5.3.2 正方形的性质 浙教版八年级数学下册素养提升练习(含解析)

第5章特殊平行四边形5.3正方形第2课时正方形的性质基础过关全练知识点正方形的性质1.矩形、正方形都具有的性质是()A.对角线相等B.邻边相等C.对角线互相垂直D.对角线平分对角2.已知A(3,-1),B(3,-1+7),则正方形ABCD的面积是()A.3B.7C.9D.273.(2023广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为.

4.如图,已知四边形ABCD是正方形,G为边AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.能力提升全练5.【一题多变·正方形+轴对称,对称点在其内部,求线段长】(2023浙江杭州余杭月考,9,★★☆)如图,正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F在BC边上,点B关于EF的对称点为B',连结B'D,B'E,B'F.若正方形ABCD的边长为2,则当四边形BEB'F是正方形时,B'D=()A.2B.3C.22D.3[变式1·正方形+轴对称,对称点在其对角线上,求线段长]如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连结DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则OF的长为()A.22B.22-2C.2-2D.2[变式2·正方形+轴对称,求角的度数]【半角模型】如图,四边形ABCD是正方形,点P在边BC上,作△PAB关于直线PA对称的△PAB',延长PB'与边CD交于点M,连结AM,则∠PAM的度数为()A.60°B.55°C.45°D.40°6.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O,点E是AD上除端点外的任意一点,过点O作OF⊥OE交CD于点F,若AB=6,则四边形EOFD的面积为.

7.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=12,DE=3,求AG的长.8.如图,在正方形ABCD中,点P在边BC的延长线上,连结AP交BD于F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连结AG,CF.(1)求证:△ADF≌△CBG;(2)四边形AGCF是什么特殊四边形?请说明理由.9.【教材变式·P126例2】(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,连结EF,AG,并延长AG交EF于H.(1)求证:∠DAG=∠EGH;(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.素养探究全练10.【推理能力】如图1,在正方形ABCD中,AB=2,点E是边AD上的一个动点,连结BE、CE,作BE、CE的垂直平分线交于点H,且BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点M、F、N,CE的垂直平分线交CE于点G.(1)如图2,当点E运动到AD的中点时.①证明:△ABE≌△DCE;②连结BH、CH,证明:∠EBH=∠ECH.(2)若点E从点A出发,沿着边AD向点D运动,到达点D后停止运动.①利用图1证明:无论点E运动到边AD上的何处,MN始终被点H平分;②求整个运动过程中,点H的运动路径长.(直接写出结果)图1图2

第5章特殊平行四边形5.3正方形第2课时正方形的性质答案全解全析基础过关全练1.A矩形、正方形的对角线都相等,所以A符合题意;矩形的邻边不一定相等,所以B不符合题意;矩形的对角线不一定互相垂直,所以C不符合题意;矩形的对角线不一定平分对角,所以D不符合题意.故选A.2.B∵A(3,-1),B(3,-1+7),∴AB=-1+7-(-1)=7,∴S正方形ABCD=(7)2=7.3.答案2解析连结AE(图略).∵M,N分别是EF,AF的中点,∴MN=12易知当点E与点C重合时,AE取得最大值,∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=90°,AB=BC,∴AE的最大值=AB2+BC2∴MN的最大值为2.4.证明∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°,∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠CFD=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,∴∠CBE=∠DCF,在△CBE和△DCF中,∠CBE=∠DCF,∴△CBE≌△DCF(AAS),∴CF=BE,CE=DF,∵CE=EF+CF,∴DF=BE+EF.能力提升全练5.A如图,连结BB',∵E为AB边的中点,∴AE=BE=1,∵四边形BEB'F是正方形,∴BB'=2BE=2,BB'平分∠ABC,易知点B,B',D三点共线,∵四边形ABCD是正方形,∴BD=2AB=22,∴B'D=BD-BB'=2.[变式1]C∵四边形ABCD是正方形,DC=2,∴DB=2DC=22,OD=OB,∴OD=2.∵△DEF与△DEC关于直线DE对称,∴DF=DC=2,∴OF=DF-OD=2-2.[变式2]C∵△PAB与△PAB'关于直线PA对称,∴AB'=AB,∠PAB'=∠PAB,∠AB'P=∠B,∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=AB,∴AB'=AD,∵∠AB'M=180°-90°=90°,∴∠D=∠AB'M,∵AM=AM,∴Rt△ADM≌Rt△AB'M(HL),∴∠DAM=∠B'AM,∴∠DAM+∠BAP=∠MAB'+∠PAB'=12∠BAD=45°,即∠PAM=45°,故选6.答案9解析∵四边形ABCD是正方形,∴OD=OC,∠DOC=90°,∠EDO=45°=∠FCO,∵OE⊥OF,∴∠EOD=90°-∠DOF=∠FOC,∴△DOE≌△COF(ASA),∴S△DOE=S△COF,∴S四边形EOFD=S△DOE+S△DOF=S△COF+S△DOF=S△∵AB=6,∴S△DOC=14S正方形ABCD=∴S四边形7.解析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,AB∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF.(2)由(1)知△BAE≌△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∵∠EBA+∠AEB=90°,∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,∵AB=12,DE=3,∴AE=AD-DE=AB-DE=9,∴BE=AB2+A在Rt△ABE中,S△ABE=12AB·AE=12BE∴12×12×9=18.解析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC,∠DBC=∠ADB=45°,∵CG∥AP,∴∠BGC=∠BFP,∵∠BFP=∠AFD,∴∠AFD=∠BGC.在△ADF和△CBG中,∠∴△ADF≌△CBG(AAS).(2)四边形AGCF是菱形.理由如下:连结AC,设AC与BD交于点O,如图,∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.由(1)知△ADF≌△CBG,∴DF=BG,∴OB-BG=OD-FD,即OG=OF.又∵OA=OC,∴四边形AGCF是平行四边形,∵AC⊥FG,∴四边形AGCF是菱形.9.解析(1)证明:∵在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH与EF垂直.理由如下:如图,连结GC交EF于点O.∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°.又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG,∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC.由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.素养探究全练10.解析(1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∠A=∠D=90°,∵点E是AD的中点,∴AE=DE,在△ABE和△DCE中,AE∴△ABE≌△DCE(SAS).②如图,连结EH,∵△ABE≌△DCE,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵BE、CE的垂直平分线交于点H,∴BH=EH=CH,∴∠HBC=∠HCB,∴∠EBH=∠ECH.(2)①证明:过点H作PQ⊥AB,交AB于P,交CD于Q,连结EH,BH,CH,过点H作HK⊥BC于K,如图,∵BE、CE的垂直平分线交于点H,∴BH=EH=CH,∵KH⊥BC,∴BK=CK,易知∠ABC=∠BCD=∠BPQ=∠CQP=90°=∠BKH=∠CKH,∴四边形BKHP,四边形CKHQ均是矩形,∴BK=PH,CK=HQ,∴PH=QH,又∵∠MPH=∠HQN=90°,∠MHP=∠NHQ,∴△PHM≌△QHN(ASA),∴MH=NH,∴无论点E运动到边AD上的何处,MN始终被点H平分.②点H的运动路径长为12.详解:如图,当点E运动到AD的中点时,连结AC,BD交于点O,连结∵BE、CE的垂直平分线交于点H,∴BH=EH=CH,∴点H在BC的垂直平分线上移动.当点E在点A处时,点H与点O重合;在点E从点A到AD的中点的运动过程中,点H从点O向下运动;在点E从AD的中点到点D的运动过程中,点