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文档简介

第三章

线性方程组解的结构

第四节

线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组的解空间

一、齐次线性方程组形如的方程组叫做齐次线性方程组.为未知数.为系数，其中注意：未知数的次数均为一次；①和可以相等，也可以不相等；②每一个方程的右端均为数字0.③

一、齐次线性方程组形如若记则方程组(1)可写为向量方程的方程组叫做齐次线性方程组.为未知数.为系数，其中向量方程(2)的解称为方程组(1)的解向量.方程组的全体解向量集合，称为方程组的解集.

一、齐次线性方程组二、齐次线性方程组解的判定定理推论仅有零解的充要条件是系数矩阵的秩设元齐次线性方程组定理有非零解的充要条件是系数矩阵的秩设元齐次线性方程组对于齐次线性方程组，若方程的个数小于未知量的个数，则方程组有非零解.对于齐次线性方程组，若方程的个数等于未知量的个数，则方程组有非零解的充分必要条件是三、齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.证为方程组的解为方程组的解,证毕.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.三、齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.证为方程组的解为方程组的解,证毕.三、齐次线性方程组解的性质注:则它就有无穷多个解.齐次线性方程组若有非零解,设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.三、齐次线性方程组解的性质注:则它就有无穷多个解.齐次线性方程组若有非零解,设有齐次线性方程组1.若为方程组的解,则也是该方程组的解.2.若为方程组的解,为实数,则也是该方程组的解.3.若为方程组的解,注:则它就有无穷多个解.齐次线性方程组若有非零解,为实数,则线性组合也是方程组的解.三、齐次线性方程组解的性质四、基础解系的定义定义线性无关;注:的任意一个解都可由线性表示.础解系,其中为任意常数.的通解可表示为则如果是齐次线性方程组的基满足:若齐次线性方程组的有限个解则称的一个基础解系.是方程组四、基础解系的定义定义线性无关;的任意一个解都可由线性表示.满足:若齐次线性方程组的有限个解则称的一个基础解系.是方程组四、基础解系的定义定义线性无关;的任意一个解都可由线性表示.满足:若齐次线性方程组的有限个解则称的一个基础解系.是方程组方程组的基础解系也不是唯一的.方程组的解集的极大无关组不是唯一的.方程组的一个基础解系即为其解集一个极大无关组.例解下列齐次线性方程组,并求出方程组的一个基础解系.解对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:由于,所以该齐次线性方程组有非零解行最简形矩阵对应的方程组为：行最简形矩阵非零行的非零首元在第1列和第2列，所以选取为自由未知量，并令即将自由未知量移至等号右端，有其中为任意常数行最简形矩阵对应的方程组为：行最简形矩

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