2021年中考数学压轴题押题及答案

2021年中考数学压轴题

1.我们不妨约定：如图①，若点。在△A8C的边48上，且满足NAC£)=NB(或NBC3

=NA),则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”.

(1)如图①，若点。是△4BC的边A8的中点，AC=2&,AB=4.试判断点。是不是

△ABC边48上的“理想点”，并说明理由.

(2)如图②，在中，A8为直径，且AB=5,AC=4.若点。是AABC边A8上的

“理想点”，求C。的长.

(3)如图③，已知平面直角坐标系中，点4(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上

一点，且满足N4CB=45°,在)，轴上是否存在一点。，使点A是8,C,。三点围成的

三角形的''理想点”，若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)结论：点。是△ABC的“理想点

理由：如图①中，

图①

。是AB中点，AB=4,

AD=DB=2,

AC2：(2V2)2=8,AO・AB=8,

AC2=AD*AB,

ACAB

AD-AC'

NA=NA,

ZACD=ZBf

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...点D是△ABC的“理想点”,

(2)如图②中,

图②

•.•点D是AABC的“理想点”，

，ZACD=ZB或N8CO=NA,

当NAC£>=NB时，

VZACD+ZBCD=90°,

：.ZBCD+ZB=^°,

AZCDB=90°,

当NBC£>=/A时，同法证明：CQLAB,

「AB是直径，

/.ZACB=90°,

"：AB=5,AC=4,

：.BC=y/AB2-AC2=3,

'：^AB*CD=^AC'BC,

(3)如图③中，存在.有三种情形:

7'

马

图③

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过点A作MA_LAC交C8的延长线于M,作轴于从

VZMAC=ZAOC=ZAHM=90°,ZACM=45°,

AZAMC=ZACM=45°,

：.AM=AC,

・・・NM4"+NCAO=90°,NCAO+N4co=90°,

AZMAH=NACO,

A/\AHM^/\COA(A4S),

：.MH=OA,OC=AH,设C(a,0),

TA(0,2),B(0,-3),

：.OA=MH=2,03=3.AB=5,OC=AH=a,BH=a-5,

9：MH//OC,

.MHBH

••=,

OCOB

.2Q—5

.•一=»

a3

解得。=6或-1(舍弃)，

经检验。=6是分式方程的解，

：.C(6,0),OC=6,

①当/O1C4=/ABC时，点A是△BCD的“理想点设。(0,%),

"：ZDiCA=ZABC,NCDiA=NCDiB,

.,.△DiACsADiCB,

：.CDI2^DIA'DIB,

m2+62—(m-2)(m+3),

解得m=42,

：.Di(0,42).

②当/BC4=/C£>2B时，点A是△BC£>2的“理想点”.

易知：/血。=45°,

.♦.O£)2=OC=6,

：.DI(0,6).

综上所述，满足条件的点O坐标为(0,42)或(0,6).

2.如图，C是以AB为直径的。。上一点，过。作OELAC于点E,过点A作0。的切线

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交0E的延长线于点F,连接CF并延长交BA的延长线于点P.

(1)求证：PC是。。的切线.

(2)若AF=1,0A=2V2,求PC的长.

(1)证明：连接0C,

'：OE±AC,

：.AE=CE,FA=FC,

：.ZFAC^ZFCA,

'：OA=OC(圆的半径相等)，

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZOAC+ZFAC^ZOCA+ZFCA,即/阳O=/FCO,

•.•砌与OO相切，且AB是00的直径，

：.FALAB,

.\ZFCO=ZFAO=90°,

：C。是半径，

...PC是。0的切线；

(2)解：是。。的切线，

AZPCO=9Qa,

又；NF以=NOPC,ZPAF=90Q,

：./\PAF^/\PCO,

.PAAF

PC~CO

"：C0=0A=2V2,AF=\,

：.PC=2近PA,

设物=x,贝UPC=2&X.

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