人教版高中数学必修五教案设计全集1

第一章解三角形

第一课时1.1.1正弦定理

教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦

定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理

解斜三角形的两类基本问题.

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定

理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角

形怎么办？

2.由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形.已学习过

任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以

把边、角关系准确量化？一引入课题：正弦定理

二、讲授新课：

1.教学正弦定理的推导：

①特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA，sinB=^sinC=l

cc

日nabc

B|Jc=------=-------=-------.

sinAsinBsinC

②能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三

角形）

当AA8C是锐角三角形时，设边A8上的高是CO,根据三角函数

的定义，有CO=asin8=Z?sinA,则"=".同理，a='C（思考如

sinAsinBsinAsinC

何作高？）,从而，=上=-_.

sinAsinBsinC

③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中5A

ABC=~abs\nC=—acsinB=—bcsinA.C,——、

2221

两边同除以L儿即得：q=上=，.b0%

2sinAsin8sinC»c

证明二：（外接圆法）如图所示，ZA=ZD,»b

-^—=-^—=CD=2R，

sinAsinD

同理_也=2几」_=2R.

sinBsinC

证明三：（向量法）过A作单位向量了垂直于急，由北+k=而边

同乘以单位向量/得…

④正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的

任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中

一边的对角可以求其他角的正弦值.

2.教学例题：

①出示例1:在AA8C中，已知A=45。，8=60。，a=42cm,解三角形.

分析已知条件一讨论如何利用边角关系一示范格式一

小结：已知两角一边

②出示例2:AA8C中，入=后,4=45°,a=2,求匕和5,（7.

分析已知条件一讨论如何利用边角关系一示范格式一

小结：已知两边及一边对角

③练习:AABC中,b=6,B=60°,c=l或/lU,C.

在AA8C中，已知a=l（）Cm,b=14cm,A=40。，解三角形（角度精确到

1°,边长精确到1C7W）

④讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的

数量？

3.小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边

及一边对角的讨论.

三、巩固练习：

1.已知“8C中，zA=60°，a=6,求——竺"——.

sinA+sin5+sinC

2.作业：教材P5练习1（2）,2题.

第二课时1.1.2余弦定理（一）

教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量

方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.

教学难点：向量方法证明余弦定理.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：正弦定理的文字语言？符号语言？基本应用？

2.练习：在△ABC中，已知c=10,A=45。，C=30°,解此三角形.

变式

3.讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？

二、讲授新课：

1.教学余弦定理的推导：

①如图在AA8C中，AB、BC、C4的长分别为c、A

'：AC^AB+BC,AcB

/.AC»AC=(,AB+BC)»(AB+BC)=ZB"+2AB•BC+BC2

=AB+21AfiI•IBCIcos(l80-B)+BC=c2-2accosB+a2.

I>Pb2-c2+a2-laccosB,->

(2)l式Tj|'-:ci~=b~+c~~2bccosA,c~—ci~+b~—2abcosC.

③提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方

的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.

用符号语言表示/=/+/-2bccosA,…等；f基本应用：已

知两边及夹角

④讨论：已知三边，如何求三角？

一余弦定理的推论：cosA="",…等.

2bc

⑤思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？

2.教学例题：

①出示例1:在"BC中，已知a=2百，c=V6+V2,8=60。，求6及

A.

分析已知条件一讨论如何利用边角关系一示范求b

一讨论：如何求A?(两种方法)(答案：b=242,A=60fl)

-*小结：已知两边及夹角

②在AABC中，已知°=1女/«,b=8cm,c=l6cin,解二角形.

分析已知条件一讨论如何利用边角关系一分三组练习一

小结：已知两角一边

3.练习：

①在△ABC中，已知a=7,b=lQ,c=6,求A、8和C

②在AABC中，已知。=2,b=3,C=82°,解这个三角形.

4.小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股

定理是余弦定理的特例；

余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的

夹角，求第三边.

三、巩固练习：

1.在"8C中,若++A，求角A.（答案：4=120。）

2.三角形A8C中，4=120°,h=3,c=5,解三角形.

f变式：求sinBsinC；sinB+sinC.

3.作业：教材P8练习1、2（1）题.

第三课时1.1正弦定理和余弦定理（练习）

教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、

正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的

三角恒等式.

教学重占.孰绰运用岸理

教学难谓；幅/正、余弦定理进行边角关系的相互转化.

教学过程：

一、复习准备：

1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2.讨论各公式所求解的三角形类型.

二、讲授新课：

1.教学三角形的解的讨论：

①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

（0A=-,Q=25,b=50播；（"）A=-,a=25五,

66

b=50yf2；

（访）A=-,a=邛，b=5U&；（iiii）A=-,a=50,b

=50V2.

分两组练习一讨论：解的个数情况为何会发生变化？

②用如下图示分析解的情况.（A为锐角时）

已知边a,b和NA

cc

B1HB2

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

仅仃•个解

仅有个解有两个解

②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.

(04=2，a=25,8=500；(zz)A=—,a=25,b

33

=1072

2.教学正弦定理与余弦定理的活用：

①出示例2：在AABC中，已知siiM:sinB:sinC=6：5：4,求

最大角的余弦.

分析：已知条件可以如何转化？一引入参数鼠设三边后利

用余弦定理求角.

②出示例3：在AABC中，已知Q=7,b=10,c=6,判断三角

形的类型.

分析：由三角形的什么知识可以判别？一求最大角余弦，由

符号进行判断

a?=加。力是直角=A4比是直角三角形

结论：活用余弦定理，得到:a2>b2+c24是钝角=A46c是钝角三角形

a2<b2+c2<^>力是锐角是锐角三角形

③出不例4:已知△A8C中，bcosC-ccosB»试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角？一再思考：又如

何将角化为边？

3.小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如

何互化.

三、巩固练习:

1.已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且皿二，

sinB3

求小的值

h

2.在△ABC中，siih4:sinB:sinC=4:5:6，则cosA:cosB:cosC

3.作业：教材PllB组1、2题.

第一课时1.2应用举例(一)

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些

有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.

教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量

实际问题.

教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.

教学过程：

一、复习准备：

1.在△ABC中，NC=60°,a+A=2(百+1),c=2夜，则NA

为.

2.在△ABC中，Siib4=sin'+sinC,判断三角形的形状.

cosB+cosC

解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简

二、讲授新课：

1.教学距离测量问题：

①出示例1：如图，设A、8两点在河的两岸，要测量两点之间

的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出

AC的距离是55m,ZBAC=5\°,NACB=75。.求A、B两点的距离(精

确到0.1m).

分析：实际问题中已知的边与角？选用什么定理比较合适？

一师生共同完成解答.一讨论：如何测量从一个可到达的点到一

个不可到达的点之间的距离？

③出示例2：如图，A、8两点都在河的对岸(不可到达)，设计

一种测量A、B两点间距离的方法.

分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得

CD=a,并且在C、。两点分另1)测得NBG4=a,zACD=p,zCDB=r,

zBDA=3.

讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？

一写出各步计算的符号所表示的结论.具体如下:

在AAOC和ABOC中，应用正弦定理得

A。—asin(y+3)_«sin(/+J)5c

sin[180。一(夕+y+5)]sin(/+y+b)'

_asiny_asin/

sin[l80°-(«+/?+/)]sin(a+/7+/)

计算出4c和BC后，再在AABC中，应用余弦定理计算出AB

两点间的距离

AB='AC?+8c2-2ACXBCcosa

④练习：若在河岸选取相距40米的C、O两点，测得/BCA=60",

zACD=30\NCDB=45',ZBDA=60\（答案：AB=206）.

2.小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，

分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集

中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求

解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型

的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出

实际问题的解.

三、巩固练习：

1.隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距G6的

C、。两点，并测得N4CB=75°,ZBCD=45°,ZADC=30°,

ZADB=45°.A.B、C、。在同一个平面，求两目标A、3间的

距离.（答案：亚km）

2.两灯塔A、8与海洋观察站C的距离都等于ahn,灯塔4在观察

站C的北偏东30”,灯塔8在观察站C南偏东60；则A、B之间

的距离为多少？（答案：42akm）

3.作业：教材P14练习1、2题.

第二课时1.2应用举例（二）

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些

有关底部不可到达的物体高度测量的问题.

教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.

教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机

下方山顶的海拔高度呢？

2.讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？

二、讲授新课：

1.教学高度的测量：

①出示例1：A3是底部8不可到达的一个建筑物，A为建筑物的

最高点，设计一种测量建筑物高度A3的方法.

分析：测量方法一计算方法

师生一起用符号表示计算过程与结论.

asinas

AC=^^-,AB=AE+h=AC^a+h=^+h.

sin(a—B)sin(a-(3)

②练习：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角

a=54°4(y,在塔底C处测得A处的俯角〃=50T.已知铁塔BC部分

的高为27.3.求出山高CD(精确到1m)

③出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到4

处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km

后到达8处，测得此山顶在东偏南25。的方向上,仰角为8。,求此山的

高度CD.

分析：已知条件和问题分别在哪儿个三角形中？分别选用什

么定理来依次解各三角形？一师生共同解答.

解答：在AA8C中，ZA=15°,ZC=25。-15。=10°,根据正弦定

理8C_"

'sinAsinC

BC=ABsinA=仁7.4524(bn),CD=BCxtanzDBC^BCxtan8

sinCsin10

1047(m).

2.练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、8两个目

标，测得目标A在南偏西57°,俯角是60°,测得目标3在南偏

东78°,俯角是45。，试求山高.

解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解.关

键：角度的概念

3.小结：审题；基本概念(方位角、俯角与仰角)；选择适合定理

解三角形；三种高度测量模型(结合图示分析).

三、巩固练习：

1.为测某塔A8的高度，在一幢与塔A8相距20m的楼的楼顶处测

得塔顶A的仰角为300,测得塔基B的俯角为45。，则塔A3的高

度为多少加？答案：20+等(⑼

2.在平地上有A、B两点,A在山的正东，8在山的东南，且在4

的南25。西300米的地方，在4侧山顶的仰角是30。，求山高.

（答案:230米）

3.作业：P17练习I、3题.

第三课时1.2应用举例（三）

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些

有关计算角度的实际问题.

教学重点：熟练运用定理.

教学难点：掌握解题分析方法.

教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距

离？又如何测量两个不可到达点的距离？如何测量底部不可到

达的建筑物高度？与前者有何相通之处？

2.讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？

通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题

二、讲授新课：

1.教学角度的测量问题：

①出示例1：甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10（4+

1次"的速度向正东航行，乙船以每小时20hn的速度沿南60°东

的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C

两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.

分析：根据题意，如何画图？一解哪个三角形？用什么定理？

如何列式？

一学生讲述解答过程（答案：理）

6

一小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形f再分析解

哪个三角形，如何解？

②练习：已知A、8两点的距离为100海里,B在A的北偏东30°,

甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自8以30

海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船

之间的距离最小？

画出图形，并标记已知和要求的一解哪个三角形？用什么定

理解？如何列式？

③出示例2：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距,北

9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75。的方

向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立।

即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡

逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上AI/匕^

该走私船？

分析:如何画出方位图？一寻找三角形中的已知条件和问

题？一如何解三角形.

f师生共同解答.（答案：北偏东83。口方向；1.4小时）

④练习：某渔轮在A处测得在北45。的C处有一鱼群，离渔轮9

海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游

去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮

应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？

2.小结：

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定

理或余弦定理解之.（2）已知量与未知量涉及两个或儿个三角形，

这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角

形中求出问题的解.

三、巩固练习：

1.我舰在敌岛A南偏西50。相距12海里的8处，发现敌舰正由岛沿

北偏西1伊的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、

沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

2.某时刻A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40

千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为

半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间4进入台

风圈？A处在台风圈中的时间有多长？

3.作业：教材P22习题1.2A组2、3题.

第四课时1.2应用举例（四）

教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解

决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，

能证明三角形中的简单的恒等式.

教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.

教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：接触过哪些三角形的面积公式？

2.讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？

二、讲授新课：

1.教学面积公式：

①讨论：AABC中，边BC、CA.AB上的高分别记为心、心、h<,

那么它们如何用已知边和角表示？一如何计算三角形面积？

②结论：三角形面积公式，S=-absinC,S=-bcsinA,S=-acsinB

222

③练习：已知在AABC中，/8=30。力=61=66,求。及448。的面

积S.

(解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解

的个数)

©出示例1：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域

改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为

68m,88m,127加，这个区域的面积是多少？(精确到O.lcW)?

分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何

求一个角的正弦？

一师生共同解答.一小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.

一讨论：由三边如何直接求面积？(海仑公式)

2.教学恒等式证明：

①讨论：射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+CCOSTI；c=

acosB+bcosA.

分析：如何证明第一个式子？

证一：右边「一+从工+篦+人从二次”左边

2ab2ac2a

证二：右边=27?sinBcosC+2/?sinCcosB=27?sin(B+C)=27?sinA=a

=左边

一学生试证后面两个.

②出示例2：在AABC中，求证：

(1)“*=、冶"，亩'；(2)a2+b2+c2=2(.bccosA+cacosB+abcosC)

c2sin2C

分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？

3.小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.

三、巩固练习：

1.在△48C中，若处1判断△ABC的形状.（两种方法）

tan3h~

2.某人在M汽车站的北偏西20。的方向上的A处，观察到点。处

有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.

开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A

的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车

站？（15千米）

3.作业：教材P2414、15题.

第二章数列

第一课时2.1.1数列的概念与简单表示法（一）

教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系;

了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对

于比较简单的数列，会根据其前儿项的特征写出它的一个通项公

式.

教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.

教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公

式.

教学过程：

一、复习准备：

1.在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾

跟大家说过这样一句话：“一尺之梅，日取其半，万世不竭”，即

如果将初始量看成“1”，取其一半剩“!”，再取一半还剩

2

“〉，、、、、、、，如此下去，即得到1,LLL、、、、、、

4248

2.生活中的三角形数、正方形数.

二、讲授新课：

1.教学数列及其有关概念：

①数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中

的每一个数叫做这个数列的项.

②数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排

在第二位的数称为这个数列的第2项.....排在第〃位的数称为

这个数列的第〃项.

③数列的一般形式可以写成4，…，。“，…，简记为{4}.

④数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常

数列与摆动数列.

2.教学数列的表示方法：

③讨论下列数列中的每一项与序号的关系：

1,—，—，—,、、、；1,3,6,10,、、、；1,4,9,16,、、、.

248

（数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间

的函数.）

②数列的通项公式：如果数列的第〃项与序号〃之间的关系可以用

一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.（作用：

①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）

③数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法.

3.例题讲解：

例、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各

数：

①0.5,0.5,0.5,、、、②1,-1,1,—1,、、、（口」用分段函数表示）

（3）—1,—,——,L、、、

248

思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前儿项写

出的通项公式是唯一的吗？

4.小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.

三、巩固练习：

1.练习：、根据下面数列的前儿项的值，写出数列的一个通项公式：

246810

(1)3,5,7,9,11,-9(2/)-，—，—，—，—9;⑶0,1,0,1,

315356399

0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,；(5)2,-6,18,-54,

162,.......

2.作业：教材P38页第1①②、2题

第二课时2.1.2数列的概念与简单表示法（二）

教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异

同；会根据数列的递推公式写出数列的前儿项；理解数列的前n

项和与a“的关系.

教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前儿项.

教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.

教学过程：

一、复习准备：

1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、

通项公式法.

a1=2

2.提问：已知数列｛4｝满足Q=j_+］（〃>2），能写出这个数列的前

5项吗？（学生讨论一个别回答一教师点评）

二、讲授新课：

1.教学数列的递推公式：

①提问：在上述问题中，虽然没有直接告诉这个数列的每一项，

但是仍可根据已知条件写出前5项，这种方法是否也是数列的一

种表示方法？这种表示法与数列的通项公式有什么关系呢？

④数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且

任一项明与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式

来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

如：数列3,5,8,13,21,34,55,89的递推公式为：

%=3,a2=5,a“=%+an_2（3<n<8）.

③数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法.

2.例题讲解：

例1、已知数列｛七｝的首项q=2q=-L-求出这个数列的第5

an-\

项.（学生口答）

例2、已知q=2,《5=2%写出前5项，并猜想（学生练f教

师点评）

思考题、已知数列%,｝为3,7,11,6..,试写出这个数列的一个递推公

式，再根据递推公式写出它的通项公式.

3.小结：我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继

而结合前儿项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到

通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公

式.通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的.

三、巩固练习：

1.练习：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并

归纳出通项公式：

(1)%=o,an+i=a„+(2n—1)(nGN)；(2)%=3,an+l=3an—2

(nGN).

2.教材P39页B组第3题

3.作业教材P38—P39页A组第4题、第6题

第三课时221等差数列(一)

教学要求：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条

件，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数

列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、

项数、指定的项.

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式.

教学难点：等差数列的性质.

教学过程：

一、复习准备：

1.练习：已知数列㈤｝满足为=1,。向=用匚(nGN),写出它的

氏+2

前5项并归纳出它的通项公式.

2.观察数列，找出它们的共同特征：①123,4,5、、、；②

1.2,0.5,-0.2,-0.9,、、、；③10072,10144,10216,10288,10366,、、、；

④188,168,148,128,、、、.

二、讲授新课：

1.教学等差数列的概念：

①等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前

一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数

就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.

如：0,0,0,0,、、、是恒为0的常数数列，也是公差为0的等差数列；

而1,-、、、和1,3,4,5,6,7,、、、就不是等差数列.

2.教学等差数列的通项公式：%=%【或%=am+（n-m）d（变

式：1=吼3）】

m-n

3.例题讲解：

例1、求等差数列0,-31,-7,……的通项公式，并判断一20

2

是不是这个等差数列的项？如果是，是第几项？如果不是，说明

理由.（教师引导一学生练一教师点评）

练：100是不是等差数列2,9,16,……的项？如果是，是第儿

项？如果不是，说明理由.

例2、已知数列｛%｝的通项公式%=p〃+q,其中p、g是常数，那

么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什

么？

注：数列｛%｝为等差数列的充要条件是它的通项公式为a,,=p〃+q,

此式又称为等差数列的第3通项公式.

例3、在等差数列｛4“｝中，若4]+R=9,*=7,求，他.

结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q,则，am+an=ap+a（l

4.小结：等差数列的概念、通项公式，等差数列的性质及其应用.

三、巩固练习：

1.在等差数列｛%｝中，已知%=1。，为2=31,求首项。]、公差”及《5.

2.作业：教材P46页A组第1题③④

第四课时2.2.2等差数列（二）

教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通

项公式及推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数

列.

教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.

教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

教学过程：

一、复习准备：

1.练习：在等差数列｛4｝中，若的=2as=-13,求公差d及囚4,

2.提问：如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的

角是多少度？

二、讲授新课：

1.教学等差中项的概念：

如果在。与6中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列数列，那

么A应满足什么条件？

由定义得A-a=b-A，即：A="+"；反之，若A=a”,贝UA-a-A.

22

由此可可得：4=巴a。。也成等差数列.

2

例1：求下列两个数的等差中项①5+0,5-8；②a+26,3a-40.

2.生活中的等差数列：

例2、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不

超过5吨，则统一收取水费6元，否则超过部分则按1.35元/吨的

标准收取水费.如果己知某户居民该月用水量为18吨，问他此月

需支付多少水费？（学生自练一学生演板一教师点评）

例3、某地区1997年底沙漠面积为9xi（）5加2.地质工作者为了解这

个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观

测，并在年底将观测结果记录如下表：

观测年该地区沙漠面积比原有面积

份增加数

hm2

19982000

19994000

20006001

20017999

200210001

请根据上表所给的信息进行预测.

(1)如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积

将大约变为多少加2?

(2)如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造

8000/加沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，

这个地区的沙漠面积将小于9X102痴2?

3.小结：等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项

公式间的关系，等差数列的性质及其应用.

三、巩固练习：

1.有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m

处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果

用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km?

2.作业：教材P46第4、5题

第五课时231等差数列的前〃项和(一)

教学要求：掌握等差数列前.八项和公式及其获取思路；会用等差数

列的前〃项和公式解决一些简单的与前〃项和有关的问题.

教学重点：等差数列前〃项和公式的理解、推导及应用.

教学难点：灵活运用等差数列前〃项公式解决一些简单的有关问

题.

教学过程：

一、复习准备：

1.复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性

质.

2.提问：小明喜欢摆积木，幼儿园的老师给他布置了这样一个任

务，要求他将一堆形状规则的正方形积木摆放“整齐”，最下面一

层摆13个，往上一层摆11个，再往上一层摆9个，、、、依次往上,

当摆到第6层时，问需要几个这样的正方形积木？如果已知小明

将老师给的积木全部摆完时，最上层的积木恰有3个，你能说出

老师总共给了多少个这样的小正方形积木给小明吗？

二、讲授新课：

1.教学等差数列前〃项和公式：

①等差数列前〃项和的定义：一般地，我们称卬+%+%+…+。”为数

列｛%｝的前〃项和，用表示，即S“=4+4+%+…+4,♦

②等差数列前〃项和公式：5“=幽岁或5“=〃4+约押.（实际

解题时根据题目给出的已知条件选择合适的方法来解决）

2.例题讲解：

例1、等差数列上｝的前〃项和为S“，若兀=84,$2。=460,求S28.

（学生练-学生板书-教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列｛%｝中，已知的+%=200，求Sg.⑵在等差数

列｛0"｝中，已知囚5+。12+。9+。6=20，求§20.

例2、已知数列｛*｝的前〃项和为S.=〃2+g〃，求这个数列的通项公

式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什

么？

【结论】数列"｝的前〃项和S,与%的关系：

由5”的定义可知,当n=l时,S=a1；当n22时，an=S„~,即

_5（〃=1）

a-s.

例3、在等差数列｛%｝中，已知S|O=31O,S2O=122O,求S,。.

结论：等差数列中SioHo-SNo-Szo,成等差数列.

（推广：等差数列中黑，邑鼠,S3,,,-S2,,成等差数列.）

3.小结：等差数列前〃项和的定义、公式，性质及其应用.

三、巩固练习：

1.练习：教材P52页第1题

2.作业：

教材P52—P53页A组第2、3题

第六课时232等差数列的前〃项和(二)

教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前〃项和公式；

了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利

用等差数列通项公式与前竺项和的公式研究耳的最值.

教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.

教学难点：灵活应用求和公式解决问题.

教学过程：

一、复习准备：

练习：已知数歹U｛%｝的前〃项和S,,=；〃2+|〃+3,求这个数列的通项

公式.这个数列是等差数列吗？

二、讲授新课：

1.探究：一般地，如果一个数列｛%｝,的前n项和为S.=p〃2+q”+「，

其中p、q、r为常数，月“NO,那么这个数列一定是等差数列吗？

如果是，它的首项与公差分别是多少？

(是，q=p+q+r,d=2p).

由此，等差数列的前〃项和公式S,=〃q+QM可化成式子：

2

Sn=%+(a*)n,当dWO,是一个常数项为零的二次式.

2.教学等差数列前〃项和的最值问题：

①例题讲解：

例1、数列｛%｝是等差数列，«,=50,J=-0.6.(1)从第几项开始有

a.<0；（2）求此数列的前〃项和的最大值.

结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当a,,>0,d<0,

前n项和有最大值.可由%20且。用W0,求得n的值；当*<0,d>0,

前n项和有最小值.可由%W0,且求得n的值.（2）由

Sn'M+a-fn利用二次函数配方法求得最值时n的值•

练习：在等差数列｛a“｝中，％=—15,公差d=3,求数列｛6｝的前

n项和S”的最小值.

例2、有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金

额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这

是整取.它的本利和公式如下：本利和=每期存入金额x

存期+」存期x（存期+l）x利率］.若某人每月初存入100元，月利率

_2_

5.1%。，到第12个月底的本利和是多少？若每月初存入一笔金额,

月利率5.1%。，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么第月

初应存入多少金额？

3.小结：等差数列前〃项和公式、性质及其应用.

三、巩固练习：

1.练习：设等差数列｛｝的前〃项和为Sn,且%=12,S,2>0,S13<0,

（1）求公差d的取值范围；（2）8区,…，兀中哪一个最大，并说明

理由.

2.作业：教材P53页A组第4题B组第1题

第一课时5.2.4等比数列（一）

教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律

的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点：遇到具体问题时一，抽象出数列的模型和数列的等比关

系，并能用有关知识解决相应问题。

教学过程：

一.复习准备

1.等差数列的通项公式。

2.等差数列的前n项和公式。

3.等差数列的性质。

二.讲授新课

引入：1“一尺之栖，日取其半，万世不竭。”

2细胞分裂模型

3计算机病毒的传播

由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点

进而让学生通过用递推公式描述等比数列。

让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后

类比等比数列的通项公式

a=a+da2

2[2

。3=。2+d=%+2d。3=a?q=《q

%=%+d=6+3d4=。3夕=

+(n-l)da”=

注意：1公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。

2当首项等于。时，数列都是0。当公比为。时，数列也都是

Oo

所以首项和公比都不可以是0。

3当公比q=l时，数列是怎么样的，当公比q大于1,公比q

小于1时数列是怎么样的？

4以及等比数列和指数函数的关系

5是后一项比前一项。

列：1,2,（略）

小结：等比数列的通项公式

三.巩固练习：

1.教材P59练习1,2,3,题

2.作业：P60习题1,4o

第二课时5.2.4等比数列（二）

教学重点：等比数列的性质

教学难点：等比数列的通项公式的应用

二.复习准备：

提问：等差数列的通项公式

等比数列的通项公式

等差数列的性质

二.讲授新课：

1.讨论：如果是等差列的三项",々，生满足2a2=4+%

那么如果是等比数列4M,,%又会有什么性质呢？

由学生给出如果是等比数列满足必二6的

2练习：如果等比数列〃］吗,。3。尸4,%=16,%=?（学生口答）

如果等比数列。尸4,a2=16,%=?（学生口答）

3等比中项:如果等比数列《吗,丹.那么母=。1%，%=土”臼

则出叫做等比数列的等比中项（教师给出）

4思考：是否成立呢？。；=的9成立吗？

«„+1（«>1）成立吗？

又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列，2%=弓+%

5思考：如果4.也是两个等比数列，那么是等比数列吗？

如果是为什么？义是等比数列吗？引导学生证明。

bn

6思考:在等比数列里,如果w+〃=p+q,a"a"=a。―成立吗？

如果是为什么？由学生给出证明过程。

三.巩固练习：

列3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第

1项和第2项

解（略）

列4：略：

练习：1在等比数列{a“},已知q=5吗=100,那么阳=?

2P61A组8

四.小结：等比数列的性质

五：作业P61A组6,7o

第一课时2.5等比数列的前n项和

教学要求：探索并掌握等比数列的前.n项和的公式；

结合等比数列的通项公式研究等比数列的各量;

在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，能用有

关知识解决相应问题。

教学重点：等比数列的前n项和的公式及应用

教学难点：等比数列的前n项和公式的推导过程。

教学过程：

一、复习准备：

提问：等比数列的通项公式；

等比数列的性质；

等差数列的前n项和公式；

二、讲授新课：

1.教学：

思考：一个细胞每分钟就变成两个，那么经过一个小时，它会分

裂成多少个细胞呢？

分析：4=1,公比《=：=2,因为a“=a5,一个小时有60分钟

5959

a60=a,q=12=5764607523

思考：那么经过一个小时，一共有多少个细胞呢？

s,、=%+%+%+....«„（1）

2

s“=%+avq+a2q+..........（2）

2

（2）q=qs.=avq+a2q+....砧”⑶

（3）-（1）=。-亦“=%-4q"

_al-atq"_%（1-q”）

S"=»q="q

乂因为a、q"=ad"q=a„Q

所以,贝Ijs,0152921504

\-q~1-2

则一个小时一共有1152921504个细胞

2.练习：

列1（解略）

列2（解略）

在等比数列｛4｝中：⑴已知％=3,4=96,求q,s6

（2）已知q=-3应=11,求％,应

在等比数列｛&“｝中,4|+a=33,%。5=32,则$6?

三、小结：等比数列的前n项和公式

四、作业：P66,1题

第三章不等式

第一课时3.1不等关系与不等式（一）

教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从

实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.

教学重点：从实际问题中找出不等关系.

教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.

教学过程：

一、复习准备：

1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？

2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举

出你周围日常生活中的不等关

系吗？

3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元;

二、讲授新课：

1、教学用不等式表示不等关系

①在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们

用不等式来表示这样的不等关系.

②举例：例如：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶

时，应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是vW40.

③文字语言与数学符号之间的转换.

文字语言数学符号文字语言数学符号

大于>至多

小于<至少2

大于等于2不少于N

小于等于不多于

@实数的运算性质与大小顺序之间的关系

对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b是正数；如a<b,那么a-b

是负数；如果a-b等于0.它们的逆命题也正确.即

(2)〃=b<=>a-b=。;

(3)。=a-b<0

2、教学例题：

①出示例1：日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加

入m克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等

式。

(浓度=朝)

溶液

②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收

入还不底于20万元呢？

(教师示范一学生板演一小结)

3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大

小顺序之间的关系.

三、巩固练习：

1.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60

元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买3片和2盒，

请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。

2.练习：教材P831、2题.

作业：课本P873题；P91第10题

第二课时3.1不等关系与不等式(二)

教学要求：了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式

的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.

教学重点：理解不等式的性质及其证明.

教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系

2.设点A与平面d之间的距离为d,B为平面。上任意一点，则点

A与平面3的距离小于或等于A,B两点间的距离，请将上述不

等关系写成不等式.

二、讲授新课：

1、教学“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性

质

①用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采

用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有

x2>0,-x2<0,|x|>0,Tx|〈o等.

②“作差法”的一般步骤是：①作差；②变形；③判断符号；

④得出结论.

③常用的不等式的基本性质

>b,b>c=>a>c

(2)。>b=>a++c

(3)a>b,c>O=>ac>bc

(4)〃>b,c<0=>ac<hc

2、教学例题：

①出示例1:已知a>b>0,c<0,求证：->-

ab

(教师讲思路一学生板演一小结方法)

②出示例2•:比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.

（比较两个数的大小，基本方法是作差，对差的正、负或零做出判

断，得出结论）

③变式训练：已知“0,比较面+1）2与/+02+1的大小

④出示例3：已知12<a<60,15<b<36,求"匕及q的取值范围.

b

（确定取值范围一利用不等式的性质求解）

⑤变式训练：已知-3<“<Z4,-4<c<0,求（a-b）.c的取值范围.

三、巩固练习：

①.比较f+3与3x的大小，其中xeR.

②.比较当a仁0时，（/+血”+1）（42一0a+i）与（Y+a+ix/-a+D的大小.

③.（2001.济南）设实数a,b,c满足

b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+/,则a1,c的大小关系是_____________.

④.配制A,8两种药剂需要甲、乙两种原料•，已知配一剂A种药需甲

料3毫克，乙料5毫克，配一剂8药需甲料5毫克，乙料4毫克。

今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A,8两种药至少各配一剂，则

48两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出

来.

⑤.作业教材P91习题3.1A组2、4

第一课时3.2一元二次不等式及