函数的单调性和最值 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3函数的单调性和最值2024/4/24新课引入我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？

总体而言，函数性质就是“变化中的不变性”，变化中的规律性。所以研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律。2024/4/242024/4/24

二、由形入数

、

提出问题

观察下列函数，你能发现他们有那些特征吗？y=x+2y=-x+1y=x2

同学们的回答涉及了函数的很多方面：如升降变化、对称性、最高点或是最低点等，今天我们重点关注函数图像从左到右升降变化的特点。我们一起看下面的实例实例分析

从图像上我们可以直观地看出，函数y=f（x）在区间[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上，函数值y随x值的增大而增大；而在区间[-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上，函数值f（x）随x值的增大而减小。

三、师生共探、

抽象定义

探究一：图2-9中，怎样用数学的符号语言表达在区间[-6,-5]上函数值y随x值的增大而增大呢？

本节课我们要用定量的方法来刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律----函数的单调性

问题1：我们之前研究过二次函数，现在我们以函数y=x2为例，从图像上我们可以看出在区间上，y随x的增大而减小，请问你是怎么理解“y随x的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？

问题2：“x增大了”，如何用符号语言表示？“对应的函数值y减小”，又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？x...-5-4-3-2-1...f（x)...2516941...当x从-5增大到-4，函数值f（x）从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f（x）从16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f（x）从9减小到4；当x从-2增大到-1，函数值f（x）从4减小到1。问题3：这样的变化过程能写完吗？你能借助字母符号，归纳上述具体数值变化的共同点吗？只要

x1<x2，就有

f(

x1)>

f(

x2)。

问题4：这里对，有什么要求？只取区间上的某些数对可以吗？你能举例说明吗？所以我们在实际证明过程中，要保证所有x1<x2，有

f(

x1)>

f(

x2)。但在实际操作中，所有是不容易实现，我们一般用量词任取来代替

问题5：同学们你现在会用数学符号语言来表达“y随x的增大而减小”

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)>

f(

x2)

。

问题6：对于函数，你能模仿上述方法，给出“在区间上，y随x的增大而增大”的符号语言刻画吗？

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)<

f(

x2)

练习：请你模仿上述过程，用符号语言刻画函数y=-x2单调性。

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)<

f(

x2)

在上，任取

x1,x2

，只要x1<x2,就有

f(

x1)>

f(

x2)

探究二：通过以上两个函数单调性的刻画方法，你能给出函数y=f（x）在区间D上单调性的符号表述吗？

设函数y=f（x）定义域为D如果对于任意的x1，x2D

，当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)是增函数;特别地，当I是定义域的一个区间时，称函数y=f(x)在区间上单调递增。函数的单调性定义图形表示

设函数y=f（x）定义域为D如果对于任意的x1，x2D

，当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数;特别地，当I是定义域的一个区间时，称函数y=f(x)在区间I上单调递减。

如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性。此时，区间I为函数y=f(x)的单调区间。图形表示2024/4/24

问题1：你能举出在整个定义域内单调递增的函数（即增函数）例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？y=x+2y=x2-2

注意：单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的“局部性质”。所以我们在描述函数单调性时，要说哪个函数，在哪个区间，单调性怎样。

允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间单调递减，但只有在整个定义域上单调递增才叫增函数，是函数的“整体性质”。2024/4/24

问题2：从函数图像上我们可以看出函数的单调性，那么我们如何进行严格的代数证明呢？

对于x1，x2我们可以先假定他们的大小，一般假设x1<x2,所以剩下的问题就是如何比较f（x1）与f（x2）的大小，那么我们如何证明f（x1）与f（x2）的大小呢？

要对两个函数值比大小，实质上是不等式的代数证明。在证明单调性时我们一般采用作差法。辨析

（1）若定义在[-2,3]的函数f（x）满足f（-2）<f（3），

则函数在[-2,3]上一定是增函数吗？（2）若函数在（1,3）和[3,5]都是增函数，

则函数在（1,5）上一定是增函数吗？（3）函数的定义域与单调区间是什么关系？（4）

在整个定义域上是减函数吗？2024/4/24例1下图是定义在[-1,5]的函数y=f(x),根据图像写出函数的单调区间应用探索解:函数在[-1,0]上是单调递减,在[0,2]上是单调递增,在[2,4]上是单调递减,在[4,5]上是单调递增.

解：

应用探索

解：

应用探索

课堂小结：最后我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考一下问题（1）什么是增函数？