5.1 矩形 浙教版八年级数学下册教案

矩形培优讲义矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：1、若一个图形是矩形，则首先它是一个平行四边形，同时它必须有一个角是直角。2、矩形的定义既是矩形的性质，也是矩形的一种判定方法。性质：矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.注意：1、矩形的性质是求线段的长度、角度等问题常用的知识，它可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等。2、由于矩形四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决。3、矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此，在解决相等问题时，常常用到等腰三角形的性质。判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。类型一矩形的性质(2020﹒淮南模拟）在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形，等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上．这个等腰三角形剪法有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等腰三角形的性质；矩形的性质．②当∠A为底角时，有两种情况：如图2，图3，此时AE＝EF＝5cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，能进行分类讨论是解此题的关键．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为___【答案】30矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_，矩形的面积为____．【答案】40cm400cm2类型二矩形的判定如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】A如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件_，使▱ABCD是矩形．【答案】AO＝BO(答案不唯一)基础如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是（）A．2-2B．3-2C．2-1D．6-2如图，▱ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为()A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm答案与解析1.【答案】A2.【答案】C提高如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___．答案与解析1.【答案】52.【答案】(8，4)，(3，4)或(2，4)能力(2019春﹒锦江区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且满足BE＝CF＝a,AB＝EC＝b．（1）判断△AEF的形状，并证明你的结论；（2）请用含a，b的代数式表示△AEF的面积；（3）当△ABE的面积为24,BC长为14时，求△ADF的面积．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．矩形“七十二变”【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】（1）证明△ABE≌△ECF(SAS),得出AE＝EF,∠BAE＝∠CEF,证出∠AEF＝90°,即可得出△AEF是等腰直角三角形；（2）由勾股定理得出EQAE\S\UP6(2)＝EQAB\S\UP6(2)＋BE\S\UP6(2)＝EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2),由三角形面积公式即可得出答案；（3）求出ab＝48，由题意得出EQ(a＋b)\S\UP6(2)＝EQ14\S\UP6(2),求出EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝100,得出EQ(a－b)\S\UP6(2)＝4，证出b－a＝2，由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：(1)△AEF是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°,AD＝BC＝a＋b,在△ABE和△ECF中，EQ\B\lc\{(\a\al(AB＝CE,∠B＝∠C,BE＝CF))，∴△ABE≌△ECF(SAS),∴AE＝EF,∠BAE＝∠CEF,∵∠BAE＋∠AEB＝90°,∴∠CEF＋∠AEB＝90°,∴∠AEF＝90°,∴△AEF是等腰直角三角形；（2）∵∠B＝90°,BE＝CF＝a,AB＝CE＝b，∴EQAE\S\UP6(2)＝EQAB\S\UP6(2)＋BE\S\UP6(2)＝EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2),∴△AEF的面积＝EQ\F(1,2)AE×EF＝EQ\F(1,2)AE\S\UP6(2)＝EQ\F(1,2)\b\bc\((\l(a\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)));（3）∵△ABE的面积＝24＝EQ\F(1,2)ab,∴ab＝48，∵BC＝14，∴a＋b＝14，∴EQ(a＋b)\S\UP6(2)＝EQ14\S\UP6(2),∴EQa\S\UP6(2)＋2ab＋b\S\UP6(2)＝196,∴EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝100,∴EQa\S\UP6(2)－2ab＋b\S\UP6(2)＝100－96＝4，即EQ(a－b)\S\UP6(2)＝4，∵CD＞F,∴b＞a,∴b－a＝2，∴△ADF的面积＝EQ\F(1,2)AD×DF＝EQ\F(1,2)BC×(b－a)＝EQ\F(1,2)×14×2＝14．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．课后练习如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（）S＝4S＝2S＝4S＝2矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（）A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是()A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤答案与解析1.【答案】A．2.【答案】C3.【答案】D巩固练习如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．答案与解析1.【答案】：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC(等边三角形三线合一)，∠AEC＝90°.同理，CF⊥AD.∵E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝AD，EC＝BC.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt△ABE中，∵AE＝＝4，∴S菱形ABCD＝8×4＝32真题预测1.(2020﹒舟山模拟）已知，如图：在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．【考点】矩形的性质．【专题】证明题．【分析】首先根据AM＝DN得到AN＝MD，再由矩形的性质得到AB＝CD,∠A＝∠D，进而得到△ABN≌△DCM,于是得出结论．【解答】解：∵AM＝DN，∴AM＋MN＝MN＋ND,∴AN＝MD，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD,∠A＝∠D，在△ABN和△DCM中，∵EQ\B\lc\{(\a\al(AB＝CD,∠A＝∠D,AN＝MD))，∴△ABN≌△DCM,∴BN＝CM．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解答本题的关键是证明△ABN≌△DCM．2.(2020﹒龙岗区校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．矩形“七十二变"证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴MD∥BC,∴∠AMF＝∠EBF,∠E＝∠MAF,又FA＝FE，∴△AFM≌△EFB,∴AM＝BE,FB＝FM，∵矩形ABCD中，∴AC＝BD,AD＝BC，∴BC＋BE＝AD＋AM,即CE＝MD，∵CE＝AC，∴AC＝CE＝DM，∵FB＝FM，∴BF⊥DF．【点评】本题考查了矩形各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB＝DM是解题的关键．3.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．矩形的判定

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD