必刷题《专题6-与角平分线有关的计算问题-》刷难关

初中数学精选习题3/3初中必刷题第四章几何图形初步刷难关《专题6与角平分线有关的计算问题》类型1单角平分线问题1.[2020广东珠海香洲区期末改编，中]如图，已知点O为直线AB上一点，将一个直角三角板COD的直角顶点放在点O处，并使OC边始终在直线AB的上方，OE平分∠BOC.（1）若∠DOE=70°，则∠AOC=______；（2）若∠DOE=，求∠AOC的度数.（用含的式子表示）2.[20江苏南京栖霞区期末，难]【发现猜想】如图（1），若∠AOB=70°，∠AOD=100°，OC为∠BOD的平分线，则∠AOC的度数为______；【探索归纳】如图（1），∠AOB=m，∠AOD=n，OC为∠BOD的平分线.猜想∠AOC的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由.【问题解决】如图（2），已知∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°.若射线OB绕点O以每秒20°的速度逆时针转动，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针转动，射线OD绕点O以每秒30°的速度顺时针转动，三条射线同时转动，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？类型2双角平分线问题3.[2019湖北鄂州梁子湖区期中，较难]已知∠AOB=90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，求∠EOF的度数.4.[2020江苏高邮期末，难]如图，已知∠AOB=150°，将一个直角三角形纸片（∠D=90°）的一个顶点放在点O处，现将三角形纸片绕点O任意转动，OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD.（1）将三角形纸片绕点O转动（三角形纸片始终保持在∠AOB的内部），若∠COD=30°，则∠MON=_______；（2）将三角形纸片绕点O转动（三角形纸片始终保持在∠AOB的内部），若射线OD恰好平分∠MON，且∠MON=8∠COD，求∠COD的度数；（3）将三角形纸片绕点O从OC与OA重合位置顺时针转动到OD与OA重合的位置，猜想在转动过程中∠COD和∠MON的数量关系，并说明理由.参考答案1.答案：（1）因为∠DOE=70°，∠COD=90°，所以∠COE=90°-70°=20°。因为OE平分∠BOC，所以∠COE=∠BOE=20°，所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=140°.故答案为140°.（2）因为∠DOE=，∠COD=90°，所以∠COE=90°-.因为OE平分∠BOC，所以∠BOC=2∠COE=180°-2，所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-（180°-2）=2.2.答案：【发现猜想】因为∠AOB=70°，∠AOD=100°，所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=30°因为OC为∠BOD的平分线，所以∠BOC=∠BOD=15°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=85°，则∠AOC的度数为85°.故答案为85°.【探索归纳】∠AOC=（m+n）.理由如下：因为∠AOB=m，∠AOD=n，所以∠BOD=n-m.因为OC为∠BOD的平分线，所以∠BOC=（n-m），所以∠AOC=（n-m）+m=（m+n）.故∠AOC的度数为（m+n）.【问题解决】设运动的时间为x秒.因为∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°，所以在运动过程中，∠DOA=（120-30x）°，∠COA=（90-10x）°，∠BOA=（20+20x）°.由题意可得，在转动过程中，当x=时，OD与OC重合；当x=2时，OD与OB重合；当x=时，OC与OB重合；当x=4时，OD与OA重合.①当0≤x<，OC为OB，OD夹角的平分线时，∠COD=（120-30x）°-（90-10x）°=（30-20x）°，∠BOC=（90-10x）°-（20+20x）°=（70-30x）°，有∠COD=∠BOC，即30-20x=70-30x，解得x=4（舍去）；②当≤x<2，OD为OC，OB夹角的平分线时，∠COD=（90-10x）°-（120-30x）°=（-30+20x）°，∠BOD=（120-30x）°-（20+20x）°=（100-50x）°，有∠COD=∠BOD，即-30+20x=100-50x，解得x=；③当2≤x≤，OB为OC，OD夹角的平分线时，∠BOC=（90-10x）°-（20+20x）°=（70-30x）°，∠BOD=（20+20x）°-（120-30x）°=（-100+50x）°，有∠BOC=∠BOD，即70-30x=-100+50x，解得x=；④当≤x≤4，OC为OB，OD夹角的平分线时，∠BOC=（20+20x）°-（90-10x）°=（-70+30x）°，∠COD=（90-10x）°-（120-30x）°=（-30+20x），有∠BOC=∠COD，即-70+30x=-30+20x，解得x=4.答：经过或或4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线.3.答案：①如图，当OC在∠AOB内部时.因为OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，所以∠COE+∠COF=∠AOC+∠BOC，即∠EOF=∠AOB.又因为∠AOB=90°，所以∠EOF=45°.②如图，当OC在∠AOB外部时.因为OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠EDC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，所以∠EOF=∠FOC-∠EOC=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=45°.综上所述，∠EOF=45°.4.答案：见解析解析：（1）因为∠AOB=150°，∠COD=30°，所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=150°-30°=120°.因为OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD，所以∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，所以∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD）=60°，所以∠MON=∠AOB-（∠AOM+∠BON）=90°，故答案为90°.（2）因为∠MON=8∠COD，所以设∠COD=，则∠MON=8.因为OD平分∠MON，所以∠DOM=∠DON=4，所以∠COM=3.因为OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD，所以∠AOC=2∠COM=6，∠BOD=2∠DON=8.因为∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD=6++8=150°，所以=10°，所以∠COD=10°.（3）∠COD+150°=2∠MON或∠COD=210°-2∠MON.理由：①当三角形纸片在∠AOB的内部时，如图（1）.因为OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD，所以∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD.因为∠AOM+∠BON=150°-∠MON，∠COD=150°-2（∠AOM+∠BON），所以∠COD=150°-2（150°-∠MON），所以∠COD+150°=2∠MON.②当三角形纸片一部分在∠AOB内部，一部分在∠AOB外部时，如图（2），因为OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD，所以∠AOM=∠AOC，∠DON=∠BOD.因为∠AOM+∠DON=150°+∠BOD-∠MON，所以∠AOM-∠DON=150°-∠MON.因为∠COD=∠BOC+∠BOD=150°-∠AOC+∠BOD=150°-2（∠AOM-∠DON），所以∠COD=150°-2（150°-∠MON），所以∠COD+150°=2∠MON.③当三角形纸片在∠AOB的外部时，如图（3）.因为OM平分斜边OC与OA