九年级下册数学教学案

第一章反比例函数

1.1建立反比例函数模型

教学目标：

1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识

别其中的反比例函数。

2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式。

3.能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例

关系。

教学重点：反比例函数的概念。

教学难点：反比例函数的概念，学生理解时有一定的难度。

教学过程：

知识回顾：什么是函数？一次函数？正比例函数？

一、创设情景探究问题

情境1：

当路程一定时，速度与时间成什么关系？（vt=s）

当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？

［说明］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生

积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，

这两个量成反比例关系，如xy=m（m为一个定值），则x与y成反比例。这一情境

为后面学习反比例函数概念作铺垫。

情境2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300km）,全程所用时间t（h）随速度v（km/h）

的变化而变化。

问题:

(1)你能用含有V的代数式表示t吗？

(2)利用(1)的关系式完成下表：v(km/

608090100120

随着速度的变化，全程所用时间发生h)

怎样的变化？t(h)

(3)速度v是时间t的函数吗？为什么？

［说明］(1)引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出

关系式s=vt,指导学生用这个关系式的变式来完成问题(1)0

(2)引导学生观察、讨论，并运用(1)中的关系式填表，并观察变化的趋势，

引导学生用语言描述。

3)结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题(3)。

情境3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

(1)一个面积为6400m，的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化；

(2)某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还

款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；

(3)游泳池的容积为5000m：3,向池内注水，注满水所需时间t(h)随注水速度

v(m7h)的变化而变化;

(4)实数m与n的积为一200,m随n的变化而变化。

问题：

(1)这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不

同？

(2)它们有一些什么特征？

(3)你能归纳出反比例函数的概念吗？

一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成

|z

(k为常数,kNO)

的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是因变量，y是x的

函数，k是比例系数。(有的书上写成丫=1«-的形式.)

反比例函数的自变量x的取值范围是所有非零实数(不等于0的一切实数)(为

什么？),但在实际问题中，还要根据具体情况来进一步确定该反比例函数的自变量

的取值范围。

［说明］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函

数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：（1）自变量X

位于分母，且其次数是1。（2）常量kWO。（3）自变量X的取值范围是xWO的一切实

数。（4）函数值y的取值范围是非零实数。并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概

念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例

函数也可表示为丫=1«-（1＜为常数，kWO）的形式，并结合旧知验证其正确性。

二、例题教学

例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

（l）y=­；（2）y=----；（3）y=—；（4）y=—-3；（5）y=—----；

15x—1xxx

V—1

（6）y=-+2；（7）y=-。

32x

［说明］这个例题作了一些变动，引导学生充分讨论，把函数关系式如何化成y

=：或丫=1«+13的形式了解函数关系式的变形,知道函数关系式中比例系数的值连

同前面的符号，会与一次函数的关系式进行比较，若对反比例函数的定义理解不深

刻，常会认为（2）与（4）也是反比例函数，而（2）式等号右边的分母是x-1,

不是x,（2）式y与x—l成反比例，它不是y与x的反比例函数.对于（4）,等号

k1—3x

右边不能化成一的形式，它只能转化为•——的形式，此时分子已不是常数，所以

XX

（4）不是反比例函数，而（7）中右边分母为2x,看上去和（2）类似，但它可以

1

一21

化成——，即k=--,所以（7）是反比例函数。通过这个例题使学生进一步认

x2

识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力。

221

例2：在函数y=--1,y=—,y=x，y=葭中，y是x的反比例函数的有

XX'1ZX

个。

例3：若y与x成反比例，且x=-3时，y=7,则y与x的函数关系式为

［说明］这个例题引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方

法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系

式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数。

三、拓展练习

1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数。

如果是，指出比例系数k的值。

(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化;

(2)某村有耕地面积200ha,人均占有耕地面积y(ha)随人口数量x(人)的

变化而变化；

2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？

222

(1)丫=wx；(2)y=z-；(3)xy+2=0；(4)xy=O；(5)x=~。

。JXJy

3、已知函数丫=(m+1)x"Z是反比例函数，则m的值为o

第3题要引导学生从反比例函数的变式y=kx-入手，注意隐含条件kWO,求出m

值。

五、布置作业：

1.1建立反比例函数模型(2)

教学目标：

1.会用待定系数法求反比例函数的解析式。

2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境，体会反比例函数的

意义，理解比例系数的具体的意义。

3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值。运用已知反比例函数的值求相

应自变量的值解决一些简单的问题。

重点：用待定系数法求反比例函数的解析式。

难点：例3要用科学知识，又要用不等式的知识，学生不易理解。

教学过程：

一.复习

1、反比例函数的定义：

判断下列说法是否正确(对"J”，错“X”)

⑴一矩形的面积知8相，相邻的两条边长分另的x(c〃D和y(c〃z),变量y是变卦的反比例函数c

(2)圆的面积公式?=/中，s与r成正比例

⑶矩形的长为z,宽为A周长为C,当C为常量时，。是b的反比例函数。

(4)一个正四棱柱的底面正方形的边长为v,高为y,当其体积丫为常量时，)，是x的反比例函数。

(5)当被除数(不为零)垸时，商和除数成反匕的八

(6)计划修建铁路120的〃，则铺轨天麴3)是每日铺轨量的反比例函数。

2、思考：如何确定反比例函数的解析式？

(1)已知y是X的反比例函数，比例系数是3,则函数解析式是。

⑵当m为何值时，函数y=Y不是反比例函数，并求出其函数解析式。

X

关键是确定比例系数！

二.新课

1.例2：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析

式和自变量的取值范围。

小结：要确定一个反比例函数y的解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对

X

自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。

2.练习：已知y是关于x的反比例函数，当x=-2时，y=2,求这个函数的解析式和

4

自变量的取值范围。

3.说一说它们的求法：

(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式。

⑵已知变量yT与x成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式。

4.例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻为R(。)，通过电流的

强度为1(A)。

(1)已知一个汽车前灯的电阻为30Q,通过的电流为0.40A,求I关于R的函数

解析式，并说明比例系数的实际意义。

(2)如果接上新灯泡的电阻大于30Q,那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发

生什么变化？

在例3的教学中可作如下启发：

(1)电流、电阻、电压之间有何关系？

(2)在电压U保持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？

(3)前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？

先让学生尝试练习，后师生一起点评。

三.巩固练习：

1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时-，p=l.98kg

/m3

(1)求P与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

(2)求V=9m3时，二氧化碳的密度。

六、布置作业：P4B组

1.2反比例函数的图像和性质（1）

［教学目标］

1、体会并了解反比例函数的图象的意义。

2、能列表、描点、连线法画出反比例函数的图象。

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。

［教学重点和难点］

1、本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质

2、由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点

［教学过程］

1、情境创设

可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗？在回忆与交流

中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数一

一反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢？

2、探索活动

探索活动1反比例函数y=2的图象。

X

由于反比例函数y=2的图象是曲线型的，且分成两支。对此，学生第一次接触

X

有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：

（1）可以先估计一一例如：位置（图象所在象限、图象与坐标轴的交点等）、趋势

（上升、下降等）；

（2）方法与步骤一一利用描点作图；

列表：取自变量x的哪些值？一一x是不为零的任何实数，所以不能取x的值

的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。

描点：依据什么（数据、方法）找点？

连线：怎样连线？一一可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑

的曲线把所描的点连接起来。

探索活动2反比例函数>=二的图象。

X

可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：

(1)可以用画反比例函数y=2的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；

X

(2)可以通过探索函数y=2与y=—2之间的关系，画出),=一2的图象。

XXX

探索活动3反比例函数y=-2与y=2的图象有什么共同特征？

XX

引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两

支”的特征。(即双曲线)

反比例函数y」(kWO)的图象中两支曲线都与x轴、y轴不相交;并且当Q0时,

X

图象在第一、第三象限内，函数值y随自变量x取值的增大而减小：当％<0时，图

象在第二、第四象限内，函数值y随自变量x取值的增大而增大。

反比例函数y=&(kW0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

X

反比例函数y=&与)，=-&(kro)的图象关于直角坐标系的X轴成轴对称。

XX

3、学生练习作出y=的图象。

X

4、应用知识，体验成功练笔：课本P10

5、布置作业

1.2反比例函数的图像和性质(2)

教学目标：

1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，探究反比例函数的增减性。

2、掌握反比例函数的增减性，能运用其性质解决一些简单的实际问题。

教学重点：通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。

教学难点：由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分

成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性。

教学设计：

一、复习：

1.反比例函数的图象经过点(一1,2),那么这个反比例函数的解析

式为，图象在第象限，它的图象关于成中心对称.

2.反比例函数的图象与正比例函数的图象，交于点A(l,

m),则01=,反比例函数的解析式为,这两个图象的另一个交

点坐标是.

3、画出函数y=9和y=-9的图像

XX

二、讲授新课

1、引导学生观察函数＞-9和丫=-£的表格和图像说出y与x之间的变化关系；

XX

X•••-6-5-4-3-2-1123456•••

6

y=一•••-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21•••

X

6

y=一一•••11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1•••

X

k>OkcO

八y7

\A(…)火/

一)("匚上4

-------"xo：1_____-"x

（工3，F■■p^DGt4,乂）

（工4,必）''7c（3，>3）

当k＞。时9在个象限内，当左vO时，性每个象限内,

y随x的增大而减少.y随x的增大而增大.

2、做一做:

1.用或填空：

(1)已知再，力和勺，丫2是反比例函数y=3的两对自变量与函数的对应值。若

X

与<当领|0y,y2

(2)已知王，％和乙,丫2是反比例函数y=一9的两对自变量与函数的对应值。

若%则0y(y2

2.已知(网，y])(x2,y2)(无3,丫3)是反比例函数y=?■图象上的三个点，并且

x

Y]>y2>y3>0,则X],x2,X3的大小关系是()

(A)A,<X2<X,；(B)&>玉<%2；

((0%>毛>毛；(D)%)>x3<%2，

3.已知(1,y),(3,y2),(-2,丫3)是反比例函数丫=匚的图象上的三个点，则

X

yp丫2，丫3的大小关系是。

4.已知反比例函数y=2。(1)当x>5时，0y1；

X

(2)当xW5时，则y1,或yV(3)当y>5时，x的范围是。

3、讲解例题

例：下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。设从杭州到余姚一段铁路线上的列

车行驶的时间为t时，平均速度为v千米/时，且平均速度限定为不超过160千米/

时。

(1)求v关于t的函数解析式和自变量t的取值范围；

(2)画出所求函数的图象

(3)从杭州开出一列火车，在40分内(包括40分)到达余姚可能吗？在50分内

(包括50分)呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求?

杭州

绍兴

小结：(1)自变量t不仅要符合反比例函数自身的式子有意义，而且要符合实际问

题中的具体意义及附加条件。

(2)对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性。

(3)一般有；两种方法求自变量的取值范围：一是利用函数的增减性，二是利用图

解法。

三、比较正比例函数和反比例函数的性质

正比例函数反比例函数

y=kx(A:工0)

y=-(%0)

解析式X

图像直线双曲线

k>0,一、三象限；k>0,一、三象限

位置

k<0,二、四象限k<0,二、四象限

k>0,y随x的增大而增大k>0,在每个象限y随x的增大而减小

增减性

k<0,y随x的增大而减小k<0,在每个象限y随x的增大而增大

四、布置作业

反比例函数概念复习

教学目标：

1、进一步认识成反比例的量的概念。

2、结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

3、掌握反比例函数的解析式，会求反比例函数的解析式。

教学重点和难点：反比例函数的定义和会求反比例函数的解析式。

教学设计：

一、知识要点：一般地，形如y=-(k是常数，kW0)的函数叫做反比例函数。

X

注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；

(2)解析式有三种常见的表达形式：

(A)y=-(kW0)，(B)xy=k(kW0)(C)y=kx」(k#0)

X

二、例题讲解：

1.、在下列函数表达式中，x均为自变量，哪些y是x的反比例函数？每一个反比例

函数相应的k值是多少？

504x

(1)y=—;(2)y=^—；(3)y=—(4)xy=2；(5)y=-6x+3；(6)xy=-7

xx2

5x3

(7)y=—；(8)y=—；(9)y=----；(10)y=-2x-l

x5x+2

2、若y=(a+2)x，"是反比例函数，贝a=。

3、若y=(a+2)*-2川为反比例函数关系式，贝ija=。

4、如果反比例函数y=上网的图象位于第二、四象限，那么m的范围为。

X

5、回答下列问题：

(1)当路程s一定时，时间t与速度v的函数关系。

(2)当矩形面积S一定时，长a与宽b的函数关系。

(3)当三角形面积S一定时，三角形的底边y与高x的函数关系。

(4)当电压U不变时，通过的电流I与线路中的电阻R的函数关系。

6、实践应用

例1、设面积为20cm2的平行四边形的一边长为a(cm),这条边上的高为h(cm),

⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；

⑵h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数

⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。

例2、设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热丝的电阻为R(。)，电水壶

的功率为P(W)o

(1)已知选用电热丝的电阻为50。，通过电流为968w,求P关于R的函数解析式,

并说明比例系数的实际意义。

(2)如果接上新电热丝的电阻大于50Q,那么与原来的相比，电水壶的功率将发

生什么变化？

例3、(1)y是关于x的反比例函数，当x=-3时-，y=0.6；求函数解析式和自变量x

的取值范围。

(2)如果一个反比例函数的图象经过点(-2,5),(-5,n)求这个函数的解析式和

n的值。

(3)y与x+1成反比例，当x=2时-，y=—1,求函数解析式和自变量x的取值范

围。

(4)已知y与x-2成反比例，并且当x=3时，y=2.求x=1.5时y的值.

(5)如果》是机的反比例函数，机是x的反比例函数，那么了是》的()

A.反比例函数B.正比例函数C.一次函数D.反比例或正比例函数

三、布置作业：

1.3反比例函数的应用(1)

教学目标：

1、知识与技能：经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一

般过程，体会建模思想。

2、过程与方法：：观察、比较、合作、交流、探索.

3、情感与价值观：体验数形结合的思想。

教学重难点：运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间

的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。

教学过程：

一、忆一忆

1、什么是反比例函数？它的图像是什么？具有哪些性质？

2、小明家离学校3600米，他骑自行车的速度是x(米/分)与时间y(分)之间

的关系式是，若他每分钟骑450米，需分钟到达学校。

二、想一想

设AABC中BC的边长为x(cm),BC边上的高AD为y(cm),ZiABC的面积为常数。

已知y关于x的函数图像过点(3,4)o

(1)求y关于x的函数解析式和AABC的面积。

(2)画出函数的图像，并利用图像，求当2<x<8时y的值。

小结：根据实际问题中变量之间的数量关系建立函数解析式。

(3)根据给定的自变量的值或范围求函数的值或范围，可以应用函数的性质，也可

以应用函数的图像；根据已知函数的值或范围求相应的自变量的值或范围，可以应

用函数的性质和图像，也可以把问题转化为解方程或不等式。

三、练一练

设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品

60个，则需工人y名。

(1)求y关于x的函数解析式。

(2)若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天

需要做这种工艺品的工人多少人？

四、说一说：

请你说一说本节课自己的收获并对自己参与学习的程度做出简单的评价.

五、作业：

1.3实际生活中的反比例函数(2)

教学目标：

1、经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，解决实际问题。

2、体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会

数形结合的数学思想。

3、培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。

教学重难点：

重点：运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，

进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。

难点是例2中变量的反比例函数关系的确定建立在对实验数据进行有效的分析、整

合的基础之上，过程较为复杂。

教学设计：

一、创设情境、引入新课

如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一

次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强。

(1)请根据表中的数据求出压强P(kpa)关于体积V(ml)函数解析式。

(2)当压力表读出的压强为72kpa时-，气缸内的气体压缩到多少ml?

体积V(ml)压强P(kpa)

10060

9067

8075

7086

60100

分析：(1)对于表中的实验数据你将作怎样的分析、处理？

(2)能否用图像描述体积V与压强p的对应值？

(3)猜想压强p与体积V之间的函数类别？

师生一起解答此题。并引导学生归纳此种数学建模的方法与步骤：

(1)由实验获得数据

(2)用描点法画出图像

(3)根据图像和数据判断或估计函数的类别

(4)用待定系数法求出函数解析式

(5)用实验数据验证

指出：由于测量数据不完全准确等原因，这样求得的反比例函数的解析式可能只是

近似地刻画了两个变量之间的关系。

二、动脑筋(请自学书P13—14)

问1、使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？

问2、小明的妈妈给他作布鞋时，纳鞋底时为什么用锥子，而不用小铁棍？

三、巩固练习

设每名工人一天能做某种型号的工艺品x个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品60

个，则需工人y名。

(1)求y关于x的函数解析式。

(2)若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天

需要做这种工艺品的工人多少人？

四、布置作业

第一章反比例函数复习(1)

反比例函数概念复习

【教学目标】

1、进一步认识成反比例的量的概念。

2、结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

3、掌握反比例函数的解析式，会求反比例函数的解析式。

【教学重点和难点】

重点：反比例函数的定义和会求反比例函数的解析式。

难点：结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

【教学设计】

一、知识要点：

1、一般地，形如y='(k是常数，kho)的函数叫做反比例函数。

X

注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；

(2)解析式有三种常见的表达形式：

(A)y二((kW0)，(B)xy=k(kW0),(C)y=kx1(kWO)

x

二、例题讲解：

1、在下列函数表达式中，x均为自变量，哪些y是x的反比例函数？每一个反比例函

数相应的k值是多少？

504x

(1)y=—;(2)y=-；(3)y=—(4)xy=2；(5)y=-6x+3；(6)xy=-7

xx2

5x3

(7)y=—；(8)y=—；(9)y=---；(10)y=-2x-l

x5x+2

2、若丫=*的是反比例函数，贝【Ja二o

3、若y=(a+2)*/+加为反比例函数关系式，贝ija=。

4、如果反比例函数y=t网的图象位于第二、四象限，那么m的范围为

X

5、下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中是反比例函数关系的

(1)当路程s一定时，时间t与速度。的函数关系。

(2)当矩形面积S一定时，长a与宽6的函数关系。

(3)当三角形面积S一定时，三角形的底边y与高x的函数关系。

(4)当电压U不变时，通过的电流I与线路中的电阻R的函数关系。

7、实践应用

例1、设面积为20cm2的平行四边形的一边长为a(cm),这条边上的高为h(cm),

⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；

⑵h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数

⑶求当边长a=25cm时，，这条边上的高。

例2、设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热丝的电阻为R(。)，电水壶

的功率为P(W)o

(1)已知选用电热丝的电阻为50。，通过电流为968w,求P关于R的函数解析式,

并说明比例系数的实际意义。

(2)如果接上新电热丝的电阻大于50Q,那么与原来的相比，电水壶的功率将发

生什么变化？

例3、(1)y是关于x的反比例函数，当x=-3时-，y=0.6；求函数解析式和自变量x

的取值范围。

(2)如果一个反比例函数的图象经过点(-2,5),(-5,n)求这个函数的解析式和

n的值。

(3)y与x+1成反比例，当x=2时-，y=—1,求函数解析式和自变量x的取值范

围。

(4)已知y与x-2成反比例，并且当x=3时;y=2.求x=1.5时y的值.

(5)如果y是〃2的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的()

A.反比例函数B.正比例函数C.一次函数D.反比例或正比例函

数

三、布置作业:

第一章反比例函数复习（2）

教学目标：

1、通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律。

2、结合具体情境体会和理解反比例函数的意义，解决与它们有关的简单的实际问题。

3、让学生参与知识的发现和形成过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题

和解决问题的能力。

教学重点：反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用。

教学难点：运用函数的性质和图像解综合题，要善于识别图形，勤于思考，获取有

用的信息，灵活的运用数学思想方法。

教学过程：

一、知识回顾

1、什么是反比例函数？

2、你能回顾总结一下反比例函数的图像性质特征吗？与同伴交流。

二、练一练

1、反比例函数y-2的图象是,分布在第象限，在

X

每个象限内，y都随X的增大而；若。区，％）,Q2（X2,丫2）都在第二象

限且X]<x2,贝!JY1丫2。

2、如图在坐标系中，直线y=0.5x+k与双曲线y=人在第一象限交与点A,与x轴

1）求两个函数解析式。

2)求AA08的面积。

3、已知反比例函数y=L上两点Q(X1,yj,g2(x2,y2),若「〈x2,则Yi,

X

丫2大小关系是o

4、已知反比例函数y=&的图象经过点(4,(),若一次函数y=x+l的图象平移后经过

x2

该反比例函数图象上的点B(2,m),求平移后的一次函数的图象与x轴的交点坐标。

5、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗

透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条

的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反

比例函数，其图象如图所示。

(1)写出y与s的函数关系式；

(2)求当面条粗1.6mm2时，

面条的总长度是多少？

四、布置作业

生活中的反比例函数(1)

教学目标：

1、知识与技能：能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。

2、过程与方法：观察、比较、合作、交流、探索。

3、情感与价值观：体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学

是解决实际问题和进行交流的重要工具。

教学重难点：

1.重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。

2.难点与关键：从实际问题中寻找变量之间的关系。关键是充分运用所学知识分

析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

活动1

问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了

安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时

通道，从而顺利完成了任务的情境。

(1)请你解释他们这样做的道理。

(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地

面的压强p(Pa)将如何变化？

(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N,那么？

①用含S的代数式表示p,P是S的反比例函数吗？为什么？

②当木板面积为0.2m2时一，压强是多少？

③如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大？

④在直角坐标系中，作出相应的函数图象。

二、讲授新课

活动2

［例1］市煤气公司要在地下修建一个容积为104nl3的圆柱形煤气储存室。

(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向下挖进多深?

(3)当施工队按⑵中的计划挖进到地下15m时一，碰上了坚硬的岩石，为了节约

建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m,相应的，储存室的底面积应

改为多少才能满足需要(保留两位小数)。

三、巩固提高

1、如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升

(1升=1立方分米)的圆锥形漏斗.

⑴漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？

⑵如果漏斗口的面积为100厘米2,则漏斗的深为多少？

解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm,,漏斗的深为dem,

则容积为1升=1立方分米=1000立方厘米。

所以，|s•d=1000,即5=号^

⑵根据题意把S=100平方厘米代入S=一1，中，得

d

3000后,、

100=——得：d=30(cm)

d

所以如果漏斗口的面积为100cm2,则漏斗的深为30cm。

2、(1)已知某矩形的面积为20cm2,写出其长y与宽x之间的函数表达式。

(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少？当矩形的宽为4cm,求其长为多少?

(3)如果要求矩形的长不小于8cm,其宽至多要多少？

解：(1)根据矩形的面积公式，我们可以得到20=xy。

20

即长y与宽x之间的函数表达式为y=—o

(2)当矩形的长为12cm时求宽为多少？即求当y=12cm时,x=?cm,则把y=12cm

代入丫=也中得：12=次，

XX

5

解得x=w(cm)

J

当矩形的宽为4cm,求长为多少？即当x=4cm时、y=?cm,则把x=4cm代入

20-…20/、

y=一中传到：y=7=5(cm)。

XJL

5

所以当矩形的长为12cm时，宽为鼻cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm。

O

20

(3)y=—此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm,

x

2055

即y28cll1,所以一28cm,因为x>0,所以2028x.xWj(cm)。即宽至多是5

X乙乙

m。

布置作业：

实际生活中的反比例函数(2)

教学目标：

1、知识与技能：能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函

数的性质等知识解决一些实际问题。

2、过程与方法：观察、比较、合作、交流、探索。

3、情感与价值观：在教学中要让每个学生都参与到活动中去，感受学习的乐趣，提

高学习数学的兴趣。

教学重难点：

1、重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。

2、难点与关键：从实际问题中寻找变量之间的关系。关键是充分运用所学知识分

析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

活动1

某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x

元与日销售量y之间有如下关系:

x(元)3456

y(个)20151210

⑴根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x,y)的对应点;

⑵猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象;

⑶设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价

局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,请你求出当日销售单价x定为多少元

时，才能获得最大日销售利润?

解⑴根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3,20),(4,15),(5,12),

(6,10)o

x

(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，即xW10,根据y=一在第

X

60

一象限y随x的增大而减小，所以亍W10,y>10,/.10y^60,y26。

/、/、60120

所以W=(x—2)y=(x—2)X—=60-----

xx

当x=10时，W有最大值。

即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大利润。

二、讲授新课

活动2

［例2］码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用

了8天时间。

(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨/天)与卸货时间t(单位:

天)之间有怎样的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天

至少要卸多少吨货物？

解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：k=3X80=240o

240

所以v与t的函数式为v=­o

(2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天

至少卸多少吨货物？即当tW5时，v至少为多少呢？

〜240/口240

由v=倚t=,

tV

240

tW5,所以——W5,

v

又二3>0,所以240W5V

解得v》48.

所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少4.8吨货物。

练习：书17页

布置作业：

第二章二次函数

2.1建立二次函数模型

教学目标：

1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,

进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。

教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积

最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？

怎样计算篮球达到最高点时的高度？

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

(1)面积y(cm2)与圆的半径x(Cm)

⑵王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一

个一年定期，设一年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元；

⑶拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m,室

内通道的尺寸如图，设一条边长为x(cm),种植面积为v(m2)。

(一)教师组织合作学习活动：

1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数式式。

2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

(1)y=nx2(2)y=2000(1+x)2=20000x2+40000x+20000

(3)y=(60-X-4)(X-2)=-X2+58X-112

(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a

NO)的形式。

板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，aWO)的函数叫做二次函数，

称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，

(二)做一做

1、下列函数中，哪些是二次函数?

(1)y-x2(2)y=——v(3)y—2x2—x—1(4)y=x(l-x)

x

(5)^=(x-l)2-(x+l)(x-l)

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)y=x?+l(2)y=3x2+7x-12(3)y-2x(1-x)

3、若函数y=(加_i)x，，"，，，为二次函数，则m的值为o

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数y=/+px+q当*=1时-，函数值是4；当x=2时-，函数值是-5。

求这个二次函数的解析式。

练习：已知二次函数y=ax2+0x+c,当x=2El寸，函数值是3；当x=-2时，函数值是

2,求这个二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为

2cm,将它翦去4个全等的直角三角形(图

中阴影部分)。设AE=BF=CG=DH=x(cm),

四边形EFGH的面积为y(cm2),求：

(1)y关于x的函数解析式和自变量x

的取值范围。

(2)当x分别为0.25,0.5,1.5,1.75

时，对应的四边形EFGH的面积，

并列表表示。

练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃(如图),设连墙的一边为x,矩形的面

积为y,求:

(1)写出y关于x的函数关系式.

⑵当x=3时，矩形的面积为多少?

四、布置作业

2.2二次函数的图像(1)

教学目标：

1、经历描点法画函数图像的过程；

2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；

3、掌握y=型二次函数图像的特征；

4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

教学重点：y=型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳。

教学难点：选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。

教学设计：

一、回顾知识前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何

进一步研究这些函数的？先(用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。)

引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即丁=。/入

手。因此本节课要讨论二次函数y=(«^0)的图像。

板书课题：二次函数y=/("0)图像

二、探索图像

1、用描点法画出二次函数y=F和y=-2图像

(1)列表

J_11

X・・・-2-1--1012・・・

2~222

2_

・・・42-102-12-4•••

4444

_j_

y=-x2・・・-4-2--10-1-4・・・

444

2-

4

引导学生观察上表，思考一下问题：

①无论x取何值，对于y=/来说，y的值有什么特征？对于y=来说，又有什么

特征？

②当X取等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？

(2)描点(边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来)。

(3)连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到y和

y=的图像。

2、练习：在同一直角坐标系中画出二次函数y=和＞=—2/的图像。

学生画图像，教师巡视并辅导学困生。(利用实物投影仪进行讲评)

3、二次函数丁=/(。工0)的图像

由上面的四个函数图像概括出：

(1)二次函数的y=图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，

(2)这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。

(3)对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。

(4)当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上

方(除顶点外)；当OYO时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图

像在x轴的下方(除顶点外)。

(最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆)

三、课堂练习观察二次函数y和丁=一丁的图像

(1)填空：

抛物线y二，)=-，

顶点坐标

对称轴

位置

开口方向

⑵在同一坐标系内，抛物线y和抛物线丁=_丁