=/（尤）关于点30）,（40）对称,则/（了）的周期为21°_加；

⑸y=/*)的图象关于直线工=〃/=仇。,。)对称,则函数〉二/(灯的周期为

21。一》

“、1

f(X+Q)=----

(6)y=/(X)对xeR时,/(x+a)=~fM或f(x)，则y=/(%)的周期

为21al

10.对数：⑴l°g"b=log/'3>°，。"力>°，"€.)；出对数恒等式

a*"=N(a>0,aWl,N>()).

M

10g„(M-N)=log,,M+log"N;log,,-=log“M-logaN;log“M"=nlog„Af

⑶N

_1log.N

\og>[M=-\ogMlogN=-----八八-1、

a〃a；⑷对数换底公式w砥a(a>0，awl，">0/'l)；

推论：l°g〃b"°gbc."g，〃=1=l°g/2•log。?4……log"%=bgq

(以上M>O,N>OM>O,QWl,b>b,bwl,c>0,cw1,4,4,…。〃>。且。i，4,…。“均

不等于1)

11.方程女=/(外有解=(。为F(x)的值域)；aN/(x)恒成立

O"N"(x)］垠人值

9

a4f(x)恒成立o"4"(x)】最小值.

12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布

问题；

13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用

“两看法”：

一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

2

14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：fM=ax+hX+c(a^0)t②顶点式：

2

f(x)=a(x-h)+k(a^0)；③零点式：f(x)=a(x-xt)(x-x,)(a0)_

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究△>°、轴与区间关系、区间端点函数值符号；

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若八处的定义域为出力］，其复合函数

力g(x)]的定义域可由

不等式"4g(x)Mb解出；若/[g(x)]的定义域为小切,求"X)的定义域，相当

于切时，求

g&)的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

[/(a)>0f/(a)<0

<=>〈

/(")=g(x)”+〃(x)20^40)(a4“4b)[/(/?)NO(或[f(b)4O)；

y-ax+b(c^Q,adbe)x--—

18.函数,cx+"的图像是双曲线:①两渐近线分别直线C(由分

母为零确定)和

y=«(_4且)

直线.c(由分子、分母中X的系数确定)；②对称中心是点e'e;③反函

-b-dyx--------

数为.cx-a；

y=ax+-(a>0,fe>0)(-°o,-J-],[J-,+°o)

19.函数x：增区间为kV。，减区间为

[-,Ro)，(O，g]

f(x)=-(-、

如：已知函数x+2在区间(一2,+8)上为增函数，则实数。的取值范围是

(!,+8)

——(答：2).

注：L映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2.函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；

⑤换元法；⑥利用均值不等式⑦利用数形结合或

几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等)；⑧利用函数有界性(5也》、cosx

等)；⑨导数法

3.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)Wb解

出

②若f［g(x)］的定义域为［a,b］,求f(x)的定义域，相当于Xd［a,b］时，求g(x)的值

域。

(2)复合函数单调性的判定：

①首先将原函数'=/但(幻］分解为基本函数：内函数〃=g*)与外函数

V=/(")9.

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5.函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

⑵/(X)是奇函数0f(-x)=-f(x)；/(X)是偶函数=f(一x)=f(x)

⑶奇函数/(X)在原点有定义，则"°)=0；

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调

性；

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6.函数的单调性

⑴单调性的定义：

①/(x)在区间M上是增函数QVx”％e当玉<9时有/(/)</(々)；

②/(X)在区间M上是减函数0V占户26M，当不<了2时有/(±)>/(>2)；

⑵单调性的判定

定义法：一般要将式子/(为)一/(/)化为几个因式作积或作商的形式，以利于

判断符号；

②导数法(见导数部分)；③复合函数法；④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x,若有f(x+T)=/(x)(其中T为非零

常数)，则称函数“X)为周期函数，T为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指

最小正周期。

(2)三角函数的周期

①y=sinx:T=2".②y=cosx:T=2兀.y=tanx:T=t

y=4sin(ftzr+(p),y-Acos(m+(p):T---y-tancax:T---

④.'lct)l；⑤.l£y,；

(3)与周期有关的结论

/(x+a)=-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)=>f(x)的周期为2a；

8.基本初等函数的图像与性质

⑴幕函数：(&WR)；⑵指数函数：y=a'(a>0，a=l)；

⑶对数函数：？=10g«x(a〉*D；⑷正弦函数：y=sinx；

⑸余弦函数：y=cosx.(6)正切函数：y=tanx;⑺一元二次函数：

2

ax+Zzx+c=0».

(8)其它常用函数：

正比例函数：y=zx(%N0)；②反比例函数：.x.③函数

a,八、

y=x+—(a>0)

x;

9.二次函数：

⑴解析式：

①一般式：/(x)=++bx+j②顶点式："x)=a(x—犷+k,(人/)为顶点；

③零点式：fM=a(x-xi)(x-x2)o

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

b

=

2.X----

二次函数y=+H+C'的图象的对称轴方程是2a,顶点坐标是

'b4ac-h2

、2a4a

10.函数图象：

⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数

法

⑵图象变换：

平移变换：i)y=/a)-y=/a±a),(«>o)左“+，,右“一,,；

过)y=/(x)-y=f(x)±k,(k>o)上“+，,下

对称变换：iy=/(x)3UV=-/(-x)；iiy=f(x)^^y=-f(x).

iny=/(x)—y=/(一%)；wy=/(x)工.>，=/(y)；

翻转变换：

i)y=/(x)—y=/(ixi)--------右不动，右向左翻(/(X)在y左侧图象去掉)；

m)y=/*)->y="(x)।--------上不动，下向上翻(|/(幻1在x下面无图象)；

U.函数图象(曲线)对称性的证明

(1)证明函数)'=/(幻图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称

轴)的对称点仍在图像上；

(2)证明函数、=/(*)与卜=8(幻图象的对称性，即证明y="x)图象上任意

点关于对称中心(对称轴)的对称点在y=ga)的图象上，反之亦然；

注：①曲线Cl:f(x,y)=O关于点(0,0)的对称曲线C2方程为：f(-x,-y)=0;

②曲线Cl:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(-x,y)=0;

曲线Cl:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,-y)=0;

曲线Cl:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0

a+b

③f(a+x)=f(b—x)(x£R)fy=f(x)图像关于直线x二2对称；

特别地：f(a+x)=f(a—x)(xGR)fy=f(x)图像关于直线x=a对称；

第三章数列

S[(n=l)

1.由S“求％,lS“-S，i(/N2,〃eN)注意验证为是否包含在后面乙的公式中，

若不符合要

5(4(〃=1)

单独列出.如：数列｛%｝满足"一4,S"+5，，+1-3%,求(答:一13•4,-'(〃22)).

2,等差数列｛%｝oan-%=d(d为常数)=2%=%+%(n>2,neN*)

2

<=>a=an+b(a=d,b=a,-d)<^>Sn=An+Bn(A=",B=q-《)

22.

d-a-~a"

3.等差数列的性质：①％=册+(〃-加)"，>n-n；

②m+〃=/+火=《"+%/+%(反之不一定成立)；特别地，当m+n=2p时，有

%,+4=2%.

③若｛《，｝、｛〃，｝是等差数列，则｛也+血｝心、，是非零常数）是等差数列;

55

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列"即-'2„,-5„）,53„,-S2m,……仍是等

差数列；

s奇_a

⑤等差数列｛叫，当项数为2“时，$网一$奇=叫501s限；项数为2〃-1时,

n

s奇T4=/(“)=%=/(2"-1)

“声S奇=a=%(〃€%*)/21=(2〃-1)4,,且？7n-1.玛明

⑥首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题,转化为解

不等式

（40

""+|"°(或1""+R°）.也可用S"=An'+Bn的二次函数关系来分析.

⑦若an=m,am=n{mWn),则*=0；若S„=tn,Sm=n(mWn),则Sm+„=-{m+n).

ss

若m=„*〃),则Sm+n=0;S3m=3(S2m-Sm);鼠+,=Sm+Sn+mnd.

{«„}<=>—=q^l*0)<=>^=(nN2,”eN*)<=>an=aqi

4.等比数列a-

5.等比数列的性质

①4=-"E；②若｛%｝、也,｝是等比数列，则伙4,｝、｛4也』等也是等比

数列；

呵（q=l）,4］（夕=1）

S"==1）

③"q>qif；④“+〃=/+火（反

之不一定成

立）；S…=S,“+q”'S"=S"+q"S,⑤等比数歹q中S,“,S2“,_5“,,邑“,一S2,”，.......（注各项

均不为0）

—=q"""=q

仍是等比数列.⑥等比数列｛4｝当项数为2“时，$奇；项数为2〃T时，§他.

6.①如果数列｛%｝是等差数列，则数列｛&'"｝（废"总有意义）是等比数列；如果数列｛"，』是

等比数列，

则数列｛bg“U।｝（。>0，。x1）是等差数列；

②若他”｝既是等差数列又是等比数列，则｛4｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新

数列的公差

是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项，那

么由他们的

公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法："々MM+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d.

aaa3

—,a9aq-,—,aq9aq

三个数成等比的设法：q；四个数成等比的错误设法：/q（为什么？）

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

S1,（〃=1）

an=<

⑵已知S“（即4+”2+…+%=/（〃））求q,用作差法：[S"-S,1,（〃22）.

川）,5=1）

a"=\-,（n>2）

⑶已知％9……4="〃）求4用作商法：T）

—=fW

⑷若“川一4=〃"）求能用迭加法.⑸已知盘，求（用迭乘法.

⑹已知数列递推式求.“，用构造法（构造等差、等比数列）：①形如

a“=k%+b,a„=kan_t+b'^

a"=总小+a-n+b（3。为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等

比数列后，

再求知.②形如的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列，等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加;

④错位

1+2+3+…+〃=1n{n+1)

相减；⑤分裂通项法.公式：2

12+22+32+•••+/二心+1)(2〃+1)

6・

33321_11

13+2+3+...+n=[^^]

1+3+5+…+〃=/；常见裂项公式〃(〃+1)〃n+1.

n(n+k)knn+k.n(n-l)(n+1)2n(n+1)(n+l)(/i+2).(n+1)!n[(n+1)!

，，

2(+1—yfn)=—7—3---厂<-Lr<~~\,=2(册—-1)

常见放缩公式:yjn+\+yjn\Jnyjn+\ln

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指：

细心计算

“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”

解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金〃

元,每期利

S”=P（l+r）+p（l+2r）d—p（\+n）=rp（n+r）

率为J则〃期后本利和为：2（等

差数列问

题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）0元,

采用分期等

额还款方式,从借款日算起,一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去,分〃期还清.

如果每期利

率为「（按复利），那么每期等薮还款x元应满足：

p（l+r）“=x（l+r）'i+x（l++…+x（l+r）+x（等比数列问题）

注：1.定义:

⑴等差数列==d(d为常数)024=〃“+i+*_](〃N2,〃£N*)

2

=%=kn+bsn=An+Bn.

{a_}o=q(qw0)=%-=an4-an+i(n>2,neN)

⑵等比数列与

2.等差、等比数列性质

等差数列等比数列

通项公式a„=a,+(n-l)d3=/q-i

l.q=1时，Stl=〃《；

〃(%+%)n(n-1)

前n项和S==na+a

n21x224Hl时，s

l-<7

=If