专题02 平面直角坐标系运用（两大类型）（题型专练）（解析版）

专题02平面直角坐标系运用（两大类型）【题型一：平面直角坐标系中规律题探究方法】【题型二：平面直角坐标系内的面积计算】【题型一：平面直角坐标系中规律题探究方法】1．（2023春•满城区期末）在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则A2023的坐标为（）​A．（674，1） B．（674，﹣1） C．（337，1） D．（337，﹣1）【答案】A【解答】解：电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右→向上的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6，∵2023÷6＝337••••••1，∴考虑A1（0，1），A7（2，1），A13（4，1）…，这些点的下标与1的差除以3得到横坐标，纵坐标都是1，∵（2023﹣1）÷3＝674，∴A2023的坐标为（674，1）故选：A．2．（2023春•洛阳期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（）A．（2022，0） B．（2022，1） C．（2023，0） D．（2023，2）【答案】D【解答】解：由题意可知，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次从原点运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），第6次接着运动到点（6，0），……第4n次接着运动到点（4n，0），第4n+1次接着运动到点（4n+1，1），第4n+2次从原点运动到点（4n+2，0），第4n+3次接着运动到点（4n+3，2），∵2023÷4＝505……3，∴第2023次接着运动到点（2023，2），故选：D．3．（2023春•红安县期末）如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→）（0，1）→（0，2）→……，且每秒移动一个单位，那么第2018秒时，点所在位置的坐标是（）A．（6，44） B．（38，44） C．（44，38） D．（44，6）【答案】D【解答】解：观察可以发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方，此时时间为奇数时点在x轴上，时间为偶数时，点在y轴上．∵2018＝452﹣7＝2025﹣7，∴第2025秒时，动点在（45，0）在此处向下一秒，在向右6秒得的第2018秒的位置．此时点坐标为（44，6）．故选：D．4．（2023春•长安区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0），点A1第1次跳动至点A2（﹣1，1），第2次跳动至点A3（2，1），第3次跳动至点A4（﹣2，2），第4次跳动至点A5（3，2）…依此规律跳动下去，点A1第50次跳动至点A51的坐标是（）A．（24，23） B．（25，25） C．（26，25） D．（27，26）【答案】C【解答】解：由图得，A3，A5，A7，…，A2n+1在第一象限，而A2，A4，A6，…，A2n在第二象限，∴A51在第一象限，由A3（2，1）A5（3，2）A7（4，3）…，得，A2n+1（n+1，n），∵2n+1＝51，∴n＝25，∴A2n+1（26，25）．故选：C．5．（2023春•官渡区期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，半圆O2，半圆O3，半圆O4，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2035秒时，点P的坐标是（）A．（2035，﹣1） B．（2035，0） C．（2036，0） D．（2036，﹣1）【答案】A【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为×2π×1＝π，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点P1每秒走当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2035÷4＝508余3，∴P的坐标是（2035，﹣1），故选：A．6．（2023春•海珠区期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走2m到达点A1；再向正北方向走4m到达点A2；再向正东方向走6m到达点A3；再向正南方向走8m到达点A4：再向正西方向走10m到达点A5…，按如此规律走下去，当机器人走到点A2023时，点A2023的坐标为（）A．（2024，2024） B．（2024，2022） C．（2023，2023） D．（2023，﹣2023）【答案】A【解答】解：由图可得，点A的位置有4种可能的位置，除第1点外分别是在4个象限内，∵2023÷4＝505…3，余数是3，∴A2023在第一象限，∵A3（4，4），A7（8，8）…∴A2023（2024，2024）．故选：A．7．（2023春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为（）A．（9，2） B．（9，3） C．（9，4） D．（9，5）【答案】D【解答】解：过（1，0）垂直于x轴的直线上有1个点；过（2，0）垂直于x轴的直线上有2个点，从下向上走势；过（3，0）垂直于x轴的直线上有3个点，从上向下走势；共有：1+2+3+……+n＝n（n+1）个点，当n＝8时，共有36个点，∴第40个点在过（9，0）垂直于x轴的直线上，∴第40个点的坐标为：（9，5），故选：D．8．（2023春•民权县期末）如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向依次记为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A2023的坐标为（）A．（505，505） B．（﹣505，﹣505） C．（﹣506，﹣506） D．（506，506）【答案】D【解答】解：观察图形，可知：点A1的坐标为（﹣1，﹣1），A2的坐标为（﹣1，1），A3的坐标为（1，1），点A4的坐标为（1，﹣1），点A5的坐标为（﹣2，﹣2），点A6的坐标为（2，﹣2），……∴点A4n﹣3的坐标为（﹣n，﹣n）（n为正整数），点A4n﹣2的坐标为（﹣n，n）（n为正整数），点A4n﹣1的坐标为（n，n）（n为正整数），点A4n的坐标为（n，﹣n）（n为正整数），又∵2023＝4×506﹣1，∴点A2023的坐标为（506，506）．故选：D．9．（2023春•召陵区期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位长度，依次得到点P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，则点P2023的坐标是（）A．（673，1） B．（674，1） C．（673，﹣1） D．（674，﹣1）【答案】B【解答】解：由图形的坐标规律可得：P6n（2n，0），P6n+1（2n，1），∵2023÷6＝337……1，P2023的横坐标为337×2＝674，纵坐标为1，∴点P2023的坐标是（674，1）．故选：B．10．（2023春•五莲县期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（﹣1，1） B．（1，1） C．（1，0） D．（﹣1，0）【答案】D【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，2023÷10＝202……3，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，即点B的位置再向下一个单位长度，点的坐标为（﹣1，0）．故选：D．11．（2023春•江南区期末）王老师要求同学们观察生活中的现象编写一个数学问题，小颖同学观察台球比赛台球撞击台桌时受到启发，把它抽象成数学问题：如图，已知长方形OABC，小球P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0），当小球P第2023次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点P2023的坐标是（）A．（1，4） B．（7，4） C．（0，3） D．（3，0）【答案】D【解答】解：按照光线反射规律，画出图形，如图：根据图形观察可知，每碰撞6次回到始点．∵2023÷6＝337……1，∴第2023次碰到长方形边上的点的坐标为（3，0），故选：D．12．（2023春•青龙县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…An，…，若点A1的坐标为（3，1），则点A2021的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（0，4） C．（3，1） D．（﹣3，1）【答案】C【解答】解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505•••1，∴点A2021的坐标与A1的坐标相同，为（3，1）．故选：C．13．（2023春•东莞市校级月考）在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则点A2023的坐标是（）A．（505，0） B．（505，﹣1） C．（1011，0） D．（1010，﹣1）【答案】A【解答】解：根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：，A7（3，0），A11（5，0），•••∴点A4n+3的坐标（n为正整数）为（2n，﹣1）；∴点A2023的坐标是（1010，0），故选：A．14．（2023•冠县一模）如图，在一个单位面积为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，则A2023的坐标是（）A．（2，1010） B．（1010，0） C．（﹣1010，0） D．（2，1011）【答案】C【解答】解：观察图形可以看出A1﹣﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；……每4个为一组，∵2023÷4＝505...3，∴A2023在x轴负半轴上，纵坐标为0，∵A3、A7、A11、……的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，……∴A2023的横坐标为﹣[（2023﹣3）÷4]×2＝﹣1010．∴A2023的坐标为（﹣1010，0）．故选：C．15．（2023春•兴宁区校级期中）如图，点A在x轴正半轴及y轴正半轴上运动，点A从原点出发，依次跳动至点A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，0）、A4（0，2）、A5（0，3）、A6（3，0）、A7（4，0）、A8（0，4），……按此规律，则点A2023的坐标是（）A．（0，1011） B．（1011，0） C．（0，1012） D．（1012，0）【答案】D【解答】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，A1（0，1），A2（1，0），A3（2，0），A4（0，2），其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；A5（0，3），A6（3，0），A7（4，0），A8（0，4），其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；则点A2023是第506组的第3个点，则A2023在x轴上，其非零坐标即横坐标为1012，故点A2023的坐标是（1012，0），故选：D．16．（2023春•江岸区期中）在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据规律，第2023个整数点坐标为（）A．（45，2） B．（45，42） C．（45，0） D．（45，10）【答案】A【解答】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，如：第12个点的坐标为（1，0），第32个点的坐标为（3，0），第52个点的坐标为（5，0），……当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，∵452＝2025，45为奇数，∴第2025个点的坐标为（45，0），∴退2个点，得到第2023个点是（45，2）．故选：A．17．（2023春•江津区期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（0，0），（1，0），（1，1），（2，2），（2，1），（2，0），（3，0），…，根据规律探索可得，第31个点的坐标为（）A．（7，5） B．（7，4） C．（7，3） D．（7，2）【答案】D【解答】解：各列的点数分别为：1、2、3、4、……则前n列的点数之和为：，当≤31，n的最大整数解为：7，∴31在第8列，∴第31个点的坐标为：（7，2）故选：D．18．（2023春•涵江区期中）如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点M1（1，），第2次接着运动到点M2（2，0），第3次接着运动到点M3（2，﹣2），第4次接着运动到点M4（4，﹣2），第5次接着运动到点M5（4，0），第6次接着运动到点M6（5，）……按这样的运动规律，经过2023次运动后，点M2023的坐标是（）A．（1616，0） B．（1618，0） C．（1616，﹣2） D．（1618，﹣2）【答案】D【解答】解：由图得，点M的坐标变化规律是先沿边长为2的等边三角形的边运动，再沿边长为2的正方形的边运动，点M的位置变化满足运动5次一循环，∴2023÷5＝404...3．即点M的2023次运动与第3次运动的位置相同，∵第3次坐标（2，﹣2），即（3﹣1，﹣2）第8次坐标（6，﹣2），即（8﹣2，﹣2）第13次坐标（10，﹣2），即（10﹣3，﹣2）∴第2023次坐标为（2023﹣405，﹣2），即（1618，﹣2）．故选：D．19．（2023春•鄱阳县期中）如图，将边长为1的正方形依次放在坐标系中，其中第一个正方形的两边OA1，OA3分别在y轴和x轴上，第二个正方形的一边A3A4与第一个正方形的边A2A3共线，一边A3A6在x轴上…以此类推，则点A2022的坐标为（）A．（672，﹣1） B．（673，﹣1） C．（674，1） D．（674，0）【答案】D【解答】解：∵（2022﹣1）÷3＝673…2，∴点A2022的坐标为（674，0）．故选：D．20．（2023•周口一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将Rt△ABO顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点A1；第二次滚动到②的位置，点A1的对应点记作点A2；第三次滚动到③的位置，点A2的对应点记作点A3；…依次进行下去，发现点A（﹣3，0），A1（0，3），A2（9，0），…，则点A2023的坐标为（）A．（8088，3） B．（8088，0） C．（8089，3） D．（8089，0）【答案】A【解答】解：∵A（﹣1.5，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝4，∴在Rt△AOB中，AB＝＝5，观察图形可得，每滚动3次，图形的形状与初始位置相同，∴AA3＝4+5+3＝12，∴A3的横坐标为：12﹣3＝9，∵2023÷3＝674…1，∴AA2023＝674×12+3＝8091，∴OA2023＝809﹣3＝8088，∴A2023的坐标为（8088，3）．故选：A．21．（2022秋•永定区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝⋅⋅⋅＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2022的纵坐标为（）A． B． C．0 D．【答案】B【解答】解：∵∠A2OC2＝30°，OA1＝OC2＝3，在Rt△OA2C2中，，则，同理可得；，……，∴，∵2022＝4×505…2，∴点A2022与A2都在y轴的正半轴上，∴点A2022的纵坐标为．故选：B．22．（2022秋•市中区期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2023的坐标是（（）2023，﹣（）2023）．【答案】（21011，﹣21011）．【解答】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍，∵2023＝252×8+7，∴点A2023的在二四象限的角平分线上，OA2023＝（）2023，故答案为：（21011，﹣21011）．【题型二：平面直角坐标系内的面积计算】23．（2022秋•南昌期末）如图所示，△ABC的顶点分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）△ABC关于直线x＝2（平行于y轴且该直线上的点的横坐标均为2）对称的图形为△A1B1C1，则A1，B1，C1的坐标分别为A1（6，3），B1（8，1），C1（5，2）；（2）求△A1B1C1的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；则A1，B1，C1的坐标分别为A1（6，3），B1（8，1），C1（5，2）；故答案为：6，3；8，1；5，2；（2）△A1B1C1的面积＝3×2﹣×1×3﹣2×2﹣×1×1＝2．24．（2022秋•平遥县期中）在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．【答案】（1）（﹣2，0）；（2）（0，2）或（0，﹣2）．【解答】解：（1）∵点A（8，0），点B（3，0），∴AB＝5，∵点C是点A关于点B的对称点，∴BC＝AB，则点C的坐标为（﹣2，0）；（2）如图，由题意知S△BCD＝•BC•AD＝10，BC＝5，∴AD＝4，则OP＝2，∴点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．25．（2022秋•任城区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣4，0），点A关于y轴对称的点为点C．（1）请在网格图中标出点A和点C．（2）△ABC的面积是16；（3）在y轴上找一点D，使S△ACD＝S△ABC，请直接写出点D的坐标（0，4）或（0，﹣4）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，点A，点C即为所求；（2）S△ABC＝×8×4＝16；故答案为：16．（3）如图，满足条件的点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．26．（2023春•江陵县期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴|﹣3|＝3，∴点C到x轴的距离为3；（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．（3）设点P的坐标为（0，y），∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），∴6×|y﹣3|＝6，∴|y﹣3|＝2，∴y＝1或y＝5，∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．27．（2023春•沾化区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且a，b满足+＝0，将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4），连接AD，BC，CD．（1）点C的坐标为（5，4）；B到CD的距离为4．（2）线段AB扫过的面积为20．（3）在x轴上是否存在点P，使△PAD的面积等于8？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（5，4）；4；（2）20；（3）（﹣6，0）或（2，0）．【解答】解：（1）∵+＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3，∴点A（﹣2，0），B（3，0），∵将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4），∴点C（5，4），B到CD的距离为4．故答案为：（5，4）；4；（2）根据平移的性质可得，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴线段AB扫过的面积＝▱ABCD的面积＝AB•OD＝5×4＝20．故答案为：20；（3）设在x轴上存在点P（x，0），使△PAD的面积等于8，则×4×|x+2|＝8，∴x＝﹣6或2，∴点P（﹣6，0）或（2，0）．28．（2023春•益阳期末）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出下列各点的坐标：A（1，3）；A'（﹣3，1）；（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内的对应点P'的坐标为（a﹣4，b﹣2）；（3）求△ABC的面积；（4）在x轴上存在点Q，使得△ABQ的面积与△ABC的面积相等，请求出点Q的坐标．【答案】（1）（1，3）、（﹣3，1）；（2）（a﹣4，b﹣2）；（3）2．（4）（，0）或（，0）．【解答】解：（1）由图知点B′的坐标为（1，3）、点B坐标为（﹣3，1），故答案为：（1，3）、（﹣3，1）；（2）由图知△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位可得到△A'B'C′，则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为（a﹣4，b﹣2），故答案为：（a﹣4，b﹣2）；（3）△ABC的面积为2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣