2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题21电场能的性质(原卷版+解析)

专题21电场能的性质目录TOC\o"1-3"\h\u题型一电场性质的综合应用 1类型1利用点电荷考电场的性质 2类型2利用电偶极子考电场的性质 5题型二电势差与电场强度的关系 9题型三电场线、等势面及运动轨迹问题 18题型五电场中功能关系的综合问题 23题型六电场中的图像问题 30类型1v－t、v－x图像 30类型2φ－x图像 34类型3E－x图像 39类型4Ep－x图像、Ek－x图像 43题型一电场性质的综合应用【核心归纳】1．静电力做功的特点静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．2．电势能(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．3．电势(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．(2)定义式：φ＝eq\f(Ep,q).(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．4．静电力做功与电势能变化的关系(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．【方法技巧】1．求静电力做功的四种方法2．判断电势能变化的两种方法(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．3．电势高低的四种判断方法(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq\f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq\f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．类型1利用点电荷考电场的性质【例1】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（

）A．b、h两点的电场强度相同B．a点电势比e点电势高C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等【例2】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（）A．， B．，C．， D．，【例3】．如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（）A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负【例4】．如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（）A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上B．D点电势高于A点电势C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC类型2利用电偶极子考电场的性质【例1】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（

）

A．b、c、d三点的电场强度相同B．b、c、d三点的电势相等C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功【例2】．如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（）

A．a、b、c、d四点的电场强度相同B．D、O、B三点的电势相等C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回【例3】．在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（）

A．AB间C点电势最低B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小【例4】．如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（）

A．ab两点的电势相等B．cd两点的电场强度相同C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大【例5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（）A．处电势等于处电势B．处电场强度与处电场强度相同C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动题型二电势差与电场强度的关系1．由E＝eq\f(U,d)可推出的两个重要推论推论1匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图甲所示．推论2匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．2．E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq\f(Δφ,Δx)＝eq\f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路【例1】如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是（）

A．若电子从a点运动到b点，电场力做功B．若电子从a点运动到c点，电势能减小C．电场沿方向D．匀强电场的场强大小为【例2】．如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（）A．c点的电势大小为a点的两倍 B．场强方向由d指向bC．电子从b点运动到c点所用时间为 D．电子从b点运动到c点，电场力做功【例3】．匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图所示，。将电荷量为的点电荷从A点移到B点，电场力做功8×10-6J，再把该电荷从B点移到C点，电场力做功J，关于该电场的下列说法中正确的是（）A．A、B两点间的电势差B．若规定A点电势为0，则C点电势为2VC．电场强度的方向由B指向AD．电场强度的方向由C指高B【例4】．如图为某匀强电场的等势面分布图（等势面竖直分布），已知每两个相邻等势面相距2cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为（）A．，水平向左 B．，水平向右C．，水平向左 D．，水平向右【例5】．如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（

）A．场强的大小 B．场强的方向C．a、b两点的电势差 D．粒子在a、b两点的电势能之差【例6】如图所示，半径为的圆内有一内接直角三角形，其中，空间中存在与圆平面平行的匀强电场，将一带正电的试探电荷由点移动到点，电场力做的功为，将该电荷由点移动到点，电场力做的功为，已知该试探电荷的电荷量为。则下列说法正确的是（）A．匀强电场的方向由指向B．该试探电荷由移动到，电势能减少C．点的电势比点的电势低D．该电场强度的大小为【例7】如图所示，有一平行于平面的匀强电场，其中a、b、c三点电势分别为，已知的距离为，的距离为，和的夹角为。下列说法正确的是（）A．电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做正功C．电场强度的方向从c点指向a点D．电场强度的大小为【例8】如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（）A．D点电势为B．电场强度大小为C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为D．粒子过C点的速度为题型三电场线、等势面及运动轨迹问题【核心归纳】1．等势面(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．(2)四个特点：①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．④任意两个等势面都不相交．2．几种常见等势面的比较电场等势面(虚线)图样特点匀强电场垂直于电场线的一簇平面点电荷的电场以点电荷为球心的一簇球面等量异种点电荷的电场两电荷连线的中垂面为等势面等量同种正点电荷的电场在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高【方法技巧】带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．【例1】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（）

A．A点的电势小于D点的电势B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为C．电场中C、D两点的电场强度相同D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大【例2】．如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（）A．A点的电势大于B点的电势B．A点的电场强度大于B点的电场强度C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小【例3】．如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（）

A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小B．负点电荷一定位于M点左侧C．a点的场强大于b点的场强D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（）

A．α粒子在c处的动能最大B．α粒子在处的电势能相等C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心【例5】．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3V，电子从a点运动到b点电势能变化了5eV，则下列说法正确的是（）

A．a点电势为7.5VB．电子在b点的动能不可能为2.5eVC．电子在b点加速度比在c点加速度大D．电子在电场中运动的最小速度一定为零题型五电场中功能关系的综合问题电场中常见的功能关系(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．【例1】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（）A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍【例2】如图所示，绝缘轻质弹簧的下端同定在斜面底端，弹簧与斜而平行，带电小球Q（可视为质点）冏定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电件相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（）

A．小球P的速度先增大后减小B．小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零C．小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒D．小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒【例3】．竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，竖直，，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则场强E的大小等于（）A． B． C． D．【例4】．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成角。A是电场中的一点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的动能与在A点射出时相同。已知A、B两点距离坐标原点O的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A点运动到B点增加的电势能为（）A． B． C． D．【例5】．如图所示，一带电量不变的平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，一个初速度为的带负电的粒子恰好沿水平向右直线运动，则下列说法正确的是（）A．电容器的上板带负电B．粒子的机械能逐渐增加C．粒子的电势能逐渐增加D．若下极板稍平行下移一小段距离，粒子将做曲线运动【例6】如图所示，一质子以速度进入足够大的匀强电场区域，a、b、c、d为间距相等的一组等势面，若质子经过a、c等势面时动能分别为9eV和3eV。不计质子重力，下列说法正确的是（）A．质子第二次经过等势面b时动能是6eVB．质子刚好能到达等势面dC．该匀强电场场强的方向水平向左D．若取等势面c为零电势面，则a所在的等势面电势为6V【例7】．如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点过程中（）

A．用时为 B．机械能增加C．电势能减少 D．动能增加题型六电场中的图像问题类型1v－t、v－x图像根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．【例1】图1中、、是某电场中的一条电场线上的三个点，若将一正电荷从点处由静止秲放，仅在电场力作用下，正电荷沿电场线从经过到，运动过程中的速度—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（）A．在、、三个点中，点的电场强度最大B．在、、三个点中，点的电势最低C．在、、三个点中，点的电势最高D．在、、三个点中，正电荷在点的电势能最大【例2】如图甲是某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点以某一初速度释放，负电荷沿直线AB运动过程中的速度-时间图像如图乙所示，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（

）

A． B． C． D．【例3】一个负电荷从电场中的B点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到A点，它运动的速度—时间图像，如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是图中的（）A． B．C． D．【例4】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为+2×10-3C、质量为1×10-3kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v—t图像如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块的电荷量保持不变，下列说法中正确的是（）A．A、B两点的电势差U=-4VB．小物块从B点到C点，电场力做的功W=10-2JC．C点为A、C间电场强度最大的点，场强大小E=1V/mD．由A到C的过程中，小物块的电势能先减小后增大【例5】点电荷A、B分别固定在原点O和x＝6m处，仅在电场力的作用下，负点电荷M从x＝2m处以某一初速度沿轴正方向运动，其速度v随位置x变化的图像如图所示。下列说法正确的是（）A．M过x＝4m处时受到的电场力最大B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电势能先增大后减小C．A、B的电荷量之比为4：1D．M过x＝3m处时与过x＝5m处时的加速度大小之比为25：63类型2φ－x图像1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)3．电场中常见的φ－x图像(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，x轴上各点电势随位移x的变化关系如图所示，其中段是曲线，是顶点，段是直线，且与抛物线相切。粒子由O到的运动过程中，下列说法正确的是

（）

A．粒子在处速度最大B．粒子在处加速度最大C．粒子在段加速度不变D．粒子在段做匀速直线运动【例2】．空间某一静电场的电势在x轴上的分布如图所示，x轴上B、C两点的电场强度分别是、，下列说法中正确的是（）

A．的大小大于的大小B．的方向沿x轴正方向C．电荷在O点受到的电场力最小D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功【例3】．在x轴上有两个点电荷和分别位于坐标原点和x1处，它们共同产生的电场在x轴上的电势分布如图所示，处电势为0，规定无穷远处为零势能位置，已知点电荷在空间中任意点的电势分布公式为（其中k为静电力常量，q为电荷量，r为该点到点电荷的距离）。下列说法不正确的是（）A．带正电，带负电，其中带的电荷量更多B．若将带正电的试探电荷无初速度地放在处，那么该正电荷可在此处保持静止C．从处静止释放一带正电的试探电荷q，那么该正电荷可在此处保持静止D．【例4】．如图所示为某静电场中x轴上各点电势的分布图。一电子从原点处以一定的初速度沿x轴正方向射出，仅在电场力的作用下在x轴上做直线运动，下列说法正确的是（）A．电子运动到处时速度最小B．处的电场强度方向沿x轴负方向C．电子从处运动至处，加速度先减小后增大D．电子在处的速度大于在处的速度【例5】．(2022·湖南省名校联盟联考)某静电场的电场线与x轴平行，电势φ随x坐标变化的关系图像如图4所示。若将一带电的粒子(重力不计)从坐标原点O由静止释放，在仅受电场力的作用下，该粒子在x轴上沿着轴线的正方向运动，已知电场中A、B两点的x坐标分别为10mm、30mm，则()A．该带电粒子一定带负电荷B．该电场为匀强电场，电场强度大小为1000V/mC．该粒子沿x轴从A点到B点的过程中，电势能一直增大D．在x轴上从A点到B点电场的方向先沿x轴正方向后沿负方向【例6】．(2022·山东青岛市黄岛区期末)在平行于x轴的静电场中，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－6kg，带电荷量大小为q＝1.0×10－9C的粒子从x轴上的(2，0)点由静止开始释放，仅在电场力作用下在x轴上往返运动。忽略粒子的重力等因素，下列说法正确的是()A．粒子带正电B．x轴上O点右侧电场强度是左侧电场强度的两倍C．该粒子的最大速度为0.2m/sD．该粒子运动的周期为0.4s类型3E－x图像1．E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向．2．E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．3．电场中常见的E－x图像(1)点电荷的E－x图像正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示．(2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图．(3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图．【例1】在x轴上各点电场强度E平行于x轴且随x的变化规律如图所示，、、、为x轴上等间距的四个点。现将带正电的试探电荷从O点静止释放，试探电荷沿直线运动到A点时的动能为，已知试探电荷只受电场力作用，则以下分析正确的是（）A．试探电荷运动到C点时的动能小于B．该电场的、、、四个点，点电势最高C．试探电荷从点到点，先做加速运动，后做减速运动D．、、、四个点，点附近电场线最密【例2】．如图所示为沿x轴方向的电场强度E随位置x变化的关系图像，在x轴负方向上的图像是直线，x轴正方向为电场强度的方向，电子的电荷量为-e（e>0）。则下列说法正确的是（）A．原点O处的电势最高，处的电势最低B．电子在处和x1处的电势能相等C．将电子沿x轴从坐标原点O移到x1处，电子的电势能增加D．将电子沿x轴从坐标原点O移到处，电场力做功eE0x1【例3】．空间中某静电场的电场强度随的变化图像如图所示，规定沿轴正方向为电场强度的正方向。一钠离子仅在电场力的作用下沿轴从点运动到处，在此过程中（）A．钠离子的电势能一直增大B．钠离子的加速度先增大后减小C．钠离子在处的速率小于在处的速率D．和两点间的电势差小于和两点间的电势差【例4】．某静电场中x轴上各点的电场强度方向均与x轴重合，以x轴负方向为电场强度的正方向，电场强度E随x的变化规律如图所示。-d~d间的图象关于对称。下图分别表示x轴上各点的电势φ随x变化的图象，其中可能正确的是（）A． B．C． D．类型4Ep－x图像、Ek－x图像1．Ep－x图像由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEp,Δx)，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向．2．Ek－x图像当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEk,Δx)，其大小表示静电力．【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（）A．x1处电场强度最小，但不为零B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变【例2】某空间区域的水平面内存在电场。以O点为坐标原点，取向右为x轴正方向，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点沿x轴正方向运动。粒子的动能Ek与位移x的关系如图所示，不计空气阻力，则在此过程中（）A．电势先降低后增大 B．电场强度大小先减小后增大C．粒子电势能先减小后增大 D．粒子加速度方向先向右后向左【例3】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一带负电荷的小滑块，可视为质点，在处以初速度沿x轴正方向运动。小滑块的质量为，带电量为。整个运动区域存在沿水平方向的电场，图乙是滑块电势能随位置x变化的部分图像，P点是图线的最低点，虚线AB是图像在处的切线，并且AB经过（1，2）和（2，1）两点，重力加速度g取。下列说法正确的是（）A．在处的电场强度大小为20V/mB．滑块向右运动的过程中，加速度先增大后减小C．滑块运动至处时，速度的大小为2m/sD．若滑块恰好能到达处，则该处的电势为−50V【例4】．在某电场中沿一条直线建立x轴，一个带正电的试探电荷以某初速度从位置开始只在电场力作用下沿x轴正方向运动，以无穷远处为零电势点，试探电荷在沿x轴运动的过程中电势能随x的变化规律如图所示。下列说法正确的是（）A．在位置，电场强度为零B．试探电荷由位置到位置的过程中加速度逐渐减小C．试探电荷在位置与位置所受电场力相同D．试探电荷在位置与位置速度大小一定不相等【例5】．一根固定的、绝缘的、光滑的水平杆上套着一个带电小球，和的长度相同，空间存在静电场，小球在A点获得初动能，从A运动到B的过程中，小球的图像如图所示，下列说法正确的是（）A．小球先做变加速运动后做匀减速运动B．小球在段运动的加速度一直小于在段运动的加速度C．小球在段的运动时间小于段的运动时间D．A到C和C到B两个过程中电场力对小球做功相同【例6】．一个电荷量为、质量为m的带负电的点电荷，仅在电场力的作用下沿x轴运动，其动能随位置x变化的关系图像如图所示，图像关于对称。规定处电势为零，下列说法正确的是（）A．在区间，电势不断升高 B．在处的电势C．区间，电场强度减小 D．在处电荷的电势能为专题21电场能的性质目录TOC\o"1-3"\h\u题型一电场性质的综合应用 1类型1利用点电荷考电场的性质 2类型2利用电偶极子考电场的性质 5题型二电势差与电场强度的关系 9题型三电场线、等势面及运动轨迹问题 18题型五电场中功能关系的综合问题 23题型六电场中的图像问题 30类型1v－t、v－x图像 30类型2φ－x图像 34类型3E－x图像 39类型4Ep－x图像、Ek－x图像 43题型一电场性质的综合应用【核心归纳】1．静电力做功的特点静电力做功与路径无关，只与电荷量和电荷移动过程始、末位置间的电势差有关．2．电势能(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能．(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零．3．电势(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．(2)定义式：φ＝eq\f(Ep,q).(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)．(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同．4．静电力做功与电势能变化的关系(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB.静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少．(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功．【方法技巧】1．求静电力做功的四种方法2．判断电势能变化的两种方法(1)根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．3．电势高低的四种判断方法(1)电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低．(2)电势差与电势的关系：根据UAB＝eq\f(WAB,q)，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．(3)Ep与φ的关系：由φ＝eq\f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低．(4)场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和．类型1利用点电荷考电场的性质【例1】如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称分布的电场线，虚线为以电场线上的点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的交点，下列说法正确的是（

）A．b、h两点的电场强度相同B．a点电势比e点电势高C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等【答案】D【详解】A．由题图可知，b、h两点到O点的距离相同，则电场强度的大小相同，但是方向不同，则b、h两点的电场强度不同，故A错误；BC．电势沿着电场线的方向逐渐降低，该电场是由带负电的点电荷产生的，则离点电荷越远，电势越高，所以a点电势低于e点电势，d点电势低于e点电势，则d、b两点间电势差小于e、b两点间电势差，故BC错误；D．d、f两点到O点的距离相等，则d、f两点的电势相同，电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等，故D正确。故选D。【例2】如图，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，二点的电势和电场强度分别为、和Ea、Eb，则他们的大小关系是（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】AB．假设电场线的方向向右，则正电荷在a的左侧，所以a点的电场强度大，即Ea＞Eb；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项A正确，B错误；C．沿着电场线电势会逐渐降低，a、b是正点电荷电场中的一条电场线上的二点，两点的场强和电势不可能相等，选项C错误；D．若电场线的方向向左，则正电荷在b的右侧，所以b点的电场强度大，即Eb＞Ea；沿电场线方向电势降低，可以比较电势高低，根据电场线方向可知，选项D错误。故选A。【例3】．如图，是锐角三角形最大的内角，一正点电荷固定在P点。下列说法正确的是（）A．沿边，从M点到N点，电场强度逐渐减小B．沿边，从M点到N点，电势先减小后增大C．将负检验电荷从M点移动到N点，电势能先减小后增大D．将正检验电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负【答案】C【详解】点电荷形成的电场如图所示，图中虚线为等势面，A．由于一正点电荷固定在P点，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，故PM＜PN，由点电荷形成的电场的场强公式可得，从M到N点，场强先增大后减小，故A错误；B．电场线与等势面相互垂直，并且沿电场线方向电势降低，由图可知，从M到N电势先增大后减小，故B错误；C．由图可知，从M到N电势先增大后减小，由电势能公式可得，由于此检验电荷为负电荷，电势越高，电势能越小，所以从M点移动到N点，电势能先减小后增大，故C正确；D．由图可知，M点电势大于N点电势，由电势能公式可得，由于此检验电荷为正电荷，电势越高，电势能越大，故正点电荷在M点的电势能高于在N点的电势能，从M点到N点，正电荷的电势能减小，电场力做正功，故D错误；故选C。【例4】．如图所示，在正点电荷Q形成的电场中有A、B、C、D四点，A、B、C为直角三角形的三个顶点，D为AC的中点，∠A＝30°，A、B、C、D四点的电场强度大小分别用EA、EB、EC、ED表示，已知EA＝EC，B、C两点的电场强度方向相同，点电荷Q在A、B、C三点构成的平面内。则以下错误的是（）A．点电荷位于AC的垂直平分线与BC的反向延长线的的交点上B．D点电势高于A点电势C．将一正点电荷q从A点沿直线移到C点，电场力先做正功再做负功D．B、A两点和B、C两点间的电势差满足UBA＝UBC【答案】C【详解】A．因、两点电场强度大小相等，所以点电荷在、两点连线的垂直平分线上，如图所示，和的方向相同，点电荷定在、连线上，过、两点连线的垂直平分线与、连线相交于，故点电荷在点，故A正确；B．由几何关系得到的距离小于到的距离，根据越靠近正电荷，电势越高可知，点电势高于点电势，故B正确；C．从点沿直线到点再到点，电势先升高再降低，故将正试探电荷从点沿直线移到点，电势能先增大后减小，电场力先做负功再做正功，故C错误；D．点电荷的等势面是以点电荷为圆心的同心圆，、两点在同一等势面上，故有故D正确；错误的故选C。类型2利用电偶极子考电场的性质【例1】如图所示，边长均为a的两个正四面体和，其中面完全重合，O点为面中心，两带电荷量均为的点电荷分别置于A、B两顶点，则（

）

A．b、c、d三点的电场强度相同B．b、c、d三点的电势相等C．将一正试探电荷从b点沿直线移动到O点，其所受电场力逐渐增大D．将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力不做功【答案】B【详解】A．根据点电荷的场强公式由图可知，b、c、d三点到两电荷的距离相等，所以A、B两点电荷在三点产生的合场强的大小相等，方向不相同，故A错误；B．A、B两个点电荷分别在b、c、d三点产生的电势相等，根据电势的叠加法则可知A、B两个点电荷在b、c、d三点的电势相等，故B正确；C．根据等量同种电荷的场强分布特点可知O点的合场强为零，从b点沿直线移动到O点，电场强度可能一直减小，也可能先增大后减小，所以所受电场力可能逐渐减小，也可能先增大后减小，故C错误；D．根据等量同种电荷的场强分布特点可知将一正试探电荷从b点沿直线移到d点，电场力先做负功后做正功，故D错误。故选B。【例2】．如图所示，两等量同种点电荷固定在菱形的两个顶点A、C上。E、F是该菱形对角线与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（）

A．a、b、c、d四点的电场强度相同B．D、O、B三点的电势相等C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做负功D．点电荷到达F点时速度恰好为零，并会立刻返回【答案】D【详解】A．由等量同种点电荷电场特点得，a、b、c、d四点电场强度大小相等，方向不同，则电场强度不同，故A错误；B．B、D两点电势相等，O点电势高于B、D两点的电势，故B错误；C．根据电场叠加原理可知，沿直线从E点到O点的电场强度方向一直向右，电场力对点电荷做正功，故C错误；D．根据电场的对称性可知，到达O点后点电荷将继续沿直线运动，到达F点时速度恰好为零并会立刻返回，故D正确。故选D。【例3】．在A、B两点放置电荷量分别为和的点电荷，其形成的电场线分布如图所示，C为A、B连线上的一点，并且AB间C点的电场强度最小，D是纸面上的另一点，DC连线与AB垂直，已知无穷远电势为零，电荷Q在其周围产生的电势为。则下列说法正确的是（）

A．AB间C点电势最低B．在整个直线AB上不可能存在另一个与C电场强度相同的点C．AB连线上B的右侧有一点非无穷远电势和电场强度均为零D．若将另一负电荷从C点移到D点，电荷电势能减小【答案】B【详解】A．沿电场线方向电势逐渐降低，C点电势高于其右侧点电势，故不是AB间电势最低的点，A错误；B．C的电场强度由两个电荷产生的电场同向叠加而成，方向向右，A的左侧电场方向向左故不可能存在，B的右侧两电荷产生电场反向叠加，并且当的电场大于的电场时，电场方向与C相同，但因为此位置相对于A的距离比C相对于A的距离远，所以在此区域产生的电场强度一定小于C处的场强，B正确；C．B右侧场强为0的点满足电势为0的点满足很明显不是同一位置，C错误；D．由图中电场线分布可知C的电势高于D点；所以负电荷在C点的电势能低，移到D点时电势能增大，D错误。故选B。【例4】．如图所示，两个等量异种电荷产生的电场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中垂线对称，则下列说法正确的是（）

A．ab两点的电势相等B．cd两点的电场强度相同C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功比直接沿对角线做功大【答案】C【详解】A．由于沿电场线电势降低，可知A错误；B．电场线分布的疏密程度表示电场的强弱，根据等量异种电荷的电场线分布特征可知，cd两点的电场强度大小相等，方向不同，即cd两点的电场强度不相同，B错误；C．由于沿电场线电势降低，可知根据可知移动单位负电荷从d到c，电场力做正功，C正确；D．根据可知，移动单位正电荷从b到d，电场力沿做功与直接沿对角线做功相等，D错误。故选C。【例5】如图甲所示，以等量正点电荷连线的中点作为原点，沿中垂线建立x轴，x轴上各点的电场强度E随x变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是（）A．处电势等于处电势B．处电场强度与处电场强度相同C．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动D．将电子从x轴上处由静止释放，仅在静电力作用下电子从处运动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动【答案】AD【详解】A．结合图像和电场力做功可得：电子从处到处电场力做功为零，处电势等于处电势，A正确；B．由图像乙可见处电场强度与处电场强度等值反向，B错误；C．由图像乙可见处到处，电场强度是先增大后减小，由可得：将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，C错误；D．因为=可见将电子从x轴上处由静止释放，电子从处移动到处的过程中，电子做加速度减小的加速运动，D正确。故选AD。题型二电势差与电场强度的关系1．由E＝eq\f(U,d)可推出的两个重要推论推论1匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图甲所示．推论2匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示．2．E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用(1)判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大．(2)判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低．(3)利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq\f(Δφ,Δx)＝eq\f(U,d)＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向．3．等分法确定电场线及电势高低的解题思路【例1】如图所示，等腰三角形位于匀强电场中，电场方向平行于平面，a、b、c三点的电势分别为，边长度为，边的长度为。下列说法正确的是（）

A．若电子从a点运动到b点，电场力做功B．若电子从a点运动到c点，电势能减小C．电场沿方向D．匀强电场的场强大小为【答案】D【详解】A．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到b点，电场力做功为故A错误；B．根据题意，由公式可知，若电子从a点运动到c点，电场力做功为则电子的电势能增加，故B错误；CD．根据题意，由可知，ac的中点电势为6V，与b点电势相等，由电场线和等势线关系可得电场沿ac方向，则有故C错误，D正确。故选D。【例2】．如图所示，某匀强电场中的一个矩形abcd，，，电场线与矩形所在平面平行，已知a、b、d点的电势分别为、和，一个电子以速度经过b点，速度方向与bc成角，经过一段时间恰好经过c点，不计电子的重力，则（）A．c点的电势大小为a点的两倍 B．场强方向由d指向bC．电子从b点运动到c点所用时间为 D．电子从b点运动到c点，电场力做功【答案】D【详解】AB．连接bd，将bd六等分，，ae为等势线，连接cf，由几何知识可知ae与cf平行，则，可知c点的电势大小为a点的三倍；做ae的垂线eg，电场强度的方向由g指向e，如图所示故AB错误；C．由几何知识可知电子从b点运动到c点所用时间为故C错误；D．电子从b点运动到c点，电场力做功为故D正确。故选D。【例3】．匀强电场的方向平行于△ABC所在平面，如图所示，。将电荷量为的点电荷从A点移到B点，电场力做功8×10-6J，再把该电荷从B点移到C点，电场力做功J，关于该电场的下列说法中正确的是（）A．A、B两点间的电势差B．若规定A点电势为0，则C点电势为2VC．电场强度的方向由B指向AD．电场强度的方向由C指高B【答案】A【详解】A．将电荷从A点移到B点，电场力做功为代入数据解得故A正确；B．把该电荷从B点移到C点，电场力做功为代入数据解得若规定A点电势为0，而可得又解得故B错误；C．因为该电场为匀强电场，且、、，则可知BC中点处的电势等于A点处的电势，而沿着电场线的方向电势降低，则可知电场线的方向为B到C，而匀强电场中，电场线的方向和电场强度的方向一致，则可知电场强度的方向为B指向C，故CD错误。故选A。【例4】．如图为某匀强电场的等势面分布图（等势面竖直分布），已知每两个相邻等势面相距2cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为（）A．，水平向左 B．，水平向右C．，水平向左 D．，水平向右【答案】C【详解】匀强电场的电场强度大小沿电场线电势降低，可知场强方向水平向左。故选C。【例5】．如图所示，在匀强电场中一带正电粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为，经过b点时速率为，粒子经过a、b两点时速度方向与连线的夹角分别为、，连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则下列无法确定的是（

）A．场强的大小 B．场强的方向C．a、b两点的电势差 D．粒子在a、b两点的电势能之差【答案】D【详解】AB．设电场力的方向与ab所在直线夹角为，如图所示垂直电场方向速度分量相同，根据几何知识有解得垂直电场力方向做匀速运动，运动的时间为沿电场力方向速度变化量为电场强度的大小为故AB可以确定，不符合题意；C．根据匀强电场电场强度可知a、b两点的电势差可求，故C可以确定，不符合题意；D．根据功能关系有电荷量未知，无法确定粒子在a、b两点的电势能之差，故D无法确定，符合题意。故选D。【例6】如图所示，半径为的圆内有一内接直角三角形，其中，空间中存在与圆平面平行的匀强电场，将一带正电的试探电荷由点移动到点，电场力做的功为，将该电荷由点移动到点，电场力做的功为，已知该试探电荷的电荷量为。则下列说法正确的是（）A．匀强电场的方向由指向B．该试探电荷由移动到，电势能减少C．点的电势比点的电势低D．该电场强度的大小为【答案】BCD【分析】逻辑推理能力、分析综合能力【详解】B．设a点的电势为零，则试探电荷在a点的电势能为零，结合题意可知试探电荷在b点的电势能为，b点的电势为同理，试探电荷在c点的电势能为，c点的电势为b、c两点的电势差为试探电荷由b移动到c，电场力做的功为故B正确；C．O点为的中点，则O点的电势为所以O、b两点的电势差为即O点的电势比b点的电势低2V，C正确；AD．由以上分析可知，a、c两点的电势差为电场沿a、c方向的电场强度大小为电场沿b、c方向的电场强度大小为所以电场强度的大小为电场强度与a、c方向成θ故A错误，D正确。故选BCD。【例7】如图所示，有一平行于平面的匀强电场，其中a、b、c三点电势分别为，已知的距离为，的距离为，和的夹角为。下列说法正确的是（）A．电子从a点移动到c点的过程中，电势能增大B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做正功C．电场强度的方向从c点指向a点D．电场强度的大小为【答案】BD【详解】A．电子从a点移动到c点的过程中，电场力做功为电场力做正功，电势能减小，A错误；B．电子从a点移动到b点的过程中，电场力做功为电场力做正功，B正确；C．将段均分成5等份，a、b、c三点的电势，如图所示由图可得d点与c点电势相同，同时由几何关系知垂直与，因此电场方向从b点指向a点，C错误；D．由题知电场强度大小为D正确。故选BD。【例8】如图所示，空间存在范围足够大与长方形所在平面平行的匀强电场，已知，A、B、C三点的电势分别为。一带电粒子从A点以与成夹角斜向右上方、大小为的初速度射入电场，恰好经过C点。不计粒子的重力。下列说法正确的是（）A．D点电势为B．电场强度大小为C．粒子过C点的速度与初速度方向间夹角的正切值为D．粒子过C点的速度为【答案】AC【详解】A．因，A、B、C三点的电势分别为，取O点为的中点，则，则为等势线，连接并延长过D点，则，A正确；B．过A点作的垂线，则带箭头的实线为电场线，如图所示故B错误；C．粒子从A点开始做类平抛运动到C点，设粒子运动到C点时瞬时速度与初速度方向的夹角为，粒子运动到C点时位移与初速度方向的夹角，则根据类平抛运动的推论C正确；D．粒子在C点时，故D错误。故选AC。题型三电场线、等势面及运动轨迹问题【核心归纳】1．等势面(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面．(2)四个特点：①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面．③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．④任意两个等势面都不相交．2．几种常见等势面的比较电场等势面(虚线)图样特点匀强电场垂直于电场线的一簇平面点电荷的电场以点电荷为球心的一簇球面等量异种点电荷的电场两电荷连线的中垂面为等势面等量同种正点电荷的电场在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高【方法技巧】带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便．2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向，可以判断静电力方向．若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线．若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直．3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加．【例1】某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列说法正确的是（）

A．A点的电势小于D点的电势B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为C．电场中C、D两点的电场强度相同D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大【答案】A【详解】A．电子从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度增加，电势能减小，电势升高，可知C点电势高于A点，又因为D、C电势相等，可知D点电势高于A点，A正确；B．设相邻两等势面间的电势差为U，则从A到C有从A到B解得B错误；C．由对称性可知，C、D两点的电场强度大小相同，但是方向不同，C错误；D．因E点电势高于A点，则若电子从A点运动到E点，其电势能减小，D错误。故选A。【例2】．如图所示，虚线为静电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等。一个带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则下列说法正确的是（）A．A点的电势大于B点的电势B．A点的电场强度大于B点的电场强度C．将q在A点由静止释放，其受静电力将增大D．将q在A点由静止释放，其电势能将减小【答案】D【详解】A．带正电的点电荷q在A点的电势能小于其在B点的电势能，则A点的电势小于B点的电势，故A错误；B．A点的等势面较稀疏，则A点的电场强度小于B点的电场强度，故B错误；CD．将q在A点由静止释放，将向电势低处运动，即向等势面稀疏处运动，其受静电力将减小，电势能将减小，故C错误，D正确。故选D。【例3】．如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确的是（）

A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小B．负点电荷一定位于M点左侧C．a点的场强大于b点的场强D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度【答案】D【详解】A．由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，电场力指向轨迹内侧，电场力方向大致向右，带电粒子从a到b过程中电场力对带电粒子做正功，其动能增加，选项A错误；B．带正电的粒子所受电场力向右，电场线由M指向N，说明负电荷在直线N点右侧，选项B错误；CD．a点离点电荷较远，a点的电场强度小于b点的电场强度，带电粒子在a点的小于在b点的电场力，根据牛顿第二定律得知，带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度，故C错误，D正确；故选D。【例4】．在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c处与圆相切。下列说法正确的是（）

A．α粒子在c处的动能最大B．α粒子在处的电势能相等C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心【答案】B【详解】A．α粒子由a到c过程受到的电场力与运动方向的夹角为钝角，电场力做负功，动能减小；由c到e过程受到的电场力与运动方向的夹角为锐角，电场力做正功，动能增大，α粒子在c处的动能最小，A错误；B．在同一个等势面上，，又电荷电势能所以α粒子在处的电势能相等，B正确；C．匀强电场中两等势面间的电势差由于此电场为非匀强电场，所在等势面间的场强大于所在等势面间的场强，因此电场力做的功可知由c到d过程电场力做功较多，C错误；D．如果α粒子的运动轨迹在a处的切线经过金原子核的中心，则在a处的受力方向和速度方向共线，α粒子要做直线运动，D错误。故选B。【例5】．电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，是轨迹上的三点，若c点处电势为3V，电子从a点运动到b点电势能变化了5eV，则下列说法正确的是（）

A．a点电势为7.5VB．电子在b点的动能不可能为2.5eVC．电子在b点加速度比在c点加速度大D．电子在电场中运动的最小速度一定为零【答案】B【详解】A．根据电子的受力和运动情况可知，电子从a点到c点电场力做负功，电势能增大，根据电场力做功与电势差的关系可知，b点电势比a点电势低5V，则相邻两等势面间的电势差为2.5V，则a点电势为故A错误；B．电子在两点，由能量守恒定律有由于电子在c点动能不为零，因此在b点的动能一定大于2.5eV，故B正确；C．c点处等差等势面比b点处密集，则b点比c点电场强度小，因此加速度小，故C错误；D．电子速度与等势面切线平行时，在电场中运动的速度最小，此时的速度最小值不一定为零，故D错误。故选B。题型五电场中功能关系的综合问题电场中常见的功能关系(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量．(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．【例1】如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速率相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的6倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（）A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍【答案】B【详解】根据题意，设电场强度沿AB方向的分量为，沿AD方向的分量为，粒子在A点时的动能为。粒子从A到B的过程，有粒子从A到C的过程，有则粒子从A到D的过程，有解得故选B。【例2】如图所示，绝缘轻质弹簧的下端同定在斜面底端，弹簧与斜而平行，带电小球Q（可视为质点）冏定在光滑绝缘斜面上的M点，且在通过弹簧中心的直线ab上。现把与Q大小相同、电件相同的小球P，从斜面上的N点由静止释放，在小球P与弹簧接触到运动至最低点的过程中，以下说法正确的是（）

A．小球P的速度先增大后减小B．小球P的速度最大时所受弹簧的弹力与库仑力的合力为零C．小球P、弹簧、地球组成的系统机械能不守恒D．小球P的重力势能、与小球Q间的电势能、弹簧的弹性势能及小球P的动能的总量守恒【答案】ACD【详解】A．小球先沿斜面加速向下运动，当加速度减小到零后，减速向下运动，当弹簧压缩量最大时，小球静止，速度先增大后减小，故A正确；B．当小球的合力为零时，速度最大，此时受弹力与库仑力的合力等于重力沿斜面方向上的分力，在最低点，弹力和库仑力的合力大于重力的分力，合力不为零，故B错误；CD．本题涉及到动能、重力势能、弹性势能以及电势能的变化，根据能量守恒定律知，小球P的动能、重力势能、电势能与弹簧的弹性势能的总和不变，故D正确，C错误。故选ACD。【例3】．竖直面内有A、B、C、D四点构成矩形，竖直，，空间有一范围足够大的匀强电场，方向由D指向C，将一质量为m、不带电的小球a从A点以某一速度水平抛出，经过D点时，其动能是A点的4倍；将另一质量也为m、带正电荷q的小球b从A点以相同大小的速度水平抛出，经过B点时的动能也是A点的4倍，则场强E的大小等于（）A． B． C． D．【答案】A【详解】不带电小球只受重力作用，带电小球受到重力、沿方向的电场力作用。不带电小球向右水平抛出后做平抛运动，从A到D由动能定理有即化简得带电小球向左水平抛出后在复合场中运动，从A到B重力做功为，电场力做功为则由动能定理有即可得则故选A。【例4】．如图所示，竖直平面直角坐标系xOy所在平面内存在一匀强电场，电场的方向与x轴负方向成角。A是电场中的一点，O、A两点的连线与一条电场线重合。一质量为m、电荷量为q的带电小球从A点沿平行于x轴正方向射出，小球经过时间t到达x轴上的B点，到达B点时小球的动能与在A点射出时相同。已知A、B两点距离坐标原点O的距离相等，重力加速度大小为g。则带电小球从A点运动到B点增加的电势能为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】小球从A点运动到B点动能不变，设A、B两点距离坐标原点O的距离为L，由动能定理知解得小球沿y轴方向，由牛顿第二定律知又解得小球沿电场线方向上的位移大小为则电势能的增加量故选C。【例5】．如图所示，一带电量不变的平行板电容器的两个极板与水平地面成一定角度，一个初速度为的带负电的粒子恰好沿水平向右直线运动，则下列说法正确的是（）A．电容器的上板带负电B．粒子的机械能逐渐增加C．粒子的电势能逐渐增加D．若下极板稍平行下移一小段距离，粒子将做曲线运动【答案】C【详解】A．对带电粒子受力分析如图所示，因粒子带负电，所以电容器的上板带正电，选项A错误；BC．由图可知静电力与重力的合力方向与方向相反，对粒子做负功，其中重力不做功，静电力做负功，粒子机械能减少，电势能增加，选项B错误，选项C正确；D．因电容器的电荷量Q不变，由于所以电场强度不变，粒子受到的电场力不变，合外力不变，所以粒子仍向右做直线运动，选项D错误。故选C。【例6】如图所示，一质子以速度进入足够大的匀强电场区域，a、b、c、d为间距相等的一组等势面，若质子经过a、c等势面时动能分别为9eV和3eV。不计质子重力，下列说法正确的是（）A．质子第二次经过等势面b时动能是6eVB．质子刚好能到达等势面dC．该匀强电场场强的方向水平向左D．若取等势面c为零电势面，则a所在的等势面电势为6V【答案】AC【详解】A．两次经过同一等势面的动能相等，因为是匀强电场，所以经过相邻等势面克服电场力做功相同，动能变化相同，即解得所以经过b等势面时的动能是6eV，故A正确；B．假设质子能够到达等势面d，则质子在等势面d的动能为零；但质子做匀变速曲线运动，质子在等势面d的速度不可能为零，故质子不能到达等势面d，故B错误；C．根据题意，由a到c过程电场力做负功，质子带正电，所以匀强电场场强的方向水平向左，故C正确；D．根据可知：质子在c等势面的电势能为0，所以质子运动过程中的总能量根据能量守恒可知解得由可得a所在的等势面电势故D错误。故选AC。【例7】．如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度大小为g，不计空气阻力，带电小球从A点运动到B点过程中（）

A．用时为 B．机械能增加C．电势能减少 D．动能增加【答案】B【详解】A．带电小球所受电场力为以带电小球为对象，竖直方向有可知竖直方向的合力为0；水平方向有解得可知带电小球做加速度的类平抛运动，由A点到B点过程中，有解得A点到B点用时为故A错误：D．带电小球运动到B点时的速度为动能增量为故D错误；BC．A点与B点的距离为由A点到B点电场力做功为可知电势能减少，机械能增量等于电场力所做的功，即机械能增加，故B正确，C错误。故选B。题型六电场中的图像问题类型1v－t、v－x图像根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化．【例1】图1中、、是某电场中的一条电场线上的三个点，若将一正电荷从点处由静止秲放，仅在电场力作用下，正电荷沿电场线从经过到，运动过程中的速度—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（）A．在、、三个点中，点的电场强度最大B．在、、三个点中，点的电势最低C．在、、三个点中，点的电势最高D．在、、三个点中，正电荷在点的电势能最大【答案】BD【详解】A．由牛顿第二定律有根据图像中斜率表示加速度，由图可知，电荷在点时加速度最小，则点的电场强度最小，故A错误；BCD．根据题意，由图可知，正电荷沿电场线从经过到，速度一直增加，电场力一直做正功，电势能减少，则有由可得故C错误，BD正确。故选BD。【例2】如图甲是某电场中的一条电场线，A、B是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A点以某一初速度释放，负电荷沿直线AB运动过程中的速度-时间图像如图乙所示，比较A、B两点电势的高低和电场强度大小可知（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】AB．由速度-时间图像可知，负电荷由A向B运动的过程中，速度减小，动能减小，电势能增大，电势减小。故A正确，B错误;CD．由图像斜率可知加速度不变，电场力不变，电场强度不变，故CD错误。故选A。【例3】一个负电荷从电场中的B点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到A点，它运动的速度—时间图像，如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是图中的（）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据题意，负电荷所受电场力方向从，则电场方向由，由图可知，加速度越来越小，则电场力越来越小，则电场强度越来越小。故选A。【例4】如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，线上有A、B、C三点，一带电荷量为+2×10-3C、质量为1×10-3kg的小物块从A点由静止释放，沿MN做直线运动，其运动的v—t图像如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块的电荷量保持不变，下列说法中正确的是（）A．A、B两点的电势差U=-4VB．小物块从B点到C点，电场力做的功W=10-2JC．C点为A、C间电场强度最大的点，场强大小E=1V/mD．由A到C的过程中，小物块的电势能先减小后增大【答案】B【详解】A．小物块从A点到B点，根据动能定理可知解得UAB=4VA错误；B．小物块从B点到C点，根据动能定理可知解得W=10-2JB正确；C．v—t图像的斜率表示加速度，由图像可知，小物块在B点时的加速度最大，该加速度为所以B点的电场强度最大，根据qE=ma解得E=1V/mC错误；D．小物块从A到B再到C，速度一直变大，所以动能一直增大，根据能量守恒定律可知，小物块的电势能一直减小，D错误。故选B。【例5】点电荷A、B分别固定在原点O和x＝6m处，仅在电场力的作用下，负点电荷M从x＝2m处以某一初速度沿轴正方向运动，其速度v随位置x变化的图像如图所示。下列说法正确的是（）A．M过x＝4m处时受到的电场力最大B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电势能先增大后减小C．A、B的电荷量之比为4：1D．M过x＝3m处时与过x＝5m处时的加速度大小之比为25：63【答案】BCD【详解】A．由题图可知，M过x＝4m处时的速度最小，说明M过x＝4m处时的加速度为零，故M过x＝4m处时不受电场力，选项A错误；B．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中速度先减小后增大，根据能量守恒定律可知，该过程中M的电势能先增大后减小，选项B正确；C．M从x＝2m处运动到x＝5m处的过程中电场力先做负功后做正功，由于负电荷所受电场力的方向与电场强度的方向相反，在x＝2m处到x＝5m处的范围内电场的电场强度先沿x轴正方向后沿x轴负方向，故A、B均为正电荷，根据物体的平衡条件有其中、，解得选项C正确；D．M过x＝3m处时的加速度大小其中，M过x＝5m处时的加速度大小其中、，解得选项D正确。故选BCD。类型2φ－x图像1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零．2．在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图)3．电场中常见的φ－x图像(1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图．(2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图．(3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图．【例1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，x轴上各点电势随位移x的变化关系如图所示，其中段是曲线，是顶点，段是直线，且与抛物线相切。粒子由O到的运动过程中，下列说法正确的是

（）

A．粒子在处速度最大B．粒子在处加速度最大C．粒子在段加速度不变D．粒子在段做匀速直线运动【答案】C【详解】A．粒子带负电，处电势最低，则粒子在处电势能最大，动能最小，速度最小，选项A错误；B．图线的斜率的大小表示电场强度E的大小，处电场强度大小为0，由知粒子在处加速度为0，选项B错误；CD．段电场强度E不变，则粒子在该段运动时加速度不变，做匀加速直线运动，选项C正确、选项D错误。故选C。【例2】．空间某一静电场的电势在x轴上的分布如图所示，x轴上B、C两点的电场强度分别是、，下列说法中正确的是（）

A．的大小大于的大小B．的方向沿x轴正方向C．电荷在O点受到的电场力最小D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功【答案】D【详解】ABC．在图像中，图线的切线斜率表示电场强度沿x轴方向的分矢量，而不是合电场强度，所以从图像中无法判断出B点和C点的电场强度的大小和方向。故ABC错误；D．由图可知沿x轴方向上，O点电势最高，负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力