2022-2023学年天津市和平区高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2天津市和平区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.是虚数单位，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.一组数据的第30百分位数为（）A.7 B.6 C.5 D.4〖答案〗C〖解析〗将数据从小到大排列为，共7个数据，由，故第30百分位数是第三个数据为5.故选：C.3.设向量，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，故.故选：B.4.在中，，，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，由余弦定理得：，所以.故选：D.5.已知平面向量，且与的夹角为，则（）A.12 B.16 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知：，所以.故选：C.6.设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，且，则C.若，则D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于选项A，若，则与可能会相交或平行，故选项A错误；对于选项B，若，且，根据线面垂直可知，.故选项B正确；对于选项C，若，则可能会平行、相交或异面，故选项C错误；对于选项D，若，则与可能会相交或平行，故选项D错误.故选：B.7.在中，角，，所对的边分别为，，，满足，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗在中，对于，由正弦定理得：，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.8.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）A.a的值为0.005B.估计这组数据的众数为75C.估计这组数据的第85百分位数为86D.估计成绩低于60分的有25人〖答案〗D〖解析〗对A：，即，，故A正确；对B：由面积最大的小长方形可知，估计这组数据的众数为75，故B正确；对C：前4组频率之和为，前5组频率之和为，设这组数据的第85百分位数为，则，，故C正确；对D：成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，D错误.故选：D.9.如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取中点，连接，，因为为正方体，所以，，因为为中点，所以，，因为平面平面，平面，平面，所以是二面角的平面角，，，，，所以二面角的正弦值为.故选：B.10.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，则，即，.故选：B.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.试题中包含两个空的，答对1个给3分，全部答对的给5分.）11.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.〖答案〗〖解析〗由题意可知：高三年级抽取了人，由于高三共有900人，所以抽样比为，所以高中学生总数为.故〖答案〗为：.12.已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为__________.〖答案〗〖解析〗向量，则，所以向量在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.13.在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，可将该三棱锥在长方体中作出，所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，为外接球的直径，所以，所以外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.故〖答案〗为：.14.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为__________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为__________.〖答案〗〖解析〗设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，则有，，设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以，因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．故〖答案〗为：.15.如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设，则__________；若为边长等于2的正三角形，则__________.〖答案〗〖解析〗由于，则，又是线段的中点，故，结合得，故；设，而，是线段中点，故，又三点共线，故，则，故，又为边长等于2的正三角形，则.故〖答案〗为：.三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设复数，m为实数．（1）当m为何值时，z是纯虚数;（2）若，求的值;（3）若复数在复平面内对应点在第三象限，求实数m的取值范围.解：（1）若z是纯虚数，则，解得，所以当时，z是纯虚数.（2）若，则，所以.（3）因为复数，对应的点为，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，故实数m的取值范围为.17.已知向量，满足.（1）若，求向量的坐标；（2）若，求向量与向量夹角的余弦值.解：（1）设，则，解得或，故或.（2）易知，由可得，即，故.18.一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为.（1）写出试验的样本空间；（2）设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率.解：（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{}.（2）由题意可知事件A=，共三个结果，故，事件B=，共六个结果，故，事件包含的结果有一个，故.19.在中，角所对的边分别为，.（1）求的值；（2）若，求的面积；（3）求的值.解：（1）因为，由正弦定理可得.（2）若，则，由余弦定理，即，整理得，解得或（舍去），所以的面积.（3）因为，则，则，又因，即，则，可得，所以.20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的余弦值.解：（1）连接，，因为底面为平行四边形，为中点，故与相交于，因为为的中点，则，因为平面，平面，所以平面.（2）因为，由余弦定理得，即，解得，因为，所以⊥，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为平面，，所以平面.（3）取的中点，连接，则，因为⊥平面，所以⊥平面，则为直线与平面所成角，其中，故，因为⊥，，由勾股定理得，故，由勾股定理得，所以.天津市和平区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.是虚数单位，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.一组数据的第30百分位数为（）A.7 B.6 C.5 D.4〖答案〗C〖解析〗将数据从小到大排列为，共7个数据，由，故第30百分位数是第三个数据为5.故选：C.3.设向量，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，，故.故选：B.4.在中，，，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，由余弦定理得：，所以.故选：D.5.已知平面向量，且与的夹角为，则（）A.12 B.16 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知：，所以.故选：C.6.设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，且，则C.若，则D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于选项A，若，则与可能会相交或平行，故选项A错误；对于选项B，若，且，根据线面垂直可知，.故选项B正确；对于选项C，若，则可能会平行、相交或异面，故选项C错误；对于选项D，若，则与可能会相交或平行，故选项D错误.故选：B.7.在中，角，，所对的边分别为，，，满足，则的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗在中，对于，由正弦定理得：，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.8.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）A.a的值为0.005B.估计这组数据的众数为75C.估计这组数据的第85百分位数为86D.估计成绩低于60分的有25人〖答案〗D〖解析〗对A：，即，，故A正确；对B：由面积最大的小长方形可知，估计这组数据的众数为75，故B正确；对C：前4组频率之和为，前5组频率之和为，设这组数据的第85百分位数为，则，，故C正确；对D：成绩低于60分的频率为，故估计成绩低于60分的有人，D错误.故选：D.9.如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，取中点，连接，，因为为正方体，所以，，因为为中点，所以，，因为平面平面，平面，平面，所以是二面角的平面角，，，，，所以二面角的正弦值为.故选：B.10.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，则，即，.故选：B.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.试题中包含两个空的，答对1个给3分，全部答对的给5分.）11.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.〖答案〗〖解析〗由题意可知：高三年级抽取了人，由于高三共有900人，所以抽样比为，所以高中学生总数为.故〖答案〗为：.12.已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为__________.〖答案〗〖解析〗向量，则，所以向量在方向上的投影向量为.故〖答案〗为：.13.在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗由题意可知，可将该三棱锥在长方体中作出，所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，为外接球的直径，所以，所以外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.故〖答案〗为：.14.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为__________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为__________.〖答案〗〖解析〗设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，则有，，设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以，因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．故〖答案〗为：.15.如图，在中，是线段上的点，且，是线段的中点，延长交于点，设，则__________；若为边长等于2的正三角形，则__________.〖答案〗〖解析〗由于，则，又是线段的中点，故，结合得，故；设，而，是线段中点，故，又三点共线，故，则，故，又为边长等于2的正三角形，则.故〖答案〗为：.三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设复数，m为实数．（1）当m为何值时，z是纯虚数;（2）若，求的值;（3）若复数在复平面内对应点在第三象限，求实数m的取值范围.解：（1）若z是纯虚数，则，解得，所以当时，z是纯虚数.（2）若，则，所以.（3）因为复数，对应的点为，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，故实数m的取值范围为.17.已知向量，满足.（1）若，求向量的坐标；（2）若，求向量与向量夹角的余弦值.解：（1）设，